Die diskreten Gruppen euklidischer Bewegungen in der Ebene

Elem. Math. 54 (1999) 137 – 155 0013-6018/99/040137-19 $ 1.50+0.20/0

c Birkha¨user Verlag, Basel, 1999

Elemente der Mathematik

Die diskreten Gruppen euklidischer Bewegungen in der Ebene

Walter Wolking

Walter Wolking, geboren 1941, studierte Mathematik und Physik an der Universita¨t Mu¨nster. Er promovierte 1978 an der Ruhruniversita¨t in Bochum, versah anschlies- send wa¨hrend mehrerer Jahre Lehrauftra¨ge an der Universita¨t in Osnabru¨ck und ist heute als Gymnasiallehrer ta¨tig. Sein Hauptinteresse geho¨rt den Kleinschen Gruppen, insbesondere dem Hausdorff-Mass und der Hausdorff-Dimension ihrer Grenzpunkt- menge. Entspannung von der mathematischen Arbeit sucht er am liebsten in der freien Natur.

1 Einleitung

Die Drehungen und Parallelverschiebungen (Translationen) in der Ebene sind genau die Transformationen, die man durch zwei aufeinander folgende Geradenspiegelungen erha¨lt. Schaltet man zwei derartige Transformationen hintereinander, so ist das Ergeb- nis wiederum eine Drehung oder Translation. Die geraden Mehrfachspiegelungen bilden demnach die GruppeMaller Drehungen und Translationen in der GruppeMaller Mehr- fachspiegelungen (euklidische Bewegungen).

M ist wiederum eine Untergruppe der GruppeM_L aller geraden Mehrfachspiegelungen an Geraden und Kreisen (Gruppe der gebrochen linearen Transformationenz→ _cz+d^az+b).

Die ‘Kleinschen Gruppen’ ausML sind durch die im folgenden erla¨uterte Eigenschaft (∗)charakterisiert. Sie spielen eine große Rolle bei der Untersuchung und Beschreibung Riemannscher Fla¨chen (Fla¨chen mit einer komplexen Struktur). Jede derartige Fla¨che erha¨lt man aus einem im weiteren na¨her beschriebenen Fundamentalgebiet dadurch, daß

.

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben;

man solle die der Mannigfaltigkeit angeho¨rigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigen- schaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht gea¨ndert wer- den. Gema¨ss dem Erlanger Programm von Felix Klein (1872), aus dem dieses Zitat stammt, geho¨rt die Gruppe der euklidischen Bewegungen der Ebene zur ebenen Kon- gruenzgeometrie. Algebraische Aussagen u¨ber diese Gruppe entsprechen kongruenz- geometrischen Aussagen in der Ebene. Im vorliegenden Beitrag stellt sich Walter Wol- king die Aufgabe, alle diskreten Untergruppen zu beschreiben; diese entsprechen Par- kettierungen der Ebene durch kongruente Bereiche. ust

man a¨quivalente Punkte des Randes identifiziert. Kennt man die Untergruppen ausM_L mit der Eigenschaft(∗), so hat man einen U¨ berblick u¨ber alle Riemannschen Fla¨chen.

Im folgenden werden u.a. diejenigen diskreten (Kleinschen) Gruppen G bestimmt, bei denen sich die Bilder eines Fundamentalgebietes genau in einem Punkt (hier Grenzpunkt

∞) ha¨ufen. Die Anzahl der Grenzpunkte einer Kleinschen Gruppe ist 0 oder 1 oder 2 oder unendlich. IstU einfach periodisch, so entspricht im Falle G =U der zugeho¨ri- gen Riemannschen Fla¨che topologisch eine Spha¨re, der zwei Punkte entnommen sind (zweifach punktierte Spha¨re), im FalleG6=U eine einfach punktierte Spha¨re mit zwei Verzweigungspunkten (entsprechen den Drehzentren). IstGdoppelt periodisch, so ist die Riemannsche Fla¨che ein Torus, in den u¨brigen Fa¨llen eine Spha¨re mit maximal vier Ver- zweigungspunkten. Unendlich viele Exemplare eines Fundamentalgebietes u¨berdecken die gesamte Ebene. Es werden hier also u.a. mit elementaren geometrischen Vorausset- zungen, ohne Zuhilfenahme der komplexen Analysis, sa¨mtliche Riemannschen Fla¨chen bestimmt, die durch die komplexe Ebene (i.a. verzweigt) regula¨r u¨berlagert werden.

Benutzt man zusa¨tzlich die Spiegelungen an Kreisen, so kann man unter einfachen Vor- aussetzungen auch die diskreten Gruppen ohne Grenzpunkt bzw. mit genau zwei Grenz- punkten bestimmen. Zudem la¨ßt sich mit Hilfe der vorliegenden Untersuchungen ein U¨ berblick u¨ber die entsprechenden diskreten Gruppen im RaumR³ und damit u¨ber die zugeho¨rigen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten gewinnen; die Verha¨ltnisse sind dort jedoch i.a. komplizierter und schwieriger darzustellen.

Jede Transformation aus M la¨ßt sich durch maximal drei Geradenspiegelungen dar- stellen. Jede Dreifachspiegelung kann durch eine einfache Spiegelung mit eventueller anschließender Translation parallel zur Spiegelachse beschrieben werden.

Eine Spiegelung mit anschließender Translation parallel zur Spiegelachse be- zeichnet man als Gleitspiegelung.

Zwei verschiedene Punkte der Ebene sind a¨quivalent unter M, d.h. es gibt eine Trans- formation aus M, die einen der Punkte auf den anderen abbildet. Insbesondere entha¨lt jede noch so kleine Kreisumgebung eines beliebigen Punktes a¨quivalente Punkte unter M. Die im letzten Satz gekennzeichnete Eigenschaft trifft auf zahlreiche Untergruppen vonMzu. So ist jede Drehungj mit dem Drehwinkelaπ,airrational, wegenna6=kfu¨r beliebige k,n∈Z, von unendlicher Ordnung (ord(j) =∞), d.h. die vonj erzeugte Un- tergruppe entha¨lt unendlich viele Elemente und damit Drehungen mit beliebig kleinem Drehwinkel.

Untergruppen mit der obigen Eigenschaft sind i.a. wenig interessant. In dieser Arbeit sollen diejenigen Untergruppen W aus M bestimmt werden, auf die die obige Eigen- schaft nicht zutrifft. Gesucht sind also sa¨mtliche Untergruppen W ⊂M mit folgender Eigenschaft:

(∗) Es gibt mindestens einen Punktz0 der Ebene und dazu eine offene Kreisumgebung U_z0;U_z0={z| |z−z0|<r}; in der keine a¨quivalenten Punkte unter W liegen.

