2. Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden reellen Funktionen (ohne GTR).

Reelle Funktionen

Tutorien Höhere Mathematik I, WS 2012/13

1. Man bilde zu folgenden reellen Funktionen die Umkehrfunktion und zeichne die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion (ohne GTR) jeweils in ein und dasselbe Diagramm.

(a) f (x) = 1 + ln x, (b) f (x) = ^x+1 _x−1 .

2. Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden reellen Funktionen (ohne GTR).

(a) f (x) = x + |x|, (b) f (x) = _(x−1) ¹

,

(c) f (x) = _x

¹ −1 ,

(d) f (x) = sin ^x _n (n = 1, 2, 3), (e) f (x) = 2 cos nx (n = 1, 2, 3), (f) f (x) = ln |x|.

3. Wie ändert sich das Schaubild einer Funktion f : R → R , x 7→ f (x) beim Übergang zu (a) x 7→ f(kx),

(b) x 7→ kf (x)?

Unterscheiden Sie dabei die Fälle k > 0 und k < 0.

4. Sind folgende Funktionen gerade bzw. ungerade?

(a) f (x) = e ^−x , (b) f (x) = x ⁵ + 7x,

(c) f (x) = x sin x, (d) f (x) = x(e ^x + e ^−x ),

(e) f (x) = ^e

1x

−1 e

+1 .

5. Zeigen Sie, dass für gerade Funktionen f, g : R → R auch alle Funktionen vom Typ f + λg mit λ ∈ R wieder gerade sind. Was lässt sich damit über die Summe und Differenz von f und g sagen?

6. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der folgenden reellen Funktionen und geben Sie jeweils den Wertebereich an. Sind die angegebenen Funktionen beschränkt?

(a) f (x) = _x ^a (a 6= 0), (b) f (x) = _x

−6x+10 ¹ ,

(c) f (x) = arctan

2x

+3x+1 x

, x > 0.

7. Sind die angegebenen reellen Funktionen periodisch? Geben Sie, falls möglich, die primitive Periode an.

(a) f (x) = cos(2 − πx), (b) f (x) = −e ^{cos 4x} ,

(c) f (x) = ln(2 sin ² x + 1), (d) f (x) = ^sin _cosh ^x+cos _x ^x ,

(e) f (x) = cos ² 3x + 1.

8. Gegeben ist die Funktion f : R → R , f (x) =

( x

−2x+1

x

−1 , für |x| 6= 1;

0, für |x| = 1.

Berechnen Sie, sofern existent, die Grenzwerte

x→1+ lim f (x), lim

x→1− f(x), lim

x→1 f (x), lim

x→−1+ f (x), lim

x→−1− f (x), lim

x→−1 f (x).

Was lässt sich damit über die Stetigkeit von f sagen?

9. In welchen Punkten sind folgende Funktionen stetig? Untersuchen Sie insbesondere die Grenzwerte für x → 0 und x → 1 und skizzieren Sie auch die zugehörigen Graphen.

(a) f (x) = √

x, für 0 ≤ x ≤ 1;

x, für x > 1. , (b) f (x) =







0, für x ≤ 0;

x, für 0 < x ≤ 1;

1, für x > 1.

,

(c) f (x) =







0, für x ≤ 0;

1

4 x, für 0 < x ≤ 1;

1, für x > 1.

,

(d) f (x) =







0, für x ≤ 0;

1

2 , für 0 < x ≤ 1;

1, für x > 1.

.

10. Wie müssen die Konstanten α, β ∈ R gewählt werden, damit f : R → R ,

f (x) =







−2 sin x, für x ≤ − ^π ₂ ; α sin x + β, für |x| < ^π ₂ ; cos x, für x ≥ ^π ₂ . überall stetig ist.

11. (a) Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ R gilt:

max(a, b) = a + b

2 + |a − b|

2 und min(a, b) = a + b

2 − |a − b|

2 .

(b) Seien g, h : D → R stetig in x 0 ∈ D. Warum sind dann auch die (punktweise definier-

ten) Funktionen f ₁ = max(g, h) und f ₂ = min(g, h) stetig in x ₀ ?