„Daten und Zufall“ entdecken –
sinnstiftende Zugänge zur Stochastik
Andreas Büchter 31.03./01.04.06
Zweite zentrale Fortbildungstagung SINUS-Transfer (2. Welle) in Soltau
Vorweg eine Aufgabe zum „Aufwärmen“
(„Merkwürdige Würfel PM 4/2005)
• Die Kopie ist ein Arbeitsblatt für Schülerinnen und Schüler.
• Führen Sie eine (fachliche) Sachanalyse der „Aufgabe“ und durch und schätzen Sie die Aufgabe unter didaktischen
Gesichtspunkten ein.
- Setzen Sie sich zunächst alleine mit dem Arbeitsblatt auseinander (5‘), - tauschen Sie sich dann mit ihrem/ihrer Nachbarn/Nachbarin aus (10‘), - schließlich diskutieren wir gemeinsam Ihre Resultate (10‘).
• Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!
(Bei-)Spiel: „Merkwürdige Würfel“ (PM 04/2005)
rot
blau grau
gelb
rot
blau grau
gelb
(Bei-)Spiel: „Merkwürdige Würfel“ (PM 04/2005)
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(Bei-)Spiel: „Merkwürdige Würfel“ (PM 04/2005)
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blau grau
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(Bei-)Spiel: „Merkwürdige Würfel“ (PM 04/2005)
„Daten und Zufall“ entdecken –
sinnstiftende Zugänge zur Stochastik
• Einführung in das Thema:
„Was ist das Besondere an ‚Daten und Zufall‘ und wie können sinnstiftende Zugänge aussehen?“
• Dabei: Bearbeitung / Einschätzung von Lernarrangements
& Entwicklung und Diskussion eigener Ideen
• Abschlussdiskussion:
„Welche grundbildungsrelevanten Inhalte und zugehörigen
Lernarrangements sind wünschenswert / realistisch für den
Mathematikunterricht in den verschiedenen Schulformen?“
Besonderheiten von Stochastik
• Aus den Anwendungen heraus entstanden
• Wechselspiel zwischen Anwendungen und Mathematik
• Stochastik ist eigentlich immer Modellbildung
• Besonders gut geeignet (historisch-)genetisch Vorzugehen
• Hervorragende Möglichkeiten der Vernetzung mit anderen Inhaltsgebieten/Leitideen und anderen Fächern
Trotzdem Probleme, sich im Mathematikunterricht zu etablieren
Beschreibende Stastistik
Wahrscheinlichkeits- rechnung
Beurteilende (schließende)
Stastistik
Daten
Daten und Zufall Daten und Zufall
+
Kombinatorik
Daten und Zufall = Stochastik
Curriculare Vorgaben I
− Grundbegriffe kennen (z. B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich),
− Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen.
− In Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen,
Schaubildern und Diagrammen darstellen,
− aus Tabellen, Schaubildern und
Diagrammen Informationen entnehmen.
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen:
Daten erfassen und darstellen:
3.5 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich
(15.10.2004)
Curriculare Vorgaben II
Die Schülerinnen und Schüler
−werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,
−planen statistische Erhebungen,
−sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung
geeigneter Hilfsmittel (wie Software),
−interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen,
−reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,
−beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,
−bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.
Die Schülerinnen und Schüler
−werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,
−sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung
geeigneter Hilfsmittel wie Software,
−berechnen und interpretieren Häufigkeiten und Mittelwerte,
beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,
−interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag,
−bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten.
