Analysis IIIb

Analysis IIIb

Skript nach der Vorlesung Analysis IV von Prof. Naumann 2003 Bj¨orn Sch¨umann (schuemann@gmail.com)

Erweitert von Paul Wilhelm und Johannes Dewender f¨ur die Vorlesung Analysis IIIb von Prof. Naumann 2007

Korrekturen bitte an: dewender at informatik.hu-berlin.de

Zuletzt bearbeitet: 19. September 2007

1Das Skript wurde ¨uberarbeitet und die Nummerierung der Kapitel entsprechend angepasst, die mit * versehenen und verkleinerten Abschnitte sind aus der Vorlesung 2003 und fallen dementsprechend aus der Nummerierung heraus.

Wir haben erstmal die Arbeit am Skript eingestellt, es fehlen noch ein zwei Definition und vereinzelt Beweise. Wer m¨ocht kann sich gerne bei uns melden und von uns den Quelltext erhalten.

2

Inhaltsverzeichnis

I Maß- und Integrationstherie 11

Motivation und Einf¨uhrung . . . 13

Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt . . . 13

1. Mengensysteme. Maße 15 Bezeichnungen . . . 15

1. Mengen . . . 15

2. Operationen mit +∞, −∞ . . . 15

1.1. Mengensysteme . . . 15

DEF 1.1. Ring, Algebra,σ-Algebra . . . 16

DEF 1.2 kleinste(r) erzeugte(r) Ring/Algebra/σ-Algebra . . . 16

1.2 Inhalt und Maß . . . 17

DEF 1.3 Inhalt . . . 17

DEF 1.4 Maß . . . 17

SATZ 1.5 Eigenschaften Inhalt . . . 17

SATZ 1.6 Eigenschaftenσ-add. Inhalt . . . 18

1.3 ¨Außeres Maß . . . 19

DEF 1.7 ¨Außeres Maß . . . 19

DEF 1.8 (C. CARATH ´EODORY) . . . 19

Satz 1.9 EigenschaftenA^µ∗ . . . 20

1.4 Konstruktion von ¨außeren Maßen (I) . . . 20

SATZ 1.10 Konstruktion ¨außeres Maß . . . 20

Def 1.11σ-endlich . . . 21

SATZ 1.12 ¨uber die Eindeutigkeit der Fortsetzung . . . 22

Erg¨anzung (Halbringe) . . . 22

DEF Halbring . . . 22

SATZ I (HAHN) [vom Halbring erzeugt Ring] . . . 22

SATZ II ¨Außeres Maß aufR(H) . . . 23

1.5^∗ Konstruktion von ¨außeren Maßen (II) . . . 23

DEF 1.13^∗ meterisches Maß . . . 23

SATZ 1.14^∗ . . . 23

DEF 1.15^∗ σ-Algebra der BOREL-Mengen . . . 23 3

4 INHALTSVERZEICHNIS

SATZ 1.16^∗ Konstruktion . . . 24

1.5 Vervollst¨andigung . . . 24

DEF 1.13 vollst¨andiges Maß . . . 24

DEF 1.14 Vervollst¨andigung vonµ . . . 25

SATZ 1.15 Eigenschaften ¯A^µ . . . 25

SATZ 1.20^∗ . . . 25

2. LEBESGUE-Maß 27 Bezeichnungen . . . 27

2.1 Konstruktion des Lebesgue-Maßes inRⁿ . . . 27

1. HalbringHn . . . 27

2.σ-additiver Inhalt aufRⁿ . . . 28

3. Lebesgue-Maß . . . 29

2.2 BOREL-Mengen desRⁿ . . . 30

LEMMA 2.6 Zerlegung einer offenen Menge . . . 31

SATZ 2.7^∗ . . . 31

FOLG 2.7 EigenschaftenB(Rⁿ) . . . 31

Satz . . . 32

Bemerkung . . . 32

2.3 Charakterisierung LEBESGUE-meßbarer Mengen . . . 33

SATZ 2.8(A∈ L(Rⁿ)⇒. . .) . . . 33

SATZ 2.9⁽· · · ⇒A∈ L(Rⁿ)) . . . 33

FOLG 2.11^∗ . . . 33

3. Meßbare Funktionen 35 LEMMA 3.1 (EigenschaftenB(R)) . . . 35

3.1 Definition, ¨Aquivalente Charakterisierung . . . 35

Motivation . . . 35

DEF 3.2{A,B}-meßbar . . . 35

LEMMA 3.3 ({A,B}-meßbarkeit mithilfe vonE) . . . 35

DEF 3.4A-meßbar . . . 36

SATZ 3.5 (¨aquivalente Eigenschaften zuA-meßbar) . . . 36

SATZ 3.6 (¨aquivalente Eigenschaften zuA-meßbar) . . . 37

FOLG 3.7 . . . 37

3.2 Operationen mit messbaren Funktionen . . . 37

SATZ 3.8 . . . 37

SATZ 3.9 . . . 38

FOLG 3.10 . . . 38

SATZ 3.11 . . . 38

Def 3.12 einfache Funktion . . . 39

DEF charakt. Fkt. . . 39

INHALTSVERZEICHNIS 5

Bemerkung: . . . 39

SATZ 3.13 . . . 39

3.3 Eigenschaft ”fast-¨uberall” . . . 40

DEF 3.14 ”µ-fast-¨uberall” . . . 40

SATZ 3.15 . . . 40

4. Integration 43 Vorbemerkung . . . 43

4.1 Integration nicht negativer einfacher Funktionen . . . 43

DEF 4.1 Integral einf. Fkt. . . 43

SATZ 4.2 allg. Eigenschaften Integral einf. Fkt. . . 44

4.2 Integral ¨uber nichtnegativeA-messbarer Funktionen . . . 44

DEF 4.3 Integral ¨uber nichtnegative Funktionen . . . 45

SATZ 4.4 allg. Eigenschaften Integral nichtneg. Fkt. . . 46

SATZ 4.5 Eigenschaften f¨ur bestimmteA, B ∈ A . . . 46

4.3µ-integrierbare Funktionen . . . 47

Erinnerung . . . 47

DEF 4.6µ-Integrierbarkeit . . . 47

SATZ 4.7µ(A⁺_f) = 0 =µ(A⁻_f) . . . 47

SATZ 4.8 ¨aquivalente Charakterisierungµ-int´bar . . . 48

SATZ 4.9 allg. Eigenschaftenµ-int´barer Funktionen . . . 48

4.4 Vertauschung von Integration und Grenz¨ubergang . . . 49

SATZ 4.10 (monotone Kovergenz; B.LEVI) . . . 49

FOLG 4.11 (FATOU) . . . 49

FOLG 4.12P_∞ n=1 R X fndµ=R X P_∞ n=1fndµ . . . 50

SATZ 4.13 (absolute Stetigkeit des Integrals) . . . 50

SATZ 4.14 (majorisierte Konvergenz; H.LEBESGUE) . . . 51

Zusammenfassung Kap. 4 . . . 52

4.5 LEBESGUE-Integral inRⁿ . . . 52

SATZ 4.15^∗ . . . 52

5. Produkt-Maß u. -Integration 53 5.1 Produkt-σ-Algebra . . . 53

DEF 5.1 . . . 53

SATZ 5.2 . . . 54

FOLG 5.3 . . . 55

5.2 Produkt-Maß . . . 55

SATZ 5.4 . . . 55

