1. Aufgabe: Bei einem Würfelspiel kommt einem Spieler der Verdacht, dass sein Mitspieler möglicherweise einen gezinkten Würfel verwendet, der in mehr als 1/6 der Fälle eine Sechs würfelt. Er lässt sich den Würfel des Mitspielers geben und würfelt 50 mal. Unter seinen Ergebnissen befinden sich 18 Sechsen.
Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau von 0,95 eine untere Konfidenzgrenze (und damit ein einseitiges Konfidenzintervall) für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sechs gewürfelt wird (d.h. für den Anteil der Sechsen).
Lösung:
untere Konfidenzgrenze für p: n= 50, x= 18 und z0.95 = 1,645
p ≥ 1
n+z1−α2
"
x+1
2z1−α2 −z1−α
rx(n−x)
n +1
4z1−α2
#
= 1
50 + 1,6452
"
18 + 1
21,6452−1,645
r18(50−18) 50 +1
41,6452
#
= 0,258
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2. Aufgabe: Im Rahmen einer Studie wird diskutiert, ob eher Frauen oder Männer eine höhere Handynutzung haben. Dazu wurden zufällig sieben Jungen und sieben Mädchen ausgewählt und deren durchschnittliche Rechnungshöhe (ine) der letzten 4 Monate erfasst.
Jungen 77,45 32,18 15,43 3,03 82,58 27,31 52,39 Mädchen 26,37 62,75 22,81 71,56 51,87 73,74 61,54
Es wird vermutet, da Mädchen kommunikativer sind, dass sich das bei der Handynutzung widerspiegelt. Testen Sie zum Niveau α = 0,01, ob die erwartete durchschnittliche Rechnungshöhe der Mädchen signifikant größer ist als die der Jungen. Die durchschnittlichen Rechnungshöhen sindnicht normalverteilt.
Lösung:
Rangtest nach Wilcoxon:
X1 - durchschnittliche Rechnungshöhe der Jungen EX1 =µ1 X2 - durchschnittliche Rechnungshöhe der Mädchen EX2 =µ2
H0 : µ1 ≥µ2 gegen HA: µ1 < µ2
X1 77,45 32,18 15,43 3,03 82,58 27,31 52,39 Σ
Rang(X1) 13 6 2 1 14 5 8 49
X2 26,37 62,75 22,81 71,56 51,87 73,74 61,54
Rang(X2) 4 10 3 11 7 12 9 56
t=R1 = 13 + 6 + 2 + 1 + 14 + 5 + 8 = 49
K ={t|t ≤wn1,n2,1−α}={t|t≤w7,7,0.01 = 29}
t = 49 6≤ 29 ⇒ H0 wird angenommen, d.h. die erwartete durchschnittliche Rechnungshöhe der Mädchen ist nicht signifikant größer als die der Jungen.
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3. Aufgabe: Eine sächsische Molkerei füllt Milch in Tetrapacks ab. Es wird vermutet, dass die Füllmenge normalverteilt ist.
In einer Stichprobe von 1000 Tetrapacks wurden die Füllmengen gemessen und damit ein Test mit folgendem Testergebnis durchgeführt:
Goodness-of-Fit Tests for Füllmenge Chi-Square Test
Lower Upper Observed Expected
Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square
at or below 497,333 4 3,96 0,00
497,333 497,667 4 5,98 0,66
497,667 498,0 18 12,74
498,0 498,333 19 24,37 1,19
498,333 498,667 44 41,95 0,10
498,667 499,0 60 64,93 0,37
499,0 499,333 100 90,38 1,02
499,333 499,667 105 113,14 0,59 499,667 500,0 124 127,37 0,09 500,0 500,333 141 128,95 1,13 500,333 500,667 120 117,41 0,06
500,667 501,0 100 96,13 0,16
501,0 501,333 65 70,79 0,47
501,333 501,667 46 46,88 0,02
501,667 502,0 25 27,92 0,31
502,0 502,333 10 14,95
502,333 502,667 6 7,20 0,20
above 502,667 9 4,94 3,33
Chi-Square = 13,4925
a) Bestimmen Sie die beiden fehlenden Werte in der Tabelle (Spalte Chi-Square).
b) Geben Sie die Null- und die Alternativhypothese des Testes an, führen Sie den Test zu Ende und treffen Sie die Testentscheidung zum Niveau α= 0,05.
