L¨osungen zur Klausur zu Statistik I PD Dr. Joachim Wilde Wintersemester 2006/07 13.02.2007

L¨ osungen zur Klausur zu Statistik I

PD Dr. Joachim Wilde Wintersemester 2006/07

13.02.2007 Aufgabe 1 (Insgesamt 15 Punkte)

zu Aufgabe 1 (a) (Insgesamt 3 Punkte)

Im vorliegenden Fall ist ein Histogramm besser geeignet. (1 Punkt)

Begr¨undung: Merkmal ist metrisch/stetig, und die Klassen sind unterschiedlich breit.

(2 Punkte)

zu Aufgabe 1 (b)(Insgesamt 8,5 Punkte)

j x^u_j x^o_j n_j f_j d_j =x^o_j −x^u_j f_j^r = ^f_d^j

j ·1 000

1 0 b. unter 1 500 150 0.15 1500 0.100

2 1 500 b. unter 2 000 300 0.30 500 0.600 3 2 000 b. unter 2 500 350 0.35 500 0.700 4 2 500 b. unter 3 500 150 0.15 1 000 0.150 5 3 500 b. unter 5 500 50 0.05 2 000 0.025

1 000 1.000

- 6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 f_j^r

0 500 1000 2000 3000 4000 5000 Einkommen

• Fall A: Es wurde korrekterweise das Histogramm als Darstellung gew¨ahlt.

korrekte Achsenbeschriftungenje 0,5 Punkte = 1 Punkt Berechnung der f¨unf S¨aulenh¨ohen f_j^r je 1 Punkt = 5 Punkte

Zeichnen des Histogramm je 0,5 Punkte pro richtiger Fl¨ache = 2,5 Punkte

Fall B: Es wurde ein Stabdiagramm als Darstellung gew¨ahlt.

korrekte Achsenbeschriftungenje 0,5 Punkte = 1 Punkt

Zeichnen des S¨aulendiagrammsje 0,5 Punkte pro S¨aule = 2,5 Punkte

D.h. mit einem S¨aulendiagramm k¨onnen maximal 3,5 Punkte erreicht werden.

zu Aufgabe 1 (c)(Insgesamt 3,5 Punkte)

Die Klasse 5 (mit einem Einkommen von 3500 bis unter 5500 Euro) w¨urde bei der Darstel- lung mitfj stattf_j^ram deulichsten ¨uberbetont werden,(1 Punkte)da diese Klasse die gr¨oßte Klassenbreite hat (2.5 Punkte).

Aufgabe 2 (insgesamt 24 Punkte) zu Aufgabe 2 (a) (insgesamt 5 Punkte)

Es liegt eine unklassierte H¨aufigkeitsverteilung vor(0,5 Punkte) F¨ullmenge des Tanks/Tag = a_j

Anzahl Tage = h(a_j) = h_j (0,5 Punkte) x= _n^{1 Pk}_j=1a_j ·h_j =^Pk_j=1a_j ·f_j (1 Punkt)

a_j h_j f_j kumf_j a_j·h_j a_j·f_j 0.01 3 0.01 0.01 0.03 0.0001 20 15 0.05 0.06 300.00 1.0000 50 24 0.08 0.14 1 200.00 4.0000 75 48 0.16 0.30 3 600.00 12.0000 80 72 0.24 0.54 5 760.00 19.2000 85 96 0.32 0.86 8 160.00 27.2000 90 30 0.10 0.96 2 700.00 9.0000 100 12 0.04 1.00 1 200.00 4.0000 300 1.00 22 920.03 76.4001

Insgesamt f¨ur Spalteaj·hj bzw. aj·fj (1 Punkt) x= ₃₀₀¹ 22 920.03 = 76.4001 (1 Punkt)

Die durchschnittliche F¨ullmenge des Tanks/Tag betr¨agt 76 400.1 Tonnen. Bei einer t¨aglichen Verarbeitungsmenge von 38 000 t Roh¨ol reicht dieser Vorrat f¨ur 76 400.1/38 000=2.0105 Ta- ge, also rund 2 Tage.(1 Punkt)

zu Aufgabe 2 (b)(insgesamt 11 Punkte)

Zur 5-Punkte-Zusammenfassung geh¨oren:x₍₁₎, x_0.25, x_0.5 =x_med, x_0.75, x_(n) (1 Punkt) x₍₁₎ = 0.01(0,5 Punkte)

x_(n) = 100 (0,5 Punkte)

F¨ur die Ermittlung der anderen Werte der 5-Punkte-Zusammenfassung ist es notwendig, die relativen und kumulierten relativen H¨aufigkeiten (fj und kumf_j) zu bestimmen.

