Name: Gruppe:
MA9202 Mathematik für Physiker 2 (Analysis 1), Prof. Dr. M. Wolf Probeklausur, 17.12.2019, 14:15-15:45
Hilfsmittel: ein selbsterstelltes DIN-A4 Blatt.
BeiMultiple-Choice-Aufgabensind keine, eine oder mehrere, in jedem Fall jedochgenaudie zutreffenden Aussagen, anzukreuzen.
Bei Aufgaben mit Kästen werden nur die Resultatein diesen Kästenberücksichtigt.
Frei zu bearbeitende Aufgaben(-teile) lösen Sie bitte auf dem bereitgestellten karierten Bearbeitungsbogen und kennzeichnen diese deutlich.
Zur Abgabe legen Sie bitte die Angabe in den Bearbeitungsbogen und schreiben auf diesen oben deutlich Namen und Ihre Präsenzgruppe.
Viel Erfolg!
1. Wahr oder falsch? [10 Punkte]
Entscheiden Sie jeweils mit kurzer Begründung ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
(a) Ist die Funktion f : (0,1)→Rstetig, so ist f beschränkt.
(b) Die Funktion f : [−1,1]→R,f(x) = e−cos(4x2) nimmt ihr Minimum auf[0,1]an.
(c) Sei (an)n∈N eine Folge mit an ∈ R\ {0} und an+1a
n
< 1 für alle n ∈ N. Dann ist
∞
P
n=1
(−1)nan
konvergent.
(d) Der Grenzwert lim
x→1 x−1
lnx existiert.
2. Vollständige Induktion [8 Punkte]
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion nach n, dass für allem, n∈Ngilt:
n
X
k=1
km≤nm+1.
3. Komplexe Zahlen [6 Punkte]
(a) Geben Sie (in kartesischer Form) eine komplexe Zahlz0 an, die mit2 + imultipliziert7−4iergibt.
z0 =
(b) Geben Sie explizit die Menge aller komplexen Zahlenz∈Can, für diez3 = igilt (in Polarform).
{z∈C|z3 = i}=
4. Grenzwerte von Folgen [8 Punkte]
Seien(an)n∈N und (bn)n∈N reelle Zahlenfolgen.
(a) Wie lautet die Definition, dafür, dass(an)gegen a∈Rkonvergiert?
(b) Wie lautet die Definition, dafür, dass(bn) uneigentlich gegen−∞ konvergiert?
(c) Zeigen Sie mit Hilfe der Definitionen in (a) und (b), dass (an+bn)n∈N uneigentlich gegen −∞
konvergiert.
5. Konvergenz von Folgen und Reihen [7 Punkte]
(a) Welchen Grenzwert besitzt die Folge √
n2+n−n
n∈N
?
− ∞ −12 0 12 1 ∞ existiert nicht
(b) Welchen Wert besitzt die Reihe
∞
X
n=0
(−1)n−2n 3n+1 ?
−3
4 −1
2 0 3
5 2
3 9
10 ∞ undefiniert
(c) Wo liegt der Grenzwert der Reihe
∞
X
n=0
(−n)−n?
bei − ∞ in(−∞,0) bei0 in(0,∞) bei +∞ undefiniert
6. Stetige Funktionen [6 Punkte]
(a) Zeigen Sie: Jede stetige Funktionf : [0,1]→[0,1]besitzt einen Fixpunkt, d.h. es gibt einx∈[0,1]
mit f(x) =x.Hinweis:Betrachten Sie die Funktion g(x) =f(x)−x.
(b) Geben Sie explizit eine Funktion g: [0,1]→[0,1]an, diekeinen Fixpunkt besitzt.
7. Zweite Ableitung der Umkehrfunktion [9 Punkte]
Sei die Funktion f : R → R zweimal differenzierbar mit f0(x) > 0 für alle x ∈ R und bezeichne g:f(R)→Rdie Umkehrfunktion vonf. Zeigen Sie, dass gzweimal differenzierbar ist und berechnen Sieg00 :f(R)→R. Geben Sie g00(1)an, wennf(0) = 1,f0(0) = 2und f00(0) = 3ist.
8. Extremwertbestimmung [8 Punkte]
Gegeben istf : [−3,3]→R,f(x) = (8−x2)(x−1)3. (a) Warum gibt esxu, xo ∈[−3,3], so dassf(xu) = min
x∈[−3,3]f(x) undf(xo) = max
x∈[−3,3]f(x)?
(b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Ableitung vonf. (c) Bestimmen Sie nunxu undxo wie in (a).