Lösung:
a)
(h3−np3)2
np3 = (18−12,74)12,74 2 = 2,17 (h16 −np16)2
np16 = (10−14,95)14,95 2 = 1,64
b) H0 : FüllmengeX ist normalverteilt HA: Füllmenge X ist nicht normalverteilt t= 13,4925
k= 18 Klassen und m= 2 Parameter werden geschätzt.
K =©
t|t > χ2k−m−11−αª
=©
t|t > χ215,0.95 = 25ª
t = 13,4925 6>25 ⇒ H0 wird angenommen, d.h. die Verteilung der Füll- mengeX unterscheidet sich nicht signifikant von einer Normalverteilung.
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4. Aufgabe: Der Produzent und der Konsument einigen sich auf Folgendes. Ein Po- sten mit p≤ 0.02 = pα wird als gut und ein Posten mit p ≥0.04 =pβ als schlecht angesehen. Das Risiko des Produzenten betrage 3%. Das Risiko des Konsumenten betrage 5%. Zur Stichprobenkontrolle soll ein (n,c)-Stichprobenplan verwendet wer- den.
a) Bestimmen Sie eine untere Grenze für den Stichprobenumfangn.
b) Bestimmen Sie, falls möglich, fürn = 1025alle
(n, c)-Stichprobenpläne, welche die Bedingungen erfüllen!
Hinweis: Nutzen Sie die Normalverteilungs-Approximation.
c) Für den Stichprobenumfang n = 1110 gibt es folgende 3 Pläne, welche die Bedingungen erfüllen:
(n, c) = (1110,31) (n, c) = (1110,32) (n, c) = (1110,33)
Welchen dieser Pläne würde der Produzent bevorzugen? Begründen Sie kurz!
Lösung:
pα = 0,02, pβ = 0,04, α = 0,03und β = 0,05.
z1−α =z0,97= 1,881 und z1−β =z0,95= 1,645 a)
n ≥
"p
pα(1−pα)z1−α+p
pβ(1−pβ)z1−β pβ−pα
#2
=
·√
0,02·0,98·1,881 +√
0,04·0,96·1,645 0,04−0,02
¸2
= 857,59
=⇒ n≥858
b) Normalverteilungs-Approximation:
c ≥ npα+z1−αp
npα(1−pα)−0,5
= 1025·0,02 + 1,881p
1025·0,02·0,98−0,5
= 28,43
c ≤ npβ −z1−β
q
npβ(1−pβ)−0,5
= 1025·0,04−1,645p
1025·0,04·0,96−0,5
= 30,18
Die folgenden beiden Stichprobenpläne erfüllen die Bedingungen:
(n, c) = (1025,29) (n, c) = (1025,30)
c) Der Produzent würde den Plan(n, c) = (1110,33)wählen, da hier beim gleichen Stichprobenumfang die Annahmezahl am größten ist und somit der Plan die größte Annahmewahrscheinlichkeit besitzt. Das Risiko der Produzenten, dass eine gute Lieferung abgelehnt wird ist damit bei diesen Plan am geringsten.
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5. Aufgabe: Für 29 PKWs wurden die Merkmale X1 - Alter,
X2 - Leistung und Y - Verbrauch erfasst.
Aus der Stichprobe erhält man folgende Schätzung der Korrelationen:
rX1,X2 =−0,18 ; rY,X1 = 0,39 und rY,X2 = 0,51.
a) Schätzen Sie die multiple Korrelation ρY,(X1,X2) zwischen dem Verbrauch einer- seits und dem Alter und der Leistung andererseits.
b) Testen Sie (unter der Annahme, dass die Merkmale normalverteilt sind), ob die multiple Korrelation ρY,(X
1,X2) signifikant (α= 0,01) größer als 0 ist.