SATZ 5.5 . . . 55

Satz . . . 56

6 INHALTSVERZEICHNIS

5.3 Produkt-Integration . . . 56

SATZ 5.6 (FUBINI I) . . . 56

FOLG 5.7 (FUBINI/TONELLI) . . . 58

Satz 5.8 Fubini II . . . 58

Satz 5.9 . . . 59

Integration ¨uber ”krummlinige” begrenzte Gebiete . . . 59

Beispiele (Produkt-Maß u. -Integration) . . . 60

Anwendungen . . . 60

6. Transformationsformel 61 6.1 Transformation von LEBESGUE-meßbaren Mengen . . . 61

SATZ 6.1 . . . 61

SATZ 6.1´ . . . 61

SATZ 6.2 . . . 62

FOLG 6.3 . . . 62

Motivation f¨ur Transformationsformel . . . 63

6.2 Transformation vonL-m.b. Mengen mittelsC¹-Abb . . . 63

SATZ 6.4 . . . 63

FOLG 6.5 . . . 63

6.3 Transformationsformel . . . 63

SATZ 6.6 (Transformationsformel) . . . 63

Beispiele und Anwendungen . . . 66

1. Transformation auf Kugelkoordinaten mit Zentrumx . . . 66

II Funktionentheorie 67

Grundlegende Definitionen . . . 69

Satz zusammenh¨angend,wegzusammenh¨angend . . . 69

Multiplikation zweier Reihen . . . 69

Satz von Mertens . . . 70

1. Funktionenreihen . . . 70

DEF 0.1 Konvergenz . . . 70

SATZ 0.2 (Majorantenkriterium; WEIERSTRAß) . . . 70

SATZ 3^∗Stetigkeit . . . 70

2. Potenzreihen . . . 70

LEMMA 0.3 (ABEL) . . . 70

SATZ 0.4 (CAUCHY; HADAMARD) . . . 71

SATZ 6^∗Nullkreis . . . 72

INHALTSVERZEICHNIS 7

Erg¨anzung 1: Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen . . . 72

n-te Wurzel (Umkehrfunktion vonf(z) =zⁿ) . . . 72

Erg¨anzung 2: spez. Potenzreihen . . . 73

DEF exp . . . 73

SATZ EULERsche Formel . . . 73

DEF cos, sin . . . 74

Bemerkung . . . 74

Erg¨anzung 3: Umkehrfunktion . . . 74

DEF Umkehrfkt. . . 74

Bsp.1 Wurzelfunktion . . . 74

Bsp.2 komplexer Logarithmus . . . 74

SATZ 1.7 (Umkehrfunktion vonf(z) =zⁿ) . . . 75

1. Holomorphe Funktionen 77 DEF 1.1 komplex Differnzierbar . . . 77

SATZ 1.2 Rechenregeln . . . 77

Bezeichung (nat¨urliche Identifikation) . . . 78

SATZ 1.3 (CAUCHY; RIEMANN) . . . 78

Nebenbemerkung . . . 79

Bemerkung^∗ . . . 79

DEF 1.4 Holomorph . . . 79

LEMMA 1.5 Konstant inM . . . 79

FOLG 1.6 Konstant inD . . . 79

2. CAUCHYsche Integralsatz (Sterngebiete) 81 2.1 Kurvenintegrale . . . 81

DEF 2.1 IntegraleR→R . . . 81

DEF Weg . . . 82

DEF 2.2 Integrationsweg . . . 82

DEF 2.3 (Kurvenintegral) . . . 83

DEF 2.4 Stammfunktion . . . 84

SATZ 2.5 . . . 84

SATZ 2.6 Bedinungen f¨ur Stammfunktion . . . 85

SATZ 2.6’ Bedinungen f¨ur Stammfunktion 2 . . . 86

2.2 CAUCHYsche Integralsatz (Sterngebiete) . . . 87

SATZ 2.7 (GOURSAT) . . . 87

DEF 2.8 Sterngebiet . . . 87

SATZ 2.9 (CAUCHYsche Integralsatz f. Sterngebiete) . . . 87

LEMMA . . . 87

Cauchy’sche Integralformel . . . 88

FOLG 2.11 Integral ¨uber Dreieck (Verallg. Lemma 2.7) . . . 88

8 INHALTSVERZEICHNIS

FOLG 2.12 Integral ¨uber geschlossenen Integrationsweg . . . 89

SATZ 2.13 (CAUCHYsche Integralformel) . . . 90

FOLG 2.14 Ableitungen der Chauchy’schen Formel . . . 90

2.4 Kriterien f¨ur Holomorphie . . . 91

SATZ 2.15 (MORERA) . . . 91

SATZ 2.16 (¨aquivalente Charakterisierung) . . . 91

3. Eigenschaften holomorpher Funktionen 93 3.1 Satz von LIOUVILLE, Fundamentalsatz d. Algebra . . . 93

SATZ 3.1 (LIOUVILLE) . . . 93

SATZ 3.1^∗ Polynome vom Gradek . . . 93

SATZ 3.2 (Fundamentalsatz der Algebra) . . . 93

3.2 Eindeutigkeitssatz; Maximumsprinzip . . . 94

SATZ 3.3 (Eindeutigkeit) . . . 94

SATZ 3.3^∗ (Eindeutigkeit-Variante 2) . . . 95

Folg. 3.4 . . . 96

SATZ 3.5 kein Maximum . . . 96

SATZ 3.5’ kein Minimum . . . 97

Bem.: . . . 97

Satz von Brouwer . . . 97

SATZ 3.6 Gebietstreue holomorpher Abbildungen . . . 98

SATZ 3.7 (Maximum-Prinzip) . . . 98

SATZ 3.7’ (Minimum-Prinzip) . . . 99

4^∗. Isolierte Singularit¨aten 101 4.1 Definition RIEMANNscher Hebbarkeitssatz . . . 101

DEF 4.1 Singularit¨at . . . 101

SATZ 4.2 (RIEMANNsche Hebbarkeitssatz) . . . 101

INHALTSVERZEICHNIS 9 Literatur:

Aman, H.; Escher, J.: Analysis III. - Birkh¨auser-Verlag; Basel 2001

Bauer, H.: Maß- und Integrationstheorie. - W. de Gruyter; Berlin, New York Elstrodt, J.: Maß- und Integrationstheorie. - Springer-Verlag; Berlin, Heidelberg Halmos, P.: Measure theory. - Springer Verlag, New York, Berlin

Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl: Real and abstract analysis. - Springer-Verlag, New York, Berlin S. Krautz: Mathematische Legenden

Hildebrandt: Analysis 2

Fischer W.; Lieb I.: Funktionentheorie. - Vieweg-Verlag Freitag E.; Busam R.: Funktionentheorie 1. - Springer-Verlag

10 INHALTSVERZEICHNIS

Teil I

Maß- und Integrationstherie

11

13

Motivation und Einf¨ uhrung

Zum RIEMANN-Integral

x b=x x

x x

x x

a=x0 1 2 3 4 5 6

f(x)

s(f, Z) = Xn k=1

x∈[xinfk−1,xk]f(x)

(xk−x_k−1)

S(f, Z) = Xn k=1

sup

x∈[x_k−1,xk]

f(x)

!

