Induktion und Einphasenwechselstrom

(1)

Version 5

Kapitel 9

Induktion und

Einphasenwechselstrom

Verfasser:

Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn

055 - 654 12 87

Ausgabe:

April 2012

(2)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM

Die erste nach dem dynamo-elektrischen Prinzip konstruierte Dynamomaschine von Werner von Siemens befindet sich im

Deutschen Museum in München.

Transformator von Zipernowsky, Déry und Bláthy

Patentzeichnung von William Stanley 1886

(3)

Inhaltsverzeichnis

9 INDUKTION, EINPHASENWECHSELSTROM 9.1 Grundlagen Einphasenwechselstrom

9.1.1 Induktion der Bewegung (Generatorprinzip) 9.1.2 Anschauung und Wirkung der vorhandenen Felder 9.1.3 Aufbau Einphasen-Wechselstromgenerator 9.1.4 Prinzip der Innenpolmaschine

9.1.5 Darstellung Einphasen-Wechselspannung 9.1.6 Drehzahl, Polzahl und Frequenz

9.1.7 Frequenz und Wellenlänge

9.1.8 Darstellung von Wechselstromgrössen 9.1.9 Maximal- und Effektivwert

9.1.10 Der Gleichstromgenerator 9.1.11 Der Wechselstromgenerator

9.2 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

9.3 Selbstinduktion, Induktivität und Energie in der Spule

9.3.1 Ein- und Ausschaltvorgänge bei Spulen im Gleichstromkreis 9.3.2 Zeitkonstante bei Spulen im Gleichstromkreis

9.3.3 Ursachen und Wirkung der Induktivität von Spulen 9.3.4 Magnetischer Energieinhalt einer Spule

9.4 Spulen an Wechselspannung

9.4.1 Ideale Spule an Wechselspannung 9.4.2 Reale Spule an Wechselspannung 9.4.3 Phasenverschiebung

9.4.4 Idele Induktivität in Reihenschaltung 9.4.5 Reale Spulen in Reihenschaltung 9.4.6 Ideale Induktivitäten in Parallelschaltung 9.4.7 Reale Spulen in Parallelschaltung 9.4.8 Induktion/EMV

9.4.9 Induktionsfreie Spule (bifilare Wicklung) 9.5 Kondensator im Wechselstromkreis 9.6 Induktion der Ruhe

9.7 Gemischte Schaltungen an Einphasenwechselstrom 9.7.1 Vergleich der Wechselstromwiderständen

9.7.2 Übersicht über die wichtigsten Wechselstromwiderständen 9.7.3 Berechnungen an Wechselstromwiderständen

9.8 Leistungs- und Arbeitsberechnungen

9.8.1 Leistung und Arbeit bei ohmscher Belastung (0°) 9.8.2 Leistung und Arbeit bei induktiver Belastung (90°) 9.8.3 Leistung und Arbeit bei kapazitiver Belastung (90°) 9.8.4 Leistung und Arbeit ohmisch-induktiver Belastung (<90°) 9.8.5 Zusammenfassung der Leistungsberechnung

9.8.6 Zusammenfassung der Arbeitsberechnung 9.8.7 Messversuche Unterricht

9.9 Leitungsberechnungen

9.9.1 Spannungsabfall Einphasenwechselstrom 9.9.2 Leistungsverlust auf Leitungen mit Wechselstrom

(4)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 1 GRUNDLAGEN EINPHASENWECHSELSTROM

9 Induktion, Einphasenwechselstrom

9.1 Grundlagen Einphasenwechselstrom 9.1.1 Induktion der Bewegung (Generatorprinzip)

Rückblick:

Die drei wesentlichen Bedingungen, dass ein Leiter im Magnetfeld abgelenkt werden sind:

Feststehendes Magnetfeld mit Elektro- magnet oder Dauermagnet. Leiterstrom welcher das zweite Magnetfeld erzeugt und somit eine Kraftwirkung entsteht.

Ablenkung des beweglich angeordneten Leiter.

Motorenregel (Linke Handregel) Aus den bisheri- gen Beobachtun- gen lässt sich eine Einfache Regel herleiten, welche die Beziehungen zwischen der Magnetfeldrich- tung, Kraftrichtung und Stromrichtung besteht.

F

Φ

+

−

R F

I

n

N

S

IR 1

1

2

2 2

1 1

Michael Faraday (1791-1867) war einer der bedeutesten Experimen- talphysiker des 19. Jhs.

Er schuf viele Grundlagen der Elektro- technik. Wir verdanken ihm auch den Feldbegriff.

Induktionsgesetz 29. August 1831.

Induktion ist

herleiten, veranlassen erregen, beeinflussen!

Versuch

Mit einer logischen Rollenvertau- schung kann man aus der Kraft- wirkung zwischen stromdurch- flossenem Leiter und einem per- maneneten Magnetfeld zu die- sem Versuch gelangen.

Beobachtung und Abhängigkeiten

Mit der angesprochenen Rollenvertauschung kann, mit der senkrechten Bewegung des Leiters zum feststehenden Magnetfeld, das zweite Magnetfeld nachgewiesen werden.

Stromfluss im Messgerät (siehe Skizze)

Bei der Änderung der Bewegungsrichtung ändert auch die Stromrichtung im Messgerät.

