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18. November 2005

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Ingenieure

Othmar Marti

Abteilung Experimentelle Physik Universität Ulm

18. November 2005

(2)
(3)

I. Vorbemerkungen 9

1. Übungsblätter und Folien 13

2. Einleitung 17

2.1. Allgemeines zur Physik . . . 17

2.2. Einheitensysteme . . . 19

2.3. Fehler . . . 21

2.4. Dimensionsanalyse . . . 22

2.5. Literatur . . . 23

II. Mechanik starrer Körper 27

3. Kinematik 29 3.1. Bewegung in einer Dimension . . . 29

3.1.1. Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung . . . 30

3.2. Bewegung in zwei und drei Dimensionen . . . 33

3.2.1. Vektoren und Vektorrechnung . . . 33

3.2.2. Bsp: Wurfbewegung. . . 36

3.2.3. Gleichförmige Kreisbewegung (mit vektorieller Darstellung). 38 3.2.4. Nichtkommutativität endlicher Drehungen . . . 39

4. Dynamik, die Newtonschen Axiome 43 4.1. Trägheitsgesetz: Erstes Newtonsches Axiom . . . 43

4.2. Kraft, Masse,Impuls: Zweites Newtonsches Axiom . . . 44

4.2.1. Masse (m) . . . 44

4.2.2. Kraft (F) . . . 45

4.2.3. Arten von Kräften . . . 46

4.2.4. Beispiele zur Lösung von Bewegungsproblemen. . . 47

4.3. Anwendungen der Newtonschen Axiome . . . 50

4.3.1. Reibung . . . 50

4.3.2. d'Alembert'sches Prinzip . . . 54

4.3.3. Bewegung mehrerer miteinander verbundener Körper . . . . 55

4.3.4. Kräfte in bewegten Bezugssystemen . . . 57

(4)

4.3.5. Numerische Methoden . . . 60

4.4. Arbeit,Energie,Leistung . . . 61

4.4.1. Arbeit und Energie bei konstanter Kraft, kinetische Energie 61 4.4.2. Arbeit und Energie bei veränderlicher Kraft . . . 63

4.4.3. Allgemeine Formulierung der Arbeit bei 3 Dimensionen . . . 65

4.4.4. Potentielle Energie . . . 67

4.4.5. Energieerhaltungssatz . . . 74

4.4.6. Verallgemeinerter Energiesatz . . . 77

4.4.7. Leistung . . . 77

4.5. Teilchensysteme und Impulserhaltung . . . 79

4.5.1. Massenmittelpunkt . . . 79

4.5.2. Impulserhaltung. . . 81

4.5.3. Massenmittelpunkt als Bezugssystem . . . 82

4.5.4. Kinetische Energie eines Teilchensystems . . . 83

4.5.5. Stösse in einer Dimension . . . 84

4.5.6. Stösse in drei Dimensionen . . . 86

4.5.7. Kraftstoss . . . 88

4.5.8. Rückstossantriebe . . . 89

4.6. Drehbewegungen . . . 90

4.6.1. Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung . 90 4.6.2. Drehmoment und Trägheitsmoment . . . 91

4.6.3. Kinetische Energie der Drehbewegung. . . 94

4.6.4. Berechnung der Trägheitsmomente . . . 94

4.6.5. Drehimpuls und Drehimpulserhaltung . . . 96

4.6.6. Rollende Körper . . . 98

4.6.7. Vektorcharakter von Drehgrössen . . . 101

4.6.8. Drehungen um beliebige Achsen: Trägheitstensor . . . 104

4.6.9. Kreiselbewegung . . . 105

4.7. Statische Gleichgewichte von starren Körpern . . . 107

4.7.1. Schwerpunkt. . . 107

4.7.2. Kräftepaare . . . 109

4.7.3. Stabilität des Gleichgewichts . . . 110

4.8. Schwerkraft oder Gravitation . . . 111

4.8.1. Keplersche Gesetze . . . 111

4.8.2. Newtonsches Gravitationsgesetz . . . 112

4.8.3. Schwere und träge Masse . . . 117

4.8.4. Raumfahrt . . . 118

4.8.5. Potentielle Energie, Gesamtenergie und Umlaufbahnen . . . 118

III. Mechanik deformierbarer fester Körper 121

(5)

5. Skalare Elastomechanik 125

5.1. Dehnung und Kompression . . . 125

5.2. Scherung . . . 126

5.3. Verdrillung eines Drahtes . . . 127

5.4. Biegung . . . 128

5.5. Beziehung zwischen den elastischen Konstanten . . . 131

5.6. Anelastisches Verhalten . . . 132

5.7. Elastomechanik anisotroper Körper . . . 133

IV. Spezielle Relativitätstheorie 137

6. Bezugssysteme 141 6.1. Michelson-Versuch . . . 141

6.2. Die Einsteinschen Postulate . . . 142

6.3. Punktereignisse . . . 143

6.4. Rückdatierung . . . 144

7. Relativistische Mechanik 147 7.1. Relativität der Gleichzeitigkeit . . . 147

7.1.1. Massstabsvergleich . . . 150

7.1.2. Uhrenvergleich . . . 151

7.1.3. Der transversale relativistische Dopplereekt . . . 153

7.1.4. Addition der Geschwindigkeiten . . . 154

7.1.5. Messung der Beschleunigung . . . 156

7.1.6. Bewegte Masse . . . 157

7.1.7. Masse-Energie-Äquivalenz . . . 160

7.2. Lorentz-Transformation. . . 167

7.2.1. Vergleich der Lorentz-Transformation mit der Galilei-Transformation169

V. Schwingungen und Wellen 171

8. Schwingungen 173 8.1. Harmonische Schwingungen . . . 173

8.1.1. Harmonische Schwingungen und Kreisbewegung . . . 175

8.1.2. Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen . . . 176

8.1.3. Feder-Masse-System im Schwerefeld . . . 177

8.1.4. Pendel im Schwerefeld . . . 179

8.1.5. Bewegung in der Nähe von Gleichgewichtspunkten . . . 182

8.2. Gedämpfte Schwingung . . . 183

8.2.1. Güte des schwingungsfähigen Systems. . . 184

8.3. Erzwungene (gedämpfte) Schwingung und Resonanz . . . 185

8.4. Überlagerung von Schwingungen . . . 188

8.4.1. Schwingungen in unterschiedliche Richtungen . . . 189

(6)

