Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 6th Lecture / 6. Vorlesung

Numerical Methods of

Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der

Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 6th Lecture / 6. Vorlesung

Universität Kassel

Fachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)

Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

marklein@uni-kassel.de

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of Kassel

Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory

(FG TET)

Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115

D-34121 Kassel

EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

The first two Maxwell’s Equations are: /

Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t

    



   



B R × E R J R D R × H R J R

0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t









B R H R D R E R

Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen

(Materialgleichungen) für Vakuum ^m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t





    



   



H R × E R J R E R × H R J R

0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t









H R B R D R E R

Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen (Materialgleichungen) für Vakuum

   

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t  

    



   



B R × E R J R

E R × B R J R

 ^, 

f H E

 ^, 

f B E Equations of first order /

Gleichungen der ersten Ordnung

EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

( , )t ( , ) t m( , )t t 

    

 H R × E R J R

( , ) t ( , ) t e( , )t t

   

 E R × H R J R

Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms

Field / Feld Sources / Quellen

Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz

Ampère-Maxwell‘s circuital law / Ampère-Maxwellsches

Durchflutungsgesetz

EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

( , ) t ( , ) t m( , )t t

    

 B R × E R J R

  e

( , ) t ( , ) t ( , )t

t 

   

 E R × B R J R

Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms

Field / Feld Sources / Quellen

Faraday’s induction law / Faradaysches Induktionsgesetz

Ampère-Maxwell‘s circuital law / Ampère-Maxwellsches

Durchflutungsgesetz

1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

The first two Maxwell’s Equations are: /

Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:

m

e

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

t t t

t

t t t

t

    



   



B R × E R J R D R × H R J R

0 0 m

0 0 e

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

H z t E z t J z t

t z

E z t H z t J z t

t z

 

 

    

 

    

 

0 0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

t t

t t









B R H R D R E R

Constitutive Equations for Vacuum / Konstituierende Gleichungen (Materialgleichungen) für Vakuum

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x x

y y

t E z t t H z t





E R e

H R e

Ansatz for the electric and magnetic field strength / Ansatz für die elektrische und

magnetische Feldstärke

2

2

( 2 2

( ) ( ) ]

2 2

( ) ( ) ]

t t

f t f t

d f t t

dt t

z z

f z f z

d f z x

dz x

 

     

   

   

  



 

     

   

   

  



O [

O [

1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

0 0 m

1 1

( , ) ( , ) ( , )

y x y

H z t E z t J z t

t  z 

    

 

0 0 e

1 1

( , ) ( , ) ( , )

x y x

E z t H z t J z t

t  z 

    

 

Idea: Outline of a flow chart / Idee: Entwurf eines Flussdiagramms

Field / Feld Sources / Quellen

1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 1st Equation / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 1ten Gleichung

0 0 m

1 1

( , ) ( , ) ( , )

y x y

H z t E z t J z t

t  z 

    

 

1 2

( , ) ( , ) ( ) ]

2 2

x x x x

z

z z

E z t E z t E z E z z

z z z

             

        O [

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

0 0 m

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

n n n n

y x x y

H t E t E t J t

t  z 

 

     

 

Spatial discretization of the 1st equation / Räumliche Diskretisierung der 1ten Gleichung

2

z

2

z nz

1

z 2

n  1

z 2 n 

(n_z 1/ 2)

Ex ^ H_y^{( )nz} E_x^{(nz1/ 2)}

 

: , 1, ,

: 1/ 2 , 1, ,

y z z z

x z z z

H z n z n N

E z n z n N

  

   





( )n_z

Ex

 

 

1-D EM Wave Propagation – FDTD – Discretization of the 2nd Equation / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Diskretisierung der 2ten Gleichung

0 0 e

1 1

( , ) ( , ) ( , )

x y x

E z t H z t J z t

t  z 

    

 

    ²

2

( , ) ( , ) 1 ( ) ]

y y z y y

z

H z t H z t H z z H z z

z z _^ z

         

   O [

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)

0 0 e

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

n n n n

x y y y

E t H t H t J t

t  z 

  

     

 

