2.1 Berechnung der POD-Basis (endlich-dimensionaler Fall)

Handout zum Seminarvortrag

“Modellreduktion mittels Proper Orthogonal Decomposition”

Arthur Fleig 18. Juli 2012

1 Problemstellung und Motivation

Zur Motivation betrachten wir das folgende konkrete Optimalsteuerungsproblem mit parti- ellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen:

Seien Ω⊂R² beschr¨anktes Gebiet und T, λ >0. Betrachte

(y,u)∈W×Umin J(y, u) := 1 2

T

Z

0

Z

Ω

|y−yQ|²dxdt+λ 2

T

Z

0

Z

Ω

|u|²dxdt (1)

unter den Nebenbedingungen

∂_ty−∆y=Bu auf ]0, T[×Ω =:Q (2)

y=yD auf ]0, T]×ΓD (3)

∂y

∂ν =y_N auf ]0, T]×Γ_N (4)

y(0,·) =y₀ auf Ω (Temperaturstartverteilung) (5) wobei ∂Ω =: Γ_D ∪˙ Γ_N, y_Q, y_D, y_N, y₀ vorgegeben, W = U = L²(Q) und B : U → L²(0, T;V⁰). V⁰ ist der Dualraum zum Hilbertraum V. In der schwachen Formulierung ist V der Raum der Testfunktionen. y_D, y_N und y₀ sind Rand- und Anfangswerte und y_Q der angestrebte Zustand. Gleichung (2) heißt W¨armeleitungsgleichung.

Wir m¨ochten das Problem (1) - (5) numerisch l¨osen, wir m¨ussen es also diskretisieren.

Dies f¨uhrt wiederum auf ein nichtlineares Optimierungsproblem mit sehr vielen Variablen;

so vielen, dass das Problem auf den heutigen Computern nicht gel¨ost werden kann.

Ein Ansatz, der daher verfolgt wird, sind die sogenannten “Reduced order methods”, die, wie der Name schon sagt, versuchen, mit (wesentlich) weniger Variablen auszukommen und trotzdem das Problem mit annehmbarer Genauigkeit zu l¨osen. Dazu geh¨ort auch das POD-Verfahren, das im Folgenden vorgestellt wird.

Die POD-Methode ist keinesfalls auf das obige Optimalsteuerungsproblem beschr¨ankt.

Wir werden uns im Rahmen dieses Seminarvortrags allerdings an [1] orientieren und uns entsprechend auf parabolische Differentialgleichungen einschr¨anken.

2 Die POD-Methode

Die Grundidee der POD-Methode ist einfach: Gegeben sei ein dynamisches System. Pro- jiziere dieses System in einen Unterraum, in dem die Hauptdynamik stattfindet, d.h. ver- suche, die wesentlichen Informationen mit (m¨oglichst) wenigen Basiselementen zu behal- ten. Im Gegensatz zu der “Finite Element”-Methode sollen diese Basiselemente Eigenschaf- ten/Charakteristika der erwarteten L¨osung besitzen. Im Folgenden m¨ochten wir diese Ba- siselemente bestimmen.

2.1 Berechnung der POD-Basis (endlich-dimensionaler Fall)

Betrachte ein dynamisches System, dessen Zustandy=y(x, t) mit Hilfe der Finiten Elemente diskretisiert wurde, d.h. wir haben

y_h(x, t_j) =

n

X

i=1

Y˜_ijϕ_i(x), x∈Ω, j = 1, . . . , m,

wobei Ω⊂R^dbeschr¨anktes Gebiet,d∈ {2,3}, ϕi, i= 1, . . . , ndie Finite-Element-Funktionen beschreiben und in ˜Y ∈ R^n×m die Koeffizienten des obigen Galerkin-Ansatzes stehen. Das Ziel ist die Approximation der L²-Funktionen {y_h(·, t_j)}^m_j=1.

Zun¨achst sollen dieL²-Funktionen{yh(·, tj)}^m_j=1durch eine einzige normierteL²-Funktion ψ ∈ span{ϕ₁, . . . , ϕ_n} im Mittel bestm¨oglich approximiert werden, d.h. das folgende Opti- mierungsproblem ist zu l¨osen:

max

m

X

j=1

|hy_h(·, t_j), ψi_L²_(Ω)|² s.t. kψk²_L2(Ω) = 1 (P₁)

Die POD-Basisfunktion ψ kann geschrieben werden als:

ψ(x) =

n

X

i=1

v_iϕ_i(x).