WECHSELSTROM

(5)

9.1.2 Anschauung und Wirkung der vorhandenen Felder

(Wechselstrom-Aussenpole) Merke

Der durch seine Induktionsspannung hervor- gerufene Strom, ist stets so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Ursache immer entgegen- wirkt ( LENZ’SCHE REGEL)

N t u_i

∆

−

∆Φ

=

Das Minuszeichen im allgemeinen Induktionsgesetz gibt lediglich Aus- kunft über die Richtung der induzierten Spannung im Vergleich zur Flussänderung.

N Windungszahl -

∆

∆∆

∆ΦΦΦΦ Flussänderung [[[[Vs]]]]

∆

∆∆t Zeitdauer [[[[s]]]]

ui Induktions-

spannung [[[[V]]]]

Die Bewegungsrichtung führt zum gezeichneten Ausgleich ( LEITERSTROM).

Polfdeld Leiterfeld

Kombination der Felder mit zwei Stpannungsrichtungen im Leiter und

erzwungener Bewegung

Was versteht man unter Induktion der Bewegung?

Spannungserzeugung in einem Leiter, indem der Leiter am Magnetfeld, oder das Magnetfeld am Leiter vorbei bewegt wird.

v l B u_i = ⋅ ⋅

Die Leiterlänge ist die gesamte sich im magnetfeld befindlichen Leite. Es muss die Windungszahl berücksich- tigt werden.

N l l =2⋅ ^* ⋅

N Windungszahl - B Induktion [[[[Vs/m²]]]]

l Tot. Leiterlänge [[[[m]]]]

v Geschwindigkeit

des Leiters [[[[m/s]]]]

Die Generatorenregel (Rechte Handregel)

Legt man die rechte Handfläche in ein Magnetfeld und bewegt den Leiter in Daumenrichtung, so ist die

Induktionsrichtung der Spannung mit der Fingerrichtung festgelegt.

Höhe der induzierten Spannung:

Es wird eine Spannung von einem Volt induziert, vorausgesetzt, der

magnetische Fluss Φ Φ Φ Φ von, 1 Vs ändert in der Zeit von 1 Sekunde.

(6)

9.1.3 Aufbau Einphasen-Wechselstromgenerator (Innenpolmaschine)

Heinrich Herz 1857 – 1894

Verhalten von ferromagnetischen

Stoffen

N

S

1

V

2

Einphasenwechselstrom- Generator (Aussenpolmaschine)

(7)

9.1.4 Prinzip der Innenpolmaschine

(Wechselstromgenerator)

(8)

9.1.5 Darstellung Einphasen-Wechselspannung

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

(9)

9.1.6 Drehzahl, Polzahl und Frequenz

Versuch

Mit einem 2-poligen und einem 4-poligen Polrad sollen die Anzahl Perioden (Sinusschwingungen) während verschiedener Umdrehungszahlen festgestellt werden.

Versuch Polzahl Umdrehungen Anzahl Perioden

1 2 50 50

2 4 25 50

Beim 2-poligen Generator entsteht pro Polradumdrehung eine Periode um eine Periodenzahl von f = 50 Hz zu erhalten, muss sich das Polrad daher 50 mal je Sekunde drehen. Das ergibt eine Dreh- zahl von 3000 U/min.

Für ein 4-poliges Polrad ergibt sich: f=50 Hz U=1500 U/min.

Für ein 6-poliges Polrad ergibt sich: f=50 Hz U=1000 U/min.

Merksatz

Ein Polrad ergibt halb so viele Perioden wie Pole sind

Daraus folgt

Sekunde Drehzahl Polzahl

f = ⋅

2

^[^Hz^]

120 60

2 n p n

f p ⋅

⋅ =

= ⋅

[Hz]

p n ⋅ f

= 120

.]

min / [Umdr.

n p ⋅ f

= 120

[−]

f

Frequenz in

^Hz n

Drehzahl in

^Umdr^.^/^min^.

p

Polzahl

(10)

9.1.7 Frequenz und Wellenlänge

Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge

f

= c λ

Wellenlänge λ [m]

Lichtgeschwindigkeit c [km/s]

Frequenz f [Hz]

(11)

9.1.8 Darstellung von Wechselstromgrössen

Bisher benutzten wir zur Darstellung von Wechselstrom – beziehungsweise für Wechselspannungs-

Grössen die . Ihre Konstruktion lässt sich aus der

Polraddrehung des Generators oder aus der Abwicklung eines Kreises ableiten.

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Statorumfang Verlauf des Induktionsstromes

Die Darstellung von Wechselstromrössen als Liniendiagramm ist sehr Aufwendig und nicht sehr übersichtlich. Deshalb werden die die Wechselstromgrössen meist als Zeigerdiagramm dargestellt.

Es werden also Vektoren der Wechselstromgrössen aufgezeichnet.

Beispiele zum ermitteln von Momentanwerten:

Welche Angaben sind einem Vektor mitzugeben, damit aus ihm das glkeichwertige Linien- Diagramm (Sinusschwingung) konstruiert werden kann?