(xk−x_k−1)

Anschaulich RIEMANN-Integrierbar, wenn Zerlegung Z fein⇒S(f, Z)−s(f, Z) klein Aber die DIRICHLET-Funktion:

D(x) :=

1 f¨urx∈[0,1] irr.

0 f¨urx∈[0,1] rat D nicht RIEMANN-integrierbar

M¨angel des RIEMANN-Integrals:

• kein einfaches Kriterium f¨ur die Vewrtauschbarkeit von Integration und Grenz ¨ubergang

• Charakterisierung der KLasse der RIEMANN-Integrierbaren Funktionen

• Integration ¨uberE⊂Rⁿ

• Raum dier RIEMANN-Integrierbaren Funktionen ist nicht vollst¨andig bez¨uglich der Metrik d(f, g) = Rb

a|f−g|dx

Neue Theorie von E. BOREL, H. LEBESGUE, G. VITALI, W. YOUNG Zum LEBSGUE-Integral:

Xn k=1

yk−1µ

x∈[a, b]

yk−1≤f(x)< yk

Grundlage: Konstruktion eines Volumes (Maß)µ(A) f¨ur Klasse von TeilmengenA⊆Rⁿ Damit lassen sich alle M¨angel des RIEMANN-Integrals umschiffen.

Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt

f(x) ={z1, . . . , zk} Aj=f⁻¹(zj) Z

X

f dµ= Xk j=1

zjµ(Aj)

14

1. Mengensysteme. Maße

Bezeichnungen

1. Mengen

X bel. Menge

P(X) = 2^X = System aller Teilmengen vonX (Potenzmenge) A,B, . . .⊆ P(X) Mengensysteme;

∅: leere Menge A⊆X ≡A∈ P(X)

[A ⊆X:A∈ P(X)||S ⊆ P(X) :A ∈ S]∗

A^c :=X\AKomplement vonAbzgl.X

Ai ⊆ X mit (i = 1,2, . . .) endl. oder abz¨ahlbar unendlich viele Teilmengen; Ai paarweise disjunkt (p.d.):

Ai

TAj=∅ i6=j

A, B⊆X :A\B :=A\(A∩B) =A∩B^c de Morgan´sche Gesetze:

(A∩B)^c=A^c∪B^c, (A∪B)^c=A^c∩B^c (∩λ∈Λ A)^c=∪λ∈Λ A^c_λ

[0,+∞] :=

x∈R

x≥0

S{+∞}∗

2. Operationen mit + ∞ , −∞

a+∞:= +∞ ∀a∈R; +∞+∞:= +∞ a·(+∞) :=





+∞ f¨ura >0, 0 f¨ura= 0,

−∞ f¨ura <0

a·(−∞) :=





−∞ f¨ura >0, 0 f¨ura= 0, +∞ f¨ura <0

+∞+∞:= +∞; (−∞)·(−∞) := +∞; (+∞)·(+∞) := +∞, (+∞)·(−∞) :=−∞.

1.1. Mengensysteme

X bel. Menge

15

16 1. MENGENSYSTEME. MASSE

DEF 1.1. Ring, Algebra, σ-Algebra

Ein nichtleeres Mengensystem S ⊂ P(X) heißt 1. RingR, wenn

∀A, B∈ S ⇒A[

B, A\B∈ S 2. AlgebraA, wenn

∀A, B∈ S ⇒A[

B, A^c∈ S 3. σ-Algebra, wenn

∀A, Ai∈ S mit (i= 1,2, . . .)⇒A^c, [∞ i=1

Ai∈ S Eigenschaften eines Ringes:

1. Stets:∅ ∈ R. Denn:A∈ R ⇒ ∅=A\A∈ R 2. A, B∈ R ⇒A∩B =A\(A\B)∈ R 3. A1, . . . , Am∈ R ⇒Sm

i=1Ai∈ R; Tm

i=1Ai ∈ R

4. Wenn X ∈ R, so ist RAlgebra: A∈ R ⇒A^c=X\A∈ R Eigenschaften einer Algebra:

1. Stets gilt: ∅, X ∈ A:A∈ A ⇒X=AS

A^c∈ A; ∅=X^c∈ A 2. Jede Algebra ist ein Ring:

A, B∈ A ⇒A^c∈ A ⇒A^c[

B∈ A ⇒A\B =A∩B^c = (A^c)^c∩B^c= (A^c[

B)^c∈ A 3. Jede σ-Algebra ist Algebra:

A, B∈ A, A1:=A, A2:=B, Ai:=B(i≥3)⇒A[ B=

[∞ i=1

Ai∈ A

DEF 1.2 kleinste(r) erzeugte(r) Ring/Algebra/σ-Algebra

SeiS ⊆ P(X) nichtleeres Mengensystem.

R(S) := \

R⊆P(X)Ring

S⊆R

R= der vonS erzeugte Ring.

A(S) := \

A⊆P(X)Algebra

S⊆A

A= die vonS erzeugte Algebra.

Aσ(S) := \

A⊆P(X)σ−Algebra

S⊆A

A= die vonS erzeugteσ-Algebra.

Bezeichnung SeiA ⊆ P(X)σ-Algebra. SeiE⊆X mit E6=∅fix.

A^E:=

A⊆E

A=A^′∩E, A^′ ∈ A

= Spur vonAaufE.

Dann gilt:A^E istσ-Algebra.

Wenn E∈ A, dann istA^E=

A⊆E A∈ A

.

1.2 INHALT UND MASS 17

1.2 Inhalt und Maß

DEF 1.3 Inhalt

SeiR ⊆ P(X) Ring. Eine Abbildungµ:R →[0,+∞] heißtInhalt aufR, wenn µ(∅) = 0,

A, B∈ R, A∩B=∅ ⇒µ(A[

B) =µ(A) +µ(B) Inhalt µaufRheißtσ-additiv [bzw. Pr¨amaß], wenn:

Ai∈ R(i= 1,2, . . .)p.d., [∞ i=1

Ai∈ R ⇒µ [∞ i=1

Ai

!

