SATZ 2.8
(A∈ L(Rn)⇒. . .)SeiA∈ L(Rn). Dann gilt∀ǫ >0.
1. ∃Gǫ⊆Rn offen mit:Gǫ⊇A, λn(Gǫ\A)≤ǫ.
2. ∃Fǫ⊆Rn abgeschlossen mit:Fǫ⊆A, λn(A\Fǫ)≤ǫ.
SATZ 2.9
(. . .⇒A∈ L(Rn))SeiA⊆Rn Menge, die (wenigstens) eine der folgenden Eigenschaften besitzt:
1. ∀ǫ >0∃Gǫ⊆Rn offen:λ∗n(Gǫ\A)≤ǫ;Gǫ⊇A
2. ∀ǫ >0∃Fǫ⊆Rn abgeschlossen:λ∗n(A\Fǫ)≤ǫ;Fǫ⊆A
3. ∀ǫ >0∃Gǫ⊆Rn offen,Fǫ⊆Rn abgeschlossen mit: Fǫ⊆A⊆Gǫ, λn(Gǫ\Fǫ)≤ǫ.
Dann:A∈ L(Rn).
FOLG 2.11
∗SeiA⊆Rn. Dann sind ¨aquivalent:
1◦A∈ L(Rn)
2◦∃Fk⊆Rn(abgeschlossen) (k∈N), Fk⊆A,∃N⊂Rn, λn(N) = 0 :A= [∞ k=1
Fk
!
∪N.
Beweis
1◦⇒2◦: ∃Fk⊆Rnabgeschl., Fk⊆A, λn(A\Fk)≤ 1 k⇒
[∞ k=1
Fk⊆A
A\ [∞ k=1
Fk=
\∞ k=1
(A\Fk)⊆A\Fj ∀j∈N
N:=A\
[∞ k=1
Fk, λn(N)≤λn(A\Fj)≤ 1
j ⇒λn(N) = 0
⇒A= [∞ k=1
Fk
!
∪N
34 2. LEBESGUE-MASS
3. Meßbare Funktionen
Bezeichnungen X bel. Menge,A ⊆ P(X)σ-Algebra,µ:A →[0,+∞] Maß.
1. (X,A) =meßbarer Raum (X,A, µ) =Maß-Raum 2. [a,+∞] = [a,+∞[∪ {+∞}
R:={−∞} ∪R∪ {∞}
B(R) :=
A⊆RA∩R∈ B(R)
LEMMA 3.1 (Eigenschaften B (R))
1. B(R) istσ-Algebra.
2. Setzte: E:=
[a,+∞]a∈R . DannAσ(E) =B(R) Beweis
1. Fallunterscheidung nach A mit/ohne∞ 2. siehe ¨Ubungsaufgabe 3.6
3.1 Definition, ¨ Aquivalente Charakterisierung
Motivation
SeienX, Y metrische R¨aume, istB ⊆Y, f :X →Y :f−1(B) :=
x∈X f(x)∈B (Urbild vonB unter f) f :X→Y heißt stetig auf X, wennf−1(V) offen∀V ⊆Y offen.
DEF 3.2 {A , B} -meßbar
Seien (X,A),(Y,B) meßbare R¨aume.f :X →Y heißt{A,B}-meßbar, wenn f−1(B)∈ A ∀B∈ B
LEMMA 3.3 ( {A , B} -meßbarkeit mithilfe von E )
Seien (X,A),(Y,B) meßbare R¨aume,Aσ(E) =B(E ⊆ P(Y)).F¨urf : X −→Y sind ¨aquivalent:
1. ◦ f ist {A,B}-meßbar 2. ◦ ∀ E∈ E ⇒f−1(E)∈ A
35
36 3. MESSBARE FUNKTIONEN Beweis
to do
DEF 3.4 A -meßbar
Sei (X,A) meßbarer Raumf :X →R [bzw.f :X →R] heißtA-meßbar, wenn f−1(B)∈ A ∀B∈ B(R)
f−1(B)∈ A∀B∈ B(R)
Spezialfall: X =Rn,A=L(Rn) bzw. A=B(Rn)f :X →R [f : X →R] heißt LEBESGUE-meßbar bzw.
BOREL-meßbar, wenn
f−1(B)∈ L(Rn) ∀B∈ B(R)
f−1(B)∈ L(Rn)∀B∈ B(R) bzw.
f−1(B)∈ B(Rn) ∀B∈ B(R)
f−1(B)∈ B(Rn)∀B∈ B(R) Im weiteren sei (X,A) meßbarer Raum.
SATZ 3.5 (¨ aquivalente Eigenschaften zu A -meßbar)
Sei (X,A) meßbarer Raum
1. Sei f :X →R. Dann sind ¨aquivalent (i) f istA-meßbar
(ii) ◦ f−1([a,+∞])∈ A ∀a∈R 2. ◦ Seif :X →R. Dann sind ¨aquivalent
(i) f istA-meßbar
(ii) ◦ f−1([a,+∞[)∈ A ∀a∈R (iii) ◦ f−1(U)∈ A ∀U ⊂Roffen Beweis von 2.
(i)⇒(ii) [a,+∞[∈ B(R)⇒Beh.
