Fixpunkt-Iterationen 2. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas

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Fixpunkt-Iterationen

2. Vorlesung

170 004 Numerische Methoden I

Clemens Brand und Erika Hausenblas

Montanuniversität Leoben

25. Februar 2021

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Nichtlineare Gleichungen, Fixpunkt-Iterationen

1 Wiederholung Aufgabentypen Fixpunkt-Iteration

Sekantenmethode

2 Aufgaben in Rund Rⁿ

Skalare und vektorielle Formulierung

3 Fixpunkt-Iteration: Theorie Konvergenzordnung Kontrahierende Abbildung Konvergenzbedingung

4 Prüfungsfragen

Norm misst Distanz Matrixnorm

Clemens Brand und Erika Hausenblas 25. Februar 2021 2 / 45

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Wiederholung, Fragenliste

Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen

Was ist. . . I eine lineare (nichtlineare, polynomiale, algebraische, transzendente) Gleichung?

I eine Nullstelle? . . . mehrfache Nullstelle?

I ein Fixpunkt?

Wie geht. . . I Intervallhalbierung?. . . Regula Falsi?

I Sekantenmethode?. . . Newton-Verfahren?

I Fixpunkt-Iteration?

Theorie I Mehrfache Nullstellen: warum schlecht konditioniertes Problem?

I Wann, warum und wie schnell findet Intervallhalbierung garantiert eine Nullstelle?

Praxis I Haben Sie die Aufgaben auf den letzten zwei Folien der vorigen Woche durchgerechnet?

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Wiederholung: Aufgabentypen

Gleichungen lassen sich in verschiedener Weise formulieren und lösen

Die Problemstellung

Gesucht ist ein x, für das gilt. . .

g(x) =h(x), (Finden derLösung einer Gleichung) f(x) = 0, (Finden einer Nullstelleder Funktion f)

x =f(x), (Finden einesFixpunktesder Funktion f)

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Wiederholung: Fixpunkt-Iteration

Formulierung fürR→R

Gegeben

eine stetige Funktion φ:R→R und ein Startwertx⁽⁰⁾ ∈R.

Ergebnis

Falls konvergent, liefert die Fixpunkt-Iteration einen Fixpunktx^? von φ.

Iterationsvorschrift für k = 0,1,2. . .

x^(k+1) =φ(x^(k))

Viele numerische Verfahren lassen sich als Fixpunkt-Iterationen formulieren. Die Theorie der Fixpunkt-Iteration ist daher von grundlegender Bedeutung.

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Newton-Verfahren in Fixpunkt-Form

Das Newton-Verfahren ist ein Fixpunkt-Verfahren!

Fixpunkt-Gleichung

x =x− f(x) f⁰(x) x =φ(x)

Bitte verwechseln Sie nicht

Das Newton-Verfahren sucht eineNullstelle der Funktion f(x).

Iterativ bestimmt es einen Fixpunktder Funktion φ(x) =x−f(x)/f⁰(x)

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Sekantenmethode

Sekantenmethode ist zweidimensionale Fixpunkt-Iteration

Die Sekantenmethode berechnet aus zwei Näherungen x⁽⁰⁾,x⁽¹⁾ eine verbesserte Näherung, rechnet dann mit zwei neuen Näherungen weiter.

Fasse die beiden Näherungen als Komponenten eines Vektors auf. Die Schreibweise

x=

"

x₁ x2

#

, Φ(x) =

"

x2

x₂−f(x₂)_f_(x^x¹^−x²

1)−f(x2)

#

formuliert die Sekantenmethode als zweidimensionale Fixpunkt-Iteration x^(k+1) =Φ(x^(k)) fürk = 0,1,2. . .