Spatial discretization of the 2nd equation / Räumliche Diskretisierung der 2ten Gleichung

2

z

2

z 1

z 2 n 

nz n_z 1

( )n_z

Hy E_x^{(nz1/ 2)} H_y^(nz1)

(n_z 1/ 2)

Hy ^

 

 

 

: , 1, ,

: 1/ 2 , 1, ,

y z z z

x z z z

H z n z n N

E z n z n N

  

   





1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

2

z

2

z nz

1

z 2

n  1

z 2 n 

(n_z 1/ 2)

Ex ^ H^{( )}_y^nz E_x^{(nz1/ 2)}

2

z

2

z

z 1

n  3

z 2 n 

(n_z 3 / 2)

Ex ^ (n_z 1)

Hy ^

2

z

2

z 3

z 2 n 

z 2

n  n_z 1

(n_z 2)

Hy ^ E_x^{(nz3 / 2)} H_y^(nz1)

2

z

2

z

nz

1

z 2

n  1

z 2 n 

( )n_z

Hy

2

z

z 1

n  3

z 2 n 

(n_z 1)

Hy ^

2

z

3

z 2 n 

z 2

n  n_z 1

(n_z 2)

Hy ^ H_y^(nz1)

(n_z 1/ 2)

Ex ^ E⁽_x^{nz1/ 2)} E_x^{(nz3 / 2)}

(n_z 3 / 2)

Ex ^

z z

z z

z

z

1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

0 0 m

0 0 e

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

H z t E z t J z t

t z

E z t H z t J z t

t z

 

 

    

 

    

 

1 2

( ) ( ) ]

2 2

d z z

f z f z f z z

dz x

      

        O [

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

0 0 m

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)

0 0 e

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

z z z z

n n n n

y x x y

n n n n

x y y x

H t E t E t J t

t z

E t H t H t J t

t z

 

 

 

  

     

 

     

 

( )

( 1/ 2)

( ) ? ( ) ?

z

z

yn

xn

H t

t

E t

t



 



 



1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

0 0 m

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)

0 0 e

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

z z z z

z z z z

n n n n

y x x y

n n n n

x y y y

H t E t E t J t

t z

E t H t H t J t

t z

 

 

 

  

     

 

     

 

( , ) ( , 1)

( ) 2

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)

( 1/ 2) 2

( ) [( ) ]

( ) [( ) ]

z t z t

z

z t z t

z

n n n n

y y

yn

n n n n

n x x

x

H H

H t t

t t

E E

E t t

t t



   



    

 



   

 



 1 2

( ) ( ( ) ]

2 2

d t t

f t f t f t t

dt t

      

        O [

( , ) ( , 1)

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

0 0 m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)

( 1) ( ) ( 1/ 2)

0 0 e

1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( )

z t z t

z z z

z t z t

z z z

n n n n

y y n n n

x x y

n n n n

n n n

x x

y y y

H H

E t E t J t

t z

E E

H t H t J t

t z

 

 

  

   

 

     

 

     

 

Staggered grid in time / Versetztes Gitter in der Zeit Staggered grid in time / Versetztes Gitter in der Zeit

1-D EM Wave Propagation – Finite-Difference Time-Domain (FDTD) / 1D EM Wellenausbreitung – Finite Differenzen im Zeitbereich (FDTD)

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)

0 0 m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )

0 0 e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n n

y y x x y

n n n n n n n n n n

x x y y y

t t

H H E E J

z

t t

E E H H J

z

 

 

     

     

   

     

   

      

( , ) ( , 1)

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

0 0 m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2)

( 1) ( ) ( 1/ 2)

0 0 e

1 1 1

( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( ) ( )

z t z t

z z z

z t z t

z z z

n n n n

y y n n n

x x y

n n n n

n n n

x x

y y y

H H

E t E t J t

t z

E E

H t H t J t

t z

 

 

  

   

 

     

 

     

 

Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time /

Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit Explicit 1-D FDTD algorithm on a staggered grid in space and time /

Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

FDTD:

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE

Transactions on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE

Transactions on Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD / 1D EM Wellenausbreitung – 1D FDTD

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)

0 0 m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )

0 0 e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n n

y y x x y

n n n n n n n n n n

x x y y x

t t

H H E E J

z

t t

E E H H J

z

 

 

     

     

   

     

   

      

Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time /

Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit Explicit 1-D FDTD algorithm of leap-frog type on a staggered grid in space and time /

Expliziter 1D-FDTD-Algorithmus vom „Bocksprung“-Typ auf einem versetzten Gitter im Raum und Zeit

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on

Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

FDTD: Yee, K. S.: Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on

Antennas Propagation, Vol. AP-14, pp. 302-307, 1966.