Spaltefj (siehe unter 2(a), 1 Punkt) Spaltekumf_j (siehe unter 2(a), 1 Punkt)

Die gesuchten p-Quantile (25-/50-/75%-Quantil) ergeben sich bei der Merkmalsauspr¨agung a_j, bei der die kumulierten relativen H¨aufigkeiten kumf_j erstmals die gesuchten Anteile p (0.25/0.5/0.75) ¨uberschreiten.

x_0.25= 75 (1 Punkt) x_0.5 = 80 (1 Punkt) x_0.75= 85 (1 Punkt)

-

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pro richtigem senkrechten Strich 0.5 Punkteund 0,5 Punkte f¨ur Box (zusammen 3 Punkte) Aus Boxplot Rechtssteile/Linksschiefe erkennbar(1 Punkt)

zu Aufgabe 2 (c)(insgesamt 5 Punkte) se² = ¹_n^Pk_j=1a²_j ·h_j −x² (1 Punkt)

se² = ₃₀₀¹ 1 853 400.0003−76.4001² = 341.0247 (1 Punkt) se=√

se² =√

341.0247 = 18.4669 (1 Punkt)

HINWEIS: Auch die Berechnung von s statt seist f¨ur die vorliegende Aufgabenstellung kor- rekt (Punktvergabe analog zu s):^e

s² = _n−1¹ (^Pk_j=1a²_j ·hj −n·x²)

s² = ₃₀₀₋₁¹ (1 853 400.0003−300·76.4001²) = 342.1653 s=√

s² =√

342.1653 = 18.4977

Die Standardabweichung beschreibt die H¨ohe der durchschnittlichen Schwankungen der F¨ull- menge des Tanks. Eine hohe Standardabweichung ist daher gleichbedeutend mit hohen Schwankungen der F¨ullmenge um den Mittelwert. D.h. es gibt viele Tage mit geringem Tankinhalt und viele Tage mit hohem Tankinhalt. Insbesondere an Tagen mit geringem Tankinhalt ist die Raffinerie bei Lieferausf¨allen gef¨ahrdet.(2 Punkte)

zu Aufgabe 2 (d)(insgesamt 3 Punkte) durchschnittliche Wachstumsrate r_geom w_geom= ^{qn x}_xⁿ₀ (1 Punkt)

w_geom=^{q5 x}_x²⁰⁰⁵₂₀₀₀ =^{q5 12 124 675}_{9 500 000} (Einsetzen 1 Punkt) w_geom=√⁵

1.2763 = 1.05⇒r_geom =w_geom−1 = 0.05(1 Punkt)

Die durchschnittliche Wachstumsrate der Erd¨olverarbeitung pro Jahr betr¨agt 5 %.

Aufgabe 3 (insgesamt 12 Punkte) zu Aufgabe 3 (a) (insgesamt 3 Punkte)

Die absolute Konzentration wird durch 2 Effekte beeinflusst: Den Anzahleffekt und der Dis- parit¨ateneffekt (1 Punkt).

Anzahleffekt: Je kleiner die Anzahl der Unternehmen (bzw. Merkmalstr¨ager), desto gr¨oßer tendenziell die absolute Konzentration (1 Punkt).

Disparit¨ateneffekt: Je gr¨oßer die Disparit¨at (also je unterschiedlicher die Verteilung der Merk- malssumme auf die Merkmalstr¨ager), desto gr¨oßer die absolute Konzentration (1 Punkt).

zu Aufgabe 3 (b)(insgesamt 6 Punkte)

Absolute Konzentration: Geeignetes Maß ist Herfindahl-Index H (0,5 Punkte) H =^Pn_i=1ve²_i (0,5 Punkte)

• F¨ur das Jahr 2004:

H = (¹⁶⁰₅₀₀)² + (¹⁸⁰₅₀₀)²+ (₅₀₀⁹⁰)²+ (₅₀₀⁷⁰)²

H = 0.32²+ 0.36²+ 0.18²+ 0.14² (1 Punkt f¨ur richtige v^e_i) H = 0.1024 + 0.1296 + 0.0324 + 0.0196 = 0.2840 (1 Punkt)

• F¨ur das Jahr 1999:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe

Strom 1999 70 100 90 30 10 10 30 60 400

ve_i 0.1750 0.2500 0.2250 0.0750 0.0250 0.0250 0.0750 0.1500 1.000 ve_i² 0.0306 0.0625 0.0506 0.0056 0.0006 0.0006 0.0056 0.0225 0.1786 f¨ur richtige v^ei (1 Punkt)

H = 0.1786 (1 Punkt)

Die Konzentration im Jahr 2004 ist gr¨oßer als die Konzentraton im Jahr 1999. (1 Punkt)

zu Aufgabe 3 (c)(insgesamt 3 Punkte)

Durch die Zerschlagung der 4 Konzerne w¨urde sich die Anzahl der Unternehmen verdoppeln (1 Punkt)- die Konzentration m¨usste sinken.

