Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden in der Vorlesung behandelt. Es erfolgt weder eine Korrektur noch eine Besprechung in den Tutorien.

(1)

MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2018/2019 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Übungen zur Mathematik I für Physiker

Prof. Dr. D.-A. Deckert

Blatt 14

Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden in der Vorlesung behandelt. Es erfolgt weder eine Korrektur noch eine Besprechung in den Tutorien.

Aufgabe 1: Entwickeln Sie die Funktion f(x) = log(1 + x) für x > −1 um die Stützstelle x ₀ = 0 mithilfe der Taylorformel f (x) = T _n−1 (x, x ₀ ) + R _n (x, x ₀ ) für n ∈ N. Geben Sie eine Umgebung U ⊂ R von x ₀ an in der Sie für gegebene Fehlertoleranz > 0 die Ordnung n abschätzen können, für die |f(x) − T m−1 (x, x ₀ )| < gilt.

Aufgabe 2: Berechnen Sie für f (x) = x ² das Integral R 1

0 f(x)dx mithilfe einer Riemann- Summe.

Aufgabe 3: Zeigen Sie die Regel der partiellen Integration: Für f, g ∈ C ¹ ( R ) gilt Z b

a

f(x)g ⁰ (x)dx = f (x)g(x)

x=b x=a −

Z b

a

f ⁰ (x)g(x)dx

Hinweis: Wenden Sie dazu die Produktregel der Dierentialrechnung.

Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Integrale und überprüfen Sie jeweils Ihr Ergebnis mithilfe des Fundamentalsatzes der Integral- und Dierentialrechnung:

(a) R b

a tan(x)dx für [a, b] ⊂ (− ^π ₂ , ^π ₂ ) . (b) R b

a 1

1−x

²

dx für {−1, 1} ∈ / [a, b] .

Hinweis: Setzen Sie eine Partialbruchzerlegung _1−x ¹

²

= _1−x ^α + _1+x ^β an.

(c) R b

0 xe ^x dx für b ∈ R.

(d) R b

a cos(x) ² dx für a, b ∈ R.

Aufgabe 5: Berechnen Sie die Fläche des Einheitskreises mithilfe eines Integrals.

Hinweis: Beobachten Sie, dass ein Halbeinheitskreis mit f(x) = √

1 − x ² für x ∈ [−1, 1]

parametrisiert wird. Benutzten Sie die Substitutionsregel für Integrale mit x = sin(y) und

dann z.B. die partielle Integration (oder alternativ die Eulerformeln), um das Integral zu

berechnen.

(2)

Aufgabe 6: Sei n ∈ N, f ∈ C ⁿ ( R ) und x > x ₀ ∈ R. Zeigen Sie mithilfe des Fundamen- talsatzes und geschickter Anwendung der partiellen Integration, dass gilt:

f(x) = T n−1 (x, x ₀ ) + Z x

x

0

f ⁽ⁿ⁾ (y) (y − x 0 ) ⁿ⁻¹ (n − 1)! dy,

wobei T _n−1 (x, x ₀ ) das Taylorpolynom der Ordnung (n − 1) ist. Beweisen Sie ausgehend von

dieser Identität nochmals unseren Satz zur Taylorentwicklung, d.h., es gibt ein ξ ∈ [x ₀ , x] ,

Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden in der Vorlesung behandelt. Es erfolgt weder eine Korrektur noch eine Besprechung in den Tutorien.

MATHEMATISCHES INSTITUT WS 2018/2019 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Übungen zur Mathematik I für Physiker

Prof. Dr. D.-A. Deckert

Blatt 14

Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden in der Vorlesung behandelt. Es erfolgt weder eine Korrektur noch eine Besprechung in den Tutorien.

Aufgabe 2: Berechnen Sie für f (x) = x 2 das Integral R 1

0 f(x)dx mithilfe einer Riemann- Summe.

Aufgabe 3: Zeigen Sie die Regel der partiellen Integration: Für f, g ∈ C 1 ( R ) gilt Z b

a

f(x)g 0 (x)dx = f (x)g(x)

x=b x=a −

Z b

a

f 0 (x)g(x)dx

Hinweis: Wenden Sie dazu die Produktregel der Dierentialrechnung.

Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Integrale und überprüfen Sie jeweils Ihr Ergebnis mithilfe des Fundamentalsatzes der Integral- und Dierentialrechnung:

(a) R b

a tan(x)dx für [a, b] ⊂ (− π 2 , π 2 ) . (b) R b

a 1

1−x

dx für {−1, 1} ∈ / [a, b] .

Hinweis: Setzen Sie eine Partialbruchzerlegung 1−x 1

= 1−x α + 1+x β an.

(c) R b

0 xe x dx für b ∈ R.

(d) R b

a cos(x) 2 dx für a, b ∈ R.

Aufgabe 5: Berechnen Sie die Fläche des Einheitskreises mithilfe eines Integrals.

Hinweis: Beobachten Sie, dass ein Halbeinheitskreis mit f(x) = √

1 − x 2 für x ∈ [−1, 1]

parametrisiert wird. Benutzten Sie die Substitutionsregel für Integrale mit x = sin(y) und

dann z.B. die partielle Integration (oder alternativ die Eulerformeln), um das Integral zu

berechnen.

Aufgabe 6: Sei n ∈ N, f ∈ C n ( R ) und x > x 0 ∈ R. Zeigen Sie mithilfe des Fundamen- talsatzes und geschickter Anwendung der partiellen Integration, dass gilt:

f(x) = T n−1 (x, x 0 ) + Z x

x

f (n) (y) (y − x 0 ) n−1 (n − 1)! dy,

wobei T n−1 (x, x 0 ) das Taylorpolynom der Ordnung (n − 1) ist. Beweisen Sie ausgehend von

dieser Identität nochmals unseren Satz zur Taylorentwicklung, d.h., es gibt ein ξ ∈ [x 0 , x] ,

sodass f (x) = T n−1 (x, x 0 ) + f (n) (ξ) (x−x n!

)

.

Aufgabe 2: Berechnen Sie für f (x) = x ² das Integral R 1

Aufgabe 3: Zeigen Sie die Regel der partiellen Integration: Für f, g ∈ C ¹ ( R ) gilt Z b

f(x)g ⁰ (x)dx = f (x)g(x)

f ⁰ (x)g(x)dx

a tan(x)dx für [a, b] ⊂ (− ^π ₂ , ^π ₂ ) . (b) R b

Hinweis: Setzen Sie eine Partialbruchzerlegung _1−x ¹

= _1−x ^α + _1+x ^β an.

0 xe ^x dx für b ∈ R.

a cos(x) ² dx für a, b ∈ R.

1 − x ² für x ∈ [−1, 1]

Aufgabe 6: Sei n ∈ N, f ∈ C ⁿ ( R ) und x > x ₀ ∈ R. Zeigen Sie mithilfe des Fundamen- talsatzes und geschickter Anwendung der partiellen Integration, dass gilt:

f(x) = T n−1 (x, x ₀ ) + Z x

f ⁽ⁿ⁾ (y) (y − x 0 ) ⁿ⁻¹ (n − 1)! dy,

wobei T _n−1 (x, x ₀ ) das Taylorpolynom der Ordnung (n − 1) ist. Beweisen Sie ausgehend von

dieser Identität nochmals unseren Satz zur Taylorentwicklung, d.h., es gibt ein ξ ∈ [x ₀ , x] ,

sodass f (x) = T n−1 (x, x 0 ) + f ⁽ⁿ⁾ (ξ) ^(x−x _n!

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