(L 5) Leitidee Daten und Zufall
Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss
(4.12.2003) Bildungsstandards im Fach Mathematik
für den Hauptschulabschluss (15.10.2004)
Beschreibende Stastistik
Wahrscheinlichkeits- rechnung
Beurteilende (schließende)
Stastistik
Daten
Daten und Zufall Daten und Zufall
+
Daten und Zufall = Stochastik
Typische Begriffe und Konzepte
- Stichprobe und Grundgesamtheit - Test von Hypothesen
- Schätzen von Parametern - Bayes-Statistik
- empirisches Arbeiten - Zugänge zum WK-Begriff:
* frequentistische WK
* Laplace-WK1
* subjektive WK
- Baumdiagramme, Pfadregeln - Bedingte Wahrscheinlickeiten - Chancen und Risiken
- Zufallsvariablen
- Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Gesetze der großen Zahlen - Zufall und Pseudozufall - abs. und rel. Häufigkeiten
- grafische Darstellung von Daten und deren Manipulation
- Mittelwerte und Streuungsmaße - Indexwerte
- Korrelation und Regression
Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechung
Beschreibende Statistik
1Genau hier hilft Kombinatorik
Eine mögliche Fortbildungsquelle …
Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn
Elementare Stochastik
Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls Springer 2005
In diesem Lehrbuch wird ein anwendungsorientierter Zugang zur mathematischen Theorie der Daten und des Zufalls entwickelt, der von den Phänomenen des Alltags ausgeht und bis in die
axiomatische Theorie der Wahrscheinlichkeit hineinreicht. Es richtet sich vor allem an Studierende des Lehramts mit
Unterrichtsfach Mathematik, ist aber auch als sinnstiftender Zugang für Studierende der Mathematik (Diplom, BA) geeignet.
Beschreibende Statistik I –
Wie kommen Daten zustande?
Dick, dumm, krank und traurig (RN, 26.09.2005)
Hoher Medienkonsum verschlechtert laut einer Studie die Schulleistungen von Kindern.
[…] Laut KFN-Chef Christian Pfeiffer liefert der unterschiedliche Medienkonsum auch einen Erklärungsansatz dafür, dass der Süden Deutschlands in der Pisa-Studie besser abschneidet als der Norden.
[…] Hinzu komme, dass Kinder mit eigenen Unterhaltungsgeräten viel häufiger verbotene Sendungen oder Spiele mit hohem Gewaltanteil sehen, was die Lernfähigkeit ebenfalls senke. Pfeiffer: „Ein Übermaß an Medienkonsum macht dick, dumm, krank und traurig.“
Wie kommen solche Aussagen zustande? Untersucht selbst ähnliche Fragen.
(oder z.B. „Führt mehr Taschengeld zu besseren Schulnoten?“ → Vernetzung)
Beschreibende Statistik II –
Häufigkeiten, Diagramme und Vernetzung
16%
27%
42%
15%
• Zählen, Summieren
• Anteile (Brüche)
• Prozentzahlen
• Kreisgeometrie
Beschreibende Statistik III –
Mittelwerte und Streuungsmaße: Operieren
„Ich habe ein gutes Verhältnis zu meinem Schulleiter!“
trifft nicht zu trifft eher nicht zu trifft eher zu trifft zu 1 --- 2 --- 3 --- 4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
1 2 3 4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
1 2 3 4
Beschreibende Statistik IV –
Manipulierte Grafiken!?
Beschreibende Statistik IV –
Manipulierte Grafiken!?
Beschreibende Statistik IV –
Manipulierte Grafiken!?
Beschreibende Statistik IV –
Manipulierte Grafiken!?
Beschreibende Statistik IV –
Manipulierte Grafiken!?
Beschreibende Statistik V –
Normative Modelle („Murmelaufgabe“)
• Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt in Kleingruppen (20‘).
• Anschließend diskutieren und reflektieren wir die Ergebnisse im Plenum.
• Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!
Beschreibende Statistik V – Normative Modelle
Sven und Lennart sind beim letzten Training in jeweils zehn Versuchen die folgenden Weiten gesprungen. Wer ist der beste Weitspringer?
(Finde eine Möglichkeit / möglichst viele verschiedene Möglichkeiten, bei mehreren Sportlern in zehn Versuchen festzustellen wer der beste
Weitspringer ist.)