Weil die ϕi fest sind, l¨asst sich (P1) damit umschreiben zu:

max

m

X

j=1

*

y_h(·, t_j),

n

X

i=1

v_iϕ_i +

L²(Ω)

2

s.t.

n

X

i=1

v_iϕ_i

2

L²(Ω)

= 1.

Sei v := (v₁, . . . , v_n)^T. Die zu (P₁) geh¨orige Lagrange-Funktion L:Rⁿ×R→R ist gegeben durch:

L(v, λ) :=

m

X

j=1

*

y_h(·, t_j),

n

X

i=1

v_iϕ_i +

L²(Ω)

2

+λ



1−

n

X

i=1

v_iϕ_i

2

L²(Ω)





Man kann zeigen, dass ein Lagrange-Multiplikatorλund eine L¨osungv f¨ur das Problem (P₁) existieren, die ∇L(v, λ) = 0 erf¨ullt. ∇L(v, λ) = 0 ist in diesem Fall eine notwendige und hinreichende Bedingung. Daher soll im Folgenden∇L(v, λ) bzw. speziell∇_vL(v, λ) bestimmt werden.

Bezeichne mit M ∈R^n×n die symmetrische, positiv definite “Massenmatrix”, d.h.M_ij = hϕ_i, ϕ_ji_L²_(Ω). Es gilt f¨ur i= 1, . . . , n (vgl. [2], Seite 17):

∇_viL(v, λ) = ∂

∂v_i





m

X

j=1

* _n X

k=1

Y˜_kjϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²(Ω)

2

+ λ



1−

* _n X

k=1

v_kϕ_k,

n

X

l=1

v_lϕ_l +

L²(Ω)









=. . .

= 2

MY˜Y˜^TM v

i

−2λ(M v)_i = 0

⇔(MY˜Y˜^TM v)_i =λ(M v)_i Also:∇_vL(v, λ) = 0⇔MY˜Y˜^TM v =λM v.

DaM symmetrisch positiv definit ist, besitztM eine eindeutige “Wurzel”M^1/2, die durch M^1/2M^1/2 = M definiert ist. M^1/2 ist selbst symmetrisch und positiv definit, insbesondere existiert auch die InverseM^−1/2. Definiere nunY :=M^1/2Y˜ ∈R^n×m und u:=M^1/2v ∈Rⁿ. Dann l¨asst sich die notwendige Bedingung MY˜Y˜^TM v =λM v schreiben als:

M^1/2Y Y^Tu=λM^1/2u

Multiplikation von links mit M^−1/2 liefert schließlich das folgende symmetrische Eigenwert- problem:

Y Y^Tu=λu (6)

Y Y^T ∈R^n×n ist symmetrisch (klar) und positiv semi-definit:

x^T(Y Y^T)x= (Y^Tx)^T(Y^Tx) = Y^Tx

2 ≥0, x∈Rⁿ

⇒ Alle Eigenwerteλ von Y Y^T sind reell und ≥0:

0≤x^TY Y^Tx=x^T(λx) = λkxk², wobei x Eigenvektor von Y Y^T. Man kann nun zeigen:

ˆ Jeder Eigenvektor von Y Y^T erf¨ullt die notwendige Bedingung (6).

ˆ Sei ˆu der zum gr¨oßten Eigenwert ˆλ geh¨orende Eigenvektor von Y Y^T. Das zu ˆv :=

M^−1/2uˆgeh¨orige normierteψ l¨ost das Problem (P₁) und bildet die sogenanntePOD- Basis von Rang 1.

Als n¨achstes wollen wir das Problem (P₁) verallgemeinern. Die im Mittel optimale Ap- proximation der L²-Funktionen {y_h(·, t_j)}^m_j=1 durch k ∈ N paarweise orthonormale L²- Funktionenψ_i f¨uhrt zu der folgenden Verallgemeinerung von (P₁):

ψmax1,...,ψ_k k

X

i=1 m

X

j=1

|hy_h(·, t_j), ψ_ii_L²_(Ω)|² s.t. hψ_i, ψ_ji_L²_(Ω) =δ_ij (P_k) Analog zu (6) l¨asst sich die Optimalit¨atsbedingung f¨ur (P_k) herleiten:

Y Y^Tuⁱ =λ_iuⁱ, i= 1, . . . , k, (7) wobei uⁱ ∈Rⁿ. Seien die uⁱ die Eigenvektoren, die zu den k gr¨oßten Eigenwerten λ₁, . . . , λ_k geh¨oren. Die zu vⁱ = M^−1/2uⁱ geh¨origen normierten ψ_i bilden dann eine POD-Basis von Rang k.