(ii)⇒(iii) [a, b[= [a,+∞[\[b,+∞[
f−1([a, b[) =f−1([a,+∞[)\f−1([b,+∞[) (ii) :f−1([a, b[)∈ A; U ⊆Roffen,
U = [∞ i=1
[aibi[⇒f−1(U) = [∞ i=1
f−1([ai, bi[) (iii)⇒(i) [=f−1(A)∈ A ∀A∈ B(R)]
Bˆ:=
A⊆Rf−1(A)∈ A ; U ⊆
(iii)
Bˆ Bˆistσ-Algebra (selbstst¨andig zeigen vgl. ¨UA 1.3)
⇒ B(R) = \
U⊆C⊆P(R)
C σ−Algebra
C ⊆Bˆ
3.2 OPERATIONEN MIT MESSBAREN FUNKTIONEN 37
SATZ 3.6 (¨ aquivalente Eigenschaften zu A -meßbar)
Sei (X,A) meßbarer Raum, seif :X →R. Die folgenden Ausagen sind ¨aquivalent:
(i) ◦ f istA-meßbar.
(ii) ◦
x∈X f(x)≥a ∈ A ∀a∈R (iii) ◦
x∈X f(x)> a ∈ A ∀a∈R (iv) ◦
x∈X f(x)≤a ∈ A ∀a∈R (v) ◦
x∈X f(x)< a ∈ A ∀a∈R [Beweis ist nur Rechnen mit Mengenoperationen]
FOLG 3.7
Seif :X→R A-meßbar. Dann gelten die folgenden Ausagen:
(i)
x∈X f(x) =a ∈ A ∀a∈R (ii)
x∈X f(x) = +∞ ,
x∈Xf(x) = +∞ ∈ A (iii) Seig:X→R A-meßbar.A∈ A
h(x) :=
f(x) f¨urx∈A g(x) f¨urx∈X\A Dann ist hA-meßbar.
3.2 Operationen mit messbaren Funktionen
SATZ 3.8
Seif, g:X −→ R¯ A-messbar, dann sind folgenden Ausagen ¨aquivalent:
(i) ◦
x∈X f(x)> g(x) ∈ A (ii) ◦
x∈X f(x)≥g(x) ∈ A (iii) ◦
x∈X f(x) =g(x) ∈ A (iv) ◦
x∈X f(x)6=g(x) ∈ A
Beweis to do
Bezeichnungen F¨urf :X→R definiere:
Af := {x|f(x) =−∞} ∪ {x|f(x) = +∞}
Af,g:=
{x|f(x) =−∞} ∩ {x|g(x) = +∞} [
{x|g(x) =−∞} ∩ {x|f(x) = +∞}
38 3. MESSBARE FUNKTIONEN
SATZ 3.9
Sein f, g:X →R A-messbar, dann gilt:
1. λf istA-messbar ∀ λ∈R 2. Sei f(x)6= 0 ∀x∈X.Definiere:
1 f
(x) :=
1
f(x) f¨urx∈X\Af
0 f¨urx∈Af
Dann ist 1f A-messbar.
3.
|f|(x) :=
|f(x)| f¨urx∈X\Af
+∞ f¨urx∈Af
Dann ist|f| A-messbar.
4. Definiere:
(f+g) (x) :=
f(x) +g(x) f¨urx∈X\Af,g
0 f¨urx∈Af,g
(f g) (x) :=
f(x)g(x) f¨urx∈X\Af,g
0 f¨urx∈Af,g
Dann sindf+g, f g A-messbar.
[ vgl. ”Rechenregeln f¨ur +∞und−∞” ]
Beweis
siehe nach Satz 3.15 to do
FOLG 3.10
Sein f, g:X →R A-messbar, dann sindmax{f, g}, min{f, g} A-messbar.
Denn: to do insbesondere: to do
Ubung (Aufg. 4.3):¨ Seif :X →R A-messbar,φ: R −→ Rstetig, dann istφ◦f A-messbar.
SATZ 3.11
1. Sei (X,A) meßbarer Raum, seienfn :X →R(n∈N) meßbar. Dann sind folgende Funktionen sup
n
fn, inf
n fn, lim inf
n→∞ fn, lim sup
n→+∞fn
A-meßbar.
2. Wenn ∀x∈X ∃limn→∞fn(x) =:f(x), dann istf A-meßbar.
(Denn lim supn→∞fn= lim infn→∞fn)
3.2 OPERATIONEN MIT MESSBAREN FUNKTIONEN 39 Beweis
1.
x∈X
sup
n
fn
(x)>0
= [∞ n=1
x∈Xfn(x)> a X
infn fn=−sup
n fnX lim sup
n→∞ fn= inf
n sup
k≥n
fk = inf
n FkX lim inf
n→∞ fn= sup
n
k≥ninf fk= sup
n
FkX 2. to do
Def 3.12 einfache Funktion
Sei (X,A) meßbarer Raum. Eine A-meßbare Funktion f : X → Rheißt einfach, wenn f nur endlich viele Werte annimmt:
f(x) ={a1, . . . , am} (ai6=aj f¨uri6=j)
DEF charakt. Fkt.
χA:=
1 f¨urx∈A 0 f¨urx∈X\A charakt. Funktion vonA
(X,A) meßbarer Raum:χA A-meßbar⇔A∈ A.
Bemerkung:
