Beispiel C.93 (Potenzfunktionen)

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Mathematik f¨ur Informatiker II Stetigkeit

Wichtige stetige Funktionen

Beispiel C.93 (Potenzfunktionen)

Potenzfunktionen besitzen die Strukturf :R→Rmitf(x) =xⁿf¨ur ein n∈N0. F¨urn= 0 definiert manx⁰= 1. Wie alle Polynomfunktionen sind Potenzfunktionen stetig.

Es gelten folgende Rechenregeln:

(x·y)ⁿ=xⁿ·yⁿ, xⁿ·x^m=x^n+m, (xⁿ)^m=x^n·m.

Beispiel C.94 (Wurzelfunktionen)

Schr¨ankt man die Potenzfunktionf(x) =xⁿ mitn∈NaufR⁺₀ ein, so ist sie dort nicht nur stetig, sondern auch streng monoton wachsend. Nach Satz C.88 (c) existiert daher eine stetige streng monoton wachsende Umkehrfunktion: dien-te Wurzelfunktiong(x) =√ⁿ

x.

Mitxⁿ¹:=√ⁿx,x^mⁿ :=√ⁿ

x^msowiex⁻^mⁿ := ¹

x^mⁿ gelten die gleichen Rechenregeln wie f¨ur die Potenzfunktionen.

Beispiel C.95 (Exponentialfunktion)

Seia>0. Dann bezeichnet man mitf :R→R, f(x) =a^x

die Exponentialfunktion zur Basisa. Exponentialfunktionen sind stetig.

Es gilt die Funktionalgleichung

a^x+y=a^x·a^y.

Besonders wichtig ist die Exponentialfunktion bei der die Eulersche Zahl eals Basis dient. Man bezeichnet sie als

exp(x) :=e^x.

Beispiel C.96 (Logarithmusfunktion)

Die Exponentialfunktionf(x) =a^x mita>0 ist stetig, streng monoton wachsend und bildetRbijektiv aufR⁺ab. Ihre Umkehrfunktion

log_a:R⁺→R bezeichnet man als Logarithmusfunktion zur Basisa.

F¨ura=eergibt sich der nat¨urliche Logarithmus ln.

Es gelten die Rechenregeln:

log_a(x·y) = log_ax+ log_ay, log_a(x^p) =plog_ax.

Beispiel C.97 (Trigonometrische Funktionen)

Die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis werden in Abh¨angigkeit vom Winkelϕmit x= cosϕ, y= sinϕ bezeichnet.

Hierdurch wird die Sinusfunktion sinϕund die Cosinusfunktion cosϕ definiert. Dabei misst man den Winkelϕim Bogenmaß: die L¨ange des entsprechenden Kreissegments im Einheitskreis.

Der Umfang des Einheitskreises betr¨agt 2·π, wobeiπdie Kreiszahl π≈3,14159. . . ist.

Es gilt:

(a) sin²ϕ+ cos²ϕ= 1 (b) sin(−ϕ) =−sinϕ (c) cos(−ϕ) =cosϕ

(d) sin(ϕ+ 2πk) = sinϕ, cos(ϕ+ 2πk) = cosϕf¨ur allek∈Z (2π-Periodizit¨at)

(e) sin(α+β) = sinα·cosβ+ cosα·sinβ, cos(α+β) = cosα·cosβ−sinα·sinβ.

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Beispiel C.98 (Trigonometrische Funktionen (Forts.))

Die Tangensfunktion tan ist definiert als tanϕ=_cos^sin^ϕ_ϕ.

Die Funktion ist stetig aufR\ {^2k+12 π|k∈Z}und es giltπ-Periodizit¨at:

tan(ϕ+kπ) = tanϕf¨ur allek∈Z.

Beispiel C.99 (Trigonometrische Umkehrfunktionen)

Wenn wir die trigonometrischen Funktionen auf ein Intervall einschr¨anken auf dem sie streng monoton sind, so k¨onnen wir dort Umkehrfunktionen definieren.

1. cos ist in [0, π] streng monoton fallend mit Wertebereich [−1,1]. Die Umkehrfunktion arccos : [−1,1]→[0, π] heißt Arcus-Cosinus.

2. sin ist in [−^π2,^π₂] streng monoton wachsend mit Wertebereich [−1,1]. Die Umkehrfunktion arcsin : [−1,1]→[−^π2,^π₂] heißt Arcus-Sinus.

3. tan ist in (−^π2,^π₂) streng monoton wachsend mit WertebereichR.

Die Umkehrfunktion arctan :R→(−^π2,^π₂) heißt Arcus-Tangens.

Mathematik f¨ur Informatiker II Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit

Motivation:

I Wird durch eine Funktion beschrieben, wie sich eine Größe abhängig von einer anderen verändert, stellt sich die Frage: “Wie schnell”

ändert sich die abhängige Größe?

Wenn die Funktion z.B. den Ort eines Punktes in Abh¨angikeit von der Zeit bei einer Bewegung entlang einer Linie beschreibt, so ist dies die Frage nach der Geschwindigkeit (zu jedem Zeitpunkt).

I Betrachtet man eine Funktion nur in unmittelbarer Nähe einer Stelle, dann möchte man sie dort durch eine einfachere Funktion möglichst gut annähern.

Diese und ¨ahnliche Fragen beantwortet die Ableitung bzw. Differentiation.

Definition C.100

Seif :R→Reine Funktion undξ∈R.f heißtinξdifferenzierbar, falls der Grenzwert

x→ξlim

f(x)−f(ξ) x−ξ existiert und endlich ist.

