Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 5th Lecture / 5. Vorlesung

(1)

Numerical Methods of

Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der

Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 5th Lecture / 5. Vorlesung

Universität Kassel

Fachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)

Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

marklein@uni-kassel.de

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of Kassel

Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory

(FG TET)

Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115

D-34121 Kassel

(2)

3-D Electromagnetic Wave Propagation / 3D elektromagnetische Wellenausbreitung

Maxwell’s equations / Maxwellsche Gleichungen

m

e

m e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t

t t



    



   



 

B R × E R J R

D R × H R J R

B R R

D R R



0 

0

( , ) ( , )

t t







B R H R

D R E R

Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen (Materialgleichungen) für Vakuum

0 0 m

0 0 e

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t

 

 

    



   



H R × E R J R

E R × H R J R

Continuity equations / Kontinuitätsgleichungen

m m

e e

( , ) ( , )

t t

t

t t

t



   



   



J R R



(3)

0 0 m

0 0 e

2 2 m

0 0

2 2 e

0 0

2 2 e

0 0 0

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1 1

( , ) ( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t

t t t

t t

t

t t t

t t

t

t t t

t

 

 

 

 

  

    



   



      

 



     

 



     



H R × E R J R

E R × H R J R

H R × E R J R

E R × H R J R

H R × × H R J R _m

0 2

m e

2 0 0 0 0

2

e m

2 0 0 0 0 0

2

m e

2 0 0 0 0 0

1 ( , )

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1 1

( , ) ( , ) + ( , ) ( , )

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( ,

t t

t t t t

t t

t t t t

t t

t t t

t t



   

    

    

  

  

 

 

       

  

       

 

        

 

J R

E R × × E R J R J R

H R × × H R × J R J R

E R × × E R × J R J R t)

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(4)

2

0

e m

2 2

0 2

0

m e

2 2

0

( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , )

t t t t

c t t

t t t t

c t t





 

     

 

     

 

× × H R H R × J R J R

× × E R E R × J R J R

2

 

            × ×   

 

2

e 0 m

2 2

0 2

0

m e

2 2

0

( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , )

t t t t

c t t

t t t t

c t t





 

        

 

        

 

H R H R × J R J R

E R E R × J R J R



 Vector identity /

Vektoridentität

0

0 0

c 1

  

2

e m

0 0 2 0 0 0

2

m e

0 0 2 0 0 0

1 1 1

( , ) ( , ) + ( , ) ( , )

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t

t t

t t t t

t t

    

    

 

     

 

      

 

× × H R H R × J R J R

× × E R E R × J R J R

      2

Short-hand notation / Abkürzende Schreibweise

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(5)

 

2

0

e m

2 2

0 2

0

m e

2 2

0

( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , )

t t t t

c t t

t t t t

c t t





 

       

 

       

 

H R H R × J R J R

E R E R × J R J R



2

0

e m

2 2

0

2

0

m e

2 2

0 0 m

0 e

1 ( , )

( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , )

t

t t t t t

c t t

t t t t t

c t t

 

 







 

       

 

       

  R

R

H R H R H R × J R J R

E R E R E R × J R J R



m e

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t



 

B R R

D R R



0 m

0 e

( , ) 1 ( , )

t t

 

 

 

H R R

E R R



0 0

( , ) ( , )

t t







B R H R

D R E R

3rd and 4th Maxwell’s equations / 3. und 4.

Maxwellsche Gleichung Constitutive equations / Materialgleichungen

(6)

2

m 2 2 e 0 m

0 0

2

e 2 2 m 0 e

0 0

2

0 m

e m

2 2

0 0

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

t t t t t

c t t

t t t t t

c t t

t t t t t

c t t t

 



 



 



   

        

   

        

 

      

 

 

H R R H R × J R J R

E R R E R × J R J R

H R H R × J R J R R

E R

2

0 e

m e

2 2

0 0

1 1

( , ) t ( , )t ( , )t ( , )t

c t  t 



      

 E R × J R  J R R

2 2 2

e_x e_y e_z e_x e_y e_z

x y z x y z

x y z

   

         

              

  

  

  



Laplace operator in Cartesian coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten

(7)

 

( , ) ( , )

e_x e_y e_z e_x e_y e_z ( , )

t t

x y z x y z t

   

 

         

               

E R E R

E R



 

   

( , ) ( , )

e_x _x e_y _y e_z _z e_x _x e_y _y e_z _z ( , )

t t

t

   

 

            

E R E R

E R





ê ê ê



^{( , )e} ^{( , )e} ^{( , )e}

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

x y z x y z

x x x y x z

y y y y y z

y x y y y z

x z z y z z

z x z y z z

E t E t E t

 

        

     

     

R R R

x y z t

           

   

Short-hand notation / Abkürzende Schreibweise

(8)

 

   

 

( , ) ( , )

e e e e e e ( , )

e e e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e

x y z x y z

x y z x x x y x z

x y y y y z

y x y y y z

t t

t

E t E t E t

E t E t E

   

