Numerical Methods of
Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der
Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 12th Lecture / 12. Vorlesung
Universität Kassel
Fachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)
Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115
Dr.-Ing. René Marklein
marklein@uni-kassel.de
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of Kassel
Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory
(FG TET)
Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115
D-34121 Kassel
FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation / FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung
m
e
e
m
d ( , ) ( , ) ( , )
d
d ( , ) ( , ) ( , )
d
( , ) ( , )
( , ) ( , )
S C S S
S C S S
S V V
S V V
t t t
t
t t t
t
t t dV
t t dV
B R dS E R dR J R dS
D R dS H R dR J R dS
D R dS R
B R dS R
Governing Analytic Equations
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
FIT Grid Equations
Maxwell’s grid equations / Maxwellsche Gittergleichungen
m
e
e e
m m
d ( ) ( ) ( )
d
d ( ) ( ) ( )
d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t
t t t
t
t t t
t t t
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
divε S E V ρ Q
div S B Vρ Q
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electric Gauss’ grid equation – 3rd Maxwell’s grid equation in global matrix form /
Elektrische Gaußsche Gittergleichung – 3. Maxwellsche Gittergleichung in globaler Matrixform
e e
( ) ( )
( )
t t
t
divε S E V ρ
Q
e e
divε S E V ρ
Q t 0
e
E R R
e
e e
D Rε R E R
D R R
ε R E R
ε R R
ε R R
e
e
ε R R R
e e
e e
R R
R R
Inhomogeneous, anisotropic case / Inhomogener anisotroper Fall
Homogeneous, isotropic case / Homogener isotroper Fall
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
e
E R R
e
e e
D Rε R E R
D R R
ε R E R
ε R R
ε R R
e
e
ε R R R
e e
e e
R R
R R
Inhomogeneous, anisotropic case / Inhomogener anisotroper Fall
Homogeneous, isotropic case / Homogener isotroper Fall
e
e e
S V V d
S V S V S V
V
D Rε R E R
D R dS R
ε R E R dS
ε R R dS
ε R R dS
e
e
dS V V V
ε R R dS
RFIT Discretization of Scalar Electric Potential /
FIT-Diskretisierung des skalaren elektrischen Potentials
( )n
Ex
( )n
Ey ( )n
Bz ( )n
By ( )n
Ez
( )n
Bx
( )n
Ey ( )n
Bz ( )n
By ( )n
Ez
( )n
Bx
Integral form / Integralform Integral form / Integralform Differential form / Differentialform Differential form / Differentialform
( ) ( ) n
n
g G
m M
( )n g G
e
E R R
E
R 1 grad
eFIT grid equation / FIT-Gittergleichung FIT grid equation / FIT-Gittergleichung
( )n
Ex ( )en
(en M x) ( )en
( )
en M z
( )
en M xMz
( )
en M y
e
e 2 e 1
C C
E R dR
R dRR R
E ( )n
R 1 grad
e ( )nFIT Discretization of Scalar Electric Potential /
FIT-Diskretisierung des skalaren elektrischen Potentials
( )n
Ey ( )n
Ez
( )n
Ex ( )en
( )
en M x
( )
en M z
( )
en M y
Integral form / Integralform
Integral form / Integralform
e
e 2 e 1
C C
E R dR
R dRR R
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
( ) ( )
e e
e
e
e 0 e
, ,
, , e d ( , , ) d
d
, ,
, , e d
, , d , ,
x x
C x x
x x x x x
x x x x x
x x xn x x xn
x x
C x x
x x x x x
x x x x
x y z
x y z x E x y z x
E x
E x
x y z
x y z x
x y z x x
x y z x
E R dR E dR
E
R dR dR
0
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e e
, ,
n Mx n
x y z
e
e 2 e 1
( )
( ) ( ) ( )
e e e
( )
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e e e
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e e e
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( )
x
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C C
n n n M n
x M
n n n M n
y M
n n n M n
z M
E x I S
E y I S
E z I S
E R dR
R dRR R
FIT Discretization of Scalar Electric Potential /
FIT-Diskretisierung des skalaren elektrischen Potentials
e
e 2 e 1
C C
E R dR
R dRR R
( )
( )
( )e
grad
( ) ( )
e
( )
( )
( )
grad
x y z n
n
x M
y M n
z M
R E
n n
E I S
x
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z E I S
R E
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e e
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( )
