Semiparametric Modeling of Stochastic and Deterministic Trends
and trbactional Stationaritv
Jan Beranl, Yuanhua Fengl, Günter Franke2, Dieter Hess2, and Dirk ocker3 1 Department of Mathematics and Statistics
2 Department of Economics
I-Iniversity of Konstanz, D-78457 Konstanz, Germany
3 Schweizer Verband der Raiffeisenbanken, CH-g001 St.Gallen
-Abstract. The distinction between stationarity, difference stationarity, deterministic trends as well as between short- and long-range dependence has a major impact on statistical conclusions, such as confidence intervals for population quantities or point and interval forecasts. SEMIFAR models introduced by [6] provide a unified approach that allows for simultaneous modelling of and distinction between deterministic trends, difference stationarity and stationarity with short- and long-range dependence. In this paper, recent results on the SEMIFAR models are summarized and their potential usefulness for economic time series analysis is illustrated by analyzing several com- modities, exchange rates, the volatility of stock market indices and some simulated series. Predictions combine stochastic prediction of the random part with functional extrapolation of the deterministic part.
Introduction
Many economic time series exhibit apparent local or global 'trends'. A iarge number of methods for dealing with trends under specifi.c assumptions are de- scribed in the literature (see e.g. standard time series books, such as lt6]; [aZ].
Essentially, models for trends can be classified as either (1) deterministic or (2) stochastic. A deterministic trend is described by a deterministic function g(t), whereas a stochastic trend is generated by a purely stochastic nonstationary process such as random walk, (fractional) Brownian motion or an integrated ARIMA process. As a third possibility, local "spurious" trends can be gener ated by stationary processes with long-range dependence, such as stationary fractional ARIMA models. Statistical inference about population quantities and statistical forecasts are greatly influenced by our decision about the type of the 'trend' generating mechanism. For instance, for a stationary series, forecasts of a conditional expected value converge to the sample mean, withincreasing före- casting horizon, and the width of forecast intervals is asymptotically constant.