8.4.2. Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz, aber unter-

schiedlicher Amplitude . . . 189

8.4.3. Schwingungen gleicher Richtung, aber leicht unterschiedli- cher Frequenz . . . 190

8.4.4. Fouriertransformation . . . 191

8.5. Gekoppelte Schwingungen . . . 194

8.6. Verallgemeinerung: Fundamental- oder Eigenschwingungen . . . 198

9. Wellen 201 9.1. Wellen in 1 Dimension . . . 201

9.1.1. Wellenberge . . . 201

9.1.2. Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . 205

9.1.3. Harmonische Wellen . . . 206

9.1.4. Energieübertrag bei Wellen . . . 207

9.1.5. Superposition und Interferenz harmonischer Wellen . . . 208

9.2. Wellen in 2 und mehr Dimensionen . . . 210

9.2.1. Ebene Wellen . . . 210

9.2.2. Kugelwellen . . . 211

9.2.3. Interferenz am Beispiel von Wasserwellen . . . 212

9.2.4. Beugung am Beispiel von Wasserwellen . . . 216

10.Optische Phänomene 221 10.1. Polarisation . . . 221

10.1.1. Polarisation durch Absorption . . . 221

10.1.2. Polarisation durch Streuung . . . 223

10.1.3. Polarisation durch Reexion . . . 223

10.2. Beugung . . . 225

10.3. Absorption, Dispersion und Streuung . . . 225

10.3.1. Absorption . . . 225

10.3.2. Dispersion und Kommunikation . . . 226

10.3.3. Streuung . . . 229

10.4. Welle-Teilchen-Dualismus . . . 231

VI. Geometrische Optik 235

11.Reexion und Brechung 239 11.1. Lichtstrahlen . . . 239

11.2. Reexion . . . 239

11.3. Brechung . . . 241

11.4. Totalreexion und optische Kommunikation . . . 242

11.5. Prismen . . . 242

(7)

12.Optische Instrumente 245

12.1. Spiegel . . . 245

12.2. Linsen . . . 247

12.2.1. Brechung an Kugelächen . . . 247

12.2.2. Abbildungsmassstab . . . 248

12.2.3. Dünne Linsen . . . 248

12.2.4. Dicke Linsen. . . 249

12.3. Lupe . . . 250

12.4. Mikroskop . . . 250

12.5. Kollimationsoptik für Laserdioden . . . 251

12.6. Beamer . . . 251

VII.Anhang 253

13.Dierentiation und Integration 255 13.1. Dierentiationsregeln . . . 255

13.2. Dierentiation einfacher Funktionen . . . 256

13.3. Taylorreihe und Reihen . . . 257

13.4. Einige Reihen . . . 258

14.Rechnen mit Integralen 259 14.1. Unbestimmte Integrale . . . 260

15.Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken 263 16.Simulation von Photonenstatistiken 265 16.1. Delphi-Programm . . . 265

16.2. Maple 7 -Programm . . . 266

17.Korrekturen 269

Index 269

(8)
(9)

Vorbemerkungen

(10)
(11)

Mitteilungen

Prüfungen sind, gemäss Studienordnungen, studienbegleitend. Nach Semes- terende wird eine Klausur geschrieben. Diese zählt zur Vordiplomsnote.

Am 19. Dezember 2001 wird während der Vorlesungszeit eine unverbindli- che Probeklausur geschrieben. Themen der Probeklausur werden die Teile I bis III sein. Diese Probeklausur soll Ihnen helfen, sich an Klausuren zu gewöhnen.

Während den Übungsstunden werden Aufgaben unter Aufsicht und Anlei- tung des Assistenten gelöst.

Zusätzlich gibt es Hausaufgaben, die von Assistenten korrigiert werden.

Die Zulassung zur Klausur wird erteilt, wenn Sie an mindestens 13 Übungs- stunden teilgenommen haben und wenn Sie mindestens 80% der Hausauf- gaben (vollständig oder teilweise gelöst) abgegeben haben. Diese Zahlen re- duzieren sich, wenn Sie aus Gründen, die Sie nicht zu vertreten haben (mit Nachweis!), nicht in der Lage waren die geforderten Leistungen zu erbringen.

Am 12.2. 2002 gibt es eine Faschingsvorlesung.

Klausur zur Vorlesung statt.

Fragestunde zur Klausur: 25. 2. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich) Fragestunde zur Klausur: 4. 3. 2002, 10:00 H2 (voraussichtlich) Datum: 7. 3. 2002

Uhrzeit: 9:00 bis 11:00 Ort: 43.2.101/104

Hilfsmittel: Taschenrechner Anmeldung: bis 28. 2. 2002

Aufgabenblatt und Lösungen (HTML)1 oder(PDF)2 Resultate3

Aufgabenblatt und Lösungen der Nachklausur(HTML)4 oder(PDF)5 Resultate der Nachklausur6

Kontakte:

1Ueb/klausur/index.html

2Ueb/klausur/klausur.pdf

3resultat.htm

4Ueb/nklausur/index.html

5Ueb/nklausur/nachklausur.pdf

6resultatnk.htm

(12)

Vorlesung Prof. Dr. sc. nat/ETH Zürich Othmar Marti, N25,541, othmar.marti@physik.uni-ulm.de7, Tel. 23011

Vorlesungsassistenz Prof. Dr. Martin Pietralla, martin.pietralla@physik.uni-ulm.de8

Übungsgruppen Manuel Gonçalves, manuel.goncalves@physik.uni-ulm.de9

Charly Imhof, charly.imhof@physik.uni-ulm.de10

Holger Schieferdecker, holger.schieferdecker@physik.uni-ulm.de11

7mailto:othmar.marti@phys ik.uni-ulm.de

8mailto:martin.pietra lla@physik.uni-ulm.de

9mailto:manuel.goncal ves@physik.uni-ulm.de

10mailto:charly.imhof@phys ik.uni-ulm.de

11mailto:holger.s chieferdecker@physik.uni-ulm.de

(13)

Übungsblätter

Übungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 2 vom 23. 10. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 3 vom 30. 10. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 4 vom 06. 11. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 5 vom 13. 11. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 6 vom 20. 11. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 7 vom 27. 11. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 8 vom 04. 12. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 9 vom 11. 12. 2001 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 10 vom 18. 12. 2001 (HTML oderPDF)

Probeklausur vom 19. 12. 2001 (HTML)1 oder(PDF)2

Übungsblatt 11 vom 8. 1. 2002 (HTML oder PDF)

Übungsblatt 12 vom 15. 1. 2002 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 13 vom 22. 1. 2002 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 14 vom 29. 1. 2002 (HTML oderPDF)

Übungsblatt 15 vom 5. 2. 2002 (HTML oder PDF)

Übungsblatt 16 vom 12. 2. 2002 (HTML oderPDF)

Klausur vom 7. 3. 2002(HTML)3 oder(PDF)4

Nachklausur vom 12. 4. 2002 (HTML)5 oder (PDF)6

1Ueb/ue0/index.html

2Ueb/ue0/uebungsblatt0.pdf

3Ueb/klausur/index.html

4Ueb/klausur/klausur.pdf

5Ueb/nklausur/index.html

6Ueb/nklausur/nachklausur.pdf

(14)

Folien

Folien zur Vorlesung am 16. 10. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 17. 10. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 23. 10. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 24. 10. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 30. 10. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 31. 10. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 06. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 07. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 13. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 14. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 20. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 21. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 27. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 28. 11. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 04. 12. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 05. 12. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 11. 12. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 12. 12. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 18. 12. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 19. 12. 2001 PDF

Folien zur Vorlesung am 08. 01. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 09. 01. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 15. 01. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 22. 01. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 29. 01. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 30. 01. 2002 PDF

(15)

Folien zur Vorlesung am 05. 02. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 06. 02. 2002 PDF

Folien zur Vorlesung am 13. 02. 2002 PDF

Übungsblätter und Folien werden in der Regel am Vortrag der Vorlesung zu- gänglich gemacht_.

(16)
(17)

Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics1 von R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath2.

2.1. Allgemeines zur Physik

Dieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt Materialien:

Übungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oderPDF)

Folien zur Vorlesung am 16. 10. 2001 PDF

Beziehungen zwischen den Naturwissenschaften

Messbare und berechenbare Grössen

Kräfte, Energien

Quantenphänomene (Laserdiode, Transistor)

1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html

2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hmat.html#hmath

(18)

Grössenordnungen: Siehe auch Film: Grössenordnungen

Strecke m

Protonenradius 10−15

Atomradius 10−10

Virusdurchmesser, Gate-Dimension eines Transistors 10−7 Riesenamöbe, kleinste Si-Release-Strukturen 10−4

Walnuss 10−2

Mensch 100

Höchster Berg 104

Erddurchmesser 107

Sonnendurchmesser 109

Abstand Erde-Sonne 1011

Durchmesser Sonnensystem 1013

Abstand von α-Centauri 1016

Durchmesser Milchstrasse 1021

Durchmesser sichtbares Universum 1026

Masse kg

Elektron 10−30

Proton 10−27

Aminosäure 10−25 Hämoglobin 10−22 Grippevirus 10−19 Riesenamöbe 10−8 Regentropfen 10−6

Ameise 10−2

Mensch 102

Re 6/6 oder E101 105

Pyramide 1010

Erde 1024

Sonne 1030

Milchstrasse 1041 Universum 1052

(19)

Zeitintervall s

Licht durchquert einen Atomkern 10−23

Elementarprozesse einer chemischen Reaktion 10−16 Schwingungsperiode des sichtbaren Lichtes, kürzeste Pulse 10−15 Schwingungsperiode von Mikrowellen 10−10

Halbwertszeit Myon 10−6

Schwingungsperiode höchster hörbarer Töne 10−4

Zeit zwischen zwei Herzschlägen 100

Halbwertszeit des freien Neutrons, Unterrichtsstunde 103

Dauer der Erdumdrehung 105

Umlaufszeit der Erde um die Sonne 107

Lebensdauer Mensch 109

Halbwertszeit239-Plutonium 1012

Lebensdauer einer Gebirgskette 1015

Halbwertszeit Uran 1016

Alter der Erde 1017

Alter des Universums 1018

2.2. Einheitensysteme

Dieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 1])

Wir rechnen in unserer Vorlesung ausschliesslich mit dem gesetzlichen Einhei- tensystem: SI.

s Sekunde, Zeiteinheit. Deniert mit der Frequenz des Überganges zwischen zwei Hyperfeinniveaus des133Cäsium-Isotops. Diese Frequenz ist9019206310770Hz. m Meter, Längeneinheit. Abgeleitete Grundeinheit, deniert mit der Sekunde

und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c= 29907290458 ms.

kg Kilogramm, Masse-Einheit (nicht Gewicht). Deniert mit dem Urkilogramm in Sèvres. Dies ist die am schlechtesten bekannte Grundeinheit.

K Kelvin, Temperatur A Ampère, Stromstärke mol Mol, Stomenge cd Candela, Lichtstärke

(20)

Faktor Vorsilbe Abkürzung Faktor Vorsilbe Abkürzung

1018 Exa E 10−18 Atto a

1015 Peta P 10−15 Femto f

1012 Tera T 10−12 Piko p

109 Giga G 10−9 Nano n

106 Mega M 10−6 Mikro µ

103 Kilo k 10−3 Milli m

102 Hekto h 10−2 Zenti c

101 Deka da 10−1 Dezi d

Grösse SI-Einheit Symbol

Länge Meter m

Zeit Sekunde s

Masse Kilogramm kg

Fläche Quadratmeter m2

Volumen Kubikmeter m3

Frequenz Hertz Hz =s−1 =f rac1s

Geschwindigkeit Meter/Sekunde m s−1 = ms Beschleunigung Meter / Quadratse-

kunde m s−2 = ms2

Kraft Newton N =kg m s−2 = m kgs2

Energie, Arbeit,

Wärmemenge Joule J =N m=kg m2 s−2kg ms2 2

Druck, Ener-

giedichte oder

Joule/Kubikmeter Pascal P a=N m−2 =J m−3 = kgms2

Leistung Watt W =J s−1 = kg ms3 2

Dichte Kilogramm / Kubik-

meter kg m−3 = mkg3

Temperatur Kelvin K

Stromstärke Ampère A

Ladung Coulomb C=A s

Stromdichte Ampère / Quadrat-

meter A m−2 = mA2

Spannung Volt V =J C−1 = kg ms3A2

Widerstand Ohm Ω =V A−1 = kg ms3A22

Kapazität Farad F =C V−1 = kg ss4a22

elektrische Feldstär-

ke Volt/Meter V m−1 = kg ms3A

magnetische Feld-

stärke Ampère/Meter A m−1

magnetische Induk-

tion Tesla T =V s m−2 = A skg2

Induktivität Henry H =V s A−1 = kg ms2A22

Lichtstärke Candela cd

Energiedosis Gray Gy =J kg−1 = ms22

Aktivität Becquerel Bq=s−1 = 1s

Stomenge Mol mol

(21)

2.3. Fehler

Dieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 3])

Jede Messung ist fehlerbehaftet

Beispiel in Vorlesung: Messung der Geschwindigkeit Es gibt drei Fehlertypen:

Grobe Fehler Entstehen durch Unachtsamkeit, mangelnde Kenntnis, usw.