Da jeder der 4 Konzerne in je k=2 gleich große Einheiten zerschlagen werden soll, w¨urde sich die absolute Konzentration halbieren (2 Punkte):

H^neu= ¹_kH^alt = ¹₂H^alt

zu Aufgabe 4 (a) (insgesamt 2 Punkte)

Bestimme Randverteilung des Merkmals ’Beitragserh¨ohung’ (X)⇒h_i• =^Pm_j=1h_ij Art der Krankenkasse (Y) Summe %

AOK EK BKK IKK h_i• f_i•

Beitrags- ja 14 9 105 4 132 132/242=0.5455

erh¨ohung (X) nein 2 1 95 12 110 0.4545

Summeh_•j 16 10 200 16 242 1.000

Pro richtiger Randsumme in absoluten H¨aufigkeiten (0.5 Punkte; Zusammen 1 Punkt) 54.55% der Krankenkassen haben ihre Beitr¨age erh¨oht (0.5 Punkte)

45.45% der Krankenkassen haben ihre Beitr¨age nicht erh¨oht(0.5 Punkte)

zu Aufgabe 4 (b)(insgesamt 6 Punkte)

Gesucht ist die bedingte Verteilung des Merkmals Beitragserh¨ohungX gegeben das Merkmal

’Art der Krankenkasse’Y. f_X(a_i|Y =b_j) = ^h_h^ij

•j

Art der Krankenkasse (Y)

AOK EK BKK IKK

Beitrags- ja 0.875 0.9 0.525 0.25 erh¨ohung (X) nein 0.125 0.1 0.475 0.75 Summe 1.000 1.000 1.000 1.000

Pro richtig angegebener bedingter relativer H¨aufigkeit (0.5 Punkte; Zusammen 4 Punkte) Die bedingten Verteilungen des Merkmals Beitragserh¨ohung in den Krankenkassenarten un- terscheiden sich (1 Punkt). Daher scheint es einen Zusammenhang zwischen dem Merkmal Beitragserh¨ohung und dem Merkmal ’Art der Krankenkasse’ zu geben(1 Punkt). Die Kran- kenkassenart hat also einen Einfluss darauf, ob eine Beitragserh¨ohung vorgenommen wurde oder nicht.

zu Aufgabe 4 (c)(insgesamt 8 Punkte) Berechne zuerst χ² und dann K^∗

• χ² =^P_i^P_j ^(hij−e_e ^ij)2

ij (0.5 Punkte)

χ² = ^(14−8.7)_8.7 ² +^(9−5.5)_5.5 ² +. . .+^(12−7.3)_7.3 ² (1 Punkt) χ² = 17.9303 (1 Punkt)

Zur Kontrolle:χ²-Beitr¨age

Art der Krankenkasse (Y) Summe

AOK EK BKK IKK

Beitrags- ja 3.2287 2.2273 0.1541 2.5391 erh¨ohung (X) nein 3.8479 2.7222 0.1849 3.0260

Summe 17.9303

• Zur Interpretation des Zusammenhangs zweier nominaler Variablen ben¨otigt:

K^∗ (1 Punkt)

K^∗ = √^K_M−1

M

(0.5 Punkte) K =^q_χ2^χ+n² =^q17.9303+242^17.9303 =√

0.06898 = 0.2626 (0.5 Punkte) M =min(k, m) =min(2,4) = 2 (0.5 Punkte)

K^∗ = √^K_M−1

M

= ^0.2626√₁

2

= 0.3714 (1 Punkt)

Der Zusammenhang zwischen den Merkmalen Beitragserh¨ohung und Art der Kranken- kasse ist schwach, da 0.2≤K^∗ ≤0.5(2 Punkte)

zu Aufgabe 5 (a) (insgesamt 2 Punkte)

Temperatur: metrisch skaliert (1 Punkt), intervallskaliert, stetig, diskret erhoben Schneeh¨ohe: metrisch skaliert (1 Punkt), verh¨altnisskaliert, stetig, aber diskret erhoben zu Aufgabe 5 (b)(insgesamt 11 Punkte)

Temperatur = Variable X Schneeh¨ohe = Variable Y

Datensatz enth¨alt keine Bindungen (1 Punkt) Daher berechner_SP ¨uber r_SP = 1− ^6·