In contrast, for difference stationary series, forecasts converge to the last obser- vation and the width of forecast intervals diverges to infinity. Forecasts for time series with a deterministic trend require reliable trend extrapolation which can usually not be trusted beyond a small forecasting horizon. On a finer scaie, the rate at which forecast intervals converge to the asymptotic width (for stationary
First publ. in: Processes with long-range correlations / Govindan Rangarajan (Hrsg.). Berlin: Springer, 2003, pp. 225-250
Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS) URL: http://www.ub.uni-konstanz.de/kops/volltexte/2008/5452/
URN: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:352-opus-54524
äi, är *
F äigäggä1ääääggggg;;ggT5ggäpgäägleF*
i
üä I ä
Ooä;F *+e ö fääää
qtr: oN|J!. '- Bö "X u) o ÄioE i. v X.N. P plt P P:o ö.- d ^-H- FJ a--) Zn- | ä+ + ^(vF' q -: oq ol-- il bH f;N..24. d-qo 5|. JÖ 6 s ^r. I O. CJt N ht"!X': .;=v OR ;]/:_X ^; oo '0 ^H- LÜ'X aFE d4 F' k':.F -Y
ss
7, o t') N)rN) il{s d Ol I P d
\l ,-<|
TI
fl tsl\ Yt,-i "-1| oa ,il ro,l-.l_ IIH -:l rlTI -l vl
ääcfHätäFfiägä'ri$iFäiäf ääEääärää ; Flg€päääcFiäiEä ßä$xäär€g' ääsäE i$$ * *;: f äväÄägsFgrFläFu
r*är+ ääEtäiii 3 atilä$;*äF i n i qääTEö+äE ä: t;=3?E qi g äsäFii:äggiäf [e*flffiäÄ[* = täää䀀ä ä
ä i:g*3äFäi[äläE
Fäääiss i f;äü€ +ä[ * u$äääÄ[€iFF+FäE'ää$git f bägää9ä[ 5 [€äfrä*ÄääHflä€[ä iääH 3äi 3 ä$ru ä$äi $ iä+rlrrfIirä+tä [€ F*;;ä äB€ *ää** ;äflgiä[[ää;gE[ä [HääFää Fääää$ää *ägät$ä+är+ä$F+ H'** 3H e srH Pi E +pr;; *$E + * rä;ä;*, ääfJ F$ää
-10
a oH h, p H o = Q. oo aa Ein oo
ö (n + ä
a o o .e^, p- öD =.@
{ * F:R äo o o
T c fJ =ia Oö o o
ts t- a F:r LE3 Poo ad @o o a
t9 N)
-4'20246810
äääF$ä+äääiEäääää[äää$ääH** ää--äääää[äää[äÄä i äiFääääiFäääFFä$$ä,ä ääFä[ äE äää äää$Färi säääiä $ää*
$ig ä$ ä s äs äsg3$än*: räÄää+ä
g ; gä ; $$F *Fää$iiä[EFä rFF ä$ f F ä F i s' 1ä esFö$t;nfääfä;3äg*äg +LnF ä$ääü ä isä;+es + üEuä [ if ä *iä $[ ää ä3 + iv+ i pe+"\r.u * ÄäFääät*+iärFqää ==, ät
* Ää
ää $$ äs ä ä"s +'^ F+H iää5äät{Fgefl
i s är ä
$r FÄ s ö
l$äEg gggääFräguää ii ä; ä ä *äF äärr*elirl+ä ä* $iF >+ rgä F$iiiÄ$läl*; r; i:"$e @ s Eoägrxx-ätrErg-eaäue $ s. 'P c= C€ s. S $ Eg ;-)HS sV $ $ sF lFj E3 : * e3 rr .F "rö H^ ö a S r%. tr #s '': s ß + t: S sb S b { i lt= r .F.n A A H
*slE t9 \+ ^ + 5*"ll 3 gn ö A _q s
lr lX - p-- l ü P ij's f i- E Rl g s I st < i, +ä i SF-[ Si= ]J F
Ä $ g F b q :x e5 I F.\r s -* \ E q $"== : $i -H ü s r*ä "+, ; e $: t q Y .'i ia= tE ! Re ü d il ; ld *
G S 6 -r s S : th p_ i,SA-*NiSr\jFn 3S.L!-r-r,Äl NA + H A I 3 :F% A | 5 ä H*ä H > ü [
^&X*.u)€i-- S ü $ €? äH B
S.=t E* s H +Js:i 3-* ,qI .-l R .: .T€ H5 = S E ö H
ö ö t ,l^ ^l(alt vl bJ \t01 NIY tsHl \ iv