Statt der Berechnung der Eigenwerte und –vektoren l¨asst sich Problem (P_k) auch mit der sogenannten Singul¨arwertzerlegung (Singular value decomposition, kurz: SVD) l¨osen.

Satz 2.1 (Singul¨arwertzerlegung)

Sei Y ∈R^n×m, d:=Rang(Y)≤min{m, n}

⇒ ∃U :=

u₁, . . . , u_n

∈ R^n×n, V :=

v₁, . . . , v_m

∈ R^m×m jeweils orthonormal, σ_i ∈ R, i = 1, . . . , d, σ₁ ≥. . .≥σ_d>0 mit

Y =UΣV^T, wobei Σ =

D 0 0 0

und D=diag(σ1, . . . , σd)∈R^d×d. Weiter gilt:

Y v_i =σ_iu_i und Y^Tu_i =σ_iv_i f¨ur i= 1, . . . , d (8) Beweis. Siehe [3], Seite 327f.

Korollar 2.2

(a) Y aus Satz 2.1 l¨asst sich schreiben als:

Y =

u1, . . . , ud

D

v1, . . . , vd

T

=:U^dD(V^d)^T (b) Es gilt:

Y^TY v_i =Y^Tσ_iu_i =σ_i²v_i Y Y^Tu_i =Y σ_iv_i =σ²_iu_i

d.h. die v_i bzw. u_i sind Eigenvektoren von Y^TY bzw. Y Y^T zu den Eigenwerten σ_i², i = 1, . . . , d.

(c) Die Eigenwerte vonY Y^T und Y^TY sind gleich und die Eigenvektorenu_i k¨onnen aus den v_i berechnet werden durch

u_i = 1 σi

Y v_i, i= 1, . . . , d.

Beweis. Aussage (a) gilt offensichtlich aufgrund der Gestalt von Σ. Aussage (b) erh¨alt man durch Multiplizieren der Gleichungen in (8) von links mit Y^T bzw. Y. Aussage (c) ist eine direkte Folgerung aus (b) und (8).

Korollar 2.3

Die zu den u_i aus der SVD geh¨origenψ_i l¨osen das Problem (P_k), wobei λ_i =σ²_i, i= 1, . . . , k mit k ≤d.

Beweis. Der Beweis ist analog zu dem aus [4], Seite 4ff.

Bemerkung 2.4

Man kann also w¨ahlen, ob man

ˆ die Eigenwerte von Y^TY ∈R^m×m (sinnvoll f¨ur mn),

ˆ die Eigenwerte von Y Y^T ∈R^n×n (sinnvoll f¨ur mn) oder

ˆ die Singul¨arwertzerlegung von Y berechnet.

2.2 Berechnung der POD-Basis (∞-dimensionaler Fall)

Die Berechnung der POD-Basis im ∞-dimensionalen Fall ist prinzipiell analog zum endlich- dimensionalen Fall und wird daher nur skizziert. Detaillierte Ausf¨uhrungen sind in [1] zu finden.

Wir betrachten als abstraktes dynamisches System das nichtlineare Evolutionsproblem d

dthy(t), ϕiH +a(y(t), ϕ) +hF(y(t)), ϕiV⁰,V =hf(t), ϕiH (N EPa) f¨ur alle ϕ∈V und t∈]0, T] fast ¨uberall sowie

y(0) =y₀ inH. (N EP_b)

Dabei seien

ˆ V, H reelle separable Hilbertr¨aume,

ˆ V dicht inH und kompakt eingebettet in H,

ˆ V⁰ der Dualraum von V,

ˆ a:V×V →Reine symmetrische, beschr¨ankte,V-elliptische Bilinearform mithϕ, ψi_V =:

a(ϕ, ψ),

ˆ F :V ×V →V⁰ bilinear und stetig mitF(ϕ) =F(ϕ, ϕ) als abk¨urzende Schreibweise,

ˆ f ∈C([0, T];H),

ˆ y₀ ∈V und

ˆ hF(y(t)), ϕi_V⁰_,V :=F(y(t))(ϕ) (“duality pairing”)