Systematische Fehler Können prinzipiell bestimmt und auch nachträglich, bei korrekt geführtem Laborjournal, korrigiert werden. Sie treten immer in glei- cher Weise auf.

Beispiel: Voltmeter mit abgelaufener Kalibrierfrist.

Zufällige Fehler Sie sind bei jeder Wiederholung einer Messung anders. Zu den zufälligen Fehlern gehören auch die Rundungsfehler bei digitalen Messgerä- ten.

Arithmetisches Mittel hxi= 1 n

Xn

i=1

xi = 1

n(x1+x2+. . .+xi+. . .+xn) (2.1) Standardabweichung

sx = vu ut 1

n−1 Xn

i=1

(xi− hxi)2 (2.2) Zufällige Fehler löschen sich teilweise aus, also ist

shxi= sx

√n = vu ut 1

(n1)n Xn

i=1

(xi− hxi)2 (2.3) Besteht ein Experiment aus mehreren Teilmessungen, muss das Fehlerfort- panzungsgesetz nach Gauss angewandt werden. Sei

Y =Y (X1, X 2, . . . , Xm) (2.4) Dann ist der resultierende Fehler

sY = vu ut

Xm

j=1

µ ∂V

∂XjsXj

2

(2.5) Beispielsweise ist der Druck bei einem zylinderförmigen Kolben durch p = πrF2

gegeben. Der fehler ist also

(22)

sp =

sµ 1 πr2sF

2 +

µ−2F πr3 sr

2

(2.6)

2.4. Dimensionsanalyse

Dieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 5]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 2])

Die Dimension zeigt, wie eine Grösse von den Basisgrössen, z.B. Länge, Zeit und Masse abhängt. Wie man nicht Äpfel mit Birnen verrechnen kann, müssen bei einer physikalischen Gleichung die Dimensionen auf beiden Seiten übereinstimmen.

Die Dimensionsanalyse ist ein mächtiges Werkzeug, um zu testen, ob man richtig gerechnet haben könnte3.

Beispiel

x=x0+v0t+ 1

2a0t2 (2.7)

Gleichung (2.7) ist richtig, wenn man wie unten für die Länge L und für die Zeit T einsetzt.

L= [X] =L= [x0] = L

TT = [v0t] = L

T2T2 = [1

2a0t2] (2.8) Beispiel: Schwingungsdauer eines Pendels

Die Schwingungsdauer t hängt von der Länge `, der Masse m und der Erdbe- schleunigung g ab. Also ist

t ≈mαlβgγ (2.9)

oder

T1 =MαLβ µ L

T2

γ

=Lβ+γMαT−2γ (2.10) Der Exponentenvergleich ergibt α = 0, γ = 12 und damit β = 12. Wir erraten, dass die Schwingungsdauer eines Pendels wie

t≈ s

l

g (2.11)

ist, das korrekte Resultat, wenn man von Vorfaktoren absieht.

3Man kann damit beweisen, dass man einen Fehler gemacht hat, nicht aber dass man richtig gerechnet hat. Dies ist analog zur Neunerprobe

(23)

2.5. Literatur

Die Vorlesung orientiert sich an den Werken von Tipler[Tip94], Physik, und Gerthsen/Vogel[GV95], Physik. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoes (nicht als Einsteigerliteratur) kann

auch Kneubühls[Kne74] Repetitorium der Physik empfohlen werden. Mathema- tische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammen- gefasst. Diese Datei gibt es auch als PDF-Datei4 und als Web-Site5.

4PhyIng1.pdf

5http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/PhysIng1/

(24)
(25)

[BSMM00] I.N. Bron²tein, K.A. Semendjajew, G. Musiol, and H. Mühlig. Ta- schenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2000.

[GV95] Ch. Gerthsen and H. Vogel. Physik. Springer Verlag, 18. auage edi- tion, 1995.

[Kne74] F. Kneubühl. Repetitorium der Physik. Teubner Verlag, 1974.

[Tip94] Paul A. Tipler. Physik. Spektrum Verlag, 1994.

(26)
(27)

Mechanik starrer Körper

(28)
(29)

Dieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 9])

Die Kinematik befasst sich mit der Frage nach dem Wie einer Bewegung, nicht nach dem Warum.

3.1. Bewegung in einer Dimension

Dieser Sto wurde am 16.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 3]) Begrie:

Geschwindig- keit, Durch- schnittsge- schwindigkeit Aus dem Alltagsleben:

Durchschnittsgeschwindigkeit= Gesamtstrecke

Gesamtweg (3.1)

Physik: Mathematische Formulierung Gesamtweg:

∆x=x2−x1 (3.2)

Gesamtzeit:

∆t=t2−t1 (3.3)

Wir schreiben für die Durchschnittsgeschwindigkeit

< v >= ∆x

∆t = x2−x1

t2−t1 (3.4)

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit bei drei Strecken(x2−x1),(x3−x2),(x4 x3)hintereinander, die in den Zeiten(t2−t1),(t3−t2),(t4−t3)durchfahren werden?

< v >= ∆x

∆t = (x2−x1) + (x3−x2) + (x4−x3)

(t2−t1) + (t3−t2) + (t4−t3) = x4−x1

t4−t1 (3.5) Dieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt

Materialien:

Übungsblatt 1 vom 16. 10. 2001 (HTML oderPDF)

Folien zur Vorlesung am 17. 10. 2001 PDF

(30)

Was bedeutet das, wenn wir (18. Jahrhundert) von Ulm nach Buchhorn (103 km, Durlesbach (-36 km (wir wandern zurück) , 9h) wandern?

