4.2.SatzvonBeppoLevi 4.1.Hilfssatz 2.4Grenzwerts¨atze

2.4 Grenzwerts¨ atze

Zur Einf¨ uhrung Konvergiert eine Folge von stetigen Funktionen f

: [a, b] → R gleichm¨ aßig gegen eine (dann ebenfalls) stetige Funktion f : [a, b] → R , so ist

n→∞

lim Z

a

f

(t) dt = Z

a

f (t) dt.

Das wurde im 1. Semester gezeigt. In der Lebesgue-Theorie erhalten wir sehr viel weiter gehende Grenzwerts¨ atze.

Bis jetzt waren unsere integrierbaren Funktionen immer reellwertig. K¨ unftig wol- len wir aber auch eine Funktion f : R

→ R , die fast ¨ uberall mit einer in- tegrierbaren Funktion g ubereinstimmt, ¨ integrierbar nennen. Wir setzen dann R f dµ

:= R

g dµ

. Es ist klar, dass f in diesem Fall h¨ ochstens auf einer Nullmen- ge die Werte ±∞ annehmen kann.

4.1. Hilfssatz

Ist f ∈ L

und ε > 0, so gibt es Funktionen f

, f

∈ L

, so dass gilt:

1. f = f

− f

.

2. f

≥ 0 und I(f

) < ε.

Ist f ≥ 0, so kann auch f

≥ 0 gew¨ ahlt werden.

Beweis: Es gibt Funktionen g, h ∈ L

, so dass f = g − h ist. Wir w¨ ahlen eine monoton wachsende Folge (h

) von Treppenfunktionen, die fast ¨ uberall gegen h konvergiert, so dass auch die Integrale I(h

) gegen I(h) konvergieren.

Die Funktionen g − h

und h − h

geh¨ oren wieder zu L

, außerdem ist h − h

≥ 0.

Zu dem vorgegebenen ε gibt es ein ν

, so dass I(h − h

) < ε ist. Dann setzen wir einfach f

:= g − h

und f

:= h − h

. Offensichtlich ist f

− f

= g − h = f . Ist f ≥ 0, so ist auch f

= f + f

≥ 0.

4.2. Satz von Beppo Levi

Gegeben sei eine Folge (f

) von nicht-negativen Funktionen aus L

. Konvergiert die Reihe der Integrale

∞

X

ν=1

Z

f

dµ

, so konvergiert die Funktionenreihe

∞

X

ν=1

f

fast ¨ uberall (punktweise) gegen eine Funktion f ∈ L

, und es gilt:

Z

f dµ

=

∞

X

ν=1

Z

f

dµ

.

Beweis: F¨ ur alle ν gibt es nach dem Hilfssatz Funktionen g

, h

∈ L

, so dass gilt:

g

, h

≥ 0, f

= g

− h

und I(h

) < 1 2

. Die Funktionen H

:= P

ν=1

h

liegen in L

und bilden eine monoton wachsende Folge. Außerdem ist

I(H

) <

m

X

ν=1

1 2

<

∞

X

ν=1

1 2

= 1.

Aus den Eigenschaften von L

folgt, dass (H

) fast ¨ uberall gegen eine Funktion H ∈ L

und die Folge der Integrale I(H

) gegen I(H) konvergiert.

F¨ ur die ebenfalls monoton wachsende Folge der Funktionen G

= P

ν=1

g

gilt:

I(G

) = I(H

) + Z

X

ν=1

f

dµ

≤ 1 +

∞

X

ν=1

Z

f

dµ

< ∞.

Also konvergiert (G

) fast ¨ uberall gegen eine Funktion G ∈ L

, und es ist I(G) = lim

I(G

).

Dann liegt f := G − H in L

, und es ist Z

f dµ

= I(G) − I(H), also Z

f dµ

= lim

m→∞

Z

X

ν=1

g

dµ

− lim

m→∞

Z

X

ν=1

h

dµ

= lim

m→∞

m

X

ν=1

Z

f

dµ

=

∞

X

ν=1

Z

f

dµ

.

Fast ¨ uberall konvergiert

m

X

ν=1

f

=

m

X

ν=1

g

−

m

X

ν=1

h

= G

− H

gegen G − H = f .