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Mehrdimensionale Gleichungsysteme

Themenübersicht für heute

Aufgaben im Rⁿ

I Vektoren, vektorwertige Funktionen

I Unbekannte zu einem Vektor zusammenfassen

I Gleichungssystem als vektorwertige Funktion schreiben

I Begriffe Nullstelle und Fixpunkt lassen sich direkt verallgemeinern I Auch Fixpunkt-Iteration geht analog

Bei geeigneter Schreibweise ändert sich fast nichts gegenüber dem Fall einer Gleichung und Unbekannten

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Beispiel: zwei Unbekannte sind gefragt

Nichtlineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten 4x₁−x₂+x₁x₂ = 1

−x₁+ 6x₂ = 2−log(x₁x₂)

g(x) =h(x)

Nullstelle einer vektorwertigen Funktion f :R²→R² 4x1−x2+x1x2−1 = 0

−x₁+ 6x2+ log(x1x2)−2 = 0

f1(x1,x2) = 0

f2(x1,x2) = 0 f(x) =0 Fixpunkt einer vektorwertigen FunktionΦ:R²→R²

x1 = 1

4(x2−x1x2+ 1) x2 = 1

6(x1−log(x1x2) + 2)

x=Φ(x)

Beispiel im Skriptum, ab S.19, durchgerechnet!

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Zur Schreibweise: Skalare und vektorwertige Funktionen

Vektoren und vektorwertige Funktionen fett gedruckt

Reellwertige Funktionen, Skalare: f :R→R , y =f(x) Vektorwertige Funktionen, Vektoren: f :Rⁿ→Rⁿ , y=f(x) Komponenten eines Vektors ∈Rⁿ:

x=





 x₁ x2

... x_n







oder x^T = [x1,x2, . . . ,xn]

Absolutbetrag |x|und Betrag (euklidische Länge) ||x||=^qx₁²+· · ·+x_n² Normalerweise ist mit xein Spalten-, mit x^T ein Zeilenvektor gemeint.

Iterationsindizes sind (um sie von Vektorkomponenten zu unterscheiden) in der Regel hochgestellt, in Klammern: x^(k),k = 0,1,2. . .

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Aufgabentypen im R

ⁿ

Gleichungen lassen sich auf verschiedene Weise formulieren und lösen

Es seien f,g,h FunktionenRⁿ→Rⁿund x∈Rⁿ Die Problemstellung

Gesucht ist ein x, für das gilt. . .

g(x) =h(x), (Finden derLösung eines Gleichungssystems) f(x) = 0, (Finden einerNullstelle der Funktion f)

x=f(x), (Finden einesFixpunktesder Funktion f)

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Nullstellen und Fixpunkte im R

ⁿ

Definition

Eine Nullstelle der Funktion f :Rⁿ→Rⁿ ist ein Wert x, für den gilt:

f(x) = 0.

Definition

Ein Fixpunktder Abbildung f :Rⁿ→Rⁿ ist einen Wertx, für den gilt:

x=f(x).

(„Funktion“ oder „Abbildung“ meint in diesem Kontext dasselbe.

In Fixpunkt-Gleichungen ist bei uns der typische Funktions-Name meistΦstattf)

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Fixpunkt-Iteration im R

ⁿ

Das Grundprinzip vieler iterativer Verfahren

Gegeben

eine stetige Funktion Φ:Rⁿ→Rⁿ und ein Startwertx⁽⁰⁾ ∈Rⁿ. Ergebnis

Falls konvergent, liefert die Fixpunkt-Iteration einen Fixpunktx^? von Φ.

Iterationsvorschrift für k = 0,1,2. . .

x^(k⁺¹⁾=Φ(x^(k))

Viele numerische Verfahren lassen sich als Fixpunkt-Iterationen formulieren. Die Theorie der Fixpunkt-Iteration ist daher von grundlegender Bedeutung.

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Wichtige Themen zur Fixpunkt-Iteration

I Konvergenzordnung: wie rasch konvergiert eine Iteration I Was ist eine kontrahierende Abbildung

I Wann konvergiert Fixpunktiteration I anschaulich erklärt

I mathematisch exakte Konvergenzbedingung I Was bedeutet „lokale Konvergenz“

I Anschauliche Bedeutung von |Φ⁰|<1

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Konvergenzordnung

Angenommen, eine Iteration x^(k+1) =Φ(x^(k)) für k = 0,1,2. . . konvergiert zu x^? , und die Fehlerschranke ^(k) schätzt den Fehler:

|x^(k)−x^?| ≤^(k) .

Neue Fehlerschranke mindestens um Faktor C kleiner als. . .

I . . . alte Fehlerschranke:lineare Konvergenz (wennC <1), also ^(k+1) ≤C^(k)

I . . . das Quadrat des alten Fehlers: quadratischeKonvergenz; typisch für Newton-Verfahren.