Sven: 5,98; 6,03; 5,80; 5,77, 6,00; 5,61; 5,81; 5,98; 5,78; 5,85 Lennart: 5,81; 5,44; 6,36; 5,24; 5,64; 5,43; 5,65; 5,50; 5,71; 5,34
• Europäische Popmusikcharts
• Klassenvergleich „Ausdauer“
Grenzen der beschreibenden Statistik – Stichprobenerhebungen und Zufallseffekte
Ihr sollt am Tag der Landtagswahl eine Wählerbefragung durchführen und um 18.00 Uhr eine Prognose für das
Wahlergebnis abgeben.
Plant euer Vorgehen an diesem Tag.
Wie viele Personen müssen wir befragen?
Wie wählen wir die Personen aus?
Müssen wir auf ein ausgewogenes Verhältnis bzgl. Alter / Geschlecht etc. berücksichtigen?
Kann es trotzdem passieren, dass wir mit der Prognose „daneben“
liegen? Was können Gründe hierfür sein?
→ Wahrscheinlickeitsrechnung für die Einschätzung Zufallseffekten
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Du sollst mit deinem Tischnachbarn ein Würfelspiel spielen:
Ihr werft abwechselnd mit zwei Würfeln. Spieler A darf ziehen, wenn die Augensumme 5, 6, 7 oder 8 fällt. Spieler B darf ziehen, wenn eine andere Augensumme fällt.
Möchtest du lieber Spieler A oder Spieler B sein?
Spiele anschließend mit deinem Tischnachbarn / deiner Tischnachbarin.
Wenn ihr euch nicht einige könnte, wer A und wer B sein soll, dann werft eine Münze, um zu entscheiden.
Und wären Sie lieber Spieler A oder Spieler B …?
Wahrscheinlichkeitsrechnung („Pferderennen“ PM 4/2005)
• Die Kopie ist ein „Spiel“ für Schülerinnen und Schüler.
• Führen Sie eine (fachliche) Sachanalyse des „Spiels“ und durch und schätzen Sie die Aufgabe unter didaktischen Gesichtspunkten ein.
- Setzen Sie sich zunächst alleine mit dem Arbeitsblatt auseinander (5‘), - tauschen Sie sich dann mit ihrem/ihrer Nachbarn/Nachbarin aus (5‘), - schließlich diskutieren wir gemeinsam Ihre Resultate (5‘).
• Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!
Wahrscheinlichkeitsrechnung –
Chancen und Risiken I (Reaktorsicherheit)
Die PSA des modernsten deutschen Kernkraftwerks, das 1989 in Neckarwestheim in Betrieb ging, weist dagegen eine CDF von 2,5 zu einer Million und damit die 2,5fache Wahrscheinlichkeit für eine Kernschmelze auf. Ist also der neue EPR zweieinhalbmal so sicher? Mitnichten. Denn die Untersuchung am schwäbischen Meiler hatte damals die GRS vorgenommen. Und genau aus deren Ecke kommt die Kritik. Weil hunderte von verschiedenen Einschätzungen und Gleichungen einfließen würden, so die Experten, seien die Zahlen der
Wahrscheinlichkeitsanalysen nicht so einfach vergleichbar.
(Quelle: http://www.x1000malquer.de/main.html)
Wahrscheinlichkeitsrechnung – Chancen und Risiken II (HIV-Test)
Der übliche HIV-Test ist der Elisa-Test, der Antikörper gegen das HIV-Virus
nachweist. Solche Tests sind fast 100 % sicher, aber eben nur fast! Es kann also vorkommen, dass der Test auf das Vorliegen der Krankheit hinweist, obwohl man gesund ist, oder auch, dass der Test kein Ergebnis bringt, obwohl man krank ist.
In Deutschland sind etwa 0,05 % der Bevölkerung HIV-infiziert.
Wenn eine Testperson das Virus hat, entdeckt der Test dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %.
Wenn eine Testperson nicht infiziert ist, so wird dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % richtig erkannt.
Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person, für die ein „positives“ Testergebnis vorliegt, infiziert ist?
Von der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur beurteilenden Statistik
• Beim Mensch-Ärger-Dich-Nicht fallen manchmal drei ober mehr Sechser nacheinander:
Sobald konkrete (mehrere) konkrete Ausgänge von
Zufallsversuchen ins Spiel kommen, regiert der eben der Zufall. Trotzdem lassen sich mit einer (Un-)Sicherheit Prognosen abgeben.
• „Stochastik hat das Ziel, optimale Entscheidungen unter
Unsicherheit zu finden.“
Beurteilenden Statistik I
• Julius hat mehrmals hintereinander eine Münze geworfen. Insgesamt ist siebenmal „Zahl“ gefallen. Wie oft hat er wohl geworfen?
Gib Zahlen an, die du für wahrscheinlich hältst, und solche, die du für
unwahrscheinlich hältst. Begründe deine Einschätzung und versuche sie mit eigenen Versuchen abzusichern.
• Lena hat mehrfach hintereinander einen Würfel geworfen. Die Summe der
Wurfergebnisse beträgt 20. Wie oft hat sie wohl geworfen? Gib Zahlen an, die du für wahrscheinlich hältst, und solche, die du für unwahrscheinlich hältst.
Begründe deine Einschätzung und versuche sie mit eigenen Versuchen abzusichern.
An die Münzen (Würfel), fertig, los … (20‘)
Beurteilenden Statistik II
• Dennis hat 20-mal mit einer Münze geworfen, dabei ist 14-mal „Zahl“ gefallen.
Dennoch behauptet er, dass „Kopf“ und „Zahl“ bei seiner Münze eigentlich gleichwahrscheinlich sind. Würdest du ihm glauben? Wie kannst du die Glaubwürdigkeit seiner Behauptung systematische einschätzen?
• Einer von euch soll zwanzigmal würfeln. Der andere notiert die Ergebnisse der einzelnen Würfe und berechnet hinterher deren Summe. Bevor ihr anfangt dürfen beide auf fünf Zahlen tippen, die hinterher als Summe herauskommen.
Nach einem Durchgang wechselt ihr die Rollen und spielt erneut.
Wenn ihr das Spiel öfter gespielt habt, dann einigt euch auf fünf Zahlen, die ihr tippen würdet, wenn ihr „gegen“ ein anderes Team spielt.
Beurteilenden Statistik III
Mal etwas realeres:
Stefanie behauptet, sie kann Frischmilch und H-Milch nur am Geschmack
unterscheiden. Wie kann man das überprüfen? Stellt einen Versuchsplan auf und führt selbst solche Geschmackstests durch.
Trocknen nasse Turnschuhe besser wenn man sie mit der Öffnung nach oben oder mit der Öffnung nach unten auf die Heizung legt? Plant eine Untersuchung, um dies festzustellen.
Ihr sollt am Tag der Landtagswahl eine Wählerbefragung durchführen und um 18.00 Uhr eine Prognose für das Wahlergebnis abgeben. Plant euer Vorgehen an diesem Tag. (s. o. → Hilfsmittel: GrafStat – www.grafstat.de)
Ein mögliches Fazit
• Stochastik kann in besonderer Weise allgemein bildend wirken:
- Kompetenter Umgang mit Daten und der Darstellungen im Alltag (sich nicht „manipulieren“ lassen),
- Statistik anwenden wird mehr und mehr zur Grundlage der
(empirischen) Wissenschaften, deren Ergebnisse unser Leben massiv beeinflussen,
- Chancen und Risiken betreffen unser Leben (z. B. Testproblematik, Reaktorsicherheit)
• Stochastik kann immer handlungsorientiert unterrichtet werden.
• Stochastik stellt natürliche Verbindungen zu anderen Fächer her
(passend zu den akademischen Disziplinen mit empirischer Ausrichtung)