Die KreisscheibenS(U_z0)mitS ∈W u¨berschneiden sich also nicht.

Die Eigenschaft (∗) charakterisiert die diskreten Untergruppen. Die Bezeichnung la¨ßt sich fu¨r Untergruppen ausM wie folgt motivieren:

Jede Drehung kann man durch eine Drehung um den Nullpunkt (mit gleichem Dreh- winkel) und anschließende Translation darstellen – zum Beweise wa¨hle man die Verbin- dungsgerade vom Nullpunkt zum Drehzentrum als eine Spiegelachse. Jedes Element aus Mist somit durch ein Tripel(x1|x2|x3), also einen Punkt ausR³, gekennzeichnet, wobei x1 den Drehwinkel und (x2|x3) den Translationsvektor angibt; fu¨r reine Translationen ist x1 =0+n2π.x2,x3 sind eindeutig, x1 dagegen nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt, d.h. zwei Punkte aus R³ bestimmen genau dann dasselbe Element ausM, wenn sie in der 2. und 3. Koordinate u¨bereinstimmen und die Differenz der 1.

Koordinaten ein ganzzahliges Vielfaches von 2πist. Die zuM geho¨rende Punktmenge M_p ist der gesamte RaumR³. Hat dagegenG⊂Mdie Eigenschaft(∗), so gibt es inG keine Transformationen, die der identischen Abbildung beliebig nahekommen, d.h., es gibt eine Umgebung des Nullpunktes inR³, in der kein Punkt der MengeG_p liegt. Auf- grund des Gruppencharakters vonGliegen die Punkte vonG_pisoliert inR³; es handelt sich um eine diskrete Punktmenge. Nach diesen Voru¨berlegungen lassen sich folgende A¨ quivalenzen leicht beweisen:

G ⊂M hat die Eigenschaft(∗)⇔ Es gibt eine Umgebung des Nullpunktes in R³, in der kein Punkt ausG_p liegt.⇔Es gibt keine FolgeS_n(S_n6=id)von Transformationen ausG mitS_n(z)→zfu¨r alle Punktezder Ebene.

Zum Nachweis der Eigenschaft (∗) bestimmen wir im folgenden Fundamentalgebiete (Fundamentaldreiecke, Fundamentalrauten).

Ein Fundamentalgebiet F einer Gruppe W ⊂M ist die abgeschlossene Punkt- menge einer Fla¨che, die von Geraden oder Halbgeraden oder Strecken berandet wird (einschließlich der Randpunkte), mit folgender Eigenschaft:

Die Bildfla¨chenS(F)u¨berdecken die ganze Ebene, u¨berlappen sich jedoch nicht.

Zwei verschiedene Bildfla¨chen haben somit ho¨chstens gemeinsame Randpunkte.

Um alle diskreten GruppenG⊂M zu erfassen, bestimmen wir zuna¨chst sa¨mtliche dis- kreten GruppenG⊂M und untersuchen unmittelbar im Anschluß daran alle Mo¨glich- keiten der Erweiterung vonG zu einer diskreten GruppeG derart, daß die Untergruppe der geraden Mehrfachspiegelungen ausG genauG ist.G ist im allgemeinen durch G nicht eindeutig bestimmt. Da die geraden Mehrfachspiegelungen einer diskreten Gruppe G ⊂ M eine diskrete Gruppe G ⊂ M bilden, haben wir damit einen vollsta¨ndigen U¨ berblick u¨ber alle diskreten Gruppen euklidischer Bewegungen.

Zur Bestimmung sa¨mtlicher diskreten Gruppen G⊂M machen wir eine grobe Fallun- terscheidung u¨ber die UntergruppenU(U⊂G)aller Translationen.

Die Untergruppe U heißt einfach periodisch genau dann, wenn sie von genau einem Element erzeugt wird.

Ist dies nicht der Fall, so gibt es zwei Translationen ausU, deren Translationsvektoren linear unabha¨ngig sind.Uwird dann von genau zwei Elementen erzeugt; wir nennenU in diesem Fall doppelt periodisch.

Da eine Hintereinanderschaltung zweier ungerader Mehrfachspiegelungen (Gleitspiege- lungen) ausG ein Element ausGist, erzeugt jede Gleitspiegelung ausGzusammen mit Erzeugenden der GruppeG die ganze Gruppe G. Diese zusa¨tzliche Erzeugende wollen wir im folgenden grundsa¨tzlich mite, die zugeho¨rige Spiegelachse mitabezeichnen.

BestehtGnur aus der identischen Abbildungid und iste=sp◦t=t◦spinG, so gilt e² =t◦sp◦sp◦t=t² ∈G. Es muß dannt=id sein;e ist eine einfache Spiegelung.

Die GruppenG mitG={id}werden durch einfache Spiegelungen erzeugt.

In den folgenden Bu¨chern findet der Leser weitere Informationen u¨ber dieses Thema [1], [2], [3], [4].

2 Die diskreten Gruppen von Drehungen Wir beweisen zuna¨chst:

(1) Entha¨ltGausschließlich Drehungen, so istGzyklisch mit endlich vielen Elementen.

Dazu zeigen wir:

(2) Entha¨lt G zwei Drehungen j1,j2 mit verschiedenen Fixpunkten, so gibt es in G eine Translation.

2

1

ββ α

α

Q3

Q’

2 γ m’1

m1

m2

P₂ P₁

γ

m’

m

Q Q Q

Abb. 1

Die Beweisschritte zu (2) lassen sich anhand der Abb. 1 anschaulich interpretieren. Wir ko¨nnen annehmen, daß die Drehwinkelα, βvonj1,j2(mit den FixpunktenP1,P2) positiv sind.

Dann gilt

j1= sp(m)◦sp(m1), (sp(u)– Spiegelung an der Achseu) j2= sp(m2)◦sp(m),

j2◦j1= sp(m2)◦sp(m)◦sp(m)◦sp(m1) =sp(m2)◦sp(m1) (Drehung umQmit dem Drehwinkel−2γ)

j₁⁻¹= sp(m)◦sp(m⁰₁), j₂⁻¹= sp(m⁰2)◦sp(m), j₂⁻¹◦j₁⁻¹= sp(m⁰₂)◦sp(m⁰₁)

(Drehung umQ2 mit dem Drehwinkel 2γ)

Die Abbildung t1 = j₂⁻¹◦j₁⁻¹◦j2◦j1 bildet Qauf Q1 und (j2◦j1)⁻¹(Q2) =Q⁰ auf Q2 ab.