^(k+1)≤C(^(k))²

I . . . (allgemein) die p-te Potenz des alten Fehlers, p≥1:Konvergenz p-ter Ordnung. Bei Sekanten-Verfahren istp ≈1.61.

^(k+1) ≤C(^(k))^p

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Konvergenzordnung

gibt an, wie rasch die Genauigkeit zunimmt

Faustregeln

I Lineare Konvergenz braucht eine fixe Anzahl von Schritten pro gültiger Stelle. Je kleiner C, desto rascher nimmt Genauigkeit zu.

I Quadratische Konvergenz verdoppelt pro Schritt (ungefähr) die Zahl der korrekten Dezimalstellen. Beispiel:

Fehler^(k)<10⁻³⇒^(k+1) <C ·(10⁻³)² =C10⁻⁶ ^(k)<10⁻⁶⇒^(k+1) <C ·(10⁻⁶)² =C10⁻¹²

I Sekanten-Regel: etwa 60% mehr korrekte Stellen pro Schritt.

Die Faustregeln für Newton- und Sekantenverfahren gelten nur bei genügend kleinen Fehlern; umso besser, je mehr Stellen bereits korrekt sind.

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Konvergenzordnung

Definition

Ein Iterationsverfahren

x^(k+1) =Φ(x^(k)) k = 0,1,2. . . mit IterationsfunktionΦ:Rⁿ→Rⁿ, Fixpunkt x^? ∈Rⁿ und

Fehlerschranken||x^(k)−x^?|| ≤^k heißt lokal konvergent von (mindestens) p-ter Ordnung(p≥1), wenn für alle Startwertex⁽⁰⁾, die genügend nahe an x^? liegen, gilt

^(k+1)≤C^h^(k)ⁱ^p und C <1, falls p = 1.

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Kontrahierende Abbildung R → R

Locker formuliert:

Wenn bei unterschiedlichen Eingaben x,y die Ergebnisseφ(x), φ(y) näher beisammen liegen:

|φ(x)−φ(y)| ≤C|x−y|, C <1

I Unterschiedliche Startwerte liegen nach Anwendung von φnäher beisammen

I Fortgesetzte Anwendung bringt Werte immer näher zusammen I Schließlich ziehen sich alle Werte auf einen Fixpunkt zusammen Fixpunkt-Iteration konvergiert für kontrahierende Abbildungen.

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Kontrahierende Abbildung im R

ⁿ

Definition

Eine Abbildung Φ:B→B heißt kontrahierend im BereichB⊆Rⁿ, wenn es einC <1 gibt, so dass für alle x,y∈B gilt

||Φ(x)−Φ(y)|| ≤C||x−y||

Die formale Definition bedeutet nichts anderes als die lockere Formulierung auf der vorigen Folie:

Die Ergebnisse Φ(x),Φ(y) liegen näher beisammen als die Ausgangswerte x,y

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Konvergenz-Aussage für kontrahierende Abbildungen

Die Funktion φ:R→R besitze einen Fixpunktx^?, es gelte also φ(x^?) =x^? .

Sei ferner B ein Bereich um den Fixpunktx^? in der Form B ={x :|x^?−x|<d},

und für alle x,y∈B gilt

|φ(x)−φ(y)| ≤C|x−y|, C <1

Dann wirktφ alskontrahierende Abbildungfür alle x,y ∈B und es gilt:

Konvergenzsatz:

Die Fixpunkt-Iterationx^(k+1)=φ(x^(k)) konvergiert mindestens linear gegen x^? für alle Startwerte x⁽⁰⁾∈B.

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Bemerkungen

Der Satz auf der vorigen Folie lässt sich ganz analog für kontrahierende Abbildungen im Rⁿ formulieren und beweisen.

Die Formulierung des Satzes setzt die Existenz eines Fixpunktes voraus. Dadurch wird der Konvergenz-Beweis kurz und schmerzlos.

Eine etwas allgemeinere Formulierung und ein technisch

aufwändigerer Beweis zeigen, dass aus der Kontraktions-Eigenschaft auch schon die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes folgen.

Das ist der berühmteFixpunktsatz von Banach.