Wir m¨ochten nun den Raum der Testfunktionen V durch V^k := span{ψ₁, . . . , ψ_k} er- setzen, wobei ψi, i = 1, . . . , k die ersten k POD-Basisfunktionen sind. Ziel ist wieder die Berechnung der POD-Basisfunktionen. Wie in Abschnitt 2.1 haben wir daf¨ur ein Optimie- rungsproblem zu l¨osen. Seien dazu

ˆ y die eindeutige L¨osung f¨ur das Problem (N EP),

ˆ die sogenannten “Snapshots” y_j := y(t_j), j = 0, . . . , m f¨ur 0 =: t₀ < . . . < t_m ≤ T gegeben,

ˆ V := span{y0, . . . , ym}mit dim V =d und

ˆ {ψi}^d_i=1 eine orthonormale Basis von V.

MitXbezeichnen wir im FolgendenV oderH, es ist beides m¨oglich. Die Idee ist, die L¨osung y mit Hilfe der orthonormalen Basis von V zu approximieren, d.h. wir betrachten X = V. Im Hinblick auf die sp¨atere Anwendung (vgl. Abschnitt 3.2) ist es n¨utzlich, auch X =H zu untersuchen.

Wir k¨onnen die Snapshots y_j mit der orthonormalen Basis {ψ_i}^d_i=1 darstellen:

y_j =

d

X

i=1

hy_j, ψ_ii_Xψ_i, j = 0, . . . , m

Wir m¨ochten nun die “optimale” orthonormale Basis f¨ur die Approximation der y_j finden.

“Optimal” heißt, dass wir diey_j im Mittel am besten approximieren m¨ochten, d.h. es ist f¨ur k ≤d das folgende Optimierungsproblem zu l¨osen:

min

ψ1,...,ψk

m

X

j=0

α_j

y_j −

k

X

i=1

hy_j, ψ_ii_Xψ_i

2

X

s.t.hψ_i, ψ_ji_X =δ_ij (P_k) Dabei sind dieα_j ≥0 Gewichte.

Das obige Minimierungsproblem (P_k) scheint zun¨achst ein anderes Problem zu sein als der endlich-dimensionale Pendant (Pk). In Wahrheit ist (Pk) jedoch ¨aquivalent zu

max

ψ1,...,ψk

k

X

i=1 m

X

j=0

α_j|hy_j, ψ_ii_X|² s.t.hψ_i, ψ_ji_X =δ_ij ( ˜P_k) und damit dem bereits bekannten Maximierungsproblem (P_k) sehr ¨ahnlich.

Bemerkung 2.5

Die Gewichte α_j aus (P_k) k¨onnen dazu verwendet werden, das folgende Integral zu approxi- mieren:

T

Z

0

y(t)−

k

X

i=1

hy(t), ψiiXψi

2

X

Dies f¨uhrt auf die sogenannte “kontinuierliche POD-Methode” (vgl. z.B. [1]), die unter an- derem f¨ur Fehlerabsch¨atzungen verwendet werden kann.

Wie im endlich-dimensionalen Fall erh¨alt man die L¨osung von (P_k) durch L¨osen eines Eigenwertproblems. Definiere dazu den linearen beschr¨ankten Operator

Y_m :R^m+1 →X, Y_mv :=

m

P

j=0

α_jv_jy_j

Dann ist der adjungierte Operator gegeben durch:

Y_m^∗z :X →R^m+1, Y_m^∗z = (hz, y₀i_X, . . . ,hz, y_mi_X)^T. Damit lassen sich nun definieren:

Rm :=YmY_m^∗ ∈ L(X), Rmz =

m

P

j=0

αjhz, yjiXyj

K_m :=Y_m^∗Y_m ∈R(m+1)×(m+1), (K_m)_ij =α_jhy_j, y_ii_X, i, j = 0, . . . , m

Die POD-Basisfunktionen ψ_i erh¨alt man schließlich durch L¨osen des folgenden Eigenwert- problems:

R_mψ_i =λ_iψ_i, i= 1, . . . , k,

wobei λ₁ ≥. . .≥λ_d>0 alle positiven Eigenwerte vonR_m sind und k≤d <∞ ist.