I p
ts
YYE' G q-:e=' f.f'e .: 8.^*\.äF
\ .. : Ä s o $?fi;;e IS ePH ; q.€püiäE ir i.rH " FIXS+;C- N XXä N
i HH^ i üg ITHAe \ t t * \ ..! ,,,il'",, riri ooS ? tipxBa
', -*-_E. | ä.ar.*.g # P I l.Yy"'|U ;Jl o, U TSI:?8 ;"E"xo. ;
Fi' Pö'F' q' G * H-Ei.B- ä <61 ; - H dEö_" e. i*q o" il * 6 o e.- K-r_ )-\- * Q' fi5.6s'>: äxT: - -d s -qisx
- ^^E l-..-- G F ö F ö 4 3 s F ,1 i )\. E€--6. 6rF x l] s HFfg
-:/ 6.cr*, ; X 5 SilP- X =)-H St p r:- I F.+ro {o" h G ö tgEFä;' a E ? ä'ö-F* x/\ = s d p;&E
+t:_+ts. F-- 1 o.- ä F;EF$* \ I :. [ä.<ä
'!, i I tt s:äl "!.:eP=se F. s ?.äI* G= S ? df-| =. :-e ^ 3 +As'$
Xr 3 I a'l! i,^i' :-H v c) =$r.z8Yx I H ET'J"
l:. F P lr 4-g9 + e,:aF
V - Ps r r { or € ÜP ,3uiöO-li--
I - I N I I -\ n o' H - I --E I a- ooRäb 19 FE * CD9 (D"
;'o VE _O w' X H (D l'lle JN(D lo t:"
o.l-l rl ^l * [.J l i= o"l I * | r..r F+ -l o F l,:- tD li @
t9 tv
v +--l - oo rc-{- ö Fl| o
ii ä is tf A g,E H3ägitsf 3 + äi ER E[ ä ät [[[ä }*ä [ä F i q *t ffi ftr x f{äq*}}s:ää i g säI ääsrrs+3 iTÄ;xäScI';+Fd:
ll oSn*i Äre ä*E i Fs nu *jsä:snftä$[T r 5 isi öcä ä Äi i ii$ii,iäÄät$ ää 5 *t+ $ *ä r sä ,, ? I*+H3gäHäFg $ ä f s:F 3 s l 'gäny'uY'Ijtä*gs3a*.;': ä räe e ä t äs 5 5 FFä$F$il*s; : i, ä$ i J ä$ 5 F äärs6**-ff$$ e e qF ä ' E x ä XEFfl+[trsse bä g 5 i Y äsüF*gää:ag ää i neöF€ uÄÄt*rää$ E Xs I ä I i - "F HHEä;il[f
a o F F{ o ö 7 o o 0q o F-l n b a o H a
<{ { +s >*
^ Ta'lPaP. Eoi-r o ä : eü F-r-8; € IEEE
Y-@ XF; g X.H:g
=F - - H 5 5ts.ä: 3 ä $FEF
.s,P s :' o *<-5'aä s i FEA;
o i ä ; :.ö.--:^g* ^ -\ F. H . : H. EJ .-. O_d + ä -_ 6 FwE-äE ä S +EeI
o'1(D||ötsog]il : H.c-P- *.€ ^"1_ äg_f,ä
:öowtpk^_sE-s + a- F:€
F',=': ). oc äFJEg, E Y ;ßä F= 5 * r 3.äY
E'üö "_ 6 ".;* B tirl 0c€ .: + l F 06 E;J O = Q n EJr ö ä cN 13< ,9 - | 9E q) E t NrrH =lrä H J :'gtr r o. I o ÖFYIUI-Ts!:-ä {Y' äää
+rd il d.N <<K. '-FDo. EF3
,;x5(D!'^@ r E.'' +- A F H.1,E"
J trq: Y'Nr'4 * t J" Cb N)
- I a o H a H oc i +
fr"
ft NJ --lFgä- se rtlF F ä9il4 $ $i"t {{"*E E ;rii ä se,S "*ä h.
seFo ä1{ S--p E'fi3üB' L SSH Sr'.o ä
EFF: "F sRs e: i+ ö{BqB* r, d!: :s":,ii E-813 I Esd ,+ ö q StFr _Y iH$ üi* ö
':'HF' * $SS --'-:k 3 E'1e.ir- J.:'c SS FätrfiE,{> "$Y :$[ ää$B sl* n ** N: I äIFr" ö- ',' $S ;ä F I ^äeq * l', i: p5 S I ;Et3.i ü YS- -Re F$ 3äS* d7 r :s rBs" F äsö[sl' s.r ;Q F sFgH' "T i *: f
E +ä 9. \ : tt S äErrA I I {}e
e,ä?; fi' S ,"9*3EF - F {[ äg*g'F s '.,;
.l'-n F c: cd ^pHSI * R-:. $HHt r G N [.\ ä-iäF 19 s s €-s
n R 6 P ö tr
E gSEg
vAp-fi:H,r I H
öEÄ* P-oä 6 E.oo.ii< X I =Y€^F E I =B X eo d * ^rEsl 9-. F ä f € p-6 u tsg =.