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Konvergenz des Fixpunktverfahrens für φ : R → R

Eine direkte Folgerung aus dem Konvergenz-Satz für kontrahierende Abbildungen

Das Fixpunktverfahren konvergiert lokal, falls|φ⁰(x^?)|<1.

Genauer:

Ist φ(x) in einer Umgebung des Fixpunktes x^? stetig differenzierbar und

|φ⁰(x^?)|<1, so konvergiert die Fixpunkt-Iteration x^(k+1) =φ(x^(k))

mindestens linear mitC ≈ |φ⁰(x^?)|gegen x^? für allex⁽⁰⁾ in der Nähe des Fixpunktes.

Der Fehler nimmt ≈um den Faktor C pro Iteration ab

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Interpretation der Bedingung |φ

⁰

(x

^?

)| < 1.

I Locker gesagt: Fixpunkt-Iteration konvergiert,

wennφ(x) in einer Umgebung „nicht besonders stark“ vonx abhängt.

I Ableitung φ⁰ misst, wie stark sich φ(x) ändert, wenn sichx ändert.

I Der Konvergenzsatz quantifiziert, „wie stark“φ vonx abhängen darf, damit Iteration konvergiert.

I Bedingung |φ⁰(x^?)|<1 bedeutet:φist kontrahierende Abbildung (zumindest in einer Umgebung von x^?)

Achtung:

Wahl des Anfangspunkt ist wichtig! Ist im Interval [x^∗,x] die Ableitung teilweise |φ⁰|größer als eine, muss das Verfahren nicht konvergieren!

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Konvergenz des Fixpunktverfahrens im R

ⁿ

Die Verallgemeinerung von|φ⁰(x^?)|<1 — nur für Interessierte

Die Bedingung „Ableitung betragsmäßig<1“ muss verallgemeinert für Summen von partiellen Ableitungen gelten. Genauer:

Die Fixpunkt-Iteration im Rⁿ

x^(k⁺¹⁾=Φ(x^(k))

konvergiert lokal in einer Umgebung des Fixpunktes, wenn dort für die partiellen Ableitungen von Φ gilt:

n

X

i=1

∂φ_i

∂x_k

≤C <1 für alle k = 1, . . . ,n

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Höhere Konvergenzordnung: Ein Satz für φ : R → R

Zusammenhang zwischen Ableitungen im Fixpunkt und Konvergenzordnung

Für ein Iterationsverfahren

x^(k+1)=φ(x^(k)) k= 0,1,2. . . mit Iterationsfunktionφ:R→Rgilt:

Satz

Ist φ(x) in einer Umgebung von x^? genügend oft differenzierbar und φ⁰(x^?) = 0, φ⁰⁰(x^?) = 0, . . . , φ^(p−1)(x^?) = 0, und φ^(p)(x^?)6= 0, dann liegt für p = 2,3, . . . ein Verfahrenp-ter Ordnung vor.

Ein Verfahren erster Ordnung liegt vor, wenn zu p= 1 gilt: |φ⁰(x^?)|<1.

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Beispiel: φ(x ) =

⁹₄

x (1 − x )

Zwei Fixpunkte: x₁^? = 0,x₂^? = ⁵₉.

Einsetzen der Fixpunkte in φ⁰(x) = ⁹₄(1−2x) liefert

|φ⁰(0)|= 9 4 >1

φ⁰

5 9

= 1

4 <1

Folgerungen:

I Für Startwerte in der Nähe vonx₂^?= ⁵₉ konvergiert die Fixpunkt-Iteration.

I φ(x) ändert sich dort nur etwa 1/4 so stark, wenn sichx-Werte ändern.

I Ein Fehler im Eingabewert bewirkt einen≈1/4 so großen Fehler im Resultat.

I Wiederholtes Einsetzen macht den Fehler immer kleiner

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Ein Prüfungsbeispiel

Die Funktion

φ(x) = 18−30x+ 23x²−4x³ 9

hat Fixpunkte fürx = 3/4,2 und 3.

Überprüfen Sie mithilfe der Konvergenzsätze für die verschiedenen

Fixpunkte: Konvergiert die Fixpunkt-Iteration x^(k+1)=φ(x^(k)), und wenn ja, mit welcher Konvergenzordnung?