= X∞

i=1

µ(Ai)

DEF 1.4 Maß

SeiA ⊆ P(X)σ-Algebra. Einσ-add. Inhalt aufAheißtMaßaufA.

(d.h. µ:A →[0,+∞] Inhalt mit:µ(∅) = 0, µ σ-add.) Bemerkung

SeiR ⊆ P(X) Ring,µ:R →[0,+∞] Inhalt. Dann:

Ai∈ R(i= 1,2, . . . , n)p.d.,⇒µ [n i=1

Ai

!

= Xn

i=1

µ(Ai)

SATZ 1.5 Eigenschaften Inhalt

SeiR ⊆ P(X) Ring,µ:R →[0,+∞] Inhalt. Dann:

1. A, B∈ R, A⊆B⇒µ(A)≤µ(B) [Monotonie]

2. A, B∈ R ⇒µ(AS

B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B) 3. Ai∈ R(i= 1,2, . . . , n)⇒µ(Sn

i=1Ai)≤Pn

i=1µ(Ai) [subadditivit¨at]

4. Ai∈ R(i= 1,2, . . . , n)p.d., S_∞

i=1Ai∈ R ⇒P_∞

i=1µ(Ai)≤µ(S_∞

i=1Ai) Beweis

1. B=AS

(B\A) disjunkt⇒µ(B) =µ(A) +µ(B\A)≥µ(A) Wennµ(A)<∞:µ(B\A) =µ(B−µ(A)

2. AS

B=AS

(B\A) disjunkt⇒µ(AS

B) =µ(A) +µ(B\A);

B= (A∩B)S

(B\A) disjunkt⇒µ(B) =µ(A∩B) +µ(B\A) Fallunterscheidung:

1. µ(B\A)<+∞: µ(A[

B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B\A) +µ(B)−µ(B\A) =µ(A) +µ(B) 2. µ(B\A) = +∞:

⇒µ(B) =∞, µ(A[

B) = +∞ ⇒µ(A[

B) +µ(A∩B) = +∞=µ(B) =µ(A) +µ(B)

18 1. MENGENSYSTEME. MASSE 3. A1, A2∈ R ⇒µ(A1S

A2)≤µ(A1S

A2) +µ(A1∩A2) =µ(A1) +µ(A2) Induktion⇒Beh.

4. [n

i=1

Ai⊆ [∞ j=1

Aj ⇒ Xn i=1

µ(Ai) =µ [n i=1

Ai

!

⇒ lim

n→∞

Xn i=1

µ(Ai)≤µ [∞ i=1

Ai

! .

SATZ 1.6 Eigenschaften σ-add. Inhalt

SeiR ⊆ P(X) Ring.µ:R →[0,+∞]σ-add. Inhalt. Dann:

1.

Ai∈ R(i= 1,2, . . .) mit [∞ i=1

Ai∈ R ⇒ µ [∞ i=1

Ai

!

≤ X∞

i=1

µ(Ai) 2. (Stetigkeit von unten)

Bi∈ R, Bi⊆Bi+1(i= 1,2, . . .) mit [∞ i=1

Bi∈ R ⇒ lim

i→∞µ(Bi) =µ [∞ i=1

Bi

!

3. (Stetigkeit von oben)

Ci∈ R, Ci⊇Ci+1(i= 1,2, . . .) mit µ(C1)<+∞und

\∞ i=1

Ci∈ R ⇒ lim

i→∞µ(Ci) =µ

\∞ i=1

Ci

!

Beweis

1. ( ¨Ubergang zu Disjunkter Vereinigung) E1:=A1 Ei:=Ai\

i[−1

j=1

Aj (i= 2,3, . . .) ⇒ Ei∈ Rp.d.

[∞ i=1

Ei= [∞ j=1

Aj

⇒µ



 [∞ j=1

Aj



=µ [∞ i=1

Ei

!

|{z}=

σ−add.

X∞ i=1

Ei≤ X∞ j=1

Aj

2.

F1:=B1 Fi:=Bi\

i[−1

j=1

Bj (i= 2,3, . . .) ⇒Fip.d.

[∞ i=1

Fi= [∞ j=1

Bj, Fi∈ R

Bi = [i k=1

Bk= [i k=1

Fk, [∞ k=1

Bk= [∞ k=1

Fk

⇒µ(Bi) =µ [i k=1

Bk

!

=µ [i k=1

Fk

!

= Xi k=1

µ(Fk)

ilim→∞µ(Bi) = X∞ k=1

µ(Fk) |{z}=

σ−add.

µ [∞ k=1

Fk

!

=µ [∞ k=1

Bk

!

3. (in 3 Schritten)

1.3 ¨AUSSERES MASS 19 (a) C1⊇Cj ⇒ +∞> µ(C1)≥µ(Cj),

C1=CjS

(C1\Cj) ⇒ µ(C1) +µ(C1\Cj)

⇒ −µ(Cj) =µ(C1\Cj)−µ(Cj)

(b) Cj ⊇Cj+1 ⇒ C1\Cj ⊆C1\Cj+1, S_∞

j=1(C1\Cj) =C1\T∞ j=1Cj

⇒2. lim

j→∞µ(C1\Cj) =µ



[^∞

j=1

(C1\Cj)



 (c) C1=T∞

j=1Cj S C1\T_∞

j=1Cj

⇒µ(C1) =µ





\∞ j=1

Cj



+µ







 C1\

\∞ j=1

Cj

| {z }

=S_∞

j=1(C1\Cj)









Damit:

− lim

j→∞µ(Cj)= lim^a)

j→∞µ(C1\Cj)−µ(C1)=^b)µ



[^∞

j=1

(C1\Cj)



−µ(C1)=^c)−µ



\^∞

j=1

Cj





Bemerkung µ([a, b]) :=b−a µf([a, b]) :=f(b)−f(b)

1.3 ¨ Außeres Maß

DEF 1.7 ¨ Außeres Maß

Eine Abbildungµ^∗:P(X)→[0,+∞] heißt¨außeres Maßauf P(X), wenn:

1. µ^∗(∅) = 0;

2. A⊆B⊆X⇒µ^∗(A)≤µ^∗(B) (Monotonie) 3. Ai⊆X(i= 1,2, . . .)⇒µ^∗(S_∞

i=1Ai)≤P_∞

i=1µ^∗(Ai) (σ-Halbadditivit¨at)

DEF 1.8 (C. CARATH EODORY) ´

Seiµ^∗ ¨außeres Maß aufP(X).A⊆X heißtµ^∗-meßbar, wenn

µ^∗(E) =µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A^c) ∀E⊆X

E= (E∩A)[

(E∩A^c) disjunkt∀E⊆X

Bemerkungen

1. Sei A⊂X Menge mit:

(1^′) µ^∗(E)≥µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A^c)∀E⊆X Dann istA µ^∗-meßbar. Denn:

µ^∗(E) =µ^∗

(E∩A)[

(E∩A^c)

≤µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A^c)

20 1. MENGENSYSTEME. MASSE 2. ∅, X sindµ^∗-messbar.

3. Nullmengen sind meßbar: SeiA⊆X mitµ^∗(A) = 0. Dann istA µ^∗-meßbar.

Denn:E∩A⊆A⇒µ^∗(E∩A)≤µ^∗(A) = 0 d.h. µ^∗(E∩A) = 0. E∩A^c⊆E

⇒µ^∗(E)≥µ^∗(E∩A^c) =µ^∗(E∩A) +µ^∗(E∩A^c) (1^′)⇒beh.

4. Sei A⊆X mit µ^∗(A) = 0.SeiA1⊂A. Dann ist A1µ^∗-messbar.

Bezeichnung

Aµ∗:=

A⊆X

Aistµ^∗ messbar

Satz 1.9 Eigenschaften A

Es gilt:

1. A^µ∗ σ-Algebra.

2. µ^∗

Aµ∗

ist ein Maß aufAµ∗.

[ohne Beweis]

1.4 Konstruktion von ¨ außeren Maßen (I)

SATZ 1.10 Konstruktion ¨ außeres Maß

Seien gegeben:S ⊆ P(X) Mengensystem mit∅ ∈ S,µ:S →[0,+∞] mitµ(∅) = 0.

1. Sei A⊆X. dann:

µ^∗(A) :=







 inf

P_∞

i=1µ(Ai)

Ai∈ S, A⊆S_∞

i=1Ai

+∞,wennAin keiner abz¨ahlbaren Vereinigung von Mengen ausS enthalten ist.

µ^∗ist ¨ausseres Maß auf P(X).

2. Sei S=R ⊆ P(X) Ring.µ:R →[0,+∞] Inhalt,µ^∗ gem¨aß 1. Dann:

R ⊆A_µ∗

3. (Fortsetzung eines σ-additiven Inhalts (Pr¨amaß))

SeiS=R ⊆ P(X) Ring,µ:R →[0,+∞]σ-additiver Inhalt,µ^∗ gem¨aß 1. dann gilt:

µ^∗(A) =µ(A) ∀A∈ R. Bemerkung

SeiA∈ S.

⇒µ^∗(A) = inf (_∞

X

i=1

µ(Ai) . . .

)

≤µ(A)

1.4 KONSTRUKTION VON ¨AUSSEREN MASSEN (I) 21 Beweis

1. (a) µ^∗(A)≥0 ∀A⊆XX µ^∗(∅)≤µ(∅) = 0

(b) A, B ⊆X, A⊆B. Wennµ^∗(B) = +∞: fertig.

Sei µ^∗(B)<+∞seienBi∈ S bel. mitB⊆S_∞

i=1Bi

⇒A⊆B⊆ [∞ i=1

Bi

⇒µ^∗(A) = inf (_∞

X

i=1

µ(Ai) . . .

)

≤ X∞ j=1

µ(Bj)

⇒µ^∗(A)≤µ^∗(B) (c) Zu zeigenµ^∗ istσ-halbadditiv:

SeienAi⊆X(i∈N). WennP_∞

i=1µ^∗(Ai) = +∞: fertig Sei P_∞

i=1µ^∗(Ai)<+∞ ⇒µ^∗(Ai)<+∞ ∀i∈N Sei ǫ >0 bel. ∀i∈N∃Aij∈ S(j ∈N) mit:

Ai⊆ [∞ j=1

Aij, X∞ j=1

µ(Aij)≤µ^∗(Ai) + ǫ 2i Aij gem¨aß CANTORschen Diagonalverfahren inidizieren:B1, B2, . . . , Bk ∈ S

B1:=A11, B2:=A12, B3:=A21, B4:=A13, B5:=A22, . . . m∈Nbel.: f¨ur geeignetep, q∈Ngilt:

Xm k=1

µ(Bk)≤ Xp i=1



 Xq j=1

µ(Aij)



≤ Xp i=1



 X∞ j=1

µ(Aij)



≤ X∞ i=1

µ^∗(Ai) + ǫ 2i

≤ X∞ i=1

µ^∗(Ai) +ǫ

⇒ f¨urm→ ∞: X∞ k=1

µ(Bk)≤ X∞ i=1

µ^∗(Ai) +ǫ DaS∞

i=1Ai⊆S∞

k=1Bk gilt:

⇒µ^∗ [∞ i=1

Ai

!

= inf (_∞

X

l=1

µ(Cl)

Cl∈ S, [∞ i=1

Ai⊆ [∞ l=1

Cl

)

≤ X∞

i=1

µ^∗(Ai) +ǫ

2. ohne Beweis 3. ohne Beweis

Bezeichnung

µ^∗ gem¨aß Satz 1.10/1.≡das zu{S, µ}konstruierte ¨außere Maß aufP(X).

Def 1.11 σ-endlich

SeiR ⊆ P(X) Ring,µ:R →[0,+∞] Inhalt.µheißtσ-endlich, wennX =S_∞

i=1Xi existiert mit Xi ∈ R, Xi ⊂Xi+1, µ(Xi)<+∞ (i∈N)

22 1. MENGENSYSTEME. MASSE

SATZ 1.12 ¨ uber die Eindeutigkeit der Fortsetzung

Seien R ⊆ P(X) Ring, µ : R → [0,+∞] σ-additiver und σ-endlicher Inhalt. Sei µ^∗ das zu dem {R, µ} konstruierte ¨außere Maß aufP(X).

SeiA ⊆ P(X)σ−Algebramit R ⊆ A ⊆ Aµ∗, seiν:A →[0,+∞] Maß aufAmit:

ν(A) =µ(A) ∀A∈ R. Dann gilt:

µ^∗(A) =ν(A) ∀A∈ A. [ohne Beweis]

Erg¨ anzung (Halbringe)

DEF Halbring

Ein nichtleeres SystemH ⊆ P(X) heisstHalbring, wenn:

1. ∅ ∈ H,

2. A, B∈ H ⇒A∩B∈ H

3. A, B∈ H ⇒ ∃C1, . . . , Cm∈ Hdisjunkt, so daß:A\B =Sm i=1Ci

Jeder Ring ist auch ein Halbring.