Aufgrund der Symmetrie sind die StreckenQQ1 und Q⁰Q2 gleichlang. Wegent1(Q) = Q1,t1(Q⁰) = Q2 und t1(∞) = ∞ ist t1 eine Translation. Die obigen U¨ berlegungen gehen von der Voraussetzung aus, daß m1 und m2 sich schneiden. Verlaufen m1,m2

parallel, so ist j2◦j1=sp(m2)◦sp(m1)eine Translation.

Damit ist (2) bewiesen.

Anhand der Symmetrie der Abbildung 1 sieht man weiterhin, daßt2=j2◦j1◦j⁻₂¹◦j⁻₁¹ eine Translation mitt2(Q2) =Q3ist. Istγ6=90^◦, so sind die Vektoren−−→

QQ1und−−−→

Q2Q3

linear unabha¨ngig; die von j1,j2 erzeugte Gruppe entha¨lt dann eine doppelt periodische Untergruppe.

Aus (2) folgt, daß die Elemente der in (1) vorausgesetzten GruppeGeinen gemeinsamen endlichen Fixpunkt haben. DaGdiskret sein soll, ko¨nnen die Drehwinkel der Elemente nicht beliebig klein werden, d.h. es gibt eine Drehungj0inGmit minimalem (positivem) Drehwinkel. Jede andere Drehung inG muß dann eine mehrfache Hintereinanderschal- tung von j0 sein, da andernfalls j0 nicht minimal ist. Aus dem gleichen Grund muß ein Vielfaches des Drehwinkels von j0 gleich 2πsein.

Somit ist (1) vollsta¨ndig bewiesen.

Die endlichen zyklischen Gruppen von Drehungen sind genau die diskreten Gruppen euklidischer Bewegungen, die ausschließlich aus Drehungen bestehen.

Jede Gleitspiegelung e ∈ G bildet den endlichen Fixpunkt P von G wieder auf einen Fixpunkt einer Transformation aus G ab. Also kann e nur eine Spiegelung sein, deren AchseadurchP verla¨uft.

Sinda,mbeliebige Achsen durchP mit j0=sp(a)◦sp(m), so erzeugen die Spiegelun- gensp(a),sp(m)eine GruppeG. Ein von a,mgebildeter Sektor ist dann Fundamental- gebiet vonG.

3 Die diskreten Gruppen von Translationen

Wir setzen nun voraus, daßGausschließlich Translationen entha¨lt. Unter den zugeho¨ri- gen Periodenz_tmuß es dann eine Periodez_t0mit minimalem Betrag geben, da andernfalls eine Folget_n ∈G existiert, die gegen die identische Abbildung strebt.t0 erzeugt eine einfach periodische UntergruppeU_t0 (zyklisch vom Rang 1) vonG. IstU_t06=G, so gibt es eine Translationt1inG−U_t0, deren Vektorz_t1 von allen Translationsvektoren der zu G−U_t0 geho¨renden Elemente minimalen Betrag hat.

z_t1,z_t0 sind nicht kollinear. Sie bestimmen eine doppelt periodische UntergruppeU_t0t1⊆ G, die aus allen Translationent_m,n mit t_m,n(z) = z+mz_t0+nz_t1 besteht. z_t0,z_t1 sind nicht eindeutig. Sie ko¨nnen wegen |z_t1 −z_t0| ≥ |z_t1| ≥ |z_t0| so gewa¨hlt werden, daß 60^◦≤\(z_t0,z_t1)oder\(z_t1,z_t0)≤90^◦ gilt.

Sa¨mtliche zu den Elementen aus U_t0t1 geho¨renden Perioden bestimmen in der Gauß- schen Zahlenebene E ein GitterGi, dessen Punkte Bildpunkte der Eckpunkte des von z_t0,z_t1 aufgespannten abgeschlossenen ParallelogrammsP unterU_t0t1 sind. Man erkennt unschwer, daß inP aufgrund der Wahl vont0,t1keine weiteren Perioden liegen ko¨nnen und somitUt0t1 =G gilt. Damit folgt:

(3) Die diskreten Gruppen von Translationen sind die einfach periodischen (zyklisch vom Rang 1) und die doppelt periodischen Gruppen (vom Rang 2).

Zur Bestimmung der GruppenG untersuchen wir im weiteren die Mo¨glichkeiten fu¨r die zusa¨tzlichen Erzeugendene und deren zugeho¨rige Spiegelachsen a. Dazu beweisen wir zuna¨chst einige Aussagen:

(4) Iste∈G,e=sp(a)◦ teine Gleitspiegelung mitt6=id, so gibt es eine Translation t⁰ ∈Gmit|z_t|=¹₂|z_t⁰|.

Der Beweis folgt unmittelbar ause²=t²=t⁰∈G.

(5) Ist e ∈ G,e =sp(a)◦ t eine Gleitspiegelung und t⁰ eine Translation aus G, so ist die Spiegelung vonzt⁰ an awiederum der Translationsvektor einer Translation ausG.

Zum Beweise beachten wir, daße⁻¹◦t⁰◦e=sp(a)◦t⁻¹◦t⁰◦t◦sp(a) =sp(a)◦t⁰◦sp(a) eine Translation ist, deren Translationsvektor man durch Spiegelung vonz_t⁰ anaerha¨lt.

(6) Sinde1=sp(a1)◦t1unde2 =sp(a2)◦t2zwei Gleitspiegelungen mit nicht parallelen Achsena1,a2, so iste2◦e1 eine Drehung.

Es gilt:e2◦e1 = sp(a2)◦t2◦sp(a1)◦t1 =sp(a2)◦sp(a1)◦t⁰◦t1 = j⁰◦t= j.

(7) Ist jede Transformation der vone(Gleitspiegelung) undG erzeugten GruppeG⁰ in der Formg◦eⁱ mitg∈G,i∈ {0,1}, darstellbar, so giltG⁰=G.

Jede gerade Mehrfachspiegelung ausG⁰ hat die Darstellungg◦e⁰ (e⁰=id), ist also ein Element ausG. Die obige Darstellung ist eindeutig.