P_n

i=1d²_i

n(n²−1) (1 Punkt) mit d_i =rg(x_i)−rg(y_i) Vor¨uberlegung: Vergabe von Rangpl¨atzen getrennt f¨ur jedes Merkmal

- Hohe Temperatur→ niedriger Rang (alternativ: hoher Rang)

- Hohe Schneeh¨ohe → niedriger Rang (alternativ: hoher Rang) (1 Punkt)

Saison 1996/ 1997/ 1998/ 1999/ 2000/ 2001/ 2002/ 2003/ 2004/ 2005/

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temp. (X) 22 20 27 21 30 29 23 33 26 35

Schnee (Y) 1.90 2.00 1.40 1.80 1.20 1.65 1.70 1.30 1.95 1.45

rg(x_i) 8 10 5 9 3 4 7 2 6 1

rg(yi) 3 1 8 4 10 6 5 9 2 7

d_i 5 9 -3 5 -7 -2 2 -7 4 -6

d²_i 25 81 9 25 49 4 4 49 16 36

ALTERNATIV

rg(x_i) 3 1 6 2 8 7 4 9 5 10

rg(y_i) 8 10 3 7 1 5 6 2 9 4

d_i -5 -9 3 -5 7 2 -2 7 -4 6

d²_i 25 81 9 25 49 4 4 49 16 36

F¨ur Zeile rg(x_i) (1 Punkt) F¨ur Zeile rg(yi)(1 Punkt) F¨ur Zeile d_i (1 Punkt) F¨ur Zeile d²_i (0.5 Punkte) r_SP = 1− ^6·

P_n

i=1d²_i

n(n²−1) = 1− _10(100−1)^6·298 =−0.8061 (1 Punkt)

Interpretation: Monotoner, negativer, starker Zusammenhang(1.5 Punkte)

Dies bedeutet: Je h¨oher der Rang von X (Temperatur), desto kleiner der Rang von Y (Schneeh¨ohe). Mit anderen Worten: Je k¨alter der Sommer, desto mehr Schnee liegt im Win- ter; je heißer der Sommer, desto weniger Schnee liegt. (1 Punkt)

Der Hotelbesitzer kann daher die Bauernregel nicht f¨ur seine Planungen einsetzen, da diese einen positiven Zusammenhang zwischen den Variablen unterstellt. (1 Punkt) Die Umkeh- rung der Bauernregel kann der Hotelbesitzer aber nutzen.

zu Aufgabe 5 (c)(insgesamt 5 Punkte)

Da beide Variablen metrisch sind, k¨onnte man auch den Korrelationskoeffizient nach Bravais- Pearson berechnen (1 Punkt).

Bravais-Pearson: 2 metrische Variablen, Linearer Zusammenhang (2 Punkte)

Spearman: 2 mindestens ordinale Merkmale, Monotoner Zusammenhang (2 Punkte)

Aufgabe 6 (insgesamt 15 Punkte) zu Aufgabe 6 (a) (insgesamt 6 Punkte)

Neuwahlen Summe

Bef¨urworter (B) Ablehnen (B^C)

Partei- K¨onigspartei (K) 900 000 (0.18) 2 100 000 (0.42) 3 000 000 (0.60) pr¨aferenz Graue Maus (K^C) 1 600 000 (0.32) 400 000 (0.08) 2 000 000 (0.40) Summe 2 500 000 (0.50) 2 500 000 (0.50) 5 000 000 (1.00) richtige Anlage der Tabelle 1,5 Punkte

in Tabelle einzutragende Werte je 0,5 Punkte = 4,5 Punkte

zu Aufgabe 6 (b)(insgesamt 2 Punkte)

400

K

2 100

900

1 600 B

'

&

$

% '

&

$

%

korrekte Anlage Venn-Diagramm 1 Punkt, korrektes Eintragen der Werte 1 Punkt

zu Aufgabe 6 (c)(insgesamt 7 Punkte)

Zuf¨allige Auswahl → Jeder Wahlberechtigte hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden → Laplace-Wahrscheinlichkeit→ Anzahl g¨unstiger F¨alle

Anzahl m¨oglicher F¨alle 1. P(Bef¨urworter Neuwahlen) =P(B) = ^{2 500 000}_{5 000 000} = 0.5 (2 Punkte)

2. P(Graue Maus und Neuwahlen ablehnen) = P(K^CTB^C) = _{5 000 000}^{400 000} = 0.08(2 Punkte) 3. P(K¨onigspartei|Bef¨urworter Neuwahlen) =P(K|B) = ^P(K

TB)

P(B) = _{2 500 000}^{900 000} = 0.36 (3 Punkte)