A

B

Beispiel: Halboffene Quader inRⁿ

SATZ I (HAHN) [vom Halbring erzeugt Ring]

F¨ur jeden HalbringH ⊆ P(X) gilt:

R(H) =



A⊆ P(X)|m∈N, A= [m j=1

Aj, Aj∈ Hdisjunkt (j= 1, . . . , m)



 zum Beweis:

z.z.:τ:=



 [m j=1

Aj |m∈N, Aj ∈ Hdisjunkt



ist Ring Sei dies bewiesen. Zun¨achst:H ⊆τ

⇒ R(H)⊆τ.SeiRbel. Ring mitH ⊂ R.SeiA∈τ

1.5^∗ KONSTRUKTION VON ¨AUSSEREN MASSEN (II) 23

⇒A=Sm

j=1Aj, Aj ∈ H

⇒ Aj ∈ R ⇒ A=Sm

j=1Aj ∈ R, alsoτ⊆ R

⇒ τ ⊆ [

RingR⊆P(X)

H⊆R

R =: R(H)

SATZ II ¨ Außeres Maß auf R ( H )

SeiH ⊆ P(X) Halbring, seiµ:R(H)→[0,+∞] ein Inhalt. Seiµ^∗daß zu{R(H), µ}konstruierte ¨außere Maß auf P(X). dann gilt f¨urA⊆X:

µ^∗(A) :=







 inf

P_∞

i=1µ(Hi)

Hi∈ H, A⊆S_∞

i=1Hi

+∞,wennAin keiner abz¨ahlbaren Vereinigung von Mengen ausHenthalten ist.

1 . 5

Konstruktion von ¨ außeren Maßen (II)

Bezeichnungen Xmetr. Raum mit Metrikd.

A⊂X, A6=∅:d(A) := sup

d(x, y) x, y∈A

=diam(A)

d(A)<+∞ ⇔Abeschr¨ankt, d.h∃x0∈X, R0:A⊂BR0(x0) A, B⊂X, A, B6=∅:

d(A, B) := inf

d(x, y)

x∈A, y∈B

DEF 1.13

meterisches Maß

Ein ¨außeres Maßµ^∗aufP(X) heißt metrisch, wenn

A, B⊂X, d(A, B)>0⇒µ^∗(A∪B) =µ^∗(A) +µ^∗(B)

SATZ 1.14

Seieµ^∗¨außeres Maß aufP(X),. Dann sind ¨aquivalent:

(i) µ^∗ ist metrisch

(ii) alle offenen [bzw. alle abgeschlossenen] Teilmengen vonXsindµ^∗meßbar.

SeiUdas System der offenen Teilmenge vonX.

(offen= jeder Punkt innerer Punkt, innerer Punkt=offene Kugel liegt vollst¨andig innerhalb)

DEF 1.15

σ-Algebra der BOREL-Mengen

B(X) :=Aσ(U) =σ− Algebra der BOREL-Mengen von X A⊂Xheißt:

Fσ-Menge, wennA=∩^∞i=1Ai,Aiabgeschlossen, Gδ-Menge, wennA=∩^∞i=1Bj,Bj offen.

Also:B(X) enth¨alt alle offenen, abgeschlossenen, alleFσ-Menge, alleGδ-Mengen usw.

Folgerung

Seiµ^∗¨außeres Maß aufP(X). Dann sind ¨aquivalent:

(i) µ^∗ ist metrisch (ii) B(X)⊆ Aµ∗

24 1. MENGENSYSTEME. MASSE

SATZ 1.16

Konstruktion

Seien gegeben:

S ⊆ P(X) System aller Teilm.A⊆Xmitd(A)<+∞ h: [0,+∞[→[0,+∞[ stetig, strikt mon. wachsend,h(0) = 0

F¨urǫ >0, A⊆X(A6=∅) sei



 inf

P_∞

i=1h(d(Ai))

Ai∈ S, d(Ai)< ǫ, A⊆S_∞

i=1Ai

+∞ falls keine solche ¨Uberdeckung vonAexistiert.

F¨urµ^∗_h,ǫgilt:

µ^∗_h,ǫ(A)≥µ^∗_h,δ(A∀0< ǫ < δ) µ^∗_h(A) := lim

ǫ→0µ^∗_h,ǫ(A) = sup

ǫ>0

µ^∗_h,ǫ(A)

Es gilt:µ^∗_hist ¨außeres Maß aufP(X).

Bezeichnung ^µ∗hheißt HAUSDORFF-Maß aufP(X) bez.{S, h}.

S:=R2

A _i A

Betrachte:h(t) :=tα(α >0f ix.), t∈[0,+∞[

µα:=µtαheißtα−dim HAUSDORFF-Maß.

SeiA⊂Xmitµα<+∞. F¨urβ > αgilt:µβ(A) = 0.

δ(A) := inf

β >0

µβ(A) = 0

heißt HAUSDORFF-Dimension vonA.

1.5 Vervollst¨ andigung

DEF 1.13 vollst¨ andiges Maß

SeiA ⊆ P(X)σ-Algebra,µ:A →[0,+∞] Maß.µheißt vollst¨andig, wenn A∈ A, µ(A) = 0, B⊂A ⇒B∈ A

Beispiel µ^∗

Aµ∗ (¨außeres Maß) ist vollst¨andiges Maß.

1.5 VERVOLLST ¨ANDIGUNG 25

DEF 1.14 Vervollst¨ andigung von µ

SeiA ⊆ P(X)σ-Algebra,µMaß aufA. A⁰:=

N0∈ A

µ(N0) = 0

(System aller Nullmengen) A¯^µ:=

E⊆X

E=A∪N, A∈ A, N ⊆N0. N0∈ A⁰

¯

µ(E) :=µ(A) = Vervollst¨andigung von µ. F¨ur E=A∪N, E ∈A¯^µ und N⊆N0∈ A⁰. Bemerkungen

1. A⁰6=∅ (denn:∅ ∈ A⁰)

2. Stets:A ⊆A¯^µ.µvollst¨andig⇔ A= ¯A^µ. (⇒)

E∈A¯^µ:E=A∪N mit:A∈ A, N⊆N0, N0∈ A⁰, µvollst. ⇒N ∈ A ⇒E∈ A.X (⇐)A∈ A, µ(A) = 0, B⊂A:z.z.: B∈ A:

B =∅ ∪B, ∅ ∈ A, also:B ⊂A, A∈ A⁰⇒B∈A¯^µ=A 3. Def. von ¯A^µ ist korrekt:

SeiE∈A¯^µ, E=A∪N =A^′∪N^′ mit A, A^′∈ A, N ⊆N0, N^′ ⊆N₀^′, N0, N₀^′ ∈ A⁰:

⇒A⊆A∪N =E=A^′∪N^′ ⊆A^′∪N₀^′ µ(A)≤µ(A^′∪N₀^′)≤µ(A^′) +µ(N₀^′) =µ(A^′) Analog folgt:µ(A^′)≤µ(A).

SATZ 1.15 Eigenschaften A ¯

SeiA ⊆ P(X)σ-Algebra,µMaß aufA. Dann:

1. ¯A^µ istσ-Algebra.

2. ¯µist vollst¨andiges Maß auf ¯A^µ [ohne Beweis]

SeiR ⊆ P(X) Ring,µ:R →[0,∞] Inhalt.

