Def : AE Matm×n Clk ) ist ice ZSF

LINEA RE ALGEBRA ^l _VOR

LE song 15 4. Tanveer ²⁰²¹

Def ^: AE Matm×n ^{Clk ) ist ice ZSF}

^F Eto ,

, my ^← Anzali ^{der Steefeee & S2 Sr}

^{. Sr}

⇐ ^en ai

^{o ti > r}

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( ^ZSFZ ) air ^{= O} H ^{i - l} ,

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1 ,

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( ^RZSFZ ) aes _, ^{= O , t i - List , Y l si}

^{c e :} o

c

O ^O O _o :

Satz ^{Sei AE} Matin . n CK )

r

Esexistiert eine Zeileuuueformuug ^{V : Natwick ) → Matina CK ) , sodas} VCA ^{) in} redvzierter Zeileustvfeeefovm ^ist

( ²

^Die Zeileuuueformuug ^{aus Poulett ist} eiudeutig ^.

Man kaun also ^Ober die reduzierte Zeileustufeeeforvu ^{vow A Sprecher :}

RZFCA ) ^{: -} NA ⁾ .

Berries ^{: t}

^{Der -} Gvaupsche Algorithms

Sei AE Matm×nGk ^{) belie} big

Method

: lnduktiou nach _m ⁼ die Anzali ^{der Zeiten}

M€7 ^{Dann ist A Schou in ZSF : Wenn A - O , dance r - O}

wenn RZSFzeebekommeuiSetzeeeXE@es.I A -10 _, dawn

^I _:# El _, ^Elk g- miulj ^{, und} lay

^{former to }}

^{Wei Une eine Ai -} _tf

, ,

,

CA )

M-I mI ^{Wenn A ⇐ O} , dawn A ist in ZSF mit ^{r =} O

Wen=A¥0 ^{I ij mit} aij ^{# O}

mitaij ^{* of}

^{→ die erste spake}

miteiueeu

.

Setzeee ^s , ⁱ

= mind j ^{i Field .}

^{im 's nicht}

^null Eiutuag

=

. Wcihleee ⁱ in ^{Ell .}

^{, m ) Mit airs , * o}

.

Tauscher ^die Zeiten ^{l und ie : A} %→ _, ^{CA )}

-

Define ^{even t i}

² ,

^, m Xi ^{: ⇐}

Inis ⁼

^{Cars . 5 ! ais , Elk}

^{Kor per}

.

For ^{men um}

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, .CA ⁾

O ^O

^Ol _s ^{l •}

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,

l l

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' i :

A- ⁼ i

.

Am , EMafm.nxn.dk ⁾

/ l

.

I 1 !

O ^{O O}

.

Aus der iuduktiveu Voraussetzuug ^{kaun wean Am , in RZSF bniugeu :}

F V ! Mathilda

s.lk ^{) >} Matin

^ixcn

s.lk ⁾

sodan TEAM

^{. ) in RZSF ist}

o

Mau Kaun Y ^{' ouch als} Zeileuuueformuug ^{vow A betoachteu :}

TEAM

^{. ) = U ! Am , runs TCA ) - U}

^A

wobei u

)

* _O : •

S , S2 S3 ^Sr

MRA ⁾ auf ^{RZSF zu} bviugeu ^{former wir noch @}

^{t )}

^{Mal umi}

Hj ^{-2 ,}

^{, r , setzeee wir} Xj ^-

aesj ^{und Ai -} ↳ ₊

g. j (A)

D1

2

Seieu My ^und Je Zeileuuuefovmuugeuuou ^{A , sodas}

B ^{: =} WA ^{) und C : -- KCA ) in RZSF Sind .}

Ziel ^{: B - C E} Matm×n ^{Clk ) .}

Method ^{: lnduktion nach n = Auzaklvou} Spatter

M€7 ^{: A - o =-D Dame Sind alle} Uueformuugeuaeede ^O

A- ^{* O} Die eiuzige Spalteumateix ^{in RZSF ist}

e

.

✓ ^{A - CA ' ta} )

, B ( ^{B '} lb ^{) . C}

^{- Cole) .}

B ^' und ^{C ' sired in} RZSF oud ^beide Sind durch _ZU

"

von A ^' erlealleee

B ^{' -} C

'

.