Ulm, Durlesbach und Buchhorn liegen auf einem Kreissegment, also auf einer Linie. Also ist die Durchschnittsgeschwindigkeit

< v >= 103km36km

35h+ 9h = 67km

44h 1.5km

h (3.6)

Der Sprachgebrauch im Alltag sagt:

< v >= 103km+ 36km

35h+ 9h = 139km

44h 3.2km

h (3.7)

Es wurde mit den Beträgen gerechnet.

Wir verwenden ausschliesslich die physikalische Denition nach Gleichung (3.5) und Gleichung (3.6) !

Graphische Darstellung einer linearen Bewegung

3.1.1. Momentangeschwindigkeit und Beschleunigung

Dieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 19]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 10]) Momentan-

geschwindig-

keit Momentangeschwindigkeit Tangente Ableitung v = lim

∆t→0

∆x

∆v = dv

dt = ˙x (3.8)

(31)

Graphische Darstellung einer linearen Bewegung Beispiel

Sei x(t) = Atn+Btm. Dann ist v(t) = dx

dt = d

dt(Atn+Btm) = nAtn−1+mBtm−1 (3.9)

Beschleunigung ⇐⇒ Änderung der Momentangeschwindigkeit Beschleunigung Mittlere Beschleunigung

< a >= ∆v

∆t (3.10)

Momentanbeschleunigung

a(t) = lim

∆t→0

∆v

∆t = dv(t)

dt (3.11)

Beschleunigung und Ort

a(t) = dv(t)

dt = ddx(t)dt

dt = d2x(t)

dt2 = ¨x (3.12)

Wie kommt man von einer bekannten Beschleunigung zum Ort?=Integration Integration

Graphische Darstellung einer Geschwindigkeit und Integration

(32)

dv

dt =a (3.13)

Wir multiplizieren die obige Gleichung mitdt

dv=adt (3.14)

Nun integrieren wir auf beiden Seiten von der Zeit t= 01 bis t Zt

0

dv = Zt

0

adt (3.15)

und erhalten

v(t)−v(0) = a×t|t0 =a×t (3.16) oder mitv(0) =v0

v(t) =v0+a×t (3.17) Dabei ist die Anfangsbedingung mit eingerechnet.

Weg:

dv

dt =v =v0 +a×t (3.18)

Wir integrieren auf beiden Seiten Zt

0

dx= Zt

0

(v0+a×t)dt (3.19)

und erhalten

x(t)−x(0) = (v0×t+ 1

2a×t2)

¯¯

¯¯

t

0

=v0×t+ 1

2a×t2 (3.20) oder mitx(0) =x0

x(t) =x0 +v0×t+1

2a×t2 (3.21)

Schauen Sie in einem Mathematikbuch oder (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 30]) nach, wie die Integration durchgeführt wird

Materialien

Bremsweg bei konstanter Beschleunigung2

1Sollte der Zeitwert für den Anfangswert des Integrationsintervalls nicht null sein, verschieben wir die Zeitskala um den entsprechenden Wert

2http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/2-6/index.html

(33)

Gleichung (3.18) kann verstanden werden, in dem man realisiert, dass die Ge- schwindigkeit sich vonv0 nachv0+atändert, so dass< v >= v0+(v20+at) =v0+12at2 ist.Gleichungen bei konstanter Beschleunigung

v = v0+at x = x0+v0t+ 1

2at2 (3.22)

Durchschnittsgeschwindigkeit

< v >= ∆x

∆t = (x0+v0t+ 12at2)−x0

t = 1

2(v0 +v) (3.23) Wenn die Endgeschwindigkeit ve = v0 +at ist, erhält man aus ∆x = x(t) = v0t+ 12at2 mit t = ve−va 0

∆x=v0ve−v0

a + 1 2a

µve−v0

a

2

= v0ve

a v20 2 + v2e

2a vev0

a + v02 a

ve2 =v20 + 2a∆x (3.24)

3.2. Bewegung in zwei und drei Dimensionen

Dieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 43]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 9])

3.2.1. Vektoren und Vektorrechnung

Dieser Sto wurde am 17.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 47]) Vektoren

Materialien

Graphische Vektoraddition3 Graphische Addition

Vektoraddition

3http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/3-2a/index.html

(34)

Dieser Sto wurde am 23.10.2001 behandelt Materialien

Folien zur Vorlesung am 23. 10. 2001 PDF

Übungsblatt 2 vom 23. 10. 2001 (HTML oder PDF) Komponentenschreibweise

A= (A1,A2) = µ A1

A2

(3.25) Länge

A= q

A21+A22 (3.26)

Winkel mit der x-Achse

cos(Θ) = Ax

A (3.27)

Einheitsvektoren ex in x-Richtung,ey in y-Richtung, ez-in z-Richtung.

A =A=Axex+Ayey+Azez (3.28) Addition

A+B = (Axex+Ayey +Azez) + (Bxex+Byey+Bzez)

= (Ax+Bx)ex+ (Ay+By)ey + (Az+Bz)ez (3.29) Geschwindig-

keiten Geschwindigkeitsvektor

r =xex+yey+zez (3.30)

Mittlere Geschwindigkeit

(35)

<v >= ∆r

∆t (3.31)

Momentangeschwindigkeit

v= lim

∆t→0

∆r

∆t = dr

dt = ˙r (3.32)

Ableitung in Komponenten

v = lim

∆t→0

∆r

∆t = lim

∆t→0

∆xex+ ∆yey+ ∆zez

∆t

= lim

∆t→0

∆x

∆tex+ lim

∆t→0

∆y

∆tey+ lim

∆t→0

∆z

∆tez (3.33)

also

v= dx

dtex+ dy

dtey+ dz

dtez (3.34)

Analog zur obigen Rechnung erhält man die Beschleunigung aus der Geschwin- digkeit.