x
x
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z
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n n
x
M n
n n n M
y
M n
n M
n n
z
M n
E x
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E y
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E z
I S
1
( ) 1 ( )
e
1 1
1
n grad n
x x
R y R
z y
z
E R
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
E
R 1 grad
e
e
e
ε R R R
e e
e e
R R
R R
Inhomogeneous, anisotropic case / Inhomogener anisotroper Fall
Homogeneous, isotropic case / Homogener isotroper Fall
e
E R R
divε S E
div ε S R
1grad
e
divε S R
1grad
e V ρ
e
A x
b
1
e e
A divε S R grad x
b Vρ
with / mit
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
divε S R
1grad
e V ρ
e
3 3
3 3
1
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0
0 0 diag{ }
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0
0 0 diag{ }
diag 1 0 0
0 diag 1 0
0 0 diag 1
N N
N N
N N N N N N
N N
N N N N
N N
N N
N N
y z
x z
x y x
y
z
x
y
z
S
R
R
3N3N
(1)e (2)e e
( )e
( )
{ } ( ) , ,
N ( )
N
t
t i x y z
t
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
divε S R
1grad
e V ρ
e
1
diag 1 0 0
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0 0 diag 1 0
0 0 diag{ }
0 0 diag 1
diag 0 0
0 diag
N N N N
N N
N N N N
N N
N N
y z x
x z y
x y
z y z
x
x z y
S R
0
0 0 diag
N N
N N
x y z
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
e
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( , )
( , ) ( ) ( ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( ) ( )
x y z
x y z
S V V
n n n
M x M y M z
S V
n n n n n n
xx yy zz
M x M y M z
S V
t t dV
t S I D t y z S I D t x z S I D t x y
t S I E t y z S I E t x z S I E t x y
D R dS R
D R dS ε R E R dS
e( , ) e( )n ( )
V t dV t x y z
R
( )
( ) ( ) ( )
e e e
( )
( ) ( ) ( )
e e e
( )
( ) ( ) ( )
e e e
1 1
( )
1 1
( )
1 1
( )
x
x y
y
z
z
n M
n n n
x M
n n n M n
y M
n M
n n n
z M
E I S
x x
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y y
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
e
( ) ( )
e
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e
( ) ( , )
1 ( )
1 ( )
1 ( )
x y z
x x
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n n n n n n
xx yy zz
M x M y M z
S V
n n
M xx M
n n
M yy M
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t S I E y z S I E x z S I E x y
S I I S y z
x
S I I S x z
y
S I I S
z
ε R E R dS
x y
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
e( , ) e( )n ( )
V t dV t x y z
R
( ) ( )
e
( ) ( )
e
( ) ( )
e
( ) ( , ) 1 ( )
1 ( )
1 ( )
x x
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M zz M
t S I I S y z
x
S I I S x z
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1 ( )
1 ( ) ( )
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n n
M yy M
n n n
M zz M
S I I S y z
x
S I I S x z
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S I I S x y t x y z
z
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2 e
( ) ( )
2 e
( ) ( ) ( )
e e
2
1 ( )
1 ( )
1 ( )
x x
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n n
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M zz M
S I I S
x
S I I S
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S I I S
z
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
( ) ( )
e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e e e
2
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2 e
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1
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n M n n n
xx M M xx xx M
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xxn M M M
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( )xxn I ( )xxn SMx
( )en
1x 2
SMx I
( )xxn (I S Mx)( )en
1x 2
(xxn M x)SMx 2AMx( )xxn I ( )xxn SMx
( )en3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e
2 2
( ) ( ) ( )
( )e
2 2 2
1 1
( ) 2
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2
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( ) ( )
2
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z z
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