Lösung:
a)
rY,(X1,X2) = vu utrY,X2
1 +r2Y,X
2 −2rY,X1rY,X2rX1,X2 1−r2X
1,X2
= s
0,392+ 0,512 −2·0,39·0,51·(−0,18) 1−(−0,18)2
= 0,707
b) H0 : ρY,(X
1,X2) = 0 gegen HA : ρY,(X
1,X2) >0 n= 29, p= 2, α= 0,01
t = r2Y,(X
1,X2)·(n−1−p) p·(1−rY,(X2
1,X2))
= 0,7072·(29−1−2) 2·(1−0,7072) = 13
K ={t|t > Fp,n−p−1,1−α}={t|t > F2,26,0.99= 5,53}
t = 13 > 5,53 ⇒ H0 wird abgelehnt, d.h. die multiple Korrelation zwi- schen dem Verbrauch einerseits und dem Alter und der Leistung andererseits ist signifikant größer als 0.
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6. Aufgabe:
a) Im Modell der einfachen linearen Regression wurde aus den Daten(xi, yi), i= 1, ..,100,die Regressionsgerade geschätzt und dabei SST = 1000 und rx,y = 0,9bestimmt.
i. Wie groß ist das Bestimmtheitsmaß?
ii. Wie groß ist SSR?
Lösung:
i. B =rx,y2 = 0,92 = 0,81
ii. B = 1− SSRSST = 1− SSR1000 = 0,81 =⇒ SSR= 190
b) Warum ist der 2-stufige Stichprobenplan mit: n1 = 5, n2 = 5, c1 = 0, c2 = 4 und c3 = 10 praktisch gleich einem einstufigen Plan?
Lösung:
Es wird eine Stichprobe vom Umfang n1 = 5 gezogen. Ist x1 die Anzahl der Auschussstücke kleiner gleich c1 = 0, nimmt man den Posten an und ist x1 größerc2 = 4 lehnt man den Posten ab.
Für den Fall 0 < x1 ≤ 4 zieht man eine weitere Stichprobe, diesmal vom Umfangn2 = 5und bestimmt die Anzahl der Ausschussteilex2in dieser zweiten Stichprobe.
Jetzt können aber zusammen höchstens x1 +x2 ≤ 4 +n2 = 4 + 5 = 9 Aus- schussstücke vorliegen. Damit ist immerx1+x2 < c3 = 10und der Posten wird nach der weiteren Stichprobe immer angenommen. Praktisch kann man damit auf die weitere Stichprobe verzichten.
Dieser Plan ist damit gleich den einstufigen Plan mitn = 5 und c= 4.
c) Wie groß ist für die folgenden Datenpaare (xi, yi),i= 1, ..,5,
die Rangkorrelation von Spearman? Kurze Begründung!
Lösung:
Zwischenxundybesteht ein streng monoton fallender Zusammenhang. Damit besteht zwischenRang(x) und Rang(y)ein negativer linearer Zusammenhang (Gerade mit negativen Anstieg). Darum ist die Rangkorrelation von Spearman gleich -1.
d) Mit den Daten aus der 3. Aufgabe wurde getestet:
H0 : „Die Füllmenge ist exponentialverteilt.“
HA : „Die Füllmenge ist nicht exponentialverteilt.“
Kolmogorov-Smirnov Test Exponential DPLUS 0,365233 DMINUS 0,629406 DN 0,629406 P-Value 0,0
Wie lautet die Testentscheidung beiα= 0,05?
Lösung:
p= 0,0<0,05 = α =⇒ H0 wird abgelehnt.
D.h. die Verteilung der Füllmenge unterscheidet sich signifikant von einer Exponentialverteilung.
e) Für Online-Shops wurde der Nutzen in Abhängigkeit der Angebotsvielfalt und der Möglichkeit eines Rückversandes untersucht.
Im Modell der Varianzanalyse mit 2 Faktoren und Wechselwirkungen erhält man folgenden Wechselwirkungsplot:
Was vermuten Sie, gibt es in diesem Modell signifikante Wechselwirkungen oder nicht? Begründen Sie kurz!
Lösung:
Die roten und die blauen Linien verlaufen nahezu Parallel. Das lässt vermuten, dass es keine signifikanten Wechselwirkungen gibt.