Mittlere Beschleunigung

<a>= ∆v

∆t (3.35)

Momentanbeschleunigung

a = lim

∆t→0

∆v

∆t = dv

dt = ˙v = ¨r (3.36)

oder auch

a = dvx

dt ex+ dvy

dt ey +dvz

dt ez (3.37)

Relativgeschwindigkeit

(36)

vM ensch gegen Erde =vBus gegen Erde+vM ensch gegen Bus (3.38)

Materialien

Relativbewegungen4

Kombination von Drehbewegung und Translation5

3.2.2. Bsp: Wurfbewegung

Dieser Sto wurde am 23.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 53])

Wurfbewegungen sind zusammengesetzte Bewegungen (Beispiel aus (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 53]) )

Siehe auchSimulation von Walter Fendt6 Uni Heidelberg7 oderUni Würzburg8.

4http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/3-5/index.html

5http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-1/index.html

6http://home.a-city.de/walter.fendt/phd/wurf.htm

7http://physik1.physik.uni-heidelberg.de/vrlsg/data/detail/2-2-6.htm

8http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/ pkrahmer/home/java1.html

(37)

Bild aus (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 55]) . Rot ist die horizontale, grün die vertikale Position markiert. Die horizontalen Abstände sind, innerhalb meiner Zeichengenauigkeit, gleich, deuten also auf eine konstante Geschwindigkeit hin.

Beschleunigungen

Sei x(t= 0) = 0,y(t= 0) = 0, vx(t = 0) =vx,0 und vy(t= 0) =vy,0

ay(t) = −g

ax(t) = 0 (3.39)

Geschwindigkeiten

vy(t) = −g∗t+vy,0

vx(t) = vx,0 (3.40)

Ort

y(t) = 1

2g∗t2+vy,0∗t

x(t) = vx,0∗t (3.41)

Diese Bewegung ist parabelförmig, wie man leicht sieht, wenn man x(t) nach t auöst und einsetzt.

y(x) =−1 2d

µ x vx,0

2 + vy,0

vx,0x (3.42)

(38)

3.2.3. Gleichförmige Kreisbewegung (mit vektorieller Darstellung)

Dieser Sto wurde am 23.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 61]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 16]) Siehe auch Uni Würzburg9 oder vonWalter Fendt10.

Kreisförmige Bewegungen gibt es

Fahrt durch eine Kurve mit Fahrrad, Auto, Schlittschuhen ...

Zentrifuge

Satelliten

Schematische Darstellung eines Satelliten

Der Satellit |v| = v bewegt sich im Kreis mit dem Radius r. In kleinen Zeiten t bewegt er sich um vt in der ursprünglichen Richtung weiter. Er fällt um h. Der Satz des Pythagoras angewandt auf das rechtwinklige Dreieck ergibt

r2+ (vt)2 = (r+h)2 =r2+ 2rh+h2 (3.43) Kleine Zeiten bedeutet, dass h¿r ist. Also kann

F allgesetz, W eg und Beschleunigung (vt)2 2rh = h= 12vr2t2

z }| {

= 1

2at2 (3.44)

geschrieben werden.

Zentripetal- beschleuni-

gung Vergleich

9http://didaktik.physik.uni-wuerzburg.de/ pkrahmer/home/gravrot.html#rot

10http://home.a-city.de/walter.fendt/phd/karussell.htm

(39)

az = v2

r (3.45)

Wennr(t) = (rcos(ωt),rsin(ωt),0)ist ( ω heisst Kreisfrequenz und wird benö- tigt, um aus der Zeit eine als Argument der Winkelfunktion benötigte dimensions- lose Grösse zu erzeugen), dann ist

v(t) = d

dtr(t) = (−rωsin(ωt), rωcos(ωt),0) (3.46) und

az(t) = d

dtv(t) = d2

dt2r(t) = (−rω2cos(ωt),−rω2sin(ωt),0) =−ω2r(t) (3.47)

Zentripetalbewegung. Die durchr1,r2 und durchv1,v2aufgespannten Dreiecke sind ähnlich

Materialien

Masse auf Kreisbahn mit Gegengewicht11

3.2.4. Nichtkommutativität endlicher Drehungen

Materialien

Folien zur Vorlesung am 24. 10. 2001 PDF

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt

11http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/5-2a/index.html

(40)

Beispiel für die Nichtvertauschbarkeit endlicher Drehungen

Die mathematische Darstellung eine Drehung um die z-Achse kann wie folgt hergeleitet werden:

Jeder Vektor A =

Ax

Ay Az

 kann als A = Axex +Ayey +Azez geschrieben

werden. Dabei ist ex =

 1 0 0

,ey =

 0 1 0

, und ez =

 0 0 1

. Die Funktion Rz(A, α) soll den VektorA um die z-Achse drehen.

Wenn der Vektor Aum die z-Achse gedreht wird, dann ist der gedrehte Vektor Rz(A, α) = A0 =

f(Ax,Ay, α) g(Ax,Ay, α)

Az

. Die z-Komponente wird dabei nicht verän- dert, die x- und die y-Komponenten sind Funktionen der ursprünglichen x- und y-Komponenten sowie des Winkels.

In der Abbildung links wird gezeigt, wie ex transformiert wird. Rechts wirdey transformiert.

Wir erhalten: Rz(ex,α) = Rz

 1 0 0

=

 cosα sinα

0

.

Rz(ey,α) = Rz

 0 1 0

=

sinα cosα

0

.

Rz(ex,α) =Rz

 0 0 1

=

 0 0 1

.

Mit Rz(A,α) = Rz(Axex +Ayey + Azez,α) = AxRz(ex,α) + AyRz(ey, α) +

(41)

AzRz(ez, α) =Axcosα−Aysinα Axsinα+Aycosα

Az

. Diese letztere Gleichung kann als

Rz(A,α) =A0 =

Axcosα−Aysinα Axsinα+Aycosα

Az

=

 cosα sinα 0 sinα cosα 0

0 0 1

Ax

Ay Az

(3.48) Damit kann eine Drehung um die Z-Achse kann als Matrix

Dz(α) =

 cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) 0

0 0 1

 (3.49)

Durch formales Rotieren der Koordinaten z →y,y →x und x→z bekommt man die Drehmatrix für eine Drehung um die y-Achse

Dy(α) =

 cos(α) 0 sin(α)

0 1 0

sin(α) 0 cos(α)

 (3.50)

Weiteres formales Rotieren der Koordinaten z y, y →x und x z liefert die Drehmatrix für eine Drehung um die x-Achse

Dx(α) =

 1 0 0 0 cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α)

 (3.51)

