Simplextransformation Voraussetzung

Simplextransformation

Voraussetzung: Zulässige Anfangsbasislösung bekannt, b_i ≥0 für alle i = 1, 2, ... , m

1. Optimalitätstest: Gibt es noch negative Zielfunktionskoeffizienten (c_j <0) im Simplextableau?

Falls Nein: Optimalitätskriterium erfüllt, Optimallösung: BV = rechte Seite, NBV = 0, Optimalwert = -d ablesen Falls Ja: Zulässige Basislösung nicht optimal, gehe zu 2.

2. Wähle eine Koeffizientenspalte (Pivotspalte) Nr. j* mit negativem Zielfunktionskoeffizienten (c_j*<0), die wenigstens ein positives Element a_ij* >0 hat (gibt es keine solche Spalte, so ist der zulässige Bereich in Optimalrichtung der Zielfunktion unbeschränkt, also existiert keine optimale Lösung).

3. Bestimme eine Koeffizientenzeile (Pivotzeile) Nr. i* folgendermaßen: Bilde für alle positiven Pivotspaltenelemente den Quotienten aus der rechten Seite und dem Pivotspaltenelement

* ij

i

a

b und wähle

unter diesen einen kleinsten, also

0 *

*

*

*

*

Min

ij i j a

i i

a b a

b

ij >

= . Der Koeffizient in Pivotspalte und Pivotzeile ist das Pivotelement.

ξm+1 ... ξj* ... ξm+n

ξ₁ a11 ... a1j* ... a1n b1

... ... ... ...

ξ_i* ai*1 ... ai*j* ... ai*n bi* * ... ... ... ...

ξ_m am1 ... amj* ... amn bm

-z c1 ... cj* cn d

*

4. Austauschschritt: Notiere folgendermaßen ein neues Simplextableau:

Tausche die BV Nr. i* und die NBV Nr. j* aus.

Berechne die neuen Koeffizienten a_ij', rechten Seiten b_i' und Zielfunktionskoeffizienten c_j' und Zielfunktionswert −d′ gemäß

• Pivotelement:

*

*

*

*

1

j i j

i ' a

a = (Kehrwert)

• Pivotzeile:

*

*

*

* j i

j i j

i a

' a

a = ,

*

*

* * j i

i ai

' b

b = (Division durch Pivotelement)

• Pivotspalte:

*

*

*

*

j i

ij

ij a

' a

a =− ,

*

*

*

*

j i

j

j a

' c

c =− (Division durch Pivotelement und Vorzeichenwechsel)

• übrige Elemente:

*

*

*

* j i

ij j i ij

ij a

a a a

'

a ⋅

−

= ,

*

*

*

* j i

ij i i

i a

a b b

'

b ⋅

−

= ,

*

*

*

* j i

j j i j

j a

c c a

'

c ⋅

−

= ,

*

*

*

* j i

j i

a c d b

d' ⋅

−

=

(Subtraktion von Pivotzeilenelement ¥ Pivotspaltenelement / Pivotelement) 5. Rechenkontrolle:

• Neue Basislösung muss wieder zulässig sein, also b_i'≥0 für alle i=1, 2, ... , m

• Zielfunktionswert -d darf nicht schlechter geworden sein (i. S. der Optimalrichtung);

war b_i* >0, so muss sich der Zielfunktionswert -d sogar echt verbessert haben.