3 Anwendungen der POD-Methode

Bisher lag der Fokus auf der Berechnung der POD-Basis. Wir m¨ochten jetzt mit Hilfe der POD-Basis ein reduziertes Modell eines dynamischen Systems mittels Galerkin-Projektion erhalten. Abschließend soll das eingangs erw¨ahnte Optimalsteuerungsproblem mit Hilfe der POD-Methode gel¨ost werden.

3.1 Galerkin-Projektion f¨ ur dynamische Systeme

Wir betrachten wieder das nichtlineare Optimierungsproblem (N EP). Sei ein “Snapshot- Gitter”{t_j}^m_j=0 mit zugeh¨origen Snapshots y₀, . . . , y_m gegeben.¹ Der Raum der Testfunktio- nenV wird, wie in Abschnitt 2.2 beschrieben, durchV^kersetzt. F¨ur die L¨osung des Systems

1Es kann sinnvoll sein, nicht nury(tj), sondern auch Differenzenquotienten, z.B. die Vorw¨artsdifferenz, als Snapshots zu verwenden, vgl. [1].

verwenden wir den Ansatz:

Y(t) =

k

X

i=1

α_i(t)ψ_i (9)

Wir setzen diesen Ansatz in (N EP) ein und erhalten das folgendek-dimensionale nichtlineare dynamische System von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen f¨ur die Funktionen α_i, i = 1, . . . , k:

Mα˙ +Aα+n(α) =F (10)

M α(0) = (hy₀, ψ_ji_H)^k_j=1 (11) Dabei sind:

ˆ M :=

hψi, ψjiH

k

i,j=1 (POD-Massenmatrix) (M =Ik fallsX =H in (Pk))

ˆ A:=

a(ψ_i, ψ_j)k

i,j=1 (POD-Steifigkeitsmatrix)

ˆ n(α) := (hF(Y), ψ_ji_V⁰_,V)^k_j=1 (Nichtlinearit¨at)

ˆ F := (hf, ψjiH)^k_j=1 (rechte Seite)

Dieses System ist wesentlich handhabbarer als das urspr¨ungliche Problem.

Nat¨urlich kann die POD-Methode auch auf gew¨ohnliche Differentialgleichungen und mit

“Finite Differenzen” diskretisierte partielle Differentialgleichungen angewendet werden:

Beispiel 3.1

Betrachte das Gebiet Ω wie in Abb. 1 mit r = √

3 und f¨ur T > 0 das folgende Anfangs- Randwertproblem:

ΓN

Γ_D Ω

r

(0,0)

(0,8) (8,8)

(12,4)

(12,0)

Abb. 1: Gebiet Ω

∂_ty−∆y= 2 auf ]0, T[×Ω y= 0 auf ]0, T]×Γ_D

∂y

∂ν = 0 auf ]0, T]×Γ_N

y(0,·) = 0 (Temperaturstartverteilung)

In diesem Beispiel tritt weder eine Steuerung u noch ein Parameter in der partiellen Differentialgleichung auf, es handelt sich also nicht um eine “¨ubliche” Problemstellung f¨ur POD. Dennoch eignet sich dieses Beispiel, das Potential der POD-Methode zu verdeutlichen.

Eine Approximation durch “Finite Differenzen” im Ort liefert das folgende System von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen

∂_ty˜=Ay˜+b =:f(˜y), y(0) = 0,˜ (12) dessen Dimension von der Feinheit der Ortsdiskretisierung abh¨angt. In der Regel ist die Dimension groß.

Angenommen wir m¨ochten das System im Intervall[0,50]numerisch l¨osen.² Je gr¨oßer das DGL-System ist und je gr¨oßer das gew¨unschte Zeitintervall, auf dem die L¨osung berechnet werden soll, desto l¨anger ist die Rechenzeit. Wir l¨osen das DGL-System (12) daher zun¨achst auf[0,1]und versuchen, ein reduziertes Modell herzuleiten, um dieses anschließend auf [0,50]

zu l¨osen.

Wir erhalten also zun¨achst Snapshots f¨ur die Zeiten 0 =: t₀ < . . . < t_m ≤ 1, die wir mit y(tˆ _j), j = 0, . . . , m bezeichnen und in der Matrix Yˆ :=

ˆ

y(t₀), . . . ,y(tˆ _m)

festhalten. Sei Rang( ˆY) =d. Die in Satz 2.1 vorgestellte Singul¨arwertzerlegung von Yˆ liefert:

Yˆ =U^dD(V^d)^T.