(12)

9.1.9 Maximal- und Effektivwert

Die Messinstrumente mit analoger oder digitaler Anzeige können dem schnellen Wechsel von der Spannung ^u und em Strom ⁱ nicht folgen.

Also nehmen sie einen mittlere Stellung ein oder einen mittleren Wert an und bleiben in Ruhe. Also KONSTANTE Werte, eigentlich

Es ist nun unsere Aufgabe, diese Erscheinung zu untersuchen, zu begründen und in allgemeine Gesetze zu fassen.

Der Effektivwert des Stromes

Die Leistungsberechnung eines Widerstandes mit dem Strom lautet:

Es zeigt sich, dass dazu eigentlich die Quadratwerte des Stromes gemessen werden müssten.

Also zeichnen wir als Erstes den quadratischen Verlauf eines Wechselstromes auf.

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

(13)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 1 GRUNDLAGEN EINPHASENWECHSELSTROM 10 MAXIMAL- UND EFFEKTIVWERT

Somit haben wir aus dem Wechselstrom mit einem Scheitelwert von eine Stets gleichgross bleibende Grösse gemacht, wie sie von analog und digital anzeigenden Mess- Geräten gemessen und angezeigt werden.

Merke:

Zusammenhang zwischen Effektiv- und Maximalwert des Stromes

Der Effektivwert der Spannung

Analog der Herleitung für den Strom, kann auch der Effektivwert der Spannung bestimmt werden.

Somit gilt:

(14)

9.1.10 Der Gleichstromgenerator

(Aussenpolmaschine)

(15)

9.1.11 Der Wechselstromgenerator (Aussenpolmaschine)

N

S

1

V

2

(16)

2 OHMSCHER WIDERSTAND IM WECHSELSTROMKREIS

9.2 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

A R ⋅ l

= ρ

R I

_R

= U

1 cosϕ =

IR

U _R

Bild 6.4.10

IR

U

Versuchsaufbau

Leistungsformel

I U P = ⋅

[W]

Die Kurve mit dem grösseren Scheitelwert ist die Spannung.

Der Scheitelwert des Stromes liegt bei 50% des Spannungswertes.

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt bei einem ohmschen Widerstand 0°.

Der Strom ist mit der Spannung in Phase.

(17)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 3 SELBSTINDUKTION UND ENERGIEIN DER SPULE

9.3 Selbstinduktion, Induktivität und Energie in der Spule 9.3.1 Ein- und Ausschaltvorgänge bei Spulen im Gleichstromkreis

Die Vorgänge beim Ein-- und Ausschalten lassen sich damit erklä- ren, dass in der Magnetspule der rasche Feldauf- bzw. Feldabbau in der Spule selbst eine sogenannte Selbstinduktionsspannung erzeugt. Dieser Vorgang heisst Selbstinduktion.

Die Selbstinduktionsspannung ist beim Einschalten der Spule so gerichtet, dass sie der angelegten Spannung entgegenwirkt und damit den Aufbau des Feldes verzögert. Der volle Strom kann erst fliessen, wenn das Feld aufgebaut ist und sich nicht mehr ändert.

Beim Ausschalten ist die Selbstinduktionsspannung so gerichtet, dass der Spulenstrom in gleicher Richtung weiterfliesst. Die Spule ist beim Ausschalten praktisch Spannungserzeuger und beim Ein- schalten Spannungsverbraucher.

Die Selbstinduktionsspannung wird durch den eigenen Leiterstrom verursacht und ist gegen die angelegte Spannung gerichtet.

Diese Spannung verhindert den raschen Feld- aufbau und verzögert das Ansteigen des

Stromes.

Selbstinduktionsspannung durch Ausschalten einer Spule

Die 220V-Glimmlampe leuchtet beim Ausschalten der Spannungs- quelle kurz auf.

Beim Abschalten der Spule entsteht kurzzeitig eine viel höhere Spannung, als vorher angelegt war. Diese Überspannung kann beträchtlich sein. Massnahmen gegen diese hohen Überspannun- gen sind Schutzdioden oder RC- Glieder.

Selbstinduktionsspannung durch einschalten einer Spule.

Die Glühlampe L1 leuchtet später auf als die Glühlampe L2.

Beim Anlegen einer Gleichspan- nung an der Spule steigt der Strom nur verzögert auf seinen Endwert an.

R I₀ = U

Der volle Stromwert [A] im Einschaltvorgang wird

begrenzt durch den ohmischen Widerstand

der Spule.

R

= L τ

Zeitkonstante in [s]

(18)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 3 SELBSTINDUKTION UND ENERGIE IN DER SPULE 2 ZEITKONSTANTE BEI SPULE AN GLEICHSPANNUNG

9.3.2 Zeitkonstante bei Spulen im Gleichstromkreis

t Laden Entladen

U [%] I [%] U [%] I [%]

0 1 2 3 4 5

Laden

[%] Entladen

[%]

% 100 1

0

 ⋅







 





−

=



 



− τ

t

S

e

I

i 100 %

0

 ⋅







 





=



 



− τ

t

S

e

I i

% 100

0

⋅













=



 



− τ

t

S e

U

u 100%

0

⋅













−

=



 



− τ

t

S e

U u

Selbstinduktionsspannung

t L I u_s

∆

−

∆

=

Das Minuszeichen im Selbstin- duktionsgesetz gibt Auskunft über die Richtung der Selbstin- duktionsspannung im Vergleich zur Stromänderung. Bei Strom-

zunahme wurde sich hiernach eine negative Selbstinduktions- spannung und bei Stromabnah- me eine positive Selbstindukti-

onsspannung ergeben.