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Prüfungsbeispiel

Gegeben sei die Funktion

φ(x) =ax(1−x) für ein a6= 0

1 Zeigen Sie: x = 0 undx = (a−1)/a sind Fixpunkte vonφ.

2 In welchem Bereich muss aliegen, damit eine Fixpunkt-Iteration lokal zux = 0 konvergiert?

3 In welchem Bereich muss aliegen, damit eine Fixpunkt-Iteration lokal nach

x = (a−1)/a konvergiert?

4 Für welchen Wert vona folgt lokal quadratische Konvergenz zum Fixpunkt x= (a−1)/a?

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Prüfungsbeispiel

Gegeben sei die Funktion f(x) =x³−1.

1 Wie lautet die reelle Nullstelle vonf?

2 Zeigen Sie: Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung führt auf die Iterationsvorschrift

x= 1

3x² +2x 3

3 Leiten Sie die Konvergenzordnung dieser Iteration her.

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Vektornormen: Motivation

Iterative Verfahren brauchen Abbruchbedingungen

Typische Bedingungen: Hör auf,

I wenn der Fehler klein genug ist; oder I wenn der Funktionswert (fast) 0 ist; oder I wenn sich Werte (fast) nicht mehr ändern.

|x^(k)−x^?|< , |f(x^(k⁾)|< , |x^(k+1)−x^(k)|<

Wie entscheidet man, ob einVektor klein genug ist; oder ob zwei Vektoren sich fast nicht mehr unterscheiden?

kx^(k)−x^?k< , kf(x^(k))k< , kx^(k+1)−x^(k)k<

Norm k kverallgemeinert für Vektoren den Betrag | |von Skalaren

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Vektornormen

Normk kverallgemeinert Betrag| |

Eine Norm ist eine Maßzahl für die „Größe“ eines Vektors.

Für einen Vektor x= [x₁,x₂, . . . ,x_n]^T ist kxk₁=

n

X

i=1

|x_i| Einsnorm

kxk₂ = v u u t

n

X

i=1

(xi)² euklidische Norm, Zweinorm kxk_∞= max

i |x_i| Unendlich-Norm, Maximums-Norm

In MATLAB:

kxk₁ =norm(x,1),kxk₂=norm(x) oder norm(x,2), kxk∞=norm(x,inf).

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Norm, formale Definition

Ergänzung: was Sie eigentlich aus Mathematik II schon wissen sollten

Eine Norm imRⁿ ist eine Funktion, die jedem Vektorx∈Rⁿ eine nichtnegative reelle Zahl kxk ∈R⁺₀ zuordnet, wobei drei Bedingungen gelten müssen:

I Nur der Nullvektor hat Norm 0

kxk= 0 ⇒ x= 0 I Skalarα läst sich als Betrag herausheben

kα·xk=|α| · kxk I Die Dreiecksungleichung

kx+yk ≤ kxk+kyk

∀x,y∈Rⁿ, ∀α∈R

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Vektornormen beim Fluggepäck :-)

Ein Handgepäckstück darf maximal 55 cm×40 cm×23 cm groß und nicht schwerer als 8 kg sein.

`/55 b/40 h/23 m/8 _∞

≤1 Ein Gepäckstück darf maximal

158 cm (Länge + Breite + Höhe) groß sein.

` b h ₁

≤158

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Norm und Distanz

Eine Norm kann auch dieDistanz zwischen zwei Punkten xund y messen:

dist(x,y) =kx−yk

I Taxis in Manhattan messen Strecken in der 1-Norm.

deswegen heißt 1-Norm auch Taxi- oder Manhattan-Norm

I Abstand in der Luftlinie entspricht der 2-Norm.

I Größter Unterschied in den Komponenten: ∞-Norm.

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Matrixnormen

Achtung—Ergänzung zum Skriptum!

I Ein Hauptberuf von Matrizen ist, Vektoren zu multiplizieren.

I Das Ergebnis einer Matrix-Vektor-Multiplikation ist wieder ein Vektor;

der ist i.a. länger/kürzer/verdreht gegenüber Ausgangsvektor I Eine Matrixnormmisst als „Größe“ einer Matrix, wie „stark“ sie auf

Vektoren wirkt.

I Eine gegebene Matrix kann Vektoren nicht beliebig stark verlängern.