I ^ (e H < o *'5J eD Q. trPV * ä"4^ ä \w 0 iiLvr H 9.X'"',!t ö R ö n.0 u^öölY ;5. E'< ö F"f Ä.ö F F L.P.A-H c--ts-gf.H^ E tr T:T F <g-x- .hPo-F+ F-!Y g ö tD o"'poö ll-F* *6öo-P- Firo l '' H =ä ö H
E:s *ß
'4 E]- fn - PLf c'.h# *-l ö ll Y-=Ä ^ ö-d üs q! p I g.- dR.,BS6rs&r
9)CD SIH
äFääääFääE$Eä [ $igäe $$ä$$ ; i$ i 'äräsäFäggägg,ääläig*g:g
==g.p P hhVHF dä9 <o E. ü = H.+ HY Bö'ry^iP.P €f, ts- x'+ P Y-g s8 < F9P,.8 *'6 U < "- b g.ä' -.D!+ #;(D 5= ä*pP x9vx- *+-(u
(D i.(D >i ö -' 4^ v- -HöÖ (D9 a ofD -B o ^U -.+ +aD^ * + !J-, oÄ P5 F+ oH n'- O^ p-9' tr!! g
? g>+!? .qh-X 9 trAcj+i ri: ggü ' ii Ä. X r" P='u'- -.o l!^ :! o'f".IY+F-E g. tr x'x <g ci< p: !D ^0q'O
u!.- R+-; =P-() H -H @9=+ E @ o-i< catRb HH E ^L-l=PI ?i ^ H R"- N ü 3l H fdq O>90 X d(u*Ha^P +^i..-; n ;-.i. of vr e IDS :D+k <<+x
=^E; <
vr uX cr X' <l g CD:; i'o ts;' t-9 lD Fi --PHHV (9H. ^ \- Pl'-=i: d{eo R PP A'X jv^V x 6'@ P tr o^i.( P tr. 6'b lJ a-O vY+'äräHFHA fHE[iFrFssäÄäFt:;ril il3 g;eä;äH iäÄs,E;r$ää;3äüg*$r ä ,$*iiggi+[ lfi$igä Hä iiäääFF iliä n F ärir$q g[g!rc,* 3 *F f I I ä i { $ s *äilsä gtrlätt g-ggrgg lgÄ*gg i * r äg I'Ü I I
ä g
iFäg ääFl,ä äE* FF' riäi t F'ätfHä [ ä ö5ä5ääi+ äägi + gry*f fs+ä$ g .": e*Äer; ;i$lE 5 d ö.+fäx tr ääi'ää,= gigäE ä spHgr $ a F. irq I eäEä H+ ir*ää äe seiää$ä ;
|ACD N)H I I j ti
"EEt ääFF se :$E fgB-*sF € *E[ H FIH 5iäc/e '!.-=; q*o IE5[:F &rs, g*3F E?s s i.i ität$': S l$$ :. qfii Sl: & is: I rr E o-{ =+SE rr ,t yü- w F+r f*[[ i*E i e A -:l] ägä i .e3f, g HäF ;Iri;rg $ $ sää 5 i' s
tr g S r'# Qs "r* + . F 1 s- ö i.F F SlEr-Y sE'E g RE+ : * 8gi g i frgträä[ *ifäRs Iöüäeli-, -E * äacl s.T *siR S F il i fg!?L-rr ( + B:s -[ E: *e,r{ i { ix; ä9*" s' {s' : : 8-Fi; sH 3gä ? + G*lr T C€'* r rr e ,, TI|J* tEF; :r ülr-s ä iSlJ ] €tE g N1 | p1 i änsüt i; ä$;X; $il,Y.Einäü$g g.i ilEf#l [i t[;TÄ s=läFä*1 reru s! -c st +ä* Y 5 s 'e T igg + ri R 1g' ?$ g+n -: I r ._!+E. -r q i
E t o 5 *€' ä* $ Yo-8 V :=-- iBt ;; rL + ! 5Eä - Ä f; äfr eö _s E gä3 $ x =*t E$. trg * * Eg1 ':- !- eä e+ [3 E $ il$+ s
v.o q x s f .- 1\ E -. .S qää ;) ,- -:rHF.s ä* r.+s e Ä e ä xsg s I 38 * g
" .-'- "-" I.TFEEF:F i gSFT C'I iLEilgEL *EFii ,+{
Pö-H^äR<tr n ägni' L'r4üääü;S e', c-qiH ü Se,tsLe E 6-FF 5
FäE+H..J/ FQäasEr* t PE;F P- a
F.x*,---Pür . .ö69* ö'gts;Bt'<[Y il EPei a i
^ö a: F F - o ; tr d H Hütr=frsE-: 3 äFäg E g*s5-:_e H ;äl.il s