0 0 m

0 0 e

1 1

( , ) ( , ) ( , )

1 1

( , ) ( , ) ( , )

y x y

x y x

H z t E z t J z t

t z

E z t H z t J z t

t z

 

 

    

 

    

 

The first two Maxwell’s Equations are: /

Die ersten beiden Maxwellschen Gleichungen lauten:

1-D EM Wave Propagation – 1-D FDTD – Staggered Grid in Space / 1D EM Wellenausbreitung – 1-D FDTD – Versetztes Gitter im Raum

3

z 2

n  

 

 

E

1

z 2

n  

 

 

1

z 2

n  

 

 

3

z 2

n  

 

 

nz ² ⁿ_z ^1  nz ⁿ_z ^1

1

t 2

n  

 

 

H

3

z 2

n  

 

 

E

1

z 2

n  

 

 

1

z 2

n  

 

 

3

z 2

n  

 

  1

t 2

n  

 

 

Time plane / Zeitebene

Interleaving of the E_x and H_y field components in space and time in the 1-D FDTD formulation / Überlappung der E_x- und H_y-Feldkomponente in der 1D-FDTD-Formulierung im Raum und in der

Zeit

1-D EM Wave Propagation – FDTD – Normalization / 1D EM Wellenausbreitung – FDTD – Normierung

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)

0 0 m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )

0 0 e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n n

y y x x y

n n n n n n n n n n

x x y y x

t t

H H E E J

z

t t

E E H H J

z

 

 

     

     

   

     

   

     

      

      

( , ) ( , 1) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( , 1/ 2)

m

( 1/ 2, 1/ 2) ( 1/ 2, 1/ 2) ( 1, ) ( , ) ( 1/ 2, )

e

z t z t z t z t z t

z t z t z t z t z t

n n n n n n n n n n

y y x x y

n n n n n n n n n n

x x y y x

H H t E E t J

E E t H H t J

     

     

 

      

 

      

 

  

ref ref

ref ref

ref ref

ref ref ref ref ref 0

ref

ref ref ref

ref ref

ˆ ˆ

ˆ

x x

y y

x x

t t t t t t

c c

z x z c c c

E E E

H H H H E

c

       



 

        

       



 





ref ref ref ref

ref ref

ref ref ref

e ref

e e ref e ref ref

ref

ref ref

m m ref m m ref ref

ref ref ref

x x

x x

E E E

Z

J J J J E

t

J J J J H E

t t c

  

 





  

 



  

 

1-D FDTD – Staggered Grid in Space – Global Node Numbering / 1D-FDTD – Versetztes Gitter im Raum – Globale Knotennummerierung

2

z

2

z nz

1

z 2

n  1

z 2 n 

(n_z 1/ 2,n_t 1/ 2)

Ex ^{ } E_x^{(nz1/ 2,nt1/ 2)}

( , )n n_{z t}

Hy

2

z

2

z

z 1

n  3

z 2 n 

(n_z 3 / 2,n_t 1/ 2)

Ex ^{ } (n_z 1,, )n_t

Hy ^

2

z

2

z 3

z 2 n 

z 2

n  n_z 1

(n_z 2, )n_t

Hy ^ H⁽_y^{nz1, )nt}

(n_z 3 / 2,n_t 1/ 2)

Ex ^{ }

2

z

2

z

2

z nz

1

z 2

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Ex ^ E_x^{( , )n nt}

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Hy

2

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2

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2

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2

z 3

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Hy ^ H⁽_y^{n1, )nt}

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2

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z

z