Die Drehung um die y-Achse um −π/2 (=90) und dann um die x-Achse um

−π/2 wird mit Matrizen als

r0 = Dx(−π/2)Dy(−π/2)r

=

 1 0 0 0 0 1 0 −1 0

 0 0 −1 0 1 0 1 0 0

 1 0 0

=

 0 0 −1

1 0 0

0 −1 0

 1 0 0

=

 0 1 0

 (3.52)

Werden die Drehungen in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt, so ist

(42)

r0 = Dx(−π/2)Dy(−π/2)r

=

 0 0 −1 0 1 0 1 0 0

 1 0 0 0 0 1 0 −1 0

 1 0 0

=

 0 −1 0 0 0 1 1 0 0

 1 0 0

=

 0 0 1

 (3.53)

Grosse Drehungen können nicht vertauscht werden. Es gibt viele

Eigenschaften in der Physik, die nicht kommutativ sind

(43)

Axiome

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 71]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 12])

4.1. Trägheitsgesetz: Erstes Newtonsches Axiom

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 72])

Alltägliche Beobachtung: alle Bewegung stoppt Aristoteles nimmt dies als Naturgesetz an.

Newton argumentiert: Reibungskräfte stoppen die Bewegung. Wenn es keine Reibungskräfte gäbe würde sich der Bewegungszustand nicht ändern.

Erstes Newtonsches Axiom:

Wenn F = P

i

F

i

= 0 ist, ändert ein Körper seinen Bewe- gungszustand nicht, d.h. er bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

1. Newtonsches Axiom , Trägheitsgesetz

Bsp: Galileis Gesetz (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 72])

Bezugssystem Wir wählen einen Koordinatenursprung0und ein Koordinatensys- tem und schreiben alle Gleichungen in Bezug auf dieses Koordinatensystem auf.

Bezugssysteme können

x in Bezug zur Erde sein

x in Bezug zu einem Gefährt sein (Bus, Zug, Flugzeug,. . .)

x in Bezug zur Milchstrasse sein

. . .

Ein Bezugssystem, in dem das erste Newtonsche Axiom gilt, heisstInertialsys- tem.Gibt es Inertialsysteme?

(44)

4.2. Kraft, Masse,Impuls: Zweites Newtonsches Axiom

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 74]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 12])

das zweite Newtonsche Axiom beantwortet die Frage: Was ist die Ursache der Bewegung?

Newtons Formulierung:

Die Änderung des Impulses (P = mv) eines Körpers ist gleich der auf den Körper wirkenden Kraft

F = dp

dt = d(mv)

dt (4.1)

Bernoullis Formulierung

a

Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und proportional zur resultierenden Kraft a =

F m

aDiese Formulierung ist ein Spezialfall!

Das zweite Newtonsche Axiom wird auch Aktionsgesetzgenannt.

Bernoulli m muss konstant sein (analog zur Durchschnittsgeschwindigkeit) Newton analog zur Momentangeschwindigkeitmit

m =const

F = d(mv)dt = dmdtv+mdvdt = mdvdt =ma

Einheit der Kraft: 1N = 1

mkgs2

Materialien

Experiment mit Luftkissenbahn und Fallgewicht1

4.2.1. Masse ( m )

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt Die Masse im zweiten Newtonschen Axiom ist die träge Masse.

Massenbestimmung mit dem 2. Newtonschen Axiom

1http://webphysics.ph.msstate.edu/jc/library/4-7a/index.html

(45)

gleiche Kraft auf zwei Massen m1 und m2

F =m1a1 =m2a2 mm1

2 = aa2

1

Masse: Einheit kg, deniert mit Urkilogramm in Sèvres Sekundärnormale, Eichung!

4.2.2. Kraft ( F )

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt Einheit der Kraft:N = m kgs2 Name: Newton

Kraft und Bahnkurve r(t)bei konstanter Masse F =ma =mdv

dt =md2r

dt2 (4.2)

d.h. die Kraft hängt von der Krümmung der Bahnkurve r(t)ab.

Impuls: Denition:p=mv Einheit mkgs =Ns

Die Weiterentwicklung der Physik nach Newton (u.a. Quantenmechanik) hat gezeigt, dass der Begri des Impulses p universell verwendbar ist, nicht aber m und v.

Beantworten Sie die Fragen in (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 78]) . 4.2.2.1. Drittes Newtonsches Axiom

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 80])

Drittes Newtonsches Axiom:

Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn vom Körper A aus auf den Körper B die Kraft F ausgeübt wird, so wird vom Körper B die Kraft −F auf den Körper A ausgeübt.

Diese Reaktionskraft ist also gleich gross wie die ursprüngliche Kraft, aber entge-

gengesetzt gerichtet.

Beispiele: Gewicht auf Tisch

(46)

Während das erste wie auch das zweite Newtonsche Axiom auch in der Quanten- mechanik und in der Relativitätstheorie gelten, versagt in diesen moderneren physi-

kalischen Theorien das dritte Newtonsche Axiom.

Bsp: Wirkt die Kraft instantan?

4.2.2.2. Kraft durch Gewicht und schwere Masse

Dieser Sto wurde am 24.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 78]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 46]) Jede Masse wird von jeder anderen Masse angezogen (Gravitation).

Die Erdanziehung auf eine Masse m ist

FG=mg (4.3)

|g|=g = 9.81ms2s ist die Fallbeschleunigung auf Meereshöhe. ms ist die schwere Masse.

Anwendung: Massenbestimmung durch Kraftvergleich.

Wenn an einem Ort Fg,1 =Fg,2 ist, so ist auch m1 =m2. Wenn an einem Ort Fg,1 =αFg,2 ist, so ist auch m1 =αm2.

4.2.3. Arten von Kräften

Dieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 82])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 30. 10. 2001 PDF

Übungsblatt 3 vom 30. 10. 2001 (HTML oder PDF) Fundamentale Kräfte

1. Gravitationswechselwirkung

2. elektromagnetische Wechselwirkung

3. starke Wechselwirkung (Kräfte zwischen Kernbausteinen wie Protonen oder Neutronen

4. Schwache Wechselwirkung (Verantwortlich z.B. für den Zerfall der freien Neu- tronen).

Kontaktkräfte

Die Kraft ist proportional zur Auslenkung F =−kx, analog zur Feder. Anwen- dung: Federwaage.