Statt U^d k¨onnte man U^k, d.h. die ersten k < d Spalten von U, nehmen, um Yˆ zu approxi- mieren. Das bietet sich an, wenn σ₁ ≥. . .≥σ_kσ_k+1 ≥. . .≥σ_d>0.

Durch die Projektion

˜

yneu := (U^k)^Ty˜ (⇒y˜≈U^ky˜neu) erh¨alt man das folgende k-dimensionale DGL-System:

∂_ty˜_neu= (U^k)^Tf(U^ky˜_neu) = (U^k)^TA(U^ky˜_neu) + (U^k)^Tb, y˜_neu(0) = (U^k)^T0 = 0 (13) Nun l¨osen wir (13) auf [0,50]. In den Abbildungen 2 bis 5 ist jeweils die L¨osung, die die W¨armeverteilung widerspiegelt, f¨ur 8172 Gitterpunkte zum Endzeitpunkt T = 50 f¨ur ver- schiedene k dargestellt.

3.2 Anwendung auf Optimalsteuerungsprobleme

Wir wollen die bisherigen Erkenntnisse auf Optimalsteuerungsprobleme anwenden. Wir de- finieren dazu f¨urT > 0 den Hilbertraum

W(0, T) :={ϕ∈L²(0, T;V) :ϕ_t∈L²(0, T;V⁰)}.

Sei U ein Hilbertraum und U_ad ⊂ U abgeschlossen und konvex. Wir betrachten wieder das nichtlineare Evolutionsproblem (N EP), aber mit einer Steuerunguin der rechten Seite, also

d

dthy(t), ϕi_H +a(y(t), ϕ) +hF(y(t)), ϕi_V⁰_,V =h(Bu)(t), ϕi_V⁰_,V (N EP_a^u)

2Wir m¨ochten die explizite L¨osungsformel f¨ur lineare DGL-Systeme nicht verwenden. Stattdessen ver- wenden wir die Matlab-Routine ode15s f¨ur steife Differentialgleichungen.

0 2

4 6

8 10

12 0 2

4 6

8

0 2 4 6 8

Abb. 2: ˜y(50), (Original), Max = 9.52819

0 2

4 6

8 10

12 0 2

4 6

8

0 2 4 6 8

Abb. 3: ˜y_neu(50), k= 10, Max = 9.18297

0 2

4 6

8 10

12 0 2

4 6

8

0 2 4

Abb. 4: ˜y_neu(50), k = 1, Max = 4.79432

0 2

4 6

8 10

12 0 2

4 6

8

0 2 4 6 8

Abb. 5: ˜y_neu(50), k=d= 93, Max = 9.52200 f¨ur alle ϕ∈V auf ]0, T] fast ¨uberall und

y(0) =y0 inH, (N EP_b^u)

wobei B:U →L²(0, T;V⁰) stetiger linearer Operator. Wir machen die folgende Annahme:

Annahme 3.2

∀u∈U_ad, y₀ ∈H ∃₁y∈W(0, T): y l¨ost (N EP^u).

Das Kostenfunktional J :W(0, T)×U →R definieren wir durch J(y, u) := α₁

2 ky−y_Qk²_L2(Q)+ α₂

2 ky(T)−y_Ωk²_L2(Ω)+ σ

2kuk²_U, (14) wobei

ˆ Ω⊂R^d beschr¨anktes Gebiet, d∈N,

ˆ Q:=]0, T[×Ω,

ˆ y_Q ∈L²(Q), y_Ω ∈L²(Ω) gew¨unschte Zust¨ande und

ˆ α1, α2, σ >0.

Das Optimalsteuerungsproblem ist dann gegeben durch

minJ(y, u) s.t. (y, u)∈W(0, T)×U_ad l¨ost (N EP^u). (CP) Das dynamische System (N EP^u) wird nun durch das reduzierte System aus Abschnitt 3.1 ersetzt, d.h. wir verwenden den Ansatz (9) und das nichtlineare System gew¨ohnlicher Dif- ferentialgleichungen (10),(11), wobeiF entsprechend ersetzt wird durch (h(Bu)(t), ψ_ji_H)^k_j=1. Damit erhalten wir das reduzierte Optimalsteuerungsproblem

minJ(α, u) s.t. (α, u)∈H¹(0, T)^k×U_ad l¨ost (10),(11). (SCP) Essentiell f¨ur die POD-Methode ist die Wahl der Snapshots. Es ist nicht klar, ob Snaps- hots f¨ur eine Steuerung u₁ auch die Dynamik f¨ur u₂ 6= u₁ sinnvoll approximieren k¨onnen.

Zum Abschluss wird daher ein L¨osungsversuch in Form eines adaptiven Algorithmus, der in [1] vorgestellt wurde, gemacht.

Algorithmus 3.3 (POD-basierende adaptive Steuerung)

W¨ahle eine monoton wachsende Zahlenfolge N_j, eine Startsteuerung u⁰ und sei ein ε > 0 vorgegeben.

1. Seien Snapshots y_i⁰, i= 1, . . . , N₀ gegeben und setze j := 1.

2. Setze (oder bestimme)k und berechne die POD-Basisfunktionen und damit den Raum V^k.

3. L¨ose das reduzierte Optimalsteuerungsproblem (SCP), um die Steuerungu^j zu erhalten.

4. Berechne den zu u^j zugeh¨origen Zustand y^j und nehme die Snapshots y^j_i, i = Nj−1 + 1, . . . , N_j zu den bisherigen Snapshots y_i^j−1, i= 1, . . . , N_j−1 hinzu.³

5. Falls |u^j −u^j−1|< ε, STOP. Ansonsten setze j :=j + 1 und gehe zu 2.

Wir m¨ochten versuchen, Algorithmus 3.3 auf das in der Motivation erw¨ahnte Optimal- steuerungsproblem anzuwenden, wobei wir wie in Beispiel 3.1 mit den Finiten Differenzen arbeiten.

3Alternativ: Verwerfe die bisherigen Snapshots und behalte nur die neuen Snapshots.

Beispiel 3.4

Betrachte wieder das Ω aus Beispiel 3.1 (Abbildung 1). Das Optimalsteuerungsproblem sei gegeben durch:

(y,u)∈Wmin×UJ(y, u) := 1 2

T

Z

0

Z

Ω

|y−2|²dxdt+λ 2

T

Z

0

Z

Ω

|u|²dxdt

unter den Nebenbedingungen

∂_ty−∆y=Bu auf ]0, T[×Ω =: Q y= 0 auf ]0, T]×Γ_D

∂y

∂ν = 0 auf ]0, T]×Γ_N

y(0,·) = 0 (Temperaturstartverteilung) sowie

−5≤u≤5 wobei W =U =L²(Q),B:U →L²(0, T;V⁰).

Wir w¨ahlenT = 1, λ= 0.2und diskretisieren die obige PDGL wie in Beispiel 3.1 beschrie- ben und erhalten als projizierte DGL die Gleichung (13), wobei wir b durch die Steuerung u ersetzen. Diese projizierte DGL ist die DGL, die man dann in (SCP) zu l¨osen hat.

3.3 Offene Fragen

Bisher offene Fragen sind unter anderem:

ˆ Welche Snapshots nehmen? Differenzenquotienten einbeziehen?

ˆ Konvergiert Algorithmus 3.3?

ˆ Fehlerabsch¨atzungen?

Literatur

[1] Hinze, M. ; Volkwein, S.: Proper Orthogonal Decomposition Surrogate Models for Nonlinear Dynamical Systems: Error Estimates and Suboptimal Control. In: Dimension Reduction of Large-Scale Systems, Lecture Notes in Computational and Applied Mathe- matics (2005), S. 261–306

[2] Kahlbacher, M.: Proper Orthogonal Decomposition for Parameter Estimation of bilinear elliptic problems. 2006. – Online verf¨ugbar auf http://www.uni- graz.at/imawww/projects/pod/DA M Kahlbacher.pdf; zuletzt aufgerufen am 16.07.2012, 14:45 Uhr

[3] Noble, B.: Applied Linear Algebra. Second Edition. Englewood Cliffs, NJ:Prentice-Hall, 1977 and 1969

[4] Volkwein, S.: Model Reduction using Proper Orthogonal Decom- position. 2011. – Online verf¨ugbar auf http://www.math.uni- konstanz.de/numerik/personen/volkwein/teaching/POD-Vorlesung.pdf; zuletzt auf- gerufen am 16.07.2012, 14:45 Uhr