Quantenmechanik I, WS 2020/21

Quantenmechanik I, WS 2020/21

Prof. Dr. Michael Bonitz

Ubungszettel 9 (Abgabe: Montag 18.1. 10:00) ¨

1. Wiederholung (m¨undlich): Radiale Schr¨odingergleichung. Wasserstoffatom (a) Diskutieren Sie die Eigenwerte (Quantenzahlen, Entartung usw.) und Eigen-

zust¨ande des H-Atoms. Erl¨autern Sie die vollst¨andigen Observablen beim H-Atom. Welche Information kann durch eine Zustands-Messung gewonnen werden und welche ist nicht verf¨ugbar?

(b) Wiederholen Sie die Darstellungen der Radialfunktionen durch die1F1-Funktion.

(c) Wiederholen Sie die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte im H-Atom und ihre Normierung.

(d) Wiederholen Sie das Virialtheorem und wenden Sie es auf das H-Atom an.

(e) Erl¨autern Sie die Auswahlregeln des Wasserstoffatoms bei Wechselwirkung mit elektromagnetischer Strahlung (Dipolstrahlung).

2. Aufgaben (44 Punkte): Wasserstoffatom

(a) Berechnen Sie die Radialfunktionen des H-Atoms f¨ur n = 1,2,3 durch Bes- timmung der Koeffizienten der Polynome (mit Hilfe der Rekurrenzformel).

Normieren Sie die Wellenfunktionen². Stellen Sie die zugeh¨origen Wahrschein- lichkeitsdichten graphisch dar.

(10 Punkte)

(b) Man bestimme f¨ur ein Elektron im 1s- und im 2s-Zustand einesZ-fach gelade- nen Kerns

i. die mittlere kinetische Energie, ii. die mittlere potentielle Energie.

iii. Man vergleiche das Ergebnis mit dem Erwartungswert des Hamiltonop- erators sowie mit der Aussage des Virialtheorems.

iv. Man untersuche die Abh¨angigkeit der mittleren kinetischen Energie von Z und die Relevanz von relativistischen Effekten.

(10 Punkte)

1F¨ur diesen Zettel ist die 50%-Regel aufgehoben

2Man verwende folgendes Integral

∞

Z

0

dx x^ke^−βx= k!

β^k+1, k∈N, β∈R. (1)

(c) Bei der Photoelektronen-Spektroskopie wird ein Atom durch einen Laser ion- isiert und das Energiespektrum der erzeugten freien Elektronen detektiert.

Wegen des einfachen Zusammenhanges E(p) = p²/2m kann man daraus direkt die Impulsverteilung (Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum) der Elektronen in verschiedenen Zust¨anden rekonstruieren. Man berechne f¨ur ein Elektron im Wasserstoffatom

i. f¨ur den Grundzustand die Wahrscheinlichkeitsdichte der Radialkompo- nente des Impulses, ˜ρ(p_r) und finde den wahrscheinlichsten Wert vonp_r. Wie ist ˜ρ(p_r) normiert? Hinweis: man berechne zuerst aus der Grundzu- standsfunktion Ψ1s(~r) die zugeh¨orige Wellenfunktion als Funktion von

~ p.

ii. Man berechne analog die Impulsverteilung im 2s-Zustand.

iii. F¨ur den Grundzustand finde man die Wahrscheinlichkeitsdichte der kinetis- chen Energie.

(14 Punkte).

(d) Man berechne die Orts-Impulsunsch¨arfe im Grundzustand.

(12 Punkte)

3. Zusatzaufgabe: Streuzust¨ande beim H-Atom

Man finde die L¨osung der Radialen Schr¨odingergleichung f¨ur das Wasserstoffprob- lem f¨ur den Fall E >0.