-

Es blast ^{also nor I -} E zu zeigler

Bekaeeptuugl-i-2eilenuuefo.mu ^{agar cinder u} Losuugsmeeegeu

( ^{von liueareu} Gleideuugssysteueeu ^violet

^{Ckordlar 220 , VL}

^{13 )}

=

Also LEKA ^{LCA 107=14310 )}

taek ^" / ^{A. '} a' ⁼ _Of ^{= { A elk " I BE - of}

Beeheaeepteeeeg ^{⇐ Wenn Mimi ) E Matmxu Gk ) in RIEF ist mit}

r Stefan ^{: sac}

^{c Sr s n , damn} gilt ⁱ

← =/ ,

ELCHO ) _haben da ^{- o Sr - n}

BeBecheeptueegZ ^{: Wenn Sr s n , Sei Ott Elk}

( ^{Q O}

-

Ms

, n

-

t sa

|¥i ^{Zettel # in Mi fiorin} O ^{÷ t (}

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^{Sr O : "}

^{" Mgm n ° )}

^{man 't + time :O}

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It ₎

-

AE LCBIO ) ^{- LCCIO ) , also BE}

^C

^a

^O

CB

^{C )}

^{E - o}

Weil _D= ( ^{B ' lb} ) ^{und C}

^{Cc ' le} ) ^{mit BEC ' B}

^{c -} ( ^Otb

^e )

-

Wir nehmeu ^au , dan b ^- Clan

bmu ) Tef ^Gen

^{Cmn T - E}

F ⁱ Eft ,

. m ) wit bine ^Cin ( ^bin

^{Cin )}

^{an = O an - o}

-

o* ^{the Halo} )

Sow old B als ouch Cleabeee ^eine Stufe ^{in der letzte Spack}

E ^{= E}

, ^{r , wobei rt}

^{Auzoleluou Stu feer in BEC ' DEB}

Satz ^{: Sei ( Alk) C-} Matm*+ _, ^{CK ) die erweiterte Matrix eines LGS}

Sei ( Rtd ^{) - RZCAII} )

,

wobei RE Matm×nCK ^{) . mit} _rang ^{R - r .}

und d- ^⇐ ( ^da

^{dr da , O}

^o )TEMatm× ^{, Clk )}

^Dame gilt ^.

¢ ₂

^{Naib ) * 0 ⇐ dra - o ⇐} raiegr-grcanjq.cl?sg.d?ajw

.

Wenn HAIG )*¢ ^{, damn I} § ^{: IK "}

"

Dewees

"

I % ^dm

^{. - o} _rang ^{R -} rang ^{CRIA )}

E

"

t

dr.to ^, weil Crldsiurzsfist

D _{da ,} ^- 1 _, oud raney ^{( Rtd )}

^rtl

< Es gift ^aus korollar2.co Cults ) ^{: Lfatb )}

LCR lot )

.

Die

^te Gleichuug ^{in RI - d ist o - da .}

^Also

die , # O flats ^{) -0}

drei ^{- O a --} Cgi ^{) Elk}

"

mit g. =/ _dj ^{0 I , tctfsnrr} jesse ^.

^{. . Sr Sr } )}

2

For ich ,

. r } ^{ist die i}

^te Gbideuug ^{in R}

^{I - d- i}

7. ^{t risen Nsiti t}

^{t rin Mu = di}

⇐ Rsi ⁼ di

(¥g+ ^{, rising ) Fife . ( n ' ) , n'} _j ^{# - Cnj} see ⁾ Hk

j ^{# see}

.

¢ ^{: 11k " " → LCALB ) i. , wenn si Cjc site}

Ctu

.tn , )i→ @ , ) _Elk ^h

^a. _t.gctn.tw =/ ^{ti '} ) _, j ^{⇐ See}

y ^{' k}

-

Bijektiv ^{, weil inverter bar . § ! Naib ) → * "}

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z ^1-3 ( Aj )j- ^{see ith}

D

re , s _. ^- 2,8=5 _, ^{n - 7} dd _:

)

IK

" ^-

I 1kt → SCALI )

0

( ^t . .

, -4-71-3 ( ^{te ,} _felt ^{. .}

^{.to ) , ta , too , Secta .}

^{.to ) , tu .tt} )

11 11 11 4

⑥ ^{, de} , 23,4 , ht s Asia )

#

Satz3 ^{AE Matu Gk ) ist inverter bar} _rang ^{A - n}

-

Beweisi ^{. Renata Ck ) , R ist in RZSF wit n} stolen

1€95 ^Sec

^C Suen ^{si - i ti - t ,}

^,n

R ^- In

. A. ^BE Gluck ) ^A

^{BE Gluck} ) ( ^CA

^{BI - B}

^{! A "} )

A ^- inverter bar ^U

^{A =} RZCA ) ^- inverter ^beer

wenn rang ^{Acn RZCA ) -} fo

g) ^{RECA ) nicht inverter bar}

µ,n±± ^, go.a.no#..z,a ,±±

.

Satta ^{. Wenn AE Gluck ) , damn} gilt

L ^{RZ CA III ) = ( Iu IA}

^{' ) .}

C- Math _×zuGk ^{) = I}

Bewee

^{Aus Satz 3 rang . A - n}

FUE Gluck ^{) s.d.UA}

^{RZCA) - Iu ,}

¥

^{: in ' in . lay}

= RZ ( ^{A IIe )}

^is