Lehrstuhl für Informatik 1 SS 2012
PD Dr. Walter Unger 05.06.2012
Sascha Geulen Benjamin Ries
Knudsons Knud Rückkehr
Übung zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
Blatt 7
1 Die Rückkehr
Nachdem Knud Knudson und seine Studenten ihre approximativen Abenteu- er auf der Insel Effi abgeschlossen haben, verstauen sie alle Messinstrumente und Experimente wieder in den kleinen Booten. Knud Knudson erinnert sich wieder an die Gewichtsbeschränkung der Boote und hofft, dass diese auch diesmal nicht überschritten wird. Es stellt sich glücklicherweise heraus, dass weder er noch seine Studenten zugenommen haben. Ganz im Gegenteil, alle Expeditionsteilnehmer zusammen haben abgenommen und die mitgebrachten Vorräte wurden ebenfalls fast vollständig aufgebraucht. Aus diesem Grund ist Knud Knudson nun auch erleichtert. Die zusätzlichen auf der Insel gesam- melten Proben können ebenfalls mitgenommen werden. So beginnen sie ihre Überfahrt zurück zur Pfingstinsel.
Obwohl Knud Knudson die Auswertung der Experimente und das Studium der auf der Insel gesammelten Proben nur in seinen Labor daheim durchführen kann, plant Knud Knudson bereits jetzt mindestens eine weitere Expedition zur Insel Effi zu unternehmen. Daher überlegt er sich während der Überfahrt, ob es nicht auf Dauer billiger wäre wenigstens ein paar der kleinen Boote zu kaufen, anstelle sie jedes Mal mieten zu müssen. Die Miete eines kleinen Bootes kostet pro Überfahrt eine GE, der Kauf eines kleinen Bootes kostet dagegen nur einmalig zehn GE. Jedoch weiß Knud Knudson jetzt noch nicht, wie viele weitere Expeditionen er in Zukunft zur Insel Effi unternehmen wird.
Sollte Knud Knudson die Boote jedes Mal mieten oder einmalig kaufen?
Aufgabe 7.1 (4 Punkte)
Das Ski-Rental-Problem ist das folgende Online Problem:
Ski-Rental
Ein Skifahrer möchte einen Skiurlaub unternehmen. Er weiß zum Be- ginn des Urlaubs aber noch nicht, wie lange die Saison noch läuft.
Zum Beginn eines jeden Tages muss er sich entscheiden, ob er ein Paar Skier für eine GE pro Tag leiht oder für N GE (N > 1) kauft.
Gib einen Online-Algorithmus an, der Kosten höchstens 2− N1
· C∗ hat, wobei C∗ die Kosten eines optimalen Offline-Algorithmus sind.
Beweise außer dem Competitivfaktor auch die Korrektheit deines Algo- rithmus.
3
Aufgabe 7.2 (4 Punkte) Gib einen 12-Approximationsalgorithmus mit LaufzeitO(n+m)für das folgende Problem an und beweise den Approximationsfaktor:
Gegeben ist ein zusammenhängender ungerichteter Graph G = (V, E), wie groß ist der Durchmesser von G?
(Der Durchmesser vonGist definiert als diam(G) := maxv,w∈V dist(v, w), wobei dist(v, w) die Länge eines kürzestenv-w-Pfades (hier bezüglich Kantenanzahl) ist.)
Aufgabe 7.3 (4 Punkte)
Wir betrachten die Heuristik Least-Loaded-ex-post für das Scheduling-Problem auf all- gemeinen Maschinen. Least-Loaded-ex-post platziert einen Job so, dass nachdem dieser Job platziert wurde, die Last der gewählten Maschine minimal ist.
Formal: Ein Job i wird auf der Maschine j platziert, bei welcher der Ausdruck lj +pi,j
minimiert wird, wobei lj die Last auf Maschine j und pi,j die Laufzeit von Job i auf Maschine j darstellen soll.
(a) Finde ein Beispiel, das zeigt, dass die Heuristik Least-Loaded-ex-post auf allgemei- nen Maschinen eine Lösung berechnen kann, die um den Faktor Θ(n)schlechter ist als die optimale Lösung.
(b) Beweise, dass Least-Loaded-ex-post ein m-Approximationsalgorithmus ist (m ist die Anzahl der Maschinen).
Aufgabe 7.4 (4 Punkte)
Das File-Migration-Problem (FMP) ist definiert wie das File-Allocation-Problem (FAP), mit zwei Unterschieden.
(i) Es ist nicht erlaubt, mehrere Kopien der Datei zu halten. Daher gibt es beim FMP auf einer Kante nur die beiden Konfigurationen [a] und [b].
(ii) Es gibt nur noch eine Art von Zugriff, dessen Kosten analog zu den Schreibzugriffen beim FAP definiert sind.
Der Online-Algorithmus AGGRESSIVE für das FMP auf einer Kante arbeitet nach der folgenden Regel: Die Datei wird immer zu demjenigen Knoten bewegt, der als letztes auf die Datei zugegriffen hat.
Zeige:
(a) AGGRESSIVE ist nicht 3-competitive.
(b) AGGRESSIVE ist 4-competitive.
(c) Es gibt einen 3-competitiven Online-Algorithmus für das FMP.
(Tipp zu (c)): Versuche den 3-competitiven Algorithmus für das FAP an die veränderte Problemstellung anzupassen.)
Abgabe bis Dienstag, den 12.06.2012 um 12.00 Uhr
im Sammelkasten am Lehrstuhl oder in der Vorlesung.