Es gibt für jede Matrix einen „Maximal-Verlängerungs-Faktor“

Der „Maximal-Verlängerungs-Faktor“ ist eine Matrixnorm

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Matrixnormen: Beispiel

Wie stark „wirkt“ A= 1 3 2 4

!

auf verschiedene Vektoren?

Vergleichen Sie kxkmitkAxkfür verschiedenexund verschiedene Normen.

x= 1 0

!

, 0

1

!

, 1

1

!

, 1

2

!

, 2

−1

!

Welcher dieser Vektoren verlängert sich am meisten I in der 1-Norm,

I in der ∞-Norm,

I in der 2-Norm (aufwändiger zu rechnen wegen√ )

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Verschiedene Matrixnormen

Achtung—Ergänzung zum Skriptum!

Die 1−,2−und ∞-Normen lassen sich von den entsprechenden

Vektornormen ableiten: Sie geben für die Rechenoperation y=A·x an, um wieviel ygegenüberx maximal vergrößertwird.

kAk₁ Einsnorm: maximale Spaltenbetragssumme kAk₂ Zweinorm: größter Singulärwert

kAk_∞ Unendlich-Norm: maximale Zeilenbetragssumme Die Zweinorm lässt sich nicht so einfach berechnen wie Eins- oder Unendlichnorm.

MATLAB: kAk₁ =norm(A,1),kAk₂= norm(A),kAk_∞=norm(A,Inf).

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Matrixnorm, Definition

Kurzfassung: Eine Matrixnorm ist eine Norm

Matrizen lassen sich addieren und mit Skalaren multiplizieren. In diesem Sinn verhalten sie sich genauso wie Vektoren des Rⁿ.

Alles, was sich wie ein Vektor verhält, ist ein „Vektor“: Die m×n-Matrizen bilden einen Vektorraum. Der Begriff „Norm“ wird genau so definiert wie die Norm von Vektoren des Rⁿ.

Eine Norm imR^m×Rⁿist eine Funktion, die jeder m×n-MatrixA eine nichtnegative reelle Zahl kAk ∈R⁺₀ zuordnet, wobei gilt:

I Nur die Nullmatrix hat Norm 0: kAk= 0 ⇒ A= 0 I Skalarα läst sich als Betrag herausheben: kα·Ak=|α| · kAk I Die DreiecksungleichungkA+Bk ≤ kAk+kBk

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Rechenregeln

für die 1-, 2- oder∞- Norm

Zusätzlich zu den Norm-Axiomen

kAk= 0 ⇒ A=O kα·Ak=|α| · kAk kA+Bk ≤ kAk+kBk gelten für die 1-, 2- oder ∞- Norm auch

kA·Bk ≤ kAk · kBk

kA·xk ≤ kAk · kxk

Vergleiche Absolutbetrag: |a·b|=|a| · |b|

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Frobeniusnorm

. . . noch eine weitere Norm

Die Frobenius-Norm kAk_F wird so ähnlich berechnet wie die Vektor-Zweinorm:Quadrieren, summieren, Wurzel ziehen

Frobenius-Norm: kAk_F = qX

a_ij²

Die Frobeniusnorm lässt sich leichter berechnen als die Matrix-Zweinorm und dient zu deren Abschätzung:

kAk₂ ≤ kAk_F

Auch für kAk_F gelten neben den Norm-Axiome noch die Rechenregeln kA·Bk_F ≤ kAk_F · kBk_F undkA·xk₂≤ kAk_Fkxk₂

MATLAB: kAk_F = norm(A,’fro’).

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Matrixnormen (das Kleingedruckte)

Was hier dasteht, ist nicht wichtig, wenn ’s nicht dastünd’, wär’s nicht richtig.

Die lockere Erklärung „Matrixnorm ist maximaler Verlängerungsfaktor“ist mathematisch korrekt für 1-, 2- und ∞-Norm, wenn Vektorlängen in den jeweiligen Normen gemessen werden.

Die Formulierung „Matrixnorm ist obere Schranke für

Verlängerungsfaktor“ umfasst auch noch die Frobeniusnorm, wenn Vektorlängen in der 2-Norm gemessen werden.

Auch die Vorschrift kAk= max

i,j |a_ij|erfüllt die drei Bedingungen einer Norm, ist aber nicht immer eine obere Schranke für den

Verlängerungsfaktor.