Algorithmen auf Sequenzen Exakte Mustersuche

(1)

Algorithmen auf Sequenzen

Exakte Mustersuche

Sven Rahmann

Genominformatik Universitätsklinikum Essen Universität Duisburg-Essen Universitätsallianz Ruhr

(2)

Das Pattern Matching Problem (Exakte Mustersuche)

Gegeben sei ein endliches Alphabet Σ, ein TextT ∈Σⁿ und ein Muster (Pattern)P ∈Σ^m i.d.R.mn.

Gesucht sind alle Positioneni, f¨ur die gilt:T[i :i+m] =P.

Varianten:

Kommt P in T vor?

Wie oft kommt P in T vor?

S. Rahmann|Algorithmen auf Sequenzen|UA Ruhr|Exakte Mustersuche 2

(3)

Das Pattern Matching Problem (Exakte Mustersuche)

Gegeben sei ein endliches Alphabet Σ, ein TextT ∈Σⁿ und ein Muster (Pattern)P ∈Σ^m i.d.R.mn.

Gesucht sind alle Positioneni, f¨ur die gilt:T[i :i+m] =P. Varianten:

Kommt P in T vor?

Wie oft kommt P in T vor?

(4)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

Insgesamtn−m+ 1 Verschiebungen. Pro Verschiebung bis zum Vergleiche. Gesamte Laufzeit:O(mn).

1 def naive(P, T):

2 m, n = len(P), len(T)

3 for i in range(n - m + 1):

4 if T[i:i+m] == P:

5 yield (i, i+m)

(5)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

4 if T[i:i+m] == P:

(6)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

4 if T[i:i+m] == P:

(7)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

4 if T[i:i+m] == P:

(8)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

4 if T[i:i+m] == P:

(9)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

4 if T[i:i+m] == P:

(10)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

Insgesamtn−m+ 1 Verschiebungen.

Pro Verschiebung bis zum Vergleiche.

Gesamte Laufzeit:O(mn).

4 if T[i:i+m] == P:

(11)

Naiver Algorithmus

T

0 1 2 . . . n−1

P

Insgesamtn−m+ 1 Verschiebungen.

Pro Verschiebung bis zum Vergleiche.

Gesamte Laufzeit:O(mn).

4 if T[i:i+m] == P:

(12)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

Theorem (Erwartete Laufzeit)

Sei|Σ| ≥2. Seien ein Muster der Länge m und ein Text der Länge n zufällig gleichverteilt gewählt. Dann beträgt die Worst-case-Laufzeit des naiven AlgorithmusO(mn), aber die erwartete Laufzeit lediglichO(n).

(13)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

Die Wahrscheinlichkeitp, dass jeweils ein zufällig gezogenes Zeichen ausP und T übereinstimmen, beträgt

p := |Σ|

|Σ|² = 1

|Σ|.

Die W’keit, dass alle Zeichen des Musters mit dem Text

¨

ubereinstimmen, betr¨agtp^m.

Die W’keit, dass das Muster erst an Stelle j mit dem Text nicht ¨ubereinstimmt, betr¨agt p^j−1·(1−p).

z }| { z}|{

j

(14)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

Die Wahrscheinlichkeitp, dass jeweils ein zufällig gezogenes Zeichen ausP und T übereinstimmen, beträgt

p := |Σ|

|Σ|² = 1

|Σ|.

Die W’keit, dass alle Zeichen des Musters mit dem Text

¨

ubereinstimmen, betr¨agtp^m.

Die W’keit, dass das Muster erst an Stelle j mit dem Text nicht ¨ubereinstimmt, betr¨agt p^j−1·(1−p).

z }| { z}|{

j

(15)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

Die erwartete Anzahl an Vergleichen für ein Muster der Länge m beträgt demnach (Erfolg + Misserfolg an Stellej für alle j)

E_m :=mp^m+

m

X

j=1

jp^j−1·(1−p)

F¨ur beliebige L¨angenm→ ∞ ist E_m <E∞:= (1−p)

∞

X

j=0

jp^j⁻¹.

Der TermP∞

j=0jp^j−1 ist die Ableitung vonP∞

j=0p^j = 1/(1−p). Somit giltP∞

j=0jp^j⁻¹= 1/(1−p)², also E∞= 1−p

(1−p)² = 1 1−p.

(16)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

E_m :=mp^m+

m

X

j=1

jp^j−1·(1−p) F¨ur beliebige L¨angenm→ ∞ ist

E_m <E∞:= (1−p)

∞

X

j=0

jp^j⁻¹.

Der TermP∞

j=0p^j = 1/(1−p). Somit giltP∞

j=0jp^j⁻¹= 1/(1−p)², also E∞= 1−p

(1−p)² = 1 1−p.

(17)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

E_m :=mp^m+

m

X

j=1

jp^j−1·(1−p) F¨ur beliebige L¨angenm→ ∞ ist

E_m <E∞:= (1−p)

∞

X

j=0

jp^j⁻¹.

Der TermP∞

j=0p^j = 1/(1−p).

Somit giltP∞

j=0jp^j⁻¹= 1/(1−p)², also E∞= 1−p

(1−p)² = 1 1−p.

(18)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

Mitp = 1/|Σ|folgt

E_m <E∞= 1

1−p = |Σ|

|Σ| −1 f¨ur alle m≥1.

Für ein 2-buchstabiges Alphabet istEm<2 für alle m. Für|Σ| → ∞ sogarE_m &1.

Die erwartete Laufzeit auf gleichverteilten zuf¨alligen Texten ist also O(n·E_m) =O(n)

(19)

Laufzeitanalyse des naiven Algorithmus

Mitp = 1/|Σ|folgt

E_m <E∞= 1

1−p = |Σ|

|Σ| −1 für alle m≥1. Für ein 2-buchstabiges Alphabet istEm<2 für alle m.

F¨ur|Σ| → ∞ sogarE_m &1.

Die erwartete Laufzeit auf gleichverteilten zuf¨alligen Texten ist also O(n·E_m) =O(n)