 

            

           

     

E R E R

E R

R R R

R R



( , ) e e_{z x} _{x z}( , ) e e_{z y} _{y z}( , ) e e_{z z} _{z z}( , )

t

E t E t E t 

      

R

R R R

 

( , ) ( , )

e e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e e

x x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

y x

y x x

t t

E t E t E t

E

   

       

     

      

  

E R E R

R R R



 ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

e e e ( , ) e e ( , ) e e ( ,

x x y x y x z z z

y x y y y z

z x z y z z

z x x x y x z

t E t E t

E t E t E t

    



     

      

      

R R R

 )

e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , ) e e ( , )

y x y y y z

z x z y z z

E t E t E t



     

      

R R R

(9)

 

 

2 2 2

( , )

( , ) ( , )

e ( , ) e ( , ) e ( , )

= ( , )e ( , )e ( , )e

x x x y x z

x y z

y x y y y z

x y z

z x z y z z

x y z

x y z x x y y z z

t

t t

E t E t E t



   

     

     

 

        

E R

E R E R

R R R





²^x ²^y ²^z



^{( , )}^t

      E R





² ² ²



2 2 2

( , ) ( , )

( , )

x y z

t t

x y z t

      

    

     

E R E R

E R

(10)

2

0 m

e m

2 2

0 0 2

0 e

m e

2 2

0 0

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t t

c t t

t t t t t

c t t

 



 



 

      

 

      

 

H R H R × J R J R R

E R E R × J R J R R

 

2 2 2

( , ) ( , )

x y z

t t

      

E R E R

H R H R

2 2 2 2

0 m

e m

2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 e

m e

2 2 2 2 2

0 0

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t t t t t

x y z c t t

t t t t t

x y z c t t

 



 



              

 

     

 

              

 

     

 

H R H R × J R J R R

E R E R × J R J R R

m m

e e

( , ) ( , )

t t

t

t t

t



   



   



J R R



(11)

2-D EM Wave Propagation – 2-D TM Case and 2-D TE Case / 2D EM Wellenausbreitung – 2D-TM-Fall und 2D-TE-Fall

m

m m

e

e e

( , ) ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , , )

y y

t x z t J x z t

 

J R J e

y 0

 



2 2 2

e 0 m m

2 2 2 2

0 0

2 2 2

m 0 e e

2 2 2 2

0 0

1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

y y y y

x z t x z t J x z t J x z t x y t

x z c t t

x z t x z t J x z t J x z t x y t

x z c t t

 



 



             

   

    

 

             

   

    

 

H H × e e

E E × e e

We consider the xz plane and assume that the field is independent of y / Wir betrachten die xz-Ebene und nehmen an, dass das Feld unabhängig von y

ist

2 2 2 2

0 m

e m

2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 e

m e

2 2 2 2 2

0 0

1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x z t x z t x z t x z t x z t

x y z c t t

x z t x z t x z t x z t x z t

x y z c t t

 



 



              

 

     

 

              

 

     

 

H H × J J

E E × J J

Then it follows for the 3-D wave equations / Es folgt dann für die 3D- Wellengleichungen

And we confine the current sources to / Und wir beschränken die Stromquellen auf

This yields for the above given 3-D wave equation / Dies ergibt für die oben gegebenen 3D-Wellengleichungen

(12)

m m e e

( , ) ( , , ) ( , ) ( , , )

y y

t J x z t t J x z t



J R e

m m m

e e e

( , , ) ( , , ) ( , , ) 0

y y x y z y y y

J x z t J x z t J x z t

x y z y

J x z t J x z t J x z t

x y z y

     

          

     

          

e e e e e

 

e

e e

( , )

0 ( , , ) 0

( , , ) ( , , )

x y z

z

z z z x

z x z z

t

J x z t

J x z t J x z t

x z

J x z t J x z t

z x

    

 

 

 

  

 

e e e

× J R

e e

m

m m

( , )

0 ( , , ) 0

( , , ) ( , , )

x y z

z

z z z x

z x z z

t

J x z t

J x z t J x z t

x z

J x z t J x z t

z x

    

 

 

 

  

 

e e e

× J R

e e

Curl and divergence of the current sources / Rotation und Divergenz der Stromquellen

The divergence of the current

sources is in this special case zero, because the currents are constant in y

direction. / Die Divergenz der Stromquellen ist in diesem speziellen Fall null,

da die Ströme in y- Richtung konstant sind.

(13)

m e

( , , ) 0

y y

J x z J x z



 

e e



m m e e

( , , ) j ( , , ) ( , , ) j ( , , )

x z x z

  

 

J J



m e

( , ) 0 ( , ) 0

 



 R R

m e

( , ) 0 ( , ) 0

t t





 R R

m m

e e

( , ) ( , )

t t

t

t t

t



   



   



J R R



m m

e e

( , , ) 1 ( , , )

j

( , , ) 1 ( , , )

j

x z x z

  



  



 

J J

