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2 Integration über Normalbereiche - A4,5

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Academic year: 2022

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Blatt 8

Tutorium HM 2 9. Juni 2009

Diese Zusammenstellung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.

Sie dient lediglich als Hilfestellung zur Bearbeitung der Übungsaufgaben.

Das Thema dieses Blattes ist diesmal in einem Wort zusammengefasst: Mehrdimensio- nale Integration. Ihr sollt bei den Tutoriumsaufgaben Wegintegrale und Integrale über denierte Bereiche berechnen.

1 Bereiche im R

2

Ein BereichG∈R2 heiÿt regulär, wenn

• der Rand∂G aus endlich vielene regulären Kurvenstücken 1 besteht,

• das InnereB\∂G ein nichtleeres, beschränktes Gebiet im R2 ist,

• B abgeschlossen, d.h.∂G⊆Gist.

1.1 Normalbereiche

A1 ⊆ R2 heiÿt Normalbereich, wenn es C1-Funktionen f und g: [a, b] → R gibt mit g(x)≥f(x) und

A1 ={(x, y);a≤x≤b, f(x)≤y≤g(x)}

Dieser wir auch als Normalbereich vom Typ I bezeichnet. Es gibt dementsprechend also noch einen Typ II, der einfach den umgekehrten Fall beschreibt:

A2 ={(x, y);f(x)≤x≤g(x), a≤y≤b}

1Wir erinnern uns: Ein Kurvenstück~x(t)heiÿt regulär, wenn~x(t)˙ 6= 0für alletI

(2)

Abbildung 1: Typ I

Abbildung 2: Typ II

2 Integration über Normalbereiche - A4,5

Für eine stetige Funktion h: A1 →R auf einem NormalbereichA1 gilt2:

Z Z

A1

dxdy h(x, y) = Z b

a

dx Z g(x)

f(x)

dy h(x, y)

Wir integrieren also zunächst über die y-Komponente, die x-Komponente wird xiert.

Danach folgt die Integration über die x-Komponente. Bei einem Normalbereich vom Typ II geschieht das Ganze umgekehrt.

Ist der Rand eines Gebiets nur durch stückweise reguläre Funkionen deniert, so muss das Gebiet G in NormalbereicheB1, ...BN zerlegt werden: G=B1∪B2∪ · · · ∪Bn. Die Integration wird dann getrennt über die einzelnen Bereiche durchgeführt:

Ik = Z Z

Bk

dx dy h(x, y) I = I1+· · ·IN

2analog fürA2

(3)

3 Kurvenintegrale - A1

3.1 Skalare Funktion

Beschreibe ~x(t) ∈ Rn eine parametrisiserte Kurve γ und f : Rn → R eine auf dem Kurvenstück~x(t)mit t∈[a, b]stetige Funktion, dann heiÿt

Z

γ

ds f = Z b

a

f(~x(t))|~x(t)|dt˙

das Kurvenintegral von f längs~x. Wir erkennen das Bogenelement ds=|~x(t)|dt˙ . 3.2 Vektorfeld

Interessiert uns die Arbeit, die notwendig ist, um ein geladenes Teilchen mit Ladung q entlang des Weges γ : ~x(t) t∈[a, b]in einem zeitlich konstanten inhomogenen elektri- schen FeldE(~~ x) zu bewegen, so ergibt sich diese gerade durch:

W = Z

γ

d~x·q ~E(~x)

Allgemein: Sei D⊆Rn oen, ~x: [a, b]→D eine reguläre Kurve und f~: D→Rn ein stetiges Vektorfeld. Dann heiÿt

Z

~ x

d~x·f~= Z b

a

dt ~f(~x(t))·~x(t)˙

Kurvenintegral von f~entlang~x.

4

4.1 Gebiet

Eine Teilmenge G⊆Rn heiÿt Gebiet, wenn

(4)

• G ist oen

• G ist zusammenhängend, d.h. zwischen zwei Punkten ~x1 und ~x2 existiert eine reguläre Kurve~γ : [a, b]→Gmit~γ(a) =~x1 und~γ(b) =~x2.

Ein Gebiet heiÿt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossenen, doppel- punktfreie Kurve in G stetig auf einen Punkt in G zusammengezogen werden kann, ohne dass G verlassen wird.

Abbildung 3: Einfach zusammenhängend

4.2 1. Hauptsatz der Kurvenintegrale - A3

Man nennt ein Vektorfeld~v∈C0 konservativ oder ein Potentialfeld, wenn es eine Funk- tionf ∈C1 gibt mit der Eigenschaft

~

v(~x) =∇f(~x).

Erfüllt~v diese Eigenschaft, so gilt für jede stückweise stetige Kurveγ in einem Gebiet G mit Anfangspunkt~γ(a) und Endpunkt~γ(b)

Z

γ

d~x·~v=f(~γ(b))−f(~γ(a))

4.3 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale - A3

Sei~v ∈ C1 : G → Rn, mit G ⊆Rn einfach zusammenhängend.~v ist genau dann ein Potentialfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung

(5)

Jv(~x) =JvT(~x)

∂vi

∂xk = ∂vk

∂xi

gilt. Letzteres wird klar, wenn man bedenkt, dass~v∈C1. Damit~v ein Potentialfeld ist, muss eine Funktionf ∈C2 existieren mit vi =∂if. Nach dem Satz von Schwarz gilt

ikf =∂kif und damit das Besagte.

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