Seiµ^∗das zu{R, µ}konsturierte ¨außere Maß.

Satz 1.10/2⇒ R ⊆ Aµ∗.

⇒ Aσ(R)⊆ Aµ∗⇒ R ⊆ Aσ(R)⊆ Aµ∗

⇒µ˜:=µ^∗

Aσ(R)

Maß aufAσ(R)

SATZ 1.20

SeiR ⊆ P(X) Ring,µ,σ-endlicher Inhalt aufR. Seiµ^∗ das zu{R, µ}konstr. ¨außere Maß. Dann:

1.Aσ(R)^µ˜=Aµ∗. 2.µ˜=µ^∗. [ohne Beweis]

26 1. MENGENSYSTEME. MASSE

2. LEBESGUE-Maß

Bezeichnungen

1. Intervalle: a, b∈R, a < b:

[a, b] :={x∈R|a≤x≤b} [a, b[:={x∈R|a≤x < b} ]a, b[:={x∈R|a < x < b}

2. Parallelepipede (Quader) in Rⁿ [in Standardlage]

a, b∈Rⁿ, a= (a1, . . . , an), b= (b1, . . . , bn) mitai< bi f¨uri= 1, . . . , n:

[a, b] :={x= (x1, . . . , xn)∈Rⁿ |a≤x≤b}= [a1, b1]×. . .×[an, bn] analog f¨ur [a, b[∈Rⁿ

2.1 Parallelepipedex= (x1, . . . , xn)∈Rⁿ seien−∞< ai< bi<+∞(i= 1, . . . , n)

halboffenes Parallelepiped (Quader) in Standardlage (achsenparallel):

Q:=

x∈Rⁿ

ai≤xi< bi(i= 1, . . . , n)

= [a1, b1[×. . .×[an, bn[= [a, b[

(a= (a1, . . . , an), b= (b1, . . . , bn))

2.1 Konstruktion des Lebesgue-Maßes in R

1. Halbring H

SATZ 2.1

SeienQ, Rhalboffene Parrallelepipede in Standardlage. Dann:

1. Q∩Rist entweder leer oder wieder halboffene Parallelepiped.

2. Wenn Q⊂R, so existieren halboffene ParallelepipedeS1, . . . , Sm paarweise disjunkt, so daß R\Q=

[m j=1

Sj.

3. Es existiert halboffener Quader T mitQ⊂T, R⊂T. Folg 2.2 Halbring, erzeugter Ring

Es gilt:

1.

Hⁿ:={∅} ∪

Q⊂RⁿQhalboffenes Parallelepiped ist Halbring.

[Wird teilweise auch alsIⁿ bezeichnet. ] 27

28 2. LEBESGUE-MASS 2.

Rⁿ:=R(Hⁿ) = (_m

[

i=1

Qi

m∈N, Qi ∈ Hⁿp.d.

)

ist (der vom Halbring erzeugte) Ring.

[vgl. Erg¨anzungen zu Abschnitt 1.4 ]

Q

R

Q

2. σ-additiver Inhalt auf R

Elementargeometrischer Inhalt

Q:= [a1, b1[×. . .×[an, bn[= [a, b[

vn(Q) :=

Yn i=1

(bi−ai) = Volumen vonQ (bzw. Elementargeometrischer Inhalt)

Def 2.3 (Eigenschaften von vn)

SeienQ, Qi ∈ Hn(i= 1, . . . , n) mitQ=∪^ri=1Qi p.d. Dann:

vn(Q) = Xr i=1

vn(Qi) vn(A) = 0 fallsA=∅ Satz 2.4

vn(A) = Xr i=1

vn(Ai) fallsA=∪^ri=1p.d., Ai∈ Hⁿ Dann gilt:

1. vn ist korrekt definiert:

Sei außerdemA=∪^sj=1Rj, mitRj∈ Hp.d.

⇒ Xr i=1

vn(Ai) = Xs j=1

vn(Rj)

2. vn istσ-additiver Inhalt aufRn. 3. Wk:= [−k, k[×. . .×[−k, k[

| {z }

n-mal

(k∈N) W¨urfel Dann:Wk ∈ Hn, vn(Wk) = (2k)ⁿ,Rⁿ=S_∞

i=1Wk.

2.1 KONSTRUKTION DES LEBESGUE-MASSES INR^N 29 B1=A1∪A2 A=B1∪A3:

A

A

A

A

Beweis 1.

[r i=1

Ai=A= [s j=1

Rj p.d.

Ai=Ai∩A= [s j=1

(Ai∩Rj), Rj = [r i=1

(Ai∩Rj) Ai∩R1, . . . , Ai∩Rsp.d., Rj∩A1, . . . , Rj∩Arp.d.

⇒ Xr i=1

vn(Ai)^{DEF 2.3}= Xr i=1



 Xs j=1

vn(Ai∩Rj)



= Xs j=1

Xr i=1

vn(Ai∩Rj)

!

= Xs j=1

vn(Rj)

Bemerkung zum Beweis 2.

A, B∈ Rⁿ:A=Sr

i=1Ai, B=Ss j=1Bj

A∪B= [r i=1

Ai

!

∪



 [s j=1

Bj





(i) A∩B =∅ ⇒Beh.

(ii) A∩B 6=∅:

B = [∞ i=1

Bj p.d. ⇒vn(B) = X∞ i=1

vn(Bj)

A= [∞ i=1

Ai p.d.Ai∈ Rⁿ⇒vn(A) = X∞ i=1

vn(Ai)

Beweis 3. folgt direkt aus Definition.

3. Lebesgue-Maß

Resultate aus Abschnitt 1.4 und Abschnitt 1.6 anwenden auf S=Rⁿ, µ=vn

A⊆Rⁿ bel.:

v_n^∗(A) := inf (_∞

X

i=1

vn(Ai)

Ai ∈ Rn, A⊆ [∞ i=1

Ai

)

= das zu {Rn, vn} konstruierte ¨außeres Maß inRⁿ

30 2. LEBESGUE-MASS DEF 2.5 LEBESGUE-Maß

λ^∗_n:=v_n^∗ =¨außere LEBESGUE-Maß inRⁿ

L(Rⁿ) :=A^vn∗=σ-Algebra der LEBESGUE-meßbaren Teilmengen desRⁿ λn:=v_n^∗

Avn∗

= LEBESGUE-Maß aufL(Rⁿ).