Der Grenzwert heißt dann dieAbleitung bzw. Differentialquotientvon f(x) inξund wird mitf⁰(ξ) oder ^df_dx(ξ) bezeichnet.

Ist f in allenξ∈Rdifferenzierbar, so heißtf differenzierbar.

Den ¨Ubergang vonf zuf⁰nennt manDifferenzierenoderAbleiten.

Bemerkung:

(a) ^f^(x)_x⁻_−ξ^f^(ξ) =:^∆y_∆x heißtDifferenzenquotient. Dieser gibt die Steigung der Sekante zwischen den Punkten (ξ,f(ξ)) und (x,f(x)) des Graphen vonf an.

F¨urx →ξ(also ∆x→0) geht die Sekantensteigung in die Tangentensteigung in (ξ,f(ξ)) ¨uber.

(b) Die Gleichung der Tangentetanf in (ξ,f(ξ)) ist:

t(x) =f(ξ) +f⁰(ξ)·(x−ξ).

(c) Wie bei der Stetigkeit ¨ubertrage sich die Begriffe sinngem¨aß auf Funktionen mit DefinitionsbereichD( R.

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Beispiel C.101

1. f(x) =ax+b(Gerade mit Steigunga).

F¨urh6= 0 ist f(ξ+h)−f(ξ)

h =(a(ξ+h) +b)−(aξ+b)

h =ah

h =a.

Daraus folgt lim

h→0

f(ξ+h)−f(ξ)

h =a; es ist alsof⁰(x) =a ∀x∈R.

2. f(x) =xⁿ, n∈N:

f(x)−f(ξ)

x−ξ =xⁿ−ξⁿ

x−ξ =xⁿ⁻¹+ξxⁿ⁻²+. . .+ξⁿ⁻¹. Daraus folgt

x→ξlim

f(x)−f(ξ)

x−ξ =ξⁿ⁻¹+ξⁿ⁻¹+. . .+ξⁿ⁻¹=n·ξⁿ⁻¹. Also istf⁰(x) =n·xⁿ⁻¹∀x ∈R.

Ableitungen elementare Funktionen

(a) f(x) =x^αmitα∈Rundx>0:f⁰(x) =αx^α⁻¹ (b) f(x) =e^x:f⁰(x) =e^x

(c) f(x) = lnx mitx>0:f⁰(x) =¹_x (d) f(x) = sinx:f⁰(x) = cosx (e) f(x) = cosx:f⁰(x) =−sinx

(f) f(x) = tanx mitx 6=^π₂ +kπ,k∈Z:f⁰(x) =_cos¹2x

Definition C.102

Die Funktionf heißt inξ∈D linear approximierbar, wenn einc∈Rund eine Funktionδ:Uε(0)→Rexistiert, so daß

f(ξ+ ∆x) =f(ξ) +c∆x+δ(∆x) mit lim

∆x→0

δ(∆x)

∆x = 0 (1)

(m.a.W.δ(∆x) =o(∆x)) gilt.

Satz C.103

f ist inξdifferenzierbar⇐⇒f ist inξlinear approximierbar.

Satz C.104

Ist f inξdifferenzierbar, so ist f inξstetig.

Bemerkung:

Die Umkehrung ist falsch; vergleichef(x) =|x|.

Differenzierbarkeit ist also mehr als Stetigkeit. Der Graph ist nicht nur in einem Zug zu zeichnen, er besitzt auch keine Ecken.

Satz C.105 (Ableitungsregeln)

f,g seien inξ∈Rdifferenzierbar. Dann gilt:

a) f ±g ist inξdifferenzierbar mit(f ±g)⁰(ξ) =f⁰(ξ)±g⁰(ξ);

b) c·f, c∈R, ist inξdifferenzierbar mit(c·f)⁰(ξ) =c·f⁰(ξ);

c) f ·g ist inξdifferenzierbar mit (Produktregel) (f ·g)⁰(ξ) =f⁰(ξ)·g(ξ) +f(ξ)·g⁰(ξ).

d) Ist g(ξ)6= 0, so ist ^f_g ist inξdifferenzierbar mit (Quotientenregel) f

g 0

(ξ) =f⁰(ξ)·g(ξ)−f(ξ)·g⁰(ξ)

g²(ξ) .

[Kurzfassung von (c) und (d):(fg)⁰=f⁰g+fg⁰, (^f_g)⁰=^f⁰^g−fg_g2 ⁰.]

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Satz C.106 (Kettenregel)

Sind f :D→Rinξ∈D und g:f(D)→Rin f(ξ)∈f(D) differenzierbar, so ist h:=g◦f inξdifferenzierbar, und es gilt

h⁰(ξ) = (g◦f)⁰(ξ) =g⁰(f(ξ))·f⁰(ξ).

Bemerkung:

F¨urh=g◦f heißtg die ¨außere,f die innere Funktion.

h⁰ = Ableitung der ¨außeren Funktion an der inneren Stelle mal Ableitung der inneren Funktion.

Kurzfassung:h⁰= (g⁰◦f)·f⁰.

Satz C.107 (Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion)

Sei I⊆Rein Intervall und f :I →f(I)eine umkehrbare stetige Funktion mit der Umkehrfunktionϕ:=f⁻¹:f(I)→I .

Ist f inξ∈I differenzierbar mit f⁰(ξ)6= 0, so istϕinη=f(ξ)∈f(I) differenzierbar, und es gilt

ϕ⁰(η) = 1 f⁰(ϕ(η)). Kurzform:(f⁻¹)⁰=_f0◦f¹⁻¹.