= 2000

(1)

Folgen und Reihen Seite 55, Aufgabe 2

L¨ osung

Wir starten mit 2000 [Euro] im ersten Jahr, das wird dann verzinst und wir geben auch noch 2000 dazu.

Also w¨ are das Haben nach einem Jahr s

₁

= 2000 · 1.04 + 2000. Und dieser Betrag w¨ urde im n¨ achsten Jahr wieder um 4% erh¨ oht und wieder um 2000 aufgestockt.

Also s

2

= s

1

· 1.04 + 2000 = (2000 · 1.04 + 2000) · 1.04 + 2000.

Ich hoffe, Ihr erkennt die Regelm¨ aßigkeit; es entsteht eine Geometrische Reihe, denn jedes Jahr kommt ein neuer 2000er dazu und die anderen werden mit 1.04 durchmultipliziert. Es r¨ ucken sozusagen die 2000er auf in der Hierarchie

” mit Faktor 1.04 multipliziert“.

Allgemein gilt s

_n

= s

n−1

· 1.04 + 2000 oder eben

s

_n

=

n

X

k=0

2000(1.04)

^k

n

X

k=0

(1.04)

^k

Das ist diesmal keine konvergente Reihe, denn 1.04 > 1, d.h. man kann betr¨ achtliche S¨ ummchen sammeln.

Mit q = 1.04 = (1.00 + 0.04) k¨ onnen wir auf sofort auf einen beliebigen Prozentsatz umschalten, denn wir m¨ ussen nur die 0.04 durch den passenden Zinsatz ersetzen.

Auch ist die Einzahlung von 2000 irgendwie willk¨ urlich, genausogut k¨ onnten es 100 oder sonstwas sein. Die Zahl vor der Summe in unserem letzten Schritt ist ja gerade 2000, was - ersetzt durch ein beliebiges Startkapital - sofort die Aufgabe verallgemeinert wie es in (b) erw¨ unscht ist.

= 2000 · 1.04 + 2000. Und dieser Betrag w¨ urde im n¨ achsten Jahr wieder um 4% erh¨ oht und wieder um 2000 aufgestockt.

Folgen und Reihen Seite 55, Aufgabe 2

L¨ osung

Wir starten mit 2000 [Euro] im ersten Jahr, das wird dann verzinst und wir geben auch noch 2000 dazu.

Also w¨ are das Haben nach einem Jahr s

= 2000 · 1.04 + 2000. Und dieser Betrag w¨ urde im n¨ achsten Jahr wieder um 4% erh¨ oht und wieder um 2000 aufgestockt.

Also s

= s

· 1.04 + 2000 = (2000 · 1.04 + 2000) · 1.04 + 2000.

Ich hoffe, Ihr erkennt die Regelm¨ aßigkeit; es entsteht eine Geometrische Reihe, denn jedes Jahr kommt ein neuer 2000er dazu und die anderen werden mit 1.04 durchmultipliziert. Es r¨ ucken sozusagen die 2000er auf in der Hierarchie

” mit Faktor 1.04 multipliziert“.

Allgemein gilt s

= s

· 1.04 + 2000 oder eben

s

=

X

2000(1.04)

= 2000

X

(1.04)

Das ist diesmal keine konvergente Reihe, denn 1.04 > 1, d.h. man kann betr¨ achtliche S¨ ummchen sammeln.

Mit q = 1.04 = (1.00 + 0.04) k¨ onnen wir auf sofort auf einen beliebigen Prozentsatz umschalten, denn wir m¨ ussen nur die 0.04 durch den passenden Zinsatz ersetzen.

Auch ist die Einzahlung von 2000 irgendwie willk¨ urlich, genausogut k¨ onnten es 100 oder sonstwas sein. Die Zahl vor der Summe in unserem letzten Schritt ist ja gerade 2000, was - ersetzt durch ein beliebiges Startkapital - sofort die Aufgabe verallgemeinert wie es in (b) erw¨ unscht ist.

Viel Erfolg in der Klausur!

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