(8) Es seient,t⁰ Erzeugende einer doppelt periodischen Gruppe G von Translationen mit den Translationsvektorenz_t bzw.z_t⁰. Wir ko¨nnen (eventuell durch Nachschal- tung von t^m mit geeignetem m ∈ Z und durch U¨ bergang von t zu t⁻¹) davon ausgehen, daß die Komponentep⁰ von z_t⁰ parallel zu z_t in Richtung von z_t zeigt und vom Betrage her kleiner oder gleich¹₂|z_t|ist. Parallel zuz_tverlaufende Geraden treten nur dann als Spiegelachsenavon zusa¨tzlichen Erzeugendene∈Gauf, wenn p⁰ =0 oderp⁰= ¹₂zt gilt. Im Fallep⁰=0 sind die GruppenG durche=sp(a)◦t˜ mitzt˜=k¹₂z_t,k∈ {0,1}, im Fallep⁰= ¹₂z_t durche=sp(a)bestimmt.

a a’

Z Zt’

t Abb. 2

Nach (5) muß die Spiegelung z_t⁰ von z_t⁰ an a wiederum ein Translationsvektor einer Translation aus G sein. Dann gilt z_t⁰ +z_t⁰ = 0 oder z_t⁰ +z_t⁰ = z_t. Hieraus folgen die notwendigen Bedingungen p⁰ =0 bzw. p⁰ = ¹₂zt. Ist p⁰ =0, so ist das von zt,zt⁰

aufgespannte Fundamentalparallelogramm ein Rechteck. Wegene◦tⁱ =sp(a)◦t˜◦tⁱ= tⁱ◦sp(a)◦t˜=tⁱ◦e, e◦t⁰ⁱ=t⁰⁻ⁱ◦e,e²=t^k;i=1,−1; k∈ {0,1}folgt aus (7) und (4) die Behauptung, denn jede Gruppe G mit einer Gleitspiegelung sp(a)◦t^∗ entha¨lt nach (4) eine der oben angegebenen Erzeugenden. Jede der durchabestimmten Ha¨lften des Fundamentalrechtecks ist ein Fundamentalgebiet fu¨rG.

Vertauscht man die Rollen vont,t⁰, so erha¨lt man die Mo¨glichkeiten mit der Spiegelachse a⁰ (s. Abb. 2).

Z_t’

Z_t’

Z_t

a a’

Abb. 3

Ist p⁰= ¹₂z_t, so kann e= sp(a)◦t˜ mit zt˜= ¹₂z_t durch e◦t⁰⁻¹ = sp(a)◦t˜◦t⁰⁻¹= sp(a)◦t⁰⁰=sp(a⁰)ersetzt werden, mitz_t⁰⁰⊥a;a⁰ka.

Wegensp(a⁰)◦tⁱ=tⁱ◦sp(a⁰);sp(a⁰)◦t⁰ⁱ=tⁱ◦t⁰⁻ⁱ◦sp(a⁰),i=1,−1 (s. Abb. 3), sind nach (7) alle Mo¨glichkeiten fu¨rGunter diesen Voraussetzungen (Spiegelachseaparallel zuz_t) durche=sp(a)bestimmt.

Die Translationsvektorenzt⁰,zt⁰ spannen eine Raute auf; die zugeho¨rigen Translationen sind Erzeugende vonG. Ersetzt mantdurch die Translation mit dem Vektorzt⁰−zt⁰, so erkennt man, daß durch e=sp(a)alle Mo¨glichkeiten mita⊥zt fu¨rG erfaßt sind. Die Einfachspiegelungen an Geraden parallel zu den Diagonalen der Raute bestimmen unter den obigen Voraussetzungen (akzt, a ⊥ zt sa¨mtliche Mo¨glichkeiten fu¨r G. Die durch die Diagonalen bestimmten Dreiecke der Raute sind dann jeweils Fundamentalgebiete vonG.

Es sei nunG(=U)einfach periodisch mit der Erzeugendent0.

Nach (5) ko¨nnen als Spiegelachsenanur senkrecht und parallel zuz_t0 verlaufende Ge- raden auftreten. Im ersten Fall kommt nach (4) nur e=sp(a⁰)in Frage (s. Abb. 4). Es gilt sp(a⁰)◦tⁱ₀ = t⁻ⁱ₀ ◦sp(a⁰),i =1,−1; also ist nach (7) e = sp(a⁰)eine zusa¨tzliche Erzeugende. Der von a⁰,b berandete Streifen ist ein Fundamentalgebiet fu¨r G. Wegen

sp(a⁰)◦t0=sp(b)wirdGvonsp(a⁰),sp(b)erzeugt. Im zweiten Fall bestimmene=sp(a) unde=sp(a)◦t mitz_t= ¹₂z_t0 die Mo¨glichkeiten fu¨rG.

Es gilt:e◦tⁱ₀=tⁱ₀◦e, i=1,-1;sp(a)²=id,(sp(a)◦t)²=t0.

Ein vona,b,cberandeter Halbstreifen ist dann ein Fundamentalgebiet fu¨rG(s. Abb. 4).

b a’ c

Z_t a

0

Abb. 4

IstGdoppelt periodisch, so wa¨hlen wir zuna¨chst wie im Beweis zu (3) minimale Erzeu- gendet0,t1 (|z_t0| ≤ |z_t1|). Wir ko¨nnenz_t1 so wa¨hlen, daß die Parallelkomponente zu z_t0 in Richtung vonz_t0zeigt und dem Betrage nach kleiner oder gleich ¹₂|z_t0|ist. Es seiAdie Anzahl der Perioden mit minimalem Betrag. Die drei folgenden Fallunterscheidungen umfassen sa¨mtliche Mo¨glichkeiten.

a) A=2

Dann haben nur die Periodenz_t0,−z_t0 minimalen Betrag, also|z_t1|>|z_t0|. Nach (5) muß die Menge der minimalen Perioden durch Spiegelung an einer mo¨g- lichen Spiegelachse a auf sich abgebildet werden. Fu¨r a kommen damit nur die senkrecht und parallel zu z_t0 verlaufenden Geraden in Frage. Die Mo¨glichkeiten fu¨r G sind dann in (8) vollsta¨ndig bestimmt. G 6=G gilt dann, wenn z_t0,z_t1 ein Rechteck aufspannen oderzt1,zt0−zt1eine Raute. Zwei Gleitspiegelungen mit nicht parallelen Spiegelachsen ko¨nnen nach (6) inG nicht auftreten.

b) A=4

zt1ist in diesem Fall eine minimale Periode;|zt1|=|zt0|. Verla¨uftzt1nicht senkrecht zuzt0, so gibt es wiederum nur zwei mo¨gliche Richtungen fu¨r die Spiegelachse a.

Sie verlaufen parallel zu den Diagonalen der vonzt0,zt1 aufgespannten Raute (s.