A_i A

Bemerkungen:

1. A⊂Rⁿ ist LEBESGUE-meßbar, wenn

λ^∗_n(E) =λ^∗_n(E∩A) +λ^∗_n(E∩A^c) ∀E⊆Rⁿ Dann:λn(A) =λ^∗_n(A)

2. F¨ur jedesA⊂Rⁿ gilt:λ^∗_n(A) := inf P_∞

i=1vn(Qi)

Qi∈ Hⁿ, A⊆S_∞

i=1Qi

3. Rⁿ ⊂ L(Rⁿ), λn(A) =vn(A) ∀A∈ Rⁿ

4. Sei A ⊆ P(Rⁿ)σ-Algebra mitRⁿ ⊆ A ⊆ L(Rⁿ) und seiν :A −→[0,∞] Maß auf Amit:

ν(A) =vn(A)∀A∈ Rⁿ

Dann istν(A) =λn(A) ∀A∈ A 5. λ^∗_n(A) = 0⇒A∈ L(Rⁿ), λn(A) = 0

λn ist ein vollst¨andiges Maß: λn(A) = 0, B ⊂ A ⇒ B ∈ L(Rⁿ), λn(B) = 0 [Beispiel. Q =Menge der rationalen Zahlen.... to do]

F¨urA⊂Rⁿ sind ¨aquivalent:

(a) ^◦ A∈ L(Rⁿ), λn(A) = 0 (A ist Lebesgue´sche Nullmenge) (b) ^◦ ∀ǫ >0 ∃halboffene QuaderCk ⊂Rⁿ: A⊆ ∪^∞k=1 Ck, P_∞

k=1 vn(Ck)≤ǫ 6. λ^∗_n ist translationsinvariant:

F¨urA⊂Rⁿ, ξ∈Rⁿ : A+{ξ}:={y∈Rⁿ |y=x+ξ, x∈A}gilt:λ^∗_n(A+{ξ}) =λ^∗_n(A)

2.2 BOREL-Mengen des R

Bezeichung: Sei X Metrischer Raum,

O= System aller offenen Teilmengen von X ={U ⊂X |U offen},

B(X) := \

A⊆P(X)

O⊆Aσ−Algebra

A=σ-Algebra der Borel-Mengen von X,

B(Rⁿ) :=σ-Algebra der Borel-Mengen des Rⁿ.

2.2 BOREL-MENGEN DESR^N 31

LEMMA 2.6 Zerlegung einer offenen Menge

Sei U ⊂Rⁿ nichtleere offene Menge. Dann ex. halboffene Parallelepipede in Standardlage C1, C2, . . . p.d., so daß

U = [∞ i=1

Ci

Beweis

Bildeinscannen! to do

SATZ 2.7

SeiHn= System der halboffenen Parallelepipede in Standardlage.

Dann:

B(Rⁿ) =Aσ(Hn)

Beweis

1. SeiQ= [a, b[= [a1, b1[×. . .×[an, bn[:

Q˜k:=]a1−1

k, b1[×. . .×]an−1

k, bn[(k= 1,2, . . .) offen

⇒Q˜k∈ B(Rⁿ)⇒Q=

\∞ i=1

Q˜k∈ B(Rⁿ)

⇒ Hn⊆ B(Rⁿ)⇒ Aσ(In)⊆ B(Rⁿ) 2. SeiU⊆Rⁿoffen⇒U=S_∞

i=1Ci, Ci∈ Hn

⇒Ci∈ Aσ(Hn)⇒U= [∞ i=1

Ci∈ Aσ(Hn)

B(Rⁿ)⊆ Aσ(Hn)

FOLG 2.7 Eigenschaften B (R

)

Es gilt:

1. B(Rⁿ) =Aσ(Rn) [σ-Algebra ] 2. B(Rⁿ)⊂ L(Rⁿ) [echte Inklusion]

Beweis

1. Hn⊂ Rn⇒ Aσ(Hn)⊆ Aσ(Rn) SeiA ⊆ P(Rⁿ)σ-Algebra mitHn⊆ A A∈ Rn bel.⇒A=Sm

j=1Qj, Qj∈ Hn

⇒A∈ A, d.h.Rn⊆ A

⇒ A^σ(Rⁿ)⊆ A ⇒ A^σ(Rⁿ)⊆ A^σ(Hⁿ) 2. Hn⊂ L(Rⁿ)[=:Av^∗_n,{Rn, vn}]

⇒ B(Rⁿ)⊆ L(Rⁿ);B(Rⁿ)⊂ L(Rⁿ) echt:

Beispiel einer LEBESGUEschen Nullmenge, die keine BOREL-Menge ist: vgl. Ausarbeitung

”CANTORsches Diskontinuum u. CANTORsche Treppenfunktion”.

Erg¨anzung zur Pr¨ufungsklausur Ana3a, Aufg.11 to do!

32 2. LEBESGUE-MASS

Satz

F¨urM ⊂Rⁿ sind ¨aquivalent:

1. ^◦ M ⊂ L(Rⁿ), λn(M) = 0

2. ^◦ ∀ ǫ >0 ∃halboffene QuaderCk⊂Rⁿ paarweise disjunkt, so dass M ⊂

[∞ k=1

Ck und X∞ k=1

vn(Ck) ≤ ǫ.

3. ^◦ ∀ ǫ >0 ∃Kugeln B^(k)⊂Rⁿ, so dass M ⊂

[∞ k=1

B^(k) und X∞ k=1

λn(B^(k)) ≤ ǫ.

Beweis

1^◦ ⇒ 2^◦ Sei ǫ >0 beliebig. Es existieren halboffene Quader Qk mit M ⊂

[∞ k=1

Qk, X∞ k=1

vn(Qk) ≤ ǫ

2 und Qk:= [a^(k)₁ , b^(k)₁ [×. . .×[a^(k)_n , b^(k)_n [.

F¨urt >0 sei Qgk,t:= [a^(k)₁ −t , b^(k)₁ [×. . .×[a^(k)_n −t , b^(k)_n [⇒ Qgk,t offen Qk ⊂Qgk,t; vn(Qgk,t) =vn(Qk) +Pk(t), P(0) = 0, w¨ahletk >0,so dassvn(Q]k,tk)≤vn(Qk) +₂k+1^ǫ

⇒ X∞ k=1

vn(Q]k,tk) ≤ X∞ k=1

vn(Qk) + ǫ 2 ≤ ǫ Lemma 2.6:∃Ck⊂Rⁿ halboffen paarweise disjunkt:

[∞ k=1

Ck= [∞ l=1

Qgl,tl, X∞ k=1

vn(Ck)^p.d.= λn( [∞ k=1

Ck) =λn( [∞ l=1

Qgl,tl)≤ X∞

l=1

vn(Q]k,tl)≤ǫ

Bezeichnung

β: =λn

B(Rⁿ)

:= BOREL-LEBESGUE-Maß.

Bemerkung

1. B(Rⁿ)^βn=L(Rⁿ) βn =λn. 2. F¨urA⊆Rⁿ sind ¨aquivalent:

(a) ^◦ A∈ L(Rⁿ)

(b) ^◦ A=B∪N mitB∈ B(Rⁿ), N ⊆N0, N0∈ B(Rⁿ), βn(N0) = 0 (dabei gilt:λn(A) =βn(B).) 3. βn ist nicht vollst¨andig