Erwünschte Eigenschaften von Extensionen

Quäker sind normalerweise Pazifisten.

Republikaner sind normalerweise keine Pazifisten.

Nixon ist Quäker und Republikaner.

Ist Nixon Pazifist?

Es kann verschiedene "akzeptable" Mengen von Überzeugungen geben, die durch die Default-Information gestützt werden

Reiter nennt diese Mengen EXTENSIONEN mögliche Sichtweisen:

• jede Extension für sich genommen ist interessant, oder

• nur was in allen Extensionen gilt

Reiter‘s Default Logik

Ein Problem:

Default-Theorien

Default-Theorie: Paar (D,W).

W: Menge von Formeln 1. Stufe (sicheres Wissen) D: Menge von "Inferenzregeln" (Defaults) der Form:

intuitive Bedeutung: wenn A ableitbar, alle ¬Bi nicht, dann leite C ab.

A:B1, ..., Bn/C

Default-Theorien generieren Extensionen:

E1 W

E2

E3 D

A:B1, ..., Bn C

äquivalente Notation:

Erwünschte Eigenschaften von Extensionen

1) soll W enthalten,

2) soll (klassisch) deduktiv abgeschlossen sein,

3) anwendbare Defaults sollen angewendet worden sein, d.h.: A:B/C

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

∉ ∉ ∉ ∉

4) soll keine "unbegründeten" Formeln enthalten, d.h. für jedes p

∈ ∈

∈ ∈

Extensionen nicht definierbar als minimale Mengen, die 1), 2), 3) erfüllen!

Eine Extension E

==> Reiter's Fixpunktkonstruktion

Definition von Extensionen: 1. Versuch

Extensionen als minimale Mengen, die 1), 2), 3) erfüllen?

Gegenbeispiel: 1) Wiener:Trinkt-Wein/Trinkt-Wein 2) Wiener

Th({Wiener, ¬Trinkt-Wein}) enthält W,

deduktiv abgeschlossen,

anwendbare Defaults angewendet, minimal

aber: ¬Trinkt-Wein unbegründet

Andere Definition der Extensionen nötig!

Notation:

Th(S) bezeichnet die Menge der klassischen Theoreme von S

DL Extensionen

Kandidaten werden Test unterworfen:

S --> S'

S' kleinste Menge, die 1), 2), 3) erfüllt, Konsistenztest in 3) bzgl. S durchgeführt.

S besteht Test wenn es sich reproduziert.

Beispiel:

Th({Wiener, ¬Trinkt-Wein}) --> Th({Wiener})

Th({Wiener, Trinkt-Wein}) --> Th({Wiener, Trinkt-Wein})

Reiters Fixpunktkonstruktion

Sei (D,W) eine Default-Theorie, S eine Menge von Formeln.

Γ Γ

ΓΓ(S) ist die kleinste Menge, für die gilt:

S ist Extension von (D,W) gdw. ΓΓΓΓ(S) =S 1) W ⊆⊆⊆⊆ ΓΓΓΓ(S)

2) ΓΓΓΓ(S) = Th(ΓΓΓΓ(S))

3) wenn a:b1,...,bn/c ∈∈∈∈ D, a ∈∈∈∈ ΓΓΓΓ(S), ¬bi ∉∉∉∉ S, dann c ∈ Γ∈ Γ∈ Γ∈ Γ(S)

Sei (D,W) eine Default-Theorie, E eine Menge von Formeln. Definiere eine Folge von Formelmengen E0, E1, ... wie folgt:

E0 = W

Ei+1 = Th(Ei) ∪∪∪∪ {c | a:b1,...,bn/c

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

∉ ∉ ∉ ∉

E ist Extension von (D,W) gdw E = E

∪ ∪ ∪ ∪

äquivalente Definition

Charakterisierung mittels Default Beweisen:

Sei (D,W) eine Default-Theorie. Ein Default-Beweis für p ist eine Folge d1, d2, ..., dn von Defaults aus D, so daß

1. W ∪∪∪∪ {cons(d1), ..., cons(di-1)} |- pre(di) für 0 < i ≤≤≤≤ n, 2. W ∪∪∪∪ {cons(d1), ..., cons(dn)} |- p

Ein Default-Beweis ist gültig bzgl. einer Menge von Formeln E gdw.

E konsistent ist mit jeder Konsistenzbedingung eines Defaults im Def.-Beweis

E ist Extension von (D,W) gdw. E deduktiv abgeschlossene Obermenge von W ist und es gilt:

1. A:B1, ..., Bn/C

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

∉ ∉ ∉ ∉

∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

Extensionen: kleine Beispiele

Nichtmonotonie: D = {:a/a}, W = {} ==> Extension ist Th({a}) D = {:a/a}, W = {¬a} ==> Extension ist Th({¬a}) Es kann beliebig viele Extensionen geben:

D = {:a/a, :¬a/¬a}, W = {} ==> Extension1: Th({a})

==> Extension2: Th({¬a}) mehrere:

keine: D = {:¬a/a}, W = {} ==> ---

skeptische Ableitbarkeit von p: p in allen Extensionen enthalten

"mutige" Ableitbarkeit von p: p in einer Extension enthalten Resultate: Extensionen sind minimal, d.h. E ⊆⊆⊆⊆ E' => E = E'.