Bemerkung unter a)). Wa¨hlt man in (8)t=t1◦t0,t⁰ =t1 bzw.t=t1◦t⁻₀¹,t⁰ = t⁻₀¹, so erha¨lt man sa¨mtliche Mo¨glichkeiten fu¨rG.G wird dann durcht0,t1,sp(a) erzeugt, wobeiaeine beliebige Gerade parallel zu einer Diagonalen ist. Verla¨uftz_t1 senkrecht zuz_t0, so gibt es neben den Richtungen der Diagonalen noch zwei weitere mo¨gliche Richtungen fu¨r a, na¨mlich parallel zu z_t0 bzw. z_t1. Die zusa¨tzlichen, G bestimmenden Erzeugendeneerha¨lt man dann nach (8).

c) A=6

In diesem speziellen Fall sind die Endpunkte der vom Nullpunkt aus abgetragenen minimalen Perioden die Eckpunkte eines regelma¨ßigen Sechsecks;zt0,zt1,zt0−zt1

bilden die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks∆(s. Abb. 5). Es gibt damit sechs mo¨gliche Richtungen fu¨r a, die durch die Symmetrieachsen des Sechsecks oder durch die Seiten und Seitenhalbierenden von ∆ bestimmt sind. Zu jeder dieser Richtungen gibt es Erzeugende vonGmit den in (8) angegebenen Voraussetzungen (Komponente von zt⁰ in Richtung zt ist ¹₂zt). Damit bestimmen die Spiegelungen an Achsen, die parallel zu den oben angegebenen sechs Richtungen verlaufen, sa¨mtliche Mo¨glichkeiten fu¨rG.

t1

Z_t Z

0

Abb. 5

Im FallA>6 gibt es zwei minimale Periodenzt0,zt1;|zt0|=|zt1|mit|zt1−zt0|<|zt0| im Widerspruch zur Wahl vonzt0;G ist dann nicht diskret. Dieser Fall kann also nicht eintreten.

Zusammenfassend gilt:

Die doppelt periodische Gruppe G(= U)kann genau dann durch eine zusa¨tzliche Er- zeugendeezu einer Gruppe G erweitert werden, wenn es Erzeugendet,t⁰ von G gibt, deren Translationsvektorenz_t,z_t⁰ zueinander senkrecht verlaufen oder vom gleichen Be- trag sind.

Im ersten Fall sind die Mo¨glichkeiten durch e=sp(a); aparallel zu einer der Symme- trieachsen des durch zt,zt⁰ bestimmten Rechtecks P bzw. durch die Gleitspiegelungen e=sp(a)◦t;aparallel zu einer der Seiten vonP, |zt|halbe La¨nge einer Seite vonP;

gegeben.

Verlaufen im zweiten Fall zt,zt⁰ nicht senkrecht zueinander, so kann man die Erzeu- genden t,t⁰ so wa¨hlen, daß das von zt,zt⁰ bestimmte Dreieck ∆ spitzwinklig ist. Die Mo¨glichkeiten sind dann durche =sp(a); aparallel oder senkrecht zu einer der Sym- metrieachsen von∆; bestimmt.

4 Die diskreten Gruppen mit Translationen und Drehungen

Wir setzen nun im folgenden voraus, daßG sowohl Drehungen als auch Translationen entha¨lt. Die UntergruppeU⊂Gder Translationen ist diskret, nach (3) also einfach oder doppelt periodisch.

Wir untersuchen zuna¨chst den Fall, daßUeinfach periodisch ist.

Isttein erzeugendes Element von U, so muß jede Drehung j0 ∈Udie Richtung vont auf eine parallele Richtung abbilden, also giltord j0 =2. Alle Drehungen in G haben demnach einen Drehwinkel von 180^◦.

Schaltet man zwei derartige Drehungen hintereinander, so erha¨lt man eine Translation in Richtung der Verbindungslinie der beiden Fixpunkte. Da U einfach periodisch ist, mu¨ssen die Fixpunkte (Drehpunkte) aller Drehungen auf einer Geraden parallel zum Translationsvektorz_t liegen.

m

m m’

P₀ t P P

j₀ j₁ j₂

Zt

1 2

P₁

m a _{0 2}

a’’

a’

) =

= (

Abb. 6

IstP0 Fixpunkt der Drehung j0, so ist der MittelpunktP1 der StreckeP0t(P0)Fixpunkt der Drehung j1=t◦j0.

Zwischen P0,P1 und P1,t(P0) = P2 ko¨nnen keine weiteren Fixpunkte von Drehungen ausG liegen, denn anderenfalls ist nach Obigem die Translationtnicht minimal.

Es seiG⁰ die von j0,j1 erzeugte Untergruppe vonG.

Ausj1◦j0=tfolgt, daßt,j1G⁰erzeugen. Da jede Drehung ausGdie Formtⁿ◦j_i◦t⁻ⁿ, n∈Z,i∈ {0,1}hat, giltG⁰=G. Jedes Element hat dann wegenj²₁ =id;t⁻¹◦j1 =j1◦t eine eindeutige Darstellungt^m◦j₁ⁱ miti∈ {0,1},m∈Z.

Ein FundamentalgebietF ist dann ein von m1,m2,m berandeter Halbstreifen (s. Abb.

6). Anhand der obigen Darstellung erkennt man sofort, daß die Bilder g(F),g∈G die ganze Ebene lu¨ckenlos u¨berdecken und sich nicht u¨berlappen.

(9) Die diskreten GruppenG euklidischer Bewegungen mit einfach periodischen Un- tergruppen U sind also die zyklischen Gruppen von Translationen und die oben beschriebenen unendlichen Dihedralgruppen.

Zur Bestimmung der GruppenG kommen, daG eine einfach periodische Untergruppe entha¨lt, nur die im vorhergehenden Kapitel angegebenen Mo¨glichkeiten in Frage. Die zusa¨tzliche Erzeugendeemuß die Menge der Fixpunkte von Drehungen wieder auf sich abbilden. Dadurch ist die Wahl der Spiegelachsen aeingeschra¨nkt. Grundsa¨tzlich sind damita=m,a=m⁰,a=a⁰ (s. Abb. 6) mo¨glich.

Wegen

j1◦sp(m⁰) =sp(m)◦sp(m⁰)◦sp(m⁰) =sp(m) und

j1◦sp(a⁰) =sp(m)◦sp(m⁰)◦sp(a⁰) =sp(m)◦1 2t

sind durche=sp(a⁰)unde=sp(m⁰)alle Mo¨glichkeiten fu¨rG ausgescho¨pft.

