Quantenmechanik I, WS 2020/21

Quantenmechanik I, WS 2020/21

Prof. Dr. Michael Bonitz

Ubungszettel 2, Abgabe: Montag 16. November 10.00 ¨

1. Wiederholung: Grundlagen der Quantenmechanik¹

(a) Erl¨autern Sie das Versagen des klassischen Atommodells (Planetenmodells).

(b) Erl¨autern Sie Idee, Resultate und Probleme des Bohrschen Atommodells.

(c) Diskutieren Sie experimentelle Befunde zu Interferenzeigenschaften von Elek- tronen.

(d) Diskutieren Sie am Beispiel des Doppelspaltexperiments kritisch den “Welle- Teilchen”-Dualismus. Erl¨autern Sie die wahrscheinlichkeitstheoretische Deu- tung des Experiments f¨ur Licht (Photonen) und Elektronen.

(e) Diskutieren Sie die Ableitung der Schr¨odingergleichung und die dabei gemach- ten Annahmen. Erl¨autern Sie die physikalische Interpretation der Gleichung.

(f) Diskutieren Sie die mathematischen Eigenschaften der Schr¨odingergleichung.

2. Aufgaben²: Grundlagen der Quantenmechanik. (24 Punkte)

(a) Berechnen Sie das Interferenz-Signal einer ebenen monochromatischen elek- tromagnetischer Wellen der Wellenl¨ange λ an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstandd. Leiten Sie das Ergebnis f¨ur die Gesamtintensit¨atI₁₂(x, y, z, t) = a|E₁₂|²her, wobeiE₁₂ =E₁+E₂ ist undE₁bzw. E₂die Feldst¨arke der Wellen bezeichnet, die Spalt 1 bzw. 2 verlassen (man behandle sie als Kreiswellen) und a =c/4π (CGS) ist (Grundlage: Elektrodynamik). 10 Punkte

(b) Berechnen Sie das Resultat der Wirkung folgender Operatoren [durch An- wendung auf eine beliebige hinreichend stetige Funktion Ψ(x, y, z)]:

i.) Aˆ−Bˆ Aˆ+ ˆB,

ii.) ˆc²_x+ ˆc²_y+ ˆc²_z, mit ˆci ≡ ∂

∂x_i −xi, i= 1,2,3 iii.) [ˆc_x,cˆ⁺_x], mit ˆc⁺_i ≡ ∂

∂x_i +x_i iv.) [ˆc_x,cˆ⁺_z]

Hinweis: der Kommutator zweier Operatoren ist definiert als [ˆa,ˆb]≡ˆaˆb−ˆbˆa.

(8 Punkte)

1Theoriefragen sind m¨undlich zu beantworten und an der Tafel zu demonstrieren.

2schriftliche L¨osung zur Abgabe

(c) Beweisen Sie die Kontinuit¨atsgleichung f¨ur die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung f¨ur den Fall eines externen Potentials V =V(r, t). (6 Punkte)

3. Zusatzaufgabe: F¨ur zwei klassische Funktionen A und B gilt e^A+B = e^A·e^B. Man verallgemeinere dieses Resultat auf den Fall von Operatoren ˆA und ˆB mit [ ˆA,B]ˆ 6= 0.