4.3. Levi’s Satz von der monotonen Konvergenz

Gegeben sei eine Folge (f

) von Funktionen aus L

, die fast ¨ uberall monoton w¨ achst. Ist die Folge der Integrale

Z

f

dµ

nach oben beschr¨ ankt, so konvergiert (f

) fast ¨ uberall gegen eine Funktion f ∈ L

, und es ist

Z

f dµ

= lim

ν→∞

Z

f

dµ

Beweis: Wir verwenden den Satz von Beppo Levi. Dazu sei

g

:= f

und g

:= f

− f

f¨ ur ν ≥ 2.

Dann ist f

= P

ν=1

g

, und weil die Folge (f

) monoton w¨ achst, sind alle g

≥ 0.

Jetzt ist

m

X

ν=1

Z

g

dµ

= Z

X

ν=1

g

dµ

= Z

f

dµ

,

und die rechte Seite bleibt beschr¨ ankt. Nach Beppo Levi konvergiert die Reihe P

ν=1

g

(und damit die Folge (f

)) fast ¨ uberall gegen eine Funktion f ∈ L

. Außerdem ist

Z

f dµ

=

∞

X

ν=1

Z

g

dµ

= lim

m→∞

Z

X

ν=1

g

dµ

= lim

m→∞

Z

f

dµ

.

Bemerkung: Ein analoger Satz gilt f¨ ur monoton fallende Folgen von Funktionen, deren Integrale nach unten beschr¨ ankt sind.

4.4. Beispiel

Sei f

(x) := 1

1 + x

· χ

. Dann sind alle f

integrierbar, und (f

) konver- giert monoton wachsend gegen f (x) := 1/(1 + x

). Außerdem ist

Z

f

dµ

= Z

−n

f

(x) dx = arctan(n) − arctan(−n) = 2 arctan(n) ≤ π.

Nach Levi’s Satz von der monotonen Konvergenz ist f integrierbar und Z

f dµ

= lim

n→∞

Z

f

dµ

= lim

n→∞

2 arctan(n) = π.

4.5. Folgerung aus den Levi’schen S¨ atzen

Ist f ∈ L

und R

|f | dµ

= 0, so ist f = 0 fast ¨ uberall.

Beweis: Die Folge g

:= ν · |f | ist monoton wachsend, alle g

sind integrierbar und die Folge der Integrale

Z

g

dµ

= ν · Z

|f| dµ

= 0

ist beschr¨ ankt. Also konvergiert (g

) fast ¨ uberall gegen eine Funktion g ∈ L

. Die Funktion g kann nur auf einer Nullmenge den Wert +∞ annehmen. Ist aber f (x) 6= 0, so konvergiert ν · |f(x)| gegen +∞. Also gilt f = 0 fast ¨ uberall.

Bemerkung: Wir haben im Beweis nur die Integrierbarkeit von |f | gebraucht.

Die Integrierbarkeit von f ergibt sich hinterher automatisch, da f fast ¨ uberall mit

der integrierbaren Nullfunktion ¨ ubereinstimmt.

Levi’s Satz von der monotonen Konvergenz ist bestechend klar und einfach. Manch- mal kann es allerdings l¨ astig sein, die Monotonie nachzuweisen. Beim st¨ arksten der Konvergenzs¨ atze kann man auf die Monotonie verzichten, muss dann aber die Kon- vergenz der Funktionenfolge fordern.

Definition

Eine Menge F von Funktionen f : R

→ R heißt nach oben (bzw. nach unten) Lebesgue-beschr¨ ankt, falls es eine Funktion g ∈ L

gibt, so dass f¨ ur alle f ∈ F fast ¨ uberall f ≤ g (bzw. f ≥ g) gilt.

F heißt Lebesgue-beschr¨ ankt (kurz: L-beschr¨ ankt), falls F nach oben und nach unten L-beschr¨ ankt ist.

Eine Folge von Funktionen heißt L-beschr¨ ankt, falls die Menge der Folgenglieder L-beschr¨ ankt ist.

4.6. Hilfssatz

Sei (f

) eine nach oben (bzw. nach unten) L-beschr¨ ankte Folge von Funktionen aus L

. Dann liegt auch f := sup f

(bzw. f := inf f

) in L

.