Es gilt:sp(a⁰)◦j1=t⁻¹◦j1◦sp(a⁰);sp(m⁰)◦j1 =j1◦sp(m⁰). Jedes Element vonG ist damit eindeutig darstellbar durchtⁿ◦j₁ⁱ◦e^k mitn∈Z,i,k∈ {0,1}. Fundamentalgebiete sind die durcha⁰,a⁰⁰,mbzw.m1,m⁰,mberandeten Halbstreifen (s. Abb. 6).

Wir behandeln nun den Fall, daßU doppelt periodisch ist.

Wie im Beweis zu (3) wa¨hlen wir zuna¨chst minimale Translationent0,t1mit den Perioden z_t0,z_t1;|z_t0| ≤ |z_t1|. Ist nunP1Fixpunkt einer Drehung ausG, so istt0(P1) =P2ebenfalls Fixpunkt einer Drehung gleicher Ordnungn, die nach Voraussetzung (Gdiskret) endlich sein muß.

Das in Abbildung 1 dargestellte DreieckP1P2Qist dann gleichschenklig, der Betrag des Translationsvektors−−→

QQ1ist nach Konstruktion ho¨chstens doppelt so groß wie der Betrag von−−→QQ2.

Fu¨rn≥7 gilt:α≤ ^π₇;|−−→

QQ1| ≤2· |−−→

QQ2| ≤2·2·tanα·¹₂|−−→

P1P2|= 2·tanα· |−−→P1P2| ≤2·0,49· |−−→P1P2|<|−−→P1P2|=|z_t0| Das widerspricht der Voraussetzung u¨berz_t0. Es folgt also:

(10) IstU ⊂G doppelt periodisch, so haben die Drehungen ausG eine Ordnung, die ho¨chstens gleich 6 ist.

In der nachfolgenden Tabelle sind anhand der Abbildung 1 sa¨mtliche Mo¨glichkeiten dargestellt. Die Ordnungen der Drehungen j1,j2,j3mit den FixpunktenP1bzw.P2bzw.

Q = P3 seien n1 bzw. n2 bzw. n3. n3 berechnet sich aus n32γ = k360 ⇔ n3γ = k180;n3,k ∈N;n3,k minimal.

n1 n2 α[^◦] β[^◦] γ[^◦] n3

mo¨glich (m) bzw.

nicht mo¨glich (nm)

6 6 30 30 120 3 m

6 5 30 36 114 30 nm

6 4 30 45 105 12 nm

6 3 30 60 90 2 m

6 2 30 90 60 3 m

5 5 36 36 108 5 m

5 4 36 45 99 20 nm

5 3 36 60 84 15 nm

5 2 36 90 54 10 nm

4 4 45 45 90 2 m

4 3 45 60 75 12 nm

4 2 45 90 45 4 m

3 3 60 60 60 3 m

3 2 60 90 30 6 m

Nach der obigen Tabelle kommen wegen (10) damit nur fu¨nf Mo¨glichkeiten fu¨r G in Frage. Die Ordnungen der Drehungen von G (ord(j)) ko¨nnen sein 1.) sa¨mtlich 2, 2.) sa¨mtlich 3, 3.) 4 oder 2, 4.) 6 oder 3 oder 2, 5.) sa¨mtlich 5.

Der 5. Fall ist leicht auszuschließen. In diesem Fall ist (trotz gleicher Ordnung) das Basisdreieck P1QP2 nicht gleichseitig. Es kann demnach entgegen der Voraussetzung u¨berG keinen positiven minimalen Abstand zweier Fixpunkte (Drehpunkte) geben;G ist unter diesen Voraussetzungen nicht diskret.

Die verbleibenden Fa¨lle 1. bis 4. werden nun im einzelnen na¨her untersucht. Die Dre- hungen werden weiterhin grundsa¨tzlich mit j, Translationen mitt bezeichnet; j_i ist die Drehung mit minimalem positivem Drehwinkel um den PunktPi. Die hergeleiteten not- wendigen Eigenschaften fu¨rG undGsind auch hinreichend, was aus der Untersuchung unmittelbar ersichtlich ist. Wir werden darauf nicht in jedem Fall wieder hinweisen.

1.ord(j) =2 fu¨r alle j∈G

Wir ko¨nnen nach eventueller Konjugation davon ausgehen, daß P0 =0 Fixpunkt einer Drehung ist. Dann sind auch die weiteren EckpunkteP2,P4,P6 des von den Vektorenzt0

und zt1 aufgespannten abgeschlossenen Parallelogramms P Fixpunkte von Drehungen.

Der Beweis zu (9) (s. Abb. 6) zeigt, daß die in der Abb. 7 eingetragenen PunktePi,i= 1, . . . ,8, sa¨mtlich Fixpunkte von Drehungen sind.

Man erkennt leicht, daß in P keine weiteren Fixpunkte liegen. Die Bilder t(P),t∈ U u¨berdecken lu¨ckenlos ganzE. Die Fixpunkte von Drehungen ausGsind demnach Bilder der inPliegenden Fixpunkte unterU; sa¨mtliche Drehungen ausGsomit konjugiert unter Uzu den Drehungen mit Fixpunkten inP.

P P

P

P P

P

0= 0 2

5 6

Z_t

0

Z_t

1

P₄

7

P ₁

3

P8

Abb. 7

Wegen j1=j8◦t1;j0= j1◦t0;j7=j8◦t0 erzeugen j8,t0,t1 ganz G.

Mit j_i =j_i⁻¹,i=1, . . . ,8 gilt j8◦t^m₁ =t^−m₁ ◦j8;j8◦t^m₀ = t^−m₀ ◦j8,m=−1,1.

Damit la¨ßt sich jede Transformation aus G in der Form t◦j₈^k,k ∈ {0,1} mit t ∈ U eindeutig darstellen. Hieraus wiederum erkennt man, daß das Parallelogramm mit den Eckpunkten P0,P2,P3,P7 ein FundamentalgebietF von G ist. Die Bilder g(F),g∈G, sind dann Translationen vonF (k =0)oder Translationen von j8(F)(Parallelogramm P7P3P4P6;k =1), u¨berdecken somit die EbeneE lu¨ckenlos.

Bei der Bestimmung der Gruppen G kommen nur die im vorhergehenden Kapitel an- gegebenen Erzeugenden efu¨r den doppelt periodischen Fall in Frage. Die zugeho¨rigen Spiegelachsenasind hier durch die Lage der Fixpunkte festgelegt. Jede Erzeugendee muß die Menge der Fixpunkte wieder auf sich abbilden.