5F';sppNE.ä 1q.äd !.==|'9E-R - rDP-'@ ogäÄ[tr"3tF räFE F SFPEgiü B ruKBE iI 5ä3-rA.+ E HSHE ä ätx"]qsi ä 's-;; j fl;3€EräF gä3 s', gHF;-F!E ü g:+ * FqFä-I1fi +F:; F &+E;*äi 3;E *
H,I (y v ! Af, H P v ts,3ngEYE; :Hä ä
H = F 3e, i'jü E:.P- ö'ä€g."ägE äFa t eöEäsö'^ ;x3 F eE-Fgö1[ e:5 $. A:;g. :ä E5q E aSil.€RE g=a :. F'='ür:R". E'Tf 'ä
@-vY -ü Ä rn (n-x 5xtr -ahr Hg HE'ö F FnF.ii NrgF[ä€ E-.sF E
ll @ ruo N PI oq R+ o I o ll@ ö N :o Oo o EN :.o
o ge o o@ o OQ
0.140.120,10
'.: qts :+ lrl . Hrä x.x Y c/l n :- o' €fi l-+ H';
_*ä ö <
*Fn'Osilcä €' I
-{x g i o , ., pk N PSpE ö; ü X - i i* ö '- 99ü 9< - Fr-.IR f3ä."; € s
,9oEq_o X d * EYO d d J;'QilvN ll
r. + O tsö-Fi 6.9"a ns FD .i }rF "ä re(o PvO F^' oIs? E.?ü t-it,i 9F € ö öFa^o < E.< I r.-.9.* ä 6 :ir^ i Eßo ^x ll. g= =ö:: ö rX Fo il-iHv.: G ä93P: - U. L ä \o(< xf* I fliö X o 5a8vt @
3.0 3.5 4.0 4.5 5,0 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9
E.nEää E5äT;: *1a E tsFE +JE*eI s ä S rp F Fia;etg 3F Fä 3i3ä"ä :- EäE H ET.E Ig qEA'ä g F B
:,äBeE_f.E'IH-'-;i.p gP F F g H ' s ä'H äE x ä ' ö E tr-a"E gäEIä ä E F s *ästssraF:ä+.+F r H fi ä E 3 " FF ä * g g g F d *$EEf 3+FqeHEa
g r,9.@<fi PH-*Pijäoa äp,srü iEgIFäft ; :$3r: täääF$f3 3 3F:ä1 FJüE.-Fesö ü sflf;i:"# &:+Fi;F+ s f$E^H $,EtiCCä: s äs&üi iääFts3* F aF.?äF SFSö18frh =?plq s{gH3+ßfi
6 ä F I g 3 e" E ttrgH;s *Ä ä e $15 s ä;g g BSFiä lsr3+sHg
änFRT3 EE.Fö F.i.H,nr6 Ä F"ä'E 18 E FüE iä <;Hb=ü. *F3ts,e1;3 E--EFäF :ßFFsü(sg
äEH_ä; nöäuoxI.+IF-F9ä FXFFFä5.il
X o d
o
U o o a
oo (o -.1 F-{@ @(c CN o
\P {-- {- .c!.5;
\g :F
n;-,
:N rF - Ä _t) |Fg. CJI \q I o i-' <H
q 0q o tr o
gg gg*g
[ggäät I + ägäägä r ä [ä,ä ä'gä'$
ä ä f*ääu
' t- $ä*äää$i*äääiF*Eää+ä [äF äE$äF$äääi [eF5äF äa[ägägääg*äiFgäääi ä[g [53Fi*€rln *s+€*ä Eeril$FäE$ääääf[äätF
a H E r P o o p o H oq F-l + o a P 4 a K Nchl.res 0.01 xeu_res 0.0 0.01
cocoa.res -0.1 0.0 0.1 copper.res ,0.02 0,02-0.06
l! N 9o Ptö-- 8# o 5[ 6'N TJ, Eo'" äE o3^ öa ^z' ö.9 äN
ä[flri[+äää$ähä[ä5 äm +E; [gäärä;ä$ä"1FE .[ -e $iFsä6;*qää3i €."*ä F na F E ? * e 5u = igä*F f;;; ägä;ilg*ä:Fe.$*;Ea F*ä ägäärsE $tä*ä rää rä5 iää*äiqäggXF ää,i g trAHs"ilfF;äF1 Fär F ä6fi33sq:E;ä3 ää3 f gEEH$sä[3F+fl '.fä g a-+H&S;EB**HF *94 t qäärqi,fiEpsäF €äs ä_p EäFlE"F*lä+lt 9EI rää fi:ssr31qe3;r-ü cnä gEg i+3ss3sqsä:ä Fgt Epä F$€ääg$s*xsr ääs. ; E äf+FFs$ä+*;ä 3ää ;,
0,0 0,2 0,4 0.0 0.6 1,0p N0.0 0.2 0.4 0.6 0,8 1.00.0 0,2 04 0.6 0,8 1.0 yPREotCT[1rkj 7.30 7.35 7,40 7_4s 7.50