W inkonsistent <=> einzige Extension inkonsistent (falls alle Defaults Konsistenzbedingung haben)

Beispiele

Vogel(x):Fliegt(x)

Fliegt(x) Vogel(Tw)

D W Fixpunkt(e)

Th(W ∪∪∪∪ {Fliegt(Tw)}) Vogel(x):Fliegt(x)

Fliegt(x)

Vogel(Tw) Th(W)

Ping(Tw) ∀

∀ ∀

∀x.Ping(x) => ¬ Fliegt(x) Vogel(x):Fliegt(x)

Fliegt(x) Vogel(Tw) Th(W ∪∪∪∪ {Fliegt(Tw)}) Ping(Tw)

Ping(x):¬ Fliegt(x)

¬ Fliegt(x)

Th(W ∪∪∪∪ {¬ Fliegt(Tw)})

Vogel(x):Fliegt(x) ∧∧∧∧¬Ping(x)

Fliegt(x) Vogel(Tw)

Ping(Tw) Ping(x):¬ Fliegt(x)

Th(W ∪∪∪∪ {¬ Fliegt(Tw)})

Normale Defaults

Interessante Teilklassen

a:b b

Existenz von Extensionen garantiert

Semimonotonie: wenn E Extension von (D,W), dann gibt es Extension E' von (D ∪∪∪∪ D', W) mit E ⊆⊆⊆⊆ E'.

Prioritäten lassen sich codieren Semi-normale Defaults a:b ∧∧∧∧ c

keine Existenz von Extensionen:

:a ∧∧∧∧¬ c b

:b

∧ ∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

b

Extensionen sind Theoreme von W zusammen mit

maximal W-konsistenter Teilmenge von Default-Konklusionen

Wie findet man Extensionen?

I. Extensionen haben immer die Form Th(W ∪∪∪∪ Consequents(D')) wobei D' ⊆⊆⊆⊆ D.

II: Extensionen sind konsistent

(außer W inkonsistent oder Defaults ohne Konsistenztest kommen vor) Also:

Beispiel:

W: D: A => ¬B

A: C/C, :B/B, :A/A

Kandidaten:

Th(W ∪∪∪∪ {A,C}) Th(W ∪∪∪∪ {B,C}) Th(W ∪∪∪∪ {A}) W ∪∪∪∪ {A,B} inkonsistent

1) identifiziere Kandidaten für D', die obige Bedingungen erfüllen 2) überprüfe, ob die Fixpunktbedingung erfüllt ist

Th(W ∪∪∪∪ {B}) Th(W ∪∪∪∪ {C}) Th(W ∪∪∪∪ {}) +

+ + +

−

−

−

−

−

−

−

−

+ ++ +

−

−−

−

−

−−

−

Kontraposition für Defaults?

klassische Logik: A => B äquivalent zu ¬B => ¬A Bei Defaults Kontraposition nicht immer erwünscht:

Informatiker wissen normalerweise nicht viel über Nichtmonotonie.

aber nicht:

Wer viel über Nichtmonotonie weiss, ist normalerweise kein Informatiker

Verwendung von Inferenzregeln vermeidet Probleme mit Kontraposition

Probleme mit DL

emu: rennt strauss: rennt

rennt nicht ableitbar.

: nutzbar(x) &¬gebrochen(x)

rennt rennt emu v strauss

nutzbar(x)

gebrochen(l-arm) v gebrochen(r-arm)

nutzbar(l-arm) & nutzbar(r-arm) ableitbar 1. manchmal zu schwach: Fallunterscheidungen

2. manchmal zu stark: keine Gesamtkonsistenz aller Konsistenzannahmen

3. Repräsentation von Prioritäten zwischen Defaults nicht einfach.

Probleme, ctd.

4. Nicht-Kumulativität: Zufügen von Theoremen ändert Resultate (Makinson)

X |- a -> (X |- b <-> X ∪∪∪∪ {a} |- b) Inferenzrelation |- ist kumulativ gdw:

Was ist die Inferenzrelation von DL? D festhalten:

W |-D p gdw. p ist in allen Extensionen von (D,W)

|- D ist nicht kumulativ, Gegenbeispiel (Makinson):

:pp p ∨∨∨∨ q:¬p

¬p

W leer -> es gibt eine Extension, sie enthält p, damit auch p ∨∨∨∨ q W={p ∨∨∨∨ q} -> es gibt zusätzliche Extension mit ¬p

Also: q und {} p , aber nicht {p q} p