Wie dort unterscheiden wir drei Fa¨lle.

(a) A=2

Spannenz_t0,z_t1 ein Rechteck auf, so ko¨nnen mo¨gliche Spiegelachsenanur in Rich- tung der Seiten dieses Rechtecks verlaufen. Da zudem die Erzeugendee die Fix- punktmenge auf sich abbildet, kann grundsa¨tzlichanur so verlaufen wie eine der in der Abbildung 8 angegebenen Achsena1,a2,a3,a4. Wegen j8◦sp(a1) =sp(a4)◦

1

2t0;j8◦sp(a1)◦¹2t1=sp(a3)◦¹2t0; j8◦sp(a2) =sp(a4);j8◦sp(a3) =sp(a2)◦¹2t1

sind alle Mo¨glichkeiten durcha=ai,i =1,2,3;e =sp(ai) und e=sp(a1)◦¹₂t1

erfaßt.

P2

P₆ P₅ P₄

P₃ P₈

t1

P0 P₁

a1

a a P7

3 4

Z

a2

Z_t0

Abb. 8

Schaltet man von diesen Erzeugenden zwei verschiedene hintereinander, so er- ha¨lt man eine Translation oder eine Drehung, die nicht in G liegt. Jede Gruppe G entha¨lt demnach nur eine derartige zusa¨tzliche Erzeugende. Aus sp(a1)◦j8= j7◦sp(a1); sp(a2)◦j8= j8◦sp(a2); sp(a3)◦j8= j1◦sp(a3); sp(a1)◦¹2t1◦j8= j6◦sp(a1)◦¹2t1 und der Tatsache, daß j8,t0,t1 Erzeugende vonG sind, folgt die eindeutige Darstellung einer Transformation aus G in der Form t◦ j₈ⁱ ◦e^k mit t∈U,i,k∈ {0,1}.

Ist das vonzt0,zt1 aufgespannte Parallelogramm kein Rechteck, so gibt es nur zu- sa¨tzliche Erzeugende e, wenn |zt1 −zt0| = |zt1| gilt. Mo¨gliche Spiegelachsen a mu¨ssen parallel oder senkrecht zu zt0 verlaufen. Hier jedoch trifft jede mo¨gliche Spiegelachse einen Fixpunkt (a=a1,a2 verlaufen durch Fixpunkte). Die Spiege- lungen an Geradena, die senkrecht oder parallel zuz_t0 verlaufen und zudem einen Fixpunkt treffen, ergeben sa¨mtliche Mo¨glichkeiten fu¨r e. Sind a,a⁰;a ⊥ a⁰; zwei derartige Achsen, die sich in einem gemeinsamen Fixpunkt der Drehung j ∈ G treffen, so giltsp(a⁰)◦j=sp(a). Die Spiegelungen an Geraden parallel oder senk- recht zuz_t0, die durch einen Fixpunkt verlaufen und sich paarweise nicht in einem Fixpunkt einer Drehung ausGschneiden, umfassen dann sa¨mtliche Mo¨glichkeiten fu¨re.

(b) A=4

Ist die von zt0,zt1 aufgespannte Raute ein Quadrat, so sind die unter (a) im Zu- sammenhang mit dem Rechteck bestimmten Erzeugendene auch hier zusa¨tzliche Erzeugende. Hinzu kommen noch die Spiegelungen an Achsen, die parallel zu ei- ner der Diagonalen des Quadrats durch einen Fixpunkt verlaufen. Treffen sich zwei dieser Achsen senkrecht in einem Fixpunkt der Drehung j ∈ G, so ist mit der Spiegelung an einer der Achsen auch die Spiegelung an der anderen Achse inG enthalten (s.o.sp(a⁰)◦j=sp(a)).

Ist die vonz_t0,z_t1aufgespannte Raute kein Quadrat, so bestimmen die Spiegelungen an Achsen parallel zu einer der Diagonalen durch einen Fixpunkt schon sa¨mtliche Mo¨glichkeiten fu¨re.

(c) A=6

Hier verlaufen die mo¨glichen Achsen durch einen Fixpunkt einer Drehung j ∈ G parallel zu einer der sechs mo¨glichen Richtungen. Treffen sich zwei derartige Achsen senkrecht in einem Fixpunkt, so ist mit der Spiegelung an einer der Achsen auch die Spiegelung an der anderen Achse inG enthalten.

2.ord(j) =3 fu¨r alle Drehungen j∈G

Da Gdiskret ist, ko¨nnen die endlichen Fixpunkte der Drehungen sich in keinem Punkt ha¨ufen. Es gibt somit zwei Drehungen j1,j2, deren FixpunkteP1,P2 minimalen Abstand haben.

Die Konstruktion nach Abbildung 1 liefert ein gleichseitiges Dreieck∆ =P1P2P3(P3= Q), in dessem Innern sowie auf dem Rande keine weiteren Fixpunkte von Elementen aus G liegen ko¨nnen, da sonst der Abstand vonP1 zuP2 nicht minimal ist. Das gleiche gilt fu¨r das Dreieck∆⁰=P1P2P7 (s. Abb. 9). Zudem erkennt man anhand der Konstruktion, daß G eine doppelt periodische Untergruppe U entha¨lt. Es sei G⁰ ⊆G die von j1,j2

erzeugte Untergruppe;G⁰=<j1,j2 >. Dann gilt (s. Abb. 9):

P₆ P₇

P5

m’₁ P1

P2

m’₂ m1

m2

P4 P3

t1

t2 j₂

P8

m j1

Abb. 9

j₁²=j₁⁻¹ =sp(m)◦sp(m⁰₁);

j2=sp(m2)◦sp(m);

j2◦j₁⁻¹=sp(m2)◦sp(m⁰₁) =t1;

j₂⁻¹◦j1=sp(m⁰₂)◦sp(m)◦sp(m)◦sp(m1) =sp(m⁰₂)◦sp(m1) =t2. t1,t2 sind Translationen ausG⁰.