Anwendungen der Selbstinduktion:

Drosselspulen von Leucht- stofflampen (Zünden)

Autozündung, Viehhüter, Feuerzeuge, Ölbrenner- zündung

L Induktivität H

∆

∆∆I Stromänderung [[[[A]]]]

∆∆∆

∆t Zeitdauer [[[[s]]]]

us Selbsinduktions-

Abhängigkeit der Selbstinduktionsspannung:

Spulenabmessungen

Windungen, Stromstärke

Zeit (Geschwindigkeit)

(19)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 3 SELBSTINDUKTION UND ENERGIE IN DER SPULE

3 URSACHEN UND WIRKUNGEN DER INDUKTIVITÄT VON SPULEN

9.3.3 Ursachen und Wirkung der Induktivität von Spulen

Die Baudaten der Spule und des Eisenkerns fasst man zusammen als die Induktivität L.

Die Induktivität ist massgebend für die Höhe der Selbstinduktionsspan- nung. Die Einheit der Induktivität ist das Henry [H].

m r

l

A L N ⋅ ⋅ ⋅

= ²

µ

₀

µ

Definition der Induktivität:

Eine Spule hat die Induktivität von einem Henry, wenn eine gleich- mässige Stromänderung von einem Ampère je Sekunde in Ihr die

Spannung von einem Volt Induziert (1H = 1 Vs/A)

L Induktivität H

N Windungszahl [[[[-]]]]

A Spulenquerschnitt [[[[m²]]]]

lm Mittlere

Feldlinienlänge [[[[m]]]]

µ µµ

µ₀ Magnetische Feld-

konstante [[[[Vs/Am]]]]

µµµ

µ_r Permiabilitätszahl [[[[-]]]]

∆∆∆

∆ΙΙΙΙ Stromänderung [A]

∆

∆ΦΦΦΦ Flussänderung [Vs]

N I

L

∆

=

∆Φ

A H =Vs

Bei der Bestimmung der Induktivität von Spulen mit Eisenkern ist zu be- achten, dass die Permeabilität und damit auch die Induktivität von der magnetischen Feldstärke H, also vom jeweiligen Strom I, abhängt.

In der Praxis kommen Induktivitäten von mH bis kH vor.

Die Induktivität ist die wichtigste Kenngrösse von Spulen und wird daher meist zusammen mit dem Drahtwiderstand angegeben. Das gilt vor allem für Drosselspulen, wie sie z.B. in Leuchtstofflampen-Schaltungen verwendet werden.

Einer der ersten wirksamen Elektromagneten wurde von dem amerikanischen Physi- ker Joseph Henry (1797- 1878) gebaut.

Der Draht war mit Seide isoliert. Henry enteckte die Selbstinduktion im Jahre 1832.

Luftspule

=1 µr

Ringkern-Spule

(20)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 3 SELBSTINDUKTION UND ENERGIE IN DER SPULE 4 MAGNETISCHER ENERGIEINHALT EINER SPULE

9.3.4 Magnetischer Energieinhalt einer Spule

Induktive Bauelemente wie Spulen speichern Energie in Form ihres Magnetfeldes. Das Magnetfeld einer Spule der Induktivität L [H], die vom Momentanwert des Stromes I [A] durchflossen wird, enthält die Energie W [J]:

2 I

2

W L ⋅

= J = W ⋅ s = AVs

Bei einer plötzlichen Unterbrechung des Stromkreises, muss sich die in der Spule gespeicherte Energie in sehr kurzer Zeit umsetzen und ergibt an den Anschlussklemmen eine sehr hohe Selbstinduktionspannung, die zu Beschädi- gungen an der Isolation oder anderen Schaltungsteilen führen kann. Um dies zu vermeiden, werden induktive Bauelemente vor dem Abschalten meist mit einem Lastwiderstand kurzgeschlossen, in dem sich die im magnetischen Feld gespeicherte Energie thermisch umsetzt. Diese hohe Spannung kann aber auch zur Versorgung von elektrischen Bauteilen mit hohem Spannungsbedarf, wie etwa eine Zündkerze oder Röhrenlampen, verwendet werden.

2 W ⋅I

=Φ

mit Φ =L⋅I

ergiebt sich nachfol- gende Endformel

2 I2

W L⋅

=

Aufgabe

Zwei Spulen von je 1 H haben momentan 100 V bzw. 200 V Klem- menspannung.

In welchem Verhältnis stehen die beiden:

a) Spannungen zueinander, b) Ladeenergien zueinander?