Beweis: Sei g ∈ L

und f

≤ g f¨ ur alle n. Dann ist auch F

:= max(f

, . . . , f

) ∈ L

, f¨ ur alle n.

Die Folge (F

) w¨ achst monoton, und es gilt:

Z

F

dµ

≤ Z

g dµ

< ∞.

Nach dem Satz ¨ uber monotone Konvergenz ist die Grenzfunktion F := lim

n→∞

F

= sup(f

) integrierbar. Der Beweis f¨ ur das Infimum verl¨ auft analog.

4.7. Lebesgue’scher Konvergenzsatz (auch

” Satz von der dominierten Konvergenz“ genannt)

Sei (f

) eine L-beschr¨ ankte Folge von integrierbaren Funktionen, die fast ¨ uberall gegen eine Funktion f konvergiert. Dann ist auch f integrierbar und

Z

f dµ

= lim

ν→∞

Z

f

dµ

.

Beweis: Wir definieren zwei Funktionenfolgen (u

) und (o

) wie folgt:

Sei x ∈ R

. Wenn f

(x) nicht gegen f(x) konvergiert, setzen wir u

(x) = o

(x) :=

0. Wenn dagegen f

(x) gegen f(x) konvergiert, dann setzen wir

u

(x) := inf {f

(x), f

(x), . . .} und o

(x) := sup{f

(x), f

(x), . . .}.

Weil die Funktionen f

integrierbar und L-beschr¨ ankt sind, sind nach dem Hilfs- satz auch u

und o

integrierbar. Außerdem konvergiert (u

) fast ¨ uberall monoton wachsend und (o

) fast ¨ uberall monoton fallend gegen f. F¨ ur alle ν ist u

≤ f ≤ o

(fast ¨ uberall) und daher R

u

dµ

≤ R

u

dµ

≤ R

o

dµ

≤ R

o

dµ

. Aus Levi’s Satz von der monotonen Konvergenz folgt jetzt: f ist integrierbar und

ν→∞

lim Z

u

dµ

= lim

ν→∞

Z

o

dµ

= Z

f dµ

. Weil jeweils R

u

dµ

≤ R

f

dµ

≤ R

o

dµ

ist, konvergiert auch R

f

dµ

gegen R f dµ

.

4.8. Beispiele

A. Sei f eine stetige Funktion auf [a, ∞) und f b die triviale Fortsetzung von f auf R . Wir wollen zeigen: Ist f absolut uneigentlich integrierbar, so ist f b integrierbar und

Z

f dµ b

= Z

a

f(x) dx.

Dazu sei f

:= f b · χ

. Dann konvergiert |f

| monoton wachsend gegen | f|, b und es gilt:

Z

|f

| dµ

= Z

a

|f(x)| dx ≤ Z

a

|f (x)| dx < ∞.

Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist dann | f b | integrierbar.

Die Folge g

:= f · χ

konvergiert punktweise gegen f b und besteht aus in- tegrierbaren Funktionen. Wegen |g

| ≤ | f| b folgt nun mit dem Lebesgue’schen Konvergenzsatz, dass f b integrierbar ist, und es ist

Z

f dµ b

= lim

n→∞

Z

g

dµ

= lim

n→∞

Z

f(x) dx = Z

a

f (x) dx.

B. Obwohl das uneigentliche Integral Z

0

sin x

x dx konvergiert, ist f(x) :=

(sin x)/x nicht ¨ uber [0, ∞) integrierbar, denn es m¨ usste dann ja auch |f (x)|

integrierbar sein. Es ist aber Z

(k−1)π

sin x x

dx ≥ 1 kπ

Z

|sin x| dx = 2 kπ ,

und die harmonische Reihe divergiert. Das ist eine der wenigen Situatio-

nen, in denen das uneigentliche Riemann’sche Integral m¨ achtiger als das

Lebesgue-Integral ist. W¨ ahrend also jede Riemann-integrierbare Funktion

auch Lebesgue-integrierbar ist, trifft dies auf uneigentlich integrierbare Funk-

tionen nicht zu.

Definition

Sei Q ⊂ R

ein Quader. Eine Funktion f : Q → R heißt integrierbar, falls die triviale Fortsetzung von f auf dem R

integrierbar ist.