Ihre Vektorenzt1,zt2haben einen Betrag, der doppelt so groß wie der Betrag der Ho¨he im Dreieck P1P3P2 ist. G⁰ wird also vont2,j2 erzeugt. Aus den obigen Gleichungen folgt direkt: j2◦t2 = j1 = t⁻₁¹◦j2;j2◦t⁻₂¹ = j2◦j₁⁻¹◦j2 = t1◦j2; j2◦t1 = t2◦t⁻₁¹◦j2; j2◦t⁻₁¹ = t1◦t⁻₂¹◦j2. Hieraus wiederum folgt, daß jede Transformation aus G⁰ sich in der Formt◦j₂^k mit k ∈ {0,1,2},t ∈U (U− von t1,t2 erzeugte Untergruppe von G⁰), darstellen la¨ßt. Gehen wir vom ParallelogrammF mit den EckpunktenP1,P3,P2,P7

der Abbildung 9 aus, so bilden j⁰₂(F) = F,j2(F),j₂²(F) zusammen ein regelma¨ßiges Sechseck. Die Translationen t ∈ G⁰ bilden dieses Sechseck wieder auf Sechsecke ab, die insgesamt E lu¨ckenlos u¨berdecken. Jeweils zwei dieser Bilder haben ho¨chstens ge- meinsame Randpunkte. Die Fixpunkte sa¨mtlicher Drehungen aus G sind demnach die Bildpunkte von P1,P2,P3,P7 unter G⁰. Jedes Element gaus G bildet das Dreieck ∆ auf ein kongruentes Dreieck ab, dessen Eckpunkte wiederum Fixpunkte von Drehungen sind. Es gibt also eing⁰∈G⁰ mitg⁰◦g(∆) = ∆oderg⁰◦g(∆) = ∆⁰.

Da G⁰ sa¨mtliche Drehungen aus G entha¨lt und keine dieser Drehungen ∆ auf sich oder auf∆⁰ abbildet – es gibt zudem keine Translation, die ∆in∆⁰ u¨berfu¨hrt –, folgt g⁰◦g=id,g∈G⁰, alsoG⁰=G. Die Struktur vonGist somit vollsta¨ndig u¨berschaubar.

Es sei nuneeine ungerade Mehrfachspiegelung, also eine Gleitspiegelung. Da mitPauch e(P)Fixpunkt einer Drehung ausGist, bildetedas Dreieck∆auf ein dazu kongruentes Dreieck ab, das zugleich das Bild von∆oder von∆⁰unterGist. Es gibt also eing∈G mitg◦e(∆) = ∆oderg◦e(∆) = ∆⁰.

Wir untersuchen zuna¨chst den Fallg◦e(∆) = ∆.

Wegen g◦e = t◦sp = sp◦t;(g◦e)² = t◦sp◦sp◦t = t² und (g◦e)²(∆) = ∆, verschwindet der Translationsanteil der Gleitspiegelungg◦e, also istg◦eeine einfache Spiegelung s, die ∆ auf sich abbildet. Die Spiegelachse von s kann damit nur eine Seitenhalbierende von∆sein. Wir nehmen an, es sei die Seitenhalbierende durchP3 (s.

Abb. 9).

Wegen

s◦j1= j₂⁻¹◦s (beide Transformationen bildenP1 aufP2

undP3 aufP7 ab);

s◦j2= j₁⁻¹◦s (P2−→P1;P7−→P3);

j_i²= j_i⁻¹, i=1,2,

la¨ßt sich jede Transformation aus G in der Form g◦sⁱ mit g ∈ G, i ∈ {0,1} und damit durcht◦j₂^k◦sⁱ;t ∈U,k ∈ {0,1,2},i ∈ {0,1}eindeutig darstellen. Aus dieser Darstellung erkennen wir, daß DreieckP7P3P2 ein Fundamentaldreieck vonG ist.

Istg◦e(∆) = ∆⁰ undmdie GeradeP1P2, so giltsp(m)◦g◦e(∆) = ∆.sp(m)◦g◦e= j ist dann entweder eine Drehung der Ordnung 3 um den Schwerpunkt von ∆ oder die Identita¨t.

Im 1. Fall istg◦e=sp(m)◦j eine Gleitspiegelung mit nicht verschwindendem Trans- lationsanteil und damit (g◦e)² = (sp(m)◦ j)² eine Translation, die entweder P2auf P7 oder P2 auf P6 abbildet. In beiden Fa¨llen u¨berlappen sich die Bilder des Sechs- ecksSe(P1P3P4P5P6P7)mit dem Sechseck selbst. Da jede Translation ausG Seauf ein Sechseck abbildet, das keine gemeinsamen inneren Punkte mitSehat (s. Darstellung der Elemente ausG), kann dann entgegen der Annahme(g◦e)²nicht inGenthalten sein; j ist also keine Drehung. Damit folgtsp(m)◦g◦e=id;g◦e=sp(m). Wegensp(m)◦j1

= sp(m1) = j₁⁻¹◦sp(m); sp(m)◦j2 = sp(m⁰₂) = j₂⁻¹◦sp(m); j_i²= j_i⁻¹,i=1,2, la¨ßt sich jedes Element ausG in der Formt◦j₂^k◦sp(m)ⁱ, t∈U, k∈ {0,1,2},i∈ {0,1} eindeutig darstellen. Wir erkennen aus der obigen Darstellung, daß ∆ in diesem Fall ein Fundamentaldreieck ist. Die Bilder g(∆) mitg∈Gparkettieren die EbeneE. Aus den obigen Gleichungen folgt zudem, daßsp(m),sp(m1),sp(m2)ganzGerzeugen. Alle Dreiecke der Parkettierung erha¨lt man durch fortgesetzte Spiegelung an den Dreiecksei- ten m,m1,m2. Damit sind alle Mo¨glichkeiten der Erweiterung von G zu G erscho¨pft.

Die zusa¨tzlichen Erzeugenden sind grundsa¨tzlich die Spiegelungen an den Diagonalen einer Fundamentalraute (etwaP1P3P2P7) vonG. Die Diagonalen zerlegen eine derartige Raute jeweils in Dreiecke (P1P2P3 bzw.P3P2P7), die Fundamentalgebiete vonG sind.

3. ord(j) = 4 oder ord(j) = 2 fu¨r j ∈ G. Wir folgen dem im vorhergehenden Fall gekennzeichneten Lo¨sungsweg zur Bestimmung von G,G. Die Drehungen j1,j2 mit minimalem Abstand der Fixpunkte haben nach Abbildung 1 verschiedene Ordnungen.

Es gilt (s. Abb. 10): j²₂◦j1=sp(m⁰)◦sp(m)◦sp(m)◦sp(m1) =sp(m⁰)◦sp(m1) =t1

j2◦j1◦j2= j₃⁻¹◦j2=sp(m⁰⁰)◦sp(m2)◦sp(m2)◦sp(m) =sp(m⁰⁰)◦sp(m) =t2

P P

P P

P

P P P

P

t t

m m

m m’’

m’

j j

j

1 2

6

7 8 9

1 3 4

5

3

2 1

1 2

2

Abb. 10