o.o 0.. iit o.u 0., ,.0 F--t*----'--1 1
f-- l
ll,l l.f I l.1. I liJ: I lilil lrl i I lli I
o.o 0., llt o., 0., ,.01F-l [j I l'fil liF I lrl'l l'_|, I lil' I
lt l--i- |at F0c dia
x>
+v LE E@Fl d rc+-t r' Y- H i Iö aq B Ao d o+ s c dra 6 IL-JN o? crH 9,8 oF) oä X bD^ prc PF@ +p E eil+\ oÄxo @;mtr bi"+ ö 2. +o- s - EJ 9r 4 .Eb^i PU n. 5 o
- cd o f.6 o+ o^. P o @
"lF -l "ll_--l "
" l,F I l.t I E'1, 1: | "ll | ö e$ l, F I q€ l, I | ,"i eä" |E | ää'. l,f I iä" üä 'l[ lt* ']1 ltä ' -.1. F. | .].1, I dB
,o,o,ot 1o o'u o't t'l , o;o,ot o'o o:u o,t tl .1ili-Ji|-.1--" l:F I l'[; I
F'"ll-: | "lJ. | .lsä .1.f, lä€ft. lqE 6 :s- ll. | €Fr'], t | flä, ig-'ll. lr; r:r; I Ei-' 3ä-l:l i lEfi '11, l*3B -.ll. | .li fi | "B
lrl: I li li I0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
U) o f. o ?. ]J o o a -o.42 {.3A3,5 4,O 4.5 5.O3,O yPFEDICTh:kl -0.46 -O.3a"O.42
.o,42 ,O.3A -O.3a
ö lthi FY ': ü di0q iPC,I -o q ü.< H =o< *@ ä R9S Ex,p= * b'x ,ts' #9ü Lo oX€ ti
HOt.+ XHTY p5
F a
Fl!lx.E iQra. ö H.:i-
i+ä6 üüP Püc, "t
gt! E'H ? *o =
86.ts
di o-d !dw --0qx EOEID --)ao oiiF"r
= x-
g:.ltD F 'A*= -CJr 6 ä' *lD Äi \q <?-
a o R ! H o q o o 0c H o a r o a le oH ia
1 P 6 ll ö : p
ll ö ^ E- ö
11 ö ^ T ös l! ^. 3p
yPFEDtCTtI:kl 3.5 4.O 4,5
yPREDICTII:kl -o.ß -o.42 ,0.@ f! ä-- o ö N)
+Hae'grx ä' r gäägggäägägägläeeäFäärägEgIäEIFB ; : =a"*iI+i e
,Ä ä'
gä g f [Filäää*ääääläääää[ää[Fä[FääIgiää ä ry}äF'$ r gufägä[ilgä[Fää5ä6[ä$$gg$ääälääärÄrrrärF ääää*äääägää+eeleä+a*[ääeiägäääfilgä$ ü1$*u*iäääägääägääääääl'läggärärc sä e i
index ACF 30003.02.50.50.0 0.2 0.4 0.6DAXV$index 1.0 1.5 2.00.8 1.0
&*
Oa dy' <9. gX ilA a_H +f- | (t) s c/o IO -M:i mo o* ö- Q- ;.v0q o' ^O p- O@ o+l PB +o ^o) qu 0c*@H JOCN oH p P F o B K o o- o H 0q o F.l o o-h H o- E o oH g a + + H q N
TO o< 3.01.0ACF 0.2 0.4 0.6
FTSFv$index 't.5 2.0 2.50.5'1.00.8
CN O6u " llq ;ä{'o x8s (Az o x
l@ o o6 a q 6ro
öa
3 rr ,Eri -l:# o cn ;7 m o^P @6 ='j O-sN o Xl! o
t9 lF o) tü oE o lD
EeFf.xE p EäF FäErä; EE }Hi PgfimFfi *F €Ed äs?ääö Bjs F=* FEiäg 3 tr ää il Sxä:6H qc*- 3e =äEgSä x.,l F+ Ail**a.fr ä9 äs :X3s;fi äF es j;äFBF# i: Hf .FSq+[E äE 6E
CI.ÄE'FBt-g 6eo q9ä$$F*ä ä; siE* sE-*;+b..a l; ;ö:' gäBoFä ög tf E*++Se H ä:
'(D:tA b tr \3:.6.' $, Fr gFE ä.r, =. { e-.sF:E.A#F ä 3I ä$$aIf E- ;;" ;E{,HHo^ g äF
o =g E'3 x g 00 --wq är"H x. E ö+*ää*= ä f,g
SD ü'll +' I. X.j. -! äds-,HEg 6 H'r -- l ii-) p o* * W iD ä* H.co1\, ö \9!i H g ?'cj b' 38Ag a pHv/i. F Hs ö
ö!'o\34poÄ + 93 g" ;+ ."<OoOüäs g
+ !x ^ eD :T'tr s x -!x*6 ad= .:oo H e, ts ll ": ** o il oP^ ij SP E.u tn = t- LJ t, H + o9 @^r-P nE+ ;1.ai
rt 3 *VY ä o<o' g. *!1 tr oÄptH q F.h O+EE.L ö +|J a vY-!:l I 6 SD-. ir. " Fö 9 <'j+0- F Fr-Y'o 4 af,xa' FEg <
h@a r
"rj+0c h' Ä<v'N) ;OH'A oPF{
ä[=Ff*+gHf,s + t ä+E i;*ää$#äE ääs"FH IrflE;ä I ä"F;ä ääääfiäfi ; äi+ r;äg*trää E rr+*är! +ä[FE $$r 4$qqFs;r i !r[,ägiär[yFä ;E+ räFäis=ä H 1ä1äöräääänn -T*-s *rää*gr; g rHf[H+gfü:g* n*n räg$äiae i Esi*äg+äätsu Fä$ ä*lxT: rTH H H+täi€äf,äE$ä *ii F+ä+äiär F $äää$äätäää$ iläE äää$rääs ä rrä$räääärir läx ää$!ääEH F sqääHältäEg igä [räFä;r$ !Hägt*€ ä#ää i3E f;iili3.e'e "ä1€$99$;[ä f ä.il 3ääÄ{$ffr äas}EgäEE5u säx i*?+H*r= öläää€*;H*= 3Hg ääiii?-# ; cFH ;eFi$T;:ä äFäE[+äft"*$ä
H F H @ o a € a tlj B E F F o o
rf q @ c)r
xooo c br3 Q
OP q
:-:-:^ oo@ (oo)@ (o(0@ (,o (l) --l Ats-.1 ioöo\ ooo (ooo{ F@ts öoöoä @--1ro öo öo b) @o-{ ooo öo oo b)--f ol O) öoooä OOO öo öo cn t9 t9 (o \ öo c,.
oc
!!J E ti moc0c -** o o-tD a 0q p
rg+F+ä*1r*g+ä+FüfFä : risgEäHfrrisä**;;"s+ w g;täägFaptutxäSsEr ä äFäägf äF$gEgärtHf r i ätEäääs+tEäi*g;'fi Fl I äfl ääÄr[+ääq ää H äE6 f iä[Fiär ääääsäiläE *qH[[ääiä $fliüigiä ; ä i F,; ä,x: E ärE tär;;s* [EääÄäE ägäFää[äEää r ä ä ä E n ä : : 1 € fi i ä g B ; I
ääf igFä*rFFdB F, lrr;
o - a
- [ääEääää [ääääägäääääää ääää ä FäEä äE $ää äääääFä ä äääfiäääEF FääFääFääääF F *F8ä'TFFFFF F $ äg+++F=Eää [ fi rä+qg ää HEä $ c' ä[äüäägää€ * H +fäi.qäf*ä i 3 r ä *FäF
H i
g xä;E$*ä är 3 F*tFi$ä E ä I
Pgq =..H:"r=O'jioc a-E +öE H g SE E F eisäFi,Etj 3. FäE ga;lag ä päxs q sä:"$ fi äääEäHFäU ä ;Irg;gIFF E
Fffif,äs *i'['ürE ;EsF €F+ $ ;sa ä$gF$FFrää E IF $Ä$ s iils il i1 üig \ =ä g s$ $$g Ä Fä $i*s$[s[$ ääiä$äeäÄ $ t$ *ü- i l€
-qj trd ?G tr cD-/1cia ö L'lO ^
I *e *
LrX lD ö :s p P3. /^X HäY-'p v d H5 F n.a S* 4l öGE K0:
ö 5 carl XP ü.>Et..tr s:T' Gk= f.caP G :' +3. F r^ f0o9l "\,H>r-\ -{ gr.b göE' (oai -r5Q ho aN [.3 c\ d
FA5'R UP<<
;ö: *$:: I v ffir"F;eFFF
F- '" S:; - !! 5 Li >,-:LDB Es<E sb üqr F *äg$E #eF
* F-'ogqB g sL ü " 6J o-ir.qo" 5ip* peä
= ö 9.i I & E. o o @ aG'o =-f Ps3ä$EFrE $* ää q*E
I {. *;.ä' R- 3 *u däaFs X N H."@H a's: Ir-'rE il $E -nlSi :.: g$öFH 8H r$.säü
P'.H=' ^ P( HE JPs n: Eg
=. HF < ;'N i* X U: 9Hö 3t sY
H r- l-}* ö !P FJ -u c! .'; tr- .{ vx ö'
FsP=eNN
: o H ,-ÄHHFwtFSFF
g R F:J *-; E.i.i'F oF 5 tn +0Q O- oc t'i'eo Jet F St?? '-'-- o:"tP ,.4. 9tF'ö p" -< E " ö^ Oc- O S ir\J H' €FEI HO tr R'a' s 0q: ts i:.E H O g '"r p äE' :fiF d"<: X g H *aE pr
i5 cn9- -f o o F*o p <+v+H._ QStD> F!l- €'" =-rJ q9_-;;9HE ss h- 3S€ & =F e*Hr EH
: -9 F $ h ex '-J.$*E s8
O J Q H-iltsE.-E"*
q.^' E.6 *t i X'c''I S.$e i\;^ H S:Y xY :6 üi :?ö SSe ä .!s@ x-ri !? ö Ä J,.v H\OJ JG :a.oo i:-
.\ C!
rSCr\Jts--t 9gOJ\,+t9H tsP o(o @-.IOJ cjt
J. Beran et al.
2I. T. Gasser and H. G. iVluller: 'Kernel estimation of regression functions'. In: Smooth' 'ing Techni,ques for Curue Esti,mati,on, ed. by T. Gasser and M. Rosenblatt, Lecture Notes in Mathematics, (Springer, New York 7979) 757, pp.23-68
22. T. Gasser, A. Kneip, W. Köhler: Journal of the American Statistical Association 8 6 , 6 4 3 ( 1 9 9 1 )
23. C. W. J. Granger: Journal of Econometrics 1,4,227 (1980)
24. C. W. J. Granger andZ. Ding: Journal of Econometrics 73,67 (1996)
25. C. W. J. Granger and R. Joyeux: Journal of Time Series Analysis 1, 15 (1980) 26. P. Hall and J. Hart: Stochastic Processes and Their Applications 36, 339 (1990) 27. F. R. Hampel: 'Data analysis and self-similar processes' . Proceed'ings of the l6th
Session of ISI ( Tokyo, Book 4 1937) pp.235-254
28. E. J. Hannan and B. G. Quinn: Journal of the Royal Statistical Society, series B 41, 190 (1979)
E. Herrmann, T. Gasser, and A. Kneip: Biometrika 79,783 (1992) J. R. M. Hosking: Biometrika 68, 165 (1981)
H. Künsch: Proc. First World Congress of the Bernoulli Society, Tashkent Vol 1,
67 (1e86)
32. S. Q. Ling and W. K. Li: JASA 92, lL84 (1997)
33. C. Y. Liu, and J. He: Journal of Finance 36, 773 (L99L)
34. B. B. Mandelbrot: The Review of Economics and Statistics 53, 225 11977) 35. B. B. MandelLrrot: The fractal geometry of nature (Freeman, New York 1983) 36. D. Ocker: Stationary and nonstationary fractional ARIMA models - model choice,
forecasting, aggregation and intervention. Unpublished PhD thesis, University of Konstanz (1999)
37. M. B. Priestley: Spectral Analgsi,s and Time Series (Academic Press, London 1981) 38. B. K Ray and R. S. Tsay: Biometrika 84,797 (1997)
39. L. C. G. Rogers: Mathematical Finance 7,95 (1997)
40. P. A. Samuelson: Industrial Management Review I/I, 4l (1965) 41. G. Schwarz: Annals of Statistics 6, 461 (1978)