Bemerkung: Ist f integrierbar, so ist f|

f¨ ur jeden Quader Q integrierbar. Das sieht man folgendermaßen:

Sei f = g − h, mit g, h ∈ L

. Dann gibt es Treppenfunktionen g

und h

, die jeweils monoton wachsend fast ¨ uberall gegen g bzw. h konvergieren. Offensichtlich sind dann auch g

|

und h

|

Treppenfunktionen, die nun monoton wachsend ge- gen g|

bzw. h|

konvergieren (eigentlich sprechen wir immer von den trivialen Fortsetzungen). Damit liegen g|

und h|

in L

, und f|

= g|

− h|

liegt in L

.

4.9. Satz ¨ uber Parameterintegrale

Sei U ⊂ R

offen und f : R

× U → R eine Funktion. F¨ ur jedes u ∈ U sei f

(x) := f(x, u) integrierbar, und F : U → R sei definiert durch

F (u) :=

Z

f(x, u) dµ

(x).

1. Die Funktion u 7→ f (x, u) sei f¨ ur fast alle x in u

∈ U stetig, und es gebe eine integrierbare Funktion h : R

→ R , so dass |f (x, u)| ≤ h(x) fast ¨ uberall auf dem R

gilt. Dann ist F stetig in u

.

2. Die Funktion u 7→ f (x, u) sei f¨ ur jedes feste x auf U nach der Variablen u

partiell differenzierbar, und es gebe eine integrierbare Funktion h : R

→ R , so dass stets |f

(x, u)| ≤ h(x) ist. Dann ist auch F partiell differenzierbar nach u

, und es gilt:

F

(u) = Z

f

(x, u) dµ

(x).

Beweis: 1) Wir betrachten eine Folge (u

), die gegen u

konvergiert, und setzen f

(x) := f(x, u

). Dann sind alle f

integrierbar, und die Folge (f

) konvergiert fast ¨ uberall punktweise gegen f

(mit f

(x) := f (x, u

)).

Da fast ¨ uberall |f

| ≤ h ist, kann man den Konvergenzsatz von Lebesgue anwenden und erh¨ alt:

F (u

) = Z

f

dµ = lim

ν→∞

Z

f

dµ = lim

ν→∞

F (u

).

2) Sei u

∈ U und e

der j-te Einheitsvektor im R

. Wir setzen

1Istu7→f(x,u) außerhalb der NullmengeNinu0stetig, so konvergiert fν(x)

f¨urx∈Rⁿ\N gegenf0(x).

g

(x, t) := f(x, u

+ te

) − f(x, u

)

t .

F¨ ur t → 0 strebt g

(x, t) gegen f

(x, u

). Nach dem Mittelwertsatz existiert ein ξ mit 0 < ξ < t, so dass g

(x, t) = f

(x, u

+ ξ · e

) ist. Nach Voraussetzung ist daher |g

(x, t)| ≤ h(x). Aus dem Satz von der dominierten Konvergenz folgt nun, dass f

(x, u

) integrierbar ist und dass gilt:

Z

f

(x, u

) dµ

(x) = lim

t→0

Z

g

(x, t) dµ

(x)

= lim

t→0

F (u

+ te

) − F (u

)

t = F

(u

).

Das ist die Behauptung.

4.10. Folgerung

Sei K ⊂ R

kompakt und U ⊂ R

offen. Wenn f : K × U → R f¨ ur jedes u ∈ U ¨ uber K integrierbar und auf ganz K × U stetig (bzw. nach u

, . . . , u

stetig partiell differenzierbar) ist, dann ist

F (u) :=

Z

K

f (x, u) dµ

(x)

auf U stetig (bzw. stetig differenzierbar), und im differenzierbaren Fall gilt:

F

(u) = Z

K

f

(x, u) dµ

(x), f¨ ur u ∈ U und j = 1, . . . , m.

Beweis: Sei u

∈ U und A = A(u

) ⊂ U eine kompakte Umgebung. Dann sind f und f

(x, u) als stetige Funktionen auf K × A durch Konstanten nach oben beschr¨ ankt. Wir wenden den Satz ¨ uber Parameterintegrale an. Der zweite Teil besagt, dass F dann auf A nach allen Variablen partiell differenzierbar ist, und aus dem ersten Teil folgt dann, dass die Ableitungen stetig sind. Das gilt auf ganz U .

4.11. Satz (Leibniz’sche Formel)

Sei I = [a, b], N := {(x, t) ∈ I × R | ϕ(x) ≤ t ≤ ψ(x)} ein Normalbereich, U eine offenen Umgebung von N im R

und f : U → R eine stetige und nach der ersten Variablen stetig partiell differenzierbare Funktion. Dann gilt:

F (x) :=

Z

f(x, t) dt ist auf I differenzierbar, und es ist

F

(x) = Z

ϕ(x)

∂f

∂x (x, t) dt + f(x, ψ(x))ψ

(x) − f (x, ϕ(x))ϕ

(x).

Beweis: Sei c ≤ ϕ(x) ≤ ψ(x) ≤ d auf I. Die Funktion g(x, τ ) :=

Z

f (x, t) dt ist nach τ und nach x stetig partiell differenzierbar. Also ist

F e (x, u, v) :=

Z

f(x, t) dt = g(x, v) − g(x, u) nach allen drei Variablen stetig differenzierbar. Außerdem ist

F (x) = F e (x, ϕ(x), ψ(x)).

Die Anwendung der speziellen Kettenregel ergibt:

F

(x) = ∂ F e

∂x (x, ϕ(x), ψ(x)) + ∂ F e

∂u (x, ϕ(x), ψ(x))ϕ

(x) + ∂ F e

∂v (x, ϕ(x), ψ(x))ψ

(x)

= ∂ F e

∂x (x, ϕ(x), ψ(x)) − ∂g

∂τ (x, ϕ(x))ϕ

(x) + ∂g

∂τ (x, ψ(x))ψ

(x)

=

Z

∂f

∂x (x, t) dt − f (x, ϕ(x))ϕ

(x) + f (x, ψ(x))ψ

(x).

4.12. Beispiele

A. F¨ ur x ≥ 0 sei F (x) :=

Z

e

1 + t

dt. Dies ist ein Parameterintegral mit ste- tigem Integranden f (t, x) := e

1 + t

, der durch h(t) := 1/(1+t

) dominiert wird. Also ist F stetig. Außerdem ist F (0) =

Z

dt

1 + t

= π 4 und

|F (x)| ≤ e

Z

0

e

1 + t

dt ≤ e

· F (0) = π 4 e

, also lim

x→∞

F (x) = 0.

f(t, x) ist nach x differenzierbar, mit stetiger Ableitung f

(t, x) = −2xe

. Diese wird ¨ uber jeder Menge [0, 1] × (α, β) (mit 0 ≤ α < β) durch die inte- grierbare Funktion h(t) ≡ 2β dominiert. Also ist F auf (α, β) (und damit auf ganz R

) differenzierbar, und es gilt:

F

(x) = − Z

0

2x · e

dt = −2e

Z

0

x e

dt

= −2e

Z

0

e

du (Substitution tx = u).

Mit dieser Darstellung von F

wollen wir nun das Integral R

0

e

du berech- nen. Einerseits ist

− Z

0

F

(t) dt = F (0) − F (x) = π

4 − F (x) und andererseits gilt – mit g(t) := R

0

e

du – die Beziehung

− Z

0

F

(t) dt = Z

0

2e

Z

e

du dt

= 2 Z

0

g

(t)g(t) dt = 2 Z

g(0)

v dv

= g(x)

= Z

e

du

.

Zusammen liefert das die Gleichung Z

0

e

du

= π

4 − F (x).

Da F (x) f¨ ur x → ∞ gegen Null konvergiert, folgt daraus Z

0

e

du = 1 2

√ π .

B. Wir wollen die im 1. Semester kennengelernte Gammafunktion weiter unter- suchen. Das f¨ ur jedes x > 0 absolut konvergente uneigentliche Integral

Γ(x) = Z

0

e

t

dt kann als Lebesgue’sches Parameterintegral Γ(x) = R

f(t, x) dµ

(t) aufgefasst werden, wobei der Integrand

f (t, x) :=

e

t

f¨ ur t > 0, 0 f¨ ur t ≤ 0

f¨ ur jedes feste x ∈ R

integrierbar ist (mit t

= e

).