Luftspule

=1 µr

Ringkern-Spule

m r

l

A L N ⋅ ⋅ ⋅

= µ0 µ

2

Berechnung der Induktivität einer Spule

A H =Vs

Anwendungen, Einsatz

Ablenkspule, Lautsprecherspule, Motorspule, Relaisspule, Transformatorspule, Übertra- gerspule und viele andere mehr sind Halbfab- rikate (Wicklungen meist auf einem Wickel- träger), die geeignet sind, ein Magnetfeld zu erzeugen oder zu detektieren, und Teil einer technischen Induktivität sind, eines induktiven passiven Bauelementes wie z. B. eines Übertragers oder Transformators, Teil eines elektromechanischen Bauelementes wie zum Beispiel eines Relais, Motors, Lautsprechers, Mikrofons oder Tonabnehmers oder Teil einer Bildröhre (Ablenkspule) sind.

(21)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 4 SPULE AN WECHSELSPANNUNG

1 IDEALE SPULE AN WECHSELSPANNUNG

9.4 Spulen an Wechselspannung 9.4.1 Ideale Spule an Wechselspannung

Versuche Beobachtungen

Spule an Gleichspannung

+

-

A

V

I=

U=

L

U = ... V I = ... A

Spule an Wechselspannung f₁ = ^Hz

A

V I∼∼∼∼

U∼∼∼ ∼ L

U = ... V A I = ...

Bei Wechselspannung fliesst ein viel kleinerer Strom durch die Spule. Der Wechselstromwiderstand muss viel grösser sein!

Spule an Wechselspannung f₂ = ^Hz

A

V I∼∼∼ ∼

U∼∼∼ ∼ L

U = ... V I = ... A

Bei grösserer Frequenz nimmt der Wechselstromwiderstand zu!

(22)

L f X_L =2⋅

π

⋅ ⋅

L X_L =

ω

⋅

XL Induktiver

Widerstand [[[[ΩΩΩΩ]]]]

f Frequenz [[[[Hz]]]]

L Induktivität [[[[H]]]]

ω ω

ωω Kreisfrequenz [[[[-]]]]

Der Wechselfluss durch die Spu- le erzeugt eine Selbstinduktions- spannung in der Spule. Diese wirkt der Netzspannung entgegen.

Kleinere Stromaufnahme Grösserer Widerstand Da der Wechselstrom gedrosselt wird, bezeichnet man solche Spulen auch als Drosselspulen oder einfach Drosseln.

Dieser zusätzliche Widerstand, der nur beim Anschluss an Wechselspannung auftritt, bezeichnet man als:

Induktiver Widerstand Blindwiderstand

Dieser induktive Widerstand ist abhängig von:

Der Spulenabmessung

Eisenmaterial und Eisenabmessungen Der Frequenz des Wechselstromes

Versuchsaufbau Spule an Wechselspannung

Spule an Gleichspannung

+

-

A

V

I=

U=

L

Es wirkt nach ⁵τ nur der ohmsche Widerstand.

Spule an Wechselspannung

+

-

A

V I=

U=

L

Bei Wechselspannung fliesst ein viel kleinerer Strom durch die Spule. Der Wechselstromwider-

stand muss viel grösser sein!

(23)

Spulenangaben:

N =¹⁰⁰

,

µ_r =¹

,

l_m =0,4m

,

Am

6 Vs

0 =1,257⋅10⁻

µ

,

A_S =⁰^,⁰⁴m²

,

Hz f =500

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

(24)

2 REALE SPULE AN WECHSELSPANNUNG

9.4.2 Reale Spule an Wechselspannung

Nach dem Satz von Pythagoras kann die Impedanz berechnet werden.

2 2

XL

R

Z = +

L f X_L =2⋅

π

⋅ ⋅

L X_L =

ω

⋅

jX R Z = +

R_L Ohmscher

X_L Induktiver

f Frequenz [[[[Hz]]]]

L Induktivität [[[[H]]]]

ω ω ω

ω Kreisfrequenz [[[[^s-1]]]]

Z Impedanz [[[[ΩΩΩΩ]]]]

Impedanzdreieck

Z X_L

R ϕ

Bei einer realen Spule wirkt auch noch ohmsche Widerstand.

Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung

Leistungsdreieck

Diese Spulen auch als Drossel- spulen oder einfach Drosseln genannt findet man in vielen An- wendungen:

Motoren

Zündddrosseln von FL Stromglättung

Der Winkel ϕ zwischen dem ohmischen Widerstand und dem induktiven Widerstand bzw. Der Winkel zwischen der Verbraucherspannung und dem Verbraucherstrom kann mit Hilfe der trigonometrischen Funk- tionen berechnet werden:

L L

L I

Z =U

L L

L Z

R = ⋅cosϕ

L L

L Z

X = ⋅sinϕ

2 2

L L

L R X

Z = +

L L

L U I

S = ⋅ [VA]

L L

L S

P = ⋅cosϕ [W]

L L

L S

Q = ⋅sinϕ [VAr]

2 2

L L

L P Q

S = + [VA]

Spule an Gleichspannung

+

-

A

V

I=

U=

L

Es wirkt nach ⁵τ nur der ohmsche Widerstand.

Spule an Wechselspannung

U

A

V I

Z

Bei Wechselspannung fliesst ein viel kleinerer Strom durch die Spule. Der Wechselstromwider-

stand muss viel grösser sein!

Wirkfaktor aus Widerständen

L L

L Z

= R ϕ cos

Merke

Der Wirkfaktor wird auch Leistungsfaktor genannt.

Wirkfaktor aus Leistungen

L L

L S

= P ϕ cos

Bindfaktor aus Leistungen

L L

L S

= Q ϕ sin

(25)

2 REALE SPULE AN WECHSELSPANNUNG

Spulenangaben:

N =¹⁰⁰

,

µ_r =¹

,

l_m =0,4m

,

Am

6 Vs

0 =1,257⋅10⁻

µ

,

A_S =⁰^,⁰⁴m²

,

f =50Hz 5 2

,

2 m

A_Cu =

,

U =10V

,

d_m =0,08m

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

(26)

3 PHASENVERSCHIEBUNG

9.4.3 Phasenverschiebung

U

A

V I

Z

Wirkfaktor aus Impedanz

L L

L Z

= R ϕ cos

L L

L I

Z =U

L L

L Z

R = ⋅cosϕ

L L

L Z

X = ⋅sinϕ

2 2

L L

L R X

Z = +

L L

L U I

S = ⋅ [VA]

L L

L S

P = ⋅cosϕ [W]

L L

L S

Q = ⋅sinϕ [VAr]

2 2

L L

L P Q

S = + [VA]

Merke

Der Wirkfaktor wird auch Leis- tungsfaktor genannt.

Wirkfaktor aus Leistung

L L

L S

= P ϕ cos

Bindfaktor aus Leistung

L L

L S

= Q ϕ sin

Die Phasenverschiebung kann aus der Grafik herausgelesen werden.

(27)

4 IDEALE INDUKTIVITÄT IN REIHENSCHALTUNG

9.4.4 Idele Induktivität in Reihenschaltung

Die drei in Reihe geschalteten Spulen entsprechen drei in Reihe geschalteten induktiven Blindwiderstän- den.

X

_LTot

= X

_L₁

+ X

_L₂

+ X

_L₃

Mit Hilfe dieser Gleichung kann die Gesamtinduktivität abgeleitet werden:

ω ⋅ L

_Tot

= ω ⋅ L

₁

+ ω ⋅ L

₂

+ ω ⋅ L

₃

L

_Tot

= L

₁

+ L

₂

+ L

₃

+ ... + L

_n

Für eine beliebige Anzahl (n) in Reihe geschalteter Spulen gilt demzufolge die Glei- chung:

Diese Gleichung gilt nur unter der Voraussetzung, dass keine magnetische

Kopplung zwischen den Spulen besteht. Das heisst, die Spulen dürfen nicht auf

den gleichen Spulenkern sitzen. Auch müssen sie so angeordnet sein, dass

sich die einzelnen Streufelder nicht gegenseitig beeinflussen.

(28)

5 REALE SPULE IN REIHENSCHALTUNG

9.4.5 Reale Spulen in Reihenschaltung

(29)

6 IDEALE INDUKTIVITÄT IN PARALLELSCHALTUNG

9.4.6 Ideale Induktivitäten in Parallelschaltung

Der Gesamtwiderstand der drei parallel geschalteten Spulen lässt sich mit fol- gender Gleichung berechnen.

3 2

1

1 1

L L

L

LTot X X X

X = + +

Setzt man in die nebenstehende Glei- chung die Kreisfrequenz ein, so folgt:

In der rechts stehenden Gleichung kann die Kreisfequenz

gestrichen werden. ₁ ₂ ₃

1 1

L L

L

L_Tot + ⋅

+ ⋅

= ⋅

⋅

ω ω ω

ω

n

Tot .... L

L L L L

1 1

1 1 1

3 2 1

+ + + +

=

Für eine beliebige Anzahl (n) parallel geschalteter Spulen gilt demzufolge die Gleichung:

Diese Gleichung gilt nur unter der Voraussetzung, dass keine magnetische Kopplung zwischen den Spulen besteht. Das heisst, die Spulen dürfen nicht auf den gleichen Spulenkern sitzen. Auch müs- sen sie so angeordnet sein, dass sich die einzelnen Streufelder nicht gegenseitig beeinflussen.

(30)

7 REALE SPULE IN PARALLELSCHALTUNG

9.4.7 Reale Spulen in Parallelschaltung

(31)

8 INDUKTION / EMV

9.4.8 Induktion/EMV

(32)

9 INDUKTIONSFREIE SPULE (BIFILARE WICKLUNG)

9.4.9 Induktionsfreie Spule (bifilare Wicklung)

Drahtwiderstände

Bei gegensinnigem Stromfluss heben sich die beiden dadurch entstehen- den magnetischen Felder gegenseitig nahezu auf. Bifilare Wickelweise wird verwendet, um zum Beispiel Drahtwiderstände mit sehr kleiner para- sitärer Induktivität herzustellen. Hierbei fließt der Strom durch den bifilar verlegten Draht hin und zurück.

Die Wicklungen sind so zu verbinden, dass sich die Magnetfelder im Eisenring

aufheben.

2 0

1− =

⋅

=I (N N ) Θ

=0

=N I

L ∆

∆Φ

Transformatoren

Werden dagegen die beiden Drähte als separate Wicklungen eines Transformators verwendet, besitzen sie eine besonders geringe Streuin- duktivität. Bifilar oder „n-filar“ hergestellte Transformatoren besitzen ein besonders gutes Impuls-Übertragungsverhalten und werden unter ande- rem als Koppel-Übertrager zur potentialgetrennten Ansteuerung von Transistoren verwendet. Bei diesen wird jede Wicklung aus einem der zueinander parallel verlegten oder sogar miteinander verdrillten Drähte gebildet. Allerdings erhöht sich bei dieser Bauweise die parasitäre Kop- pelkapazität zwischen den so eng benachbarten Wicklungen.

Bifilar (aus dem Englischen, dt.:

zweiadrig) bezeichnet in der Elektrotechnik eine zweiadrig, das heißt aus einem Drahtpaar (Kupferlackdraht, lackisoliertes Band oder Widerstandsdraht) gewickelte Spule

Bifilare Wicklung auf zylindrischem

Träger

Widerstandsdekade, 10x 1 Ohm, bifilar gewickelte Bänder,

Stufenschalter

Prinzipaufbau eines Möbius-Widerstandes

SE-Übertrager in bifilarer Wickeltechnik

(33)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 5 KONDENSATOR IM WECHSELSTROMKREIS

9.5 Kondensator im Wechselstromkreis

Dem Kondensator bzw. der Elektrostatik ist ein eigens Kapitel gewidmet und dabei wird das elektrische Feld und deren Auswirkungen ganz genau durchleuchtet.

C X_C f

⋅

= ⋅ π 2

1

C

C X

I = U

0 cosϕ= Das elektrische Feld

Siehe Seite 1406

200V 50Hz

Bild 5.4

100Ω

Versuchsaufbau Kondensator an Wechselspannung

Liniendiagramm von Strom und Spannung eines idealen Kondensators

Die Kurve mit dem grösseren Scheitelwert ist die Spannung.

Der Scheitelwert des Stromes liegt bei 50% des Spannungswertes.

Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt bei einem idealen Kondensator 90°.

Der Strom eilt der Spannung um 90° vor.

(34)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 6 INDUKTION DER RUHE (TRANSFORMATORPRINZIP) 1 IDEALER TRANSFORMATOR

9.6 Induktion der Ruhe

Dem Transformator ist ein eigens Kapitel gewidmet und dabei wird die induktion der Ruhe ganz genau durchleuchtet.

In eine Draht oder Spule wird eine Spannung induziert, wenn sich in dem Leiter oder in der Spule der magnetische Fluss ändert.

Liest man die obige Beschreibung sehr aufmerksam, so wird man auf eine weitere Möglichkeit der Spannungserzeugung durch Induktion stossen. Spannungserzeugung durch Fluss- änderung. Anstatt das Magnetfeld sichtbar zu bewegen, kann durch Magnetfeldänderung dasselbe erreicht werden.

Der Primärspule wird Energie zugeführt.

Sekundär wird Energie entnommen.

Die Stromrichtungen (1,2) sind entgegen- Gesetz.

Spulen sind magnetisch verbunden.

Magnetische Verkettungen nennt man auch galvanische Trennung.

Höhe der induzierten Spannung

N t u_i

∆

−

∆Φ

=

Das Minuszeichen im allgemeinen Induktionsgesetz gibt lediglich Auskunft über die Richtung der induzierten Spannung im Vergleich zur Flussänderung.

N Windungszahl -

∆∆

∆∆ΦΦΦΦ Flussänderung [[[[Vs]]]]

∆

∆∆t Zeitdauer [[[[s]]]]

ui Induktions-

Wenn die Verluste ver- nachlässigt werden, besteht ein Leistungsgleich-

gewicht:

2

1

S

S =

Abgegebene und aufge- nommene Leistung sind

gleich gross.

Transformatorformel

N f Bˆ A ,

U =444⋅ _Fe⋅ ⋅ ⋅

Der Eisenquerschnitt in m², die Flussdichte Bin T, die Frequenz

f in Hz und die Windungszahl N bestimmen die induzierte Span- nung.

Das gilt für jede Wicklung auf dem gemeinsamen Fe-Kern.

Der Transformator ist eine elektrische Maschine

Er überträgt Leistung nach dem In- duktionsprinzip.

Primä rspule Sek undä rspule

Der Transformator wird primärseitig gespeist. Die Primärwicklung erzeugt einen Wechselfluss, welcher in der Sekundärwicklung eine Spannung

induziert (induktive Kopplung). Sekun-därseitig wird belastet. Die Primärseite kompensiert die Sekundärleistung durch eine gleich grosse Leistungsauf-nahme aus dem Speisenetz.

Die Spannungen verhalten sich wie das Verhältnis der Windungen. (Proportional)

2 1 2

1

N N U

ü = U =

Wirkung der Wicklungen

U1 U₂

N1 N₂ I1 I₂

Primär Sekundär

U1 U₂

N1 N₂ I1 I₂

Durchflutung 2 1

= Θ Θ

2 2 1

1

I N I

N ⋅ = ⋅

Übersetzungen

Spannungen sind den Windungszahlen proportional, die Ströme hingegen um-

gekehrt proportional.

(35)

7 GEMISCHTE OHMISCHE, INDUKTIVE UND KAPAZITIVE SCHALTUNGEN

9.7 Gemischte Schaltungen an Einphasenwechselstrom 9.7.1 Vergleich der Wechselstromwiderständen

Wir kennen nun alle Verbraucher – oder Widerstandsarten

Widerstände Verbraucher Anwendungen

Verhalten an Gleichspannung

Verhalten an Wechselspannung Ohmisch Elektro-Heizung

Boiler Kochplatte

Veränderung mit der Temperatur

Wie an Gleichspan- nung Strom und Span- nung in Phase

Induktiv Motoren

Induktionskochfeld Vorschaltgerät, Dros- selspulen

Transformator Leitungsinduktivität

Nach 5τ wie ein ohmscher Wider- stand

Strom eilt der Span- nung im max. um 90°

nach.

Grössere Frequenz grösserer Widerstand

Kapazitiv Kompensations- Kondensator

Entstör-Kondensator Filter

Glättungskondensator Kabelkapazität

Nach 5τ sperrt der Kondensator den Gleichstrom

Strom eilt der Span- nung im max. um 90°

vor.

Grössere Frequenz kleinerer Widerstand

In der Praxis sind die Verbraucher einzeln oder in Gruppen gemeinsam an das bestehende Leitungsnetz angeschlossen:

Netzspannung 3 x 400 V / 230 V ± 10 %

Wir wollen nun das Verhalten der drei Widerstandsarten am Wechselspan-

nungsnetz untersuchen, verbunden mit den notwendigen Berechnungen für die

Spannung, den Strom und die Leistungen.

(36)

9.7.2 Übersicht über die wichtigsten Wechselstromwiderständen 1

Liniendiagramm „Ohmscher Verbraucher“

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Zeigerdiagramm

Bild 6.10.5

Formelsammlung

2

Liniendiagramm „Induktiver Verbraucher“

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Zeigerdiagramm

Bild 6.10.5

Formelsammlung

3

Liniendiagramm „Kapazitiver Verbraucher“

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Zeigerdiagramm

Bild 6.10.5

Formelsammlung

4

Liniendiagramm gemischter Verbraucher

„Ohmsch-induktiv“ ϕ=60°

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Zeigerdiagramm

Bild 6.10.5

Formelsammlung

(37)

9.7.3 Berechnungen an Wechselstromwiderständen

Mit den vorhandenen Kenntnissen können Sie nun alle möglichen kombinierte Schaltungen mit den Widerständen berechnen.

Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3

IR

U _R

Bild 6.4.10

IR

U

Ω

=100 R

V U =100

Hz

f =50 ^{Bild 6.4.9}

R_L X_L

Z_L

Ω

=100 R

H L =0,5513

V U =100

Hz f =50

U, f

I_TOT R

Bild 6.3.15

C R=100Ω

F C =¹⁸^,³⁸µ

V U =100

Hz f =50

Gesucht I , ϕ, cosϕ ^Gesucht I , ϕ, cosϕ ^Gesucht I , ϕ, cosϕ

(38)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 8 LEISTUNGS- UND ARBEITSPERECHNUNG

9.8 Leistungs- und Arbeitsberechnungen

9.8.1 Leistung und Arbeit bei ohmscher Belastung (0°)

Anwendungen:

Zeigerdiagramm

Feststellungen:

Phasenverschiebung:

Liniendiagramm

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Formeln:

(39)

9 INDUKTION, EINPHASEN-WECHSELSTROM 8 LEISTUNGS- UND ARBEITSBERECHNUNG

9.8.2 Leistung und Arbeit bei induktiver Belastung (90°)

Anwendungen:

Zeigerdiagramm

Feststellungen:

Phasenverschiebung:

Liniendiagramm

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Formeln:

(40)

9.8.3 Leistung und Arbeit bei kapazitiver Belastung (90°)

Anwendungen:

Zeigerdiagramm

Feststellungen:

Phasenverschiebung:

Liniendiagramm

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Formeln:

(41)

9.8.4 Leistung und Arbeit ohmisch-induktiver Belastung (<90°)

Anwendungen:

Zeigerdiagramm

Feststellungen:

Phasenverschiebung:

Liniendiagramm

Bild 6.9.1

30 60 120

0 90 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

Formeln:

(42)

9.8.5 Zusammenfassung der Leistungsberechnung

Mit Hilfe der vektoriellen Darstellungen und den gezeichneten Liniendiagram- men können aus den behandelten Belastungsfällen die drei Leistungsteile wie folgt dargestellt und formuliert werden.

Bild 6.18.1

cosϕ sinϕ

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

0 0,1 P

Q

Wirkfaktor

Blindfaktor

Tangens

Scheinleistung

Wirkleistung aus der Scheinleistung Blindleistung aus der Scheinleistung

(43)

9.8.6 Zusammenfassung der Arbeitsberechnung

Mit Hilfe der vektoriellen Darstellungen und den gezeichneten Liniendiagrammen können aus den behandelten Belastungsfällen die drei Arbeitsteile wie folgt dargestellt und formuliert werden.

Bild 6.18.1

cosϕ sinϕ

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

0 0,1 P

Q

Wirkfaktor

Blindfaktor

Tangens

Scheinarbeit

Wirkarbeit aus der Scheinarbeit Blindarbeit aus der Scheinarbeit

(44)