Institut f¨ur theoretische Physik Universit¨at zu K¨oln
Prof. Dr. Martin Zirnbauer Charles Guggenheim Dr. Sebastian Schmittner
Klassische Theoretische Physik 2 – ¨ Ubungsblatt 2
Abgabe bis 3.11.2015
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~cg/ktp2
Aufgabe 2.1. Magnetische Erregung und Relativit¨atsprinzip
Betrachten Sie zwei unendlich ausgedehnte parallele Ebenen, die eine konstante Stromdich- te, wie in der folgenden Abbildung angedeutet, tragen.
jj jj
a. Skizzieren Sie eine magnetische ErregungHund Feldst¨arkeB, die f¨ur diese Stromdichte j den statischen magnetischen Gesetzen dB = 0, dH =j undB ∝?H gen¨ugt. Ist Ihre L¨osung eindeutig?
Betrachten Sie nun eine Testladung q, die zwischen den beiden Platten ruht. Es wirkt also keine Lorentzkraft. Wird das Ganze nun aus einem Inertialsystem betrachtet, welches sich mit konstanter Geschwindigkeitv parallel zu den Platten bewegt, so folgt aus dem Relativit¨atsprinzip, dass noch immer keine Kraft auf die Testladung wirkt. Es muss also ein elektrisches FeldE geben, so dass die Lorentzkraft null bleibt.
b. Zeichnen SieE und D f¨ur den Fall, dassvparallel zum Strom verl¨auft.
Aufgabe 2.2. Geschlossene Spule
Betrachten Sie die folgende Anordnung einer geschlossenen Spule (Abb 1). Die z-Achse zeige aus der Blattebene heraus und diex und y Koordinate seien wie angegeben.
a. Machen Sie, unter Ber¨ucksichtigung der Symmetrie des Problems, einen geeigneten Ansatz f¨ur die 2-KetteH und die 1-KetteB, so dass die Gesetze der Magnetostatik erf¨ullt sind.
b. Bestimmen Sie explizit die 1-Form f¨urH. Achten Sie auch auf die korrekte Normierung.
Bestimmen Sie daraus die 2-Form der magnetischen Feldst¨arkeB.
Hinweis: Die charakteristische Funktion χG eines Gebiets G ist definiert durchχG(p) = 1, wennp∈G und χG(p) = 0, wenn p6∈G.
1
x
y a
j Ra
Ri
Abbildung 1: Geschlossene Spule mitN = 2πRa Windungen.
Aufgabe 2.3. Sternoperator im Kettenbild
Im Folgenden betrachten wir den GitterkomplexK (ein kubisches Gitter mit Kantenl¨ange a) mit dualem Komplex ˜K. Zur Visualisierung einer Differentialform durch Ketten, nutzen wir den IsomorphismusI : Ck(K)→Cd−k( ˜K), der definiert ist durch
Z
c
ω= Z
I(c)∧ω ,∀ω∈Ck(K).
a. SeiχW die charakteristische Funktion des W¨urfels W. Dann kann manχW als (unstetige) 0-Form auffassen. Außerdem kann χW durch ein Element I(k) ∈ C0(K) approximiert werden. Bestimmen Sie, mithilfe der obigen ¨Ubersetzungsregel, die 3-Kette k, welche der FunktionχW entspricht.
b. In der Vorlesung haben Sie den Sternoperator als eine Abbildung? : Ck(K)→C3−k( ˜K) kennengelernt. Nutzen Sie die Eigenschaften der dualen Abbildung, um den Sternoperator auf Koketten zu definieren. (F¨ur eine lineare Abbildungf : U →V erh¨alt man die duale Abbildungf∗ : V∗→U∗ durch f∗(α) =α◦f.)
Bestimmen Sie die Wirkung von?auf C1(K) undC3( ˜K).
Hinweis: Treffen Sie eine geschickte Wahl f¨ur die Vektorr¨aume U undV. Beachten Sie, dass alle L¨angen im kubischen Gitter gleich asind.
c. Veranschaulichen Sie sich den Laplace Operator, ∆ =?d?d, f¨ur Funktionen, indem Sie ∆ im Kettenbild auf die FunktionχW aus Aufgabenteil a) anwenden. Inwiefern passen dieses Bild und der Laplaceoperator in kartesischen Koordinaten zusammen?
Aufgabe 2.4. Magnetischer Dipol
Betrachten Sie einen elektrischen Dipol mit Dipolmomentqa, der entlanfg der z-Achse ausgerichtet ist.
z
+q
−q a x
a. Das elektrische Feld des Dipols ist in Zylinderkoordinaten gegeben durch
E=−dφ=d
qaz 4π0r3
.
2
Nutzen Sie die in der Vorlesung besprochene ¨Aquivalenz zwischen Magneto- und Elektrosta- tik und ¨uberlegen Sie sich einen Ansatz f¨ur die magnetische ErregungH des magnetischen Dipols. Bestimmen Sie außerdem die magnetische Feldst¨arke B aus Ihrem Ansatz.
b. Uberpr¨¨ ufen Sie, ob die Gesetze der Magnetostatik f¨ur Ihren Ansatz erf¨ullt sind.
Bestimmen Sie daf¨ur dH und dB.
3