Die Funktion x 7→ f (t, x) ist bei festem t ∈ R auf U := R

stetig. Weil t

· (t

e

) = t

e

f¨ ur t → ∞ gegen Null konvergiert, gibt es zu jedem C > 0 ein t

> 0, so dass 0 < f (t, x) ≤ C · t

f¨ ur t ≥ t

gilt. Und f¨ ur 0 < t < t

ist 0 < f (t, x) < t

. Deshalb wird durch

h(t) :=







0 f¨ ur t ≤ 0,

t

f¨ ur 0 < t < t

,

C · t

f¨ ur t ≥ t

eine integrierbare Funktion mit |f (t, x)| ≤ h(t) definiert. Daraus folgt, dass Γ stetig auf R

ist.

Der Integrand f(t, x) = e

t

ist bei festem t auf R

nach x stetig partiell differenzierbar, mit

∂f

∂x (t, x) = ln t · e

· t

= ln t · f (x, t).

Um zu zeigen, dass Γ auf jedem Intervall (α, β) mit 0 < α < β differenzierbar ist, m¨ ussen wir f

(t, x) absch¨ atzen.

Ist 0 < t < 1, so ist ln t negativ, also (x − 1) ln t < (α − 1) ln t. Weil in diesem Bereich auch ln(1/t) < 1/t ist, folgt:

|e

t

ln t| ≤ e

t

|ln t| = e

t

ln(1/t) f¨ ur 0 < t < 1.

Behauptung: Das uneigentliche Integral Z

0

e

t

ln(1/t) dt konvergiert f¨ ur alle α > 0 absolut.

Beweis daf¨ ur: Ist a eine beliebige positive reelle Zahl, so folgt (mit s = − ln t, also t = e

):

lim

t

ln(1/t) = lim

s→∞

s · e

= 0.

Ist also α > 1 (und damit α − 1 > 0), so liegt gar kein uneigentliches Integral vor.

Nun sei 0 < α ≤ 1. Dann gibt es ein δ ∈ (0, 1), so dass a := α − 1 + δ > 0 ist. Wegen der obigen Bemerkung gibt es zu jedem c > 0 ein ε > 0, so dass 0 < e

t

ln(1/t) < c f¨ ur 0 < t < ε ist, also |e

t

ln(1/t)| < c · t

. Das uneigentliche Integral ¨ uber die rechte Seite konvergiert bekanntlich absolut.

Kommen wir jetzt zum Bereich t ≥ 1: Dort ist ln t ≤ t und |e

t

ln t| ≤ e

t

≤ e

t

f¨ ur x ∈ (α, β). Weil t

(e

t

) = e

t

f¨ ur t → ∞ gegen Null konvergiert, gibt es zu jedem C > 0 ein t

> 0, so dass 0 < e

t

≤ C · t

f¨ ur t ≥ t

ist.

Alles zusammengefasst ergibt sich: Die Funktion

g (t) :=







e

t

ln(1/t) f¨ ur 0 < t < 1, t

e

f¨ ur 1 ≤ t ≤ t

, C · t

f¨ ur t > t

ist integrierbar, und es gilt:

∂f

∂x (x, t)

≤ g(t) f¨ ur α < x < β und alle t ∈ R

.

Also ist Γ differenzierbar, mit Γ

(x) =

Z

ln(t)e

t

dt .

Induktiv kann man sogar zeigen, dass Γ beliebig oft differenzierbar ist.

Es gibt noch einen interessanten Wert der Gammafunktion:

Γ( 1 2 ) =

Z

−∞

e

dx = √ π.

Beweis: Wir benutzen folgende Aussage: Ist ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) surjektiv und differenzierbar, mit ϕ

(x) > 0 f¨ ur x > 0, so ist

Z

f (t) dt = Z

0

f (ϕ(x))ϕ

(x) dx.

Das soll heißen: Konvergiert eines dieser beiden Integrale, so auch das ande- re, und die Grenzwerte sind gleich. Zum Beweis benutzt man die Substitu- tionsregel innerhalb endlicher Grenzen und geht dann auf beiden Seiten der Gleichung zu den uneigentlichen Integralen ¨ uber.

Mit t = ϕ(x) := x

folgt nun:

Γ( 1 2 ) =

Z

e

t

dt = Z

0

e

· (x

)

· 2x dx

= 2 · Z

0

e

dx = Z

−∞

e

dx.

Damit ist alles gezeigt.