(47)

4.2.4. Beispiele zur Lösung von Bewegungsproblemen

Dieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 86])

FZ, FG und FN sind Kräfte auf den Körper FZ =max

Reaktionskraft aufFZ: FZ0 =−FZ

3. Newtonsches Axiom: Kraft durch ziehende Hand = - Kraft auf Körper Wenn die Masse des FadensmF ist, ist

F −FZ0 =mfax

Masse des Fadens vernachlässigbar: F −FZ0 0

Fadenspannung

Bei vernachlässigbarer Masse ist |FZ| überall im Faden gleich. FZ heisst die Zugkraft.

Beispiel: schiefe Ebene

(48)

Schiefe Ebene

FG,x=FGsin Θ =mgcos Θ FG,y =−FGcos Θ =−mgcos Θ In unserem Koordinatensystem ist ay null.

PFy =FN −mgcos Θ = 0 Also: FN =mgcos Θ

Die x-Komponente ist P

x =mgsin Θ =max oder ax =gsin Θ

Beispiel: Gewicht an einer Schnur

Links: Konstruktion mit Kräfteparallelogramm, rechts vergrösserte Ansicht.

Gegeben ist: Fg, α und β

Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke (Seitenlänge dividiert durch den Sinus des Gegenwinkels ist konstant)

Fg

sin(α+β) = F1

sin(π/2−β) = F2

sin(π/2−α) (4.4) umgeformt

(49)

F1 = Fg cos(β) sin(α+β) F2 = Fg cos(α)

sin(α+β) (4.5)

Schlussfolgerung: Wenn α und β gegen null gehen, dann werden die Kräfte F1 und F2 sehr gross. Sie können leicht die maximal zulässige Seilspannung überstei- gen.

Beispiel: Zentrifugalregulator (Erndung von James Watt)

Schematische Darstellung des Wattschen Zentrifugalregulators. Die Masse m wird durch die Gravitation und die Seilspannung beschleunigt. Die resultie- rende Kraft ist die Zentripetalkraft FZ.

Zentripetalkraft

FZ =2r=FZsin Θ (4.6) und

FZcos Θ =mg=FG (4.7) Zusammen

FZsin Θ

FZcos Θ = tan Θ = 2r mg = r

2 (4.8)

also ist für kleineΘ

ω = rg

r tan Θ r

r (4.9)

Der Wattsche Regulator ist also ein Drehzahlmesser.

(50)

4.3. Anwendungen der Newtonschen Axiome

Dieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 80])

Wir setzen voraus, dass wir alle Kräfte kennen: dann können wir die Beschleu- nigung und damit auch die bewegung eines Teilchens bestimmen.

4.3.1. Reibung

Dieser Sto wurde am 30.10.2001 behandelt (Siehe Tipler, Physik[Tip94, 99]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 40])

Erfahrung: wenn man versucht, ein Möbelstück zu verschieben, muss man eine Kraft ausüben.

Reibungskräfte versuchen, Bewegungen zu verhindern oder zu dämpfen

4.3.1.1. Haftreibung

Beobachtung: Wenn ein Körper mit der Kraft FN, der Normalkraft, auf einen anderen Körper gedrückt wird, wird mindestens eine Kraft

F ≥FH =µHFN (4.10)

benötigt, um den Körper in Bewegung zu setzen.FH heisst Haftreibungskraft.

µH ist der Haftreibungskoezient.

Umgekehrt gilt die Aussage, dass wenn die zur Auageäche parallele Kraft F < FH ist, bewegt sich der Körper nicht. Die Haftreibungskraft, englisch: stiction, ist eines der grössten Probleme in der Mikrosystemtechnik (englisch Micro-Electro- Mechanical-Systems, MEMS) und in der Festplattenindustrie.

4.3.1.2. Gleitreibung

Wenn ein Körper gleitet, dann gilt die Beziehung

FG =µGFN (4.11)

wobei FG dieGleitreibungskraft und µG der Gleitreibungskoezient ist.

(51)

Schematische Darstellung der Haft- und Gleitreibungskraft als Funktion der angelegten, parallel zur Auage wirkenden Kraft.

Schematisch verhalten sich Haftreibungskraft und Gleitreibungskraft wie in der Abbildung gezeigt.

4.3.1.2.1. Eigenschaften

µG≤µH

µG hängt von der Relativgeschwindigkeit der Oberächen ab.FG ist im Ge- schwindigkeitsbereich von 1cm/s bis einigen m/s näherungsweise konstant.

Ausserhalb dieses Geschwindigkeitsbereiches nimmt die Gleitreibungskraft zu.

µG und µH hängen von der Struktur der Oberächen und ihrer Zusammen- setzung ab, nicht aber von der scheinbaren makroskopischen Kontaktäche AM ab.

µG und µH hängen von der wahren Kontaktäche AW ¿AM ab sowie vom Kontaktdruck in dieser Fläche. (Deshalb ist die Reibung zwischen ultraa- chen Endmassen extrem gross.)

4.3.1.2.2. Schlussfolgerung Die Reibung wird von temporären Bindungen zwi- schen den Atomen der Oberächen der einzelnen Reibpartnern gebildet. Zusätzlich und meistens auch dominierend ist jedoch die zur Abscherung mikroskopischer Er- höhungen (Asperities in englisch) benötigten Kräfte.

(52)

Kräfte auf einen Körper auf einer schiefen Ebene. Die x-Achse sei parallel zur Auage, die y-Achse senkrecht dazu.

XFy =FN −mgcosα= 0 (4.12)

XFx=mgsinα−FH = 0 (4.13)

Oder

FH =mgsinα = FN

cosαsinα=FN tanα (4.14) Der Haftreibungskoezient ist gleich dem Tangens des Winkels, bei dem der Körper zu gleiten beginnt.

µH = tanαmax (4.15)

Gleitreibung wird durch Messung der Beschleunigung bestimmt.

Fx =mgsinα−µGFG =max (4.16)

ax =g(sinα−µgcosα) (4.17) oder

µg = tanα− ax

gcosα (4.18)

Abbildung

Tabelle 4.1.: Beschleunigung auf einer schiefen Ebene mit dem Winkel Θ . Material Böschungswinkel Haftreibungskoezient
Abbildung der Gravitationswaage a aus der Vorlesungssammlung.
Tabelle 4.3.: Dichte bei 273,15 K und Normaldruck 1013 hPa Dieser Sto wurde am 4.12.2001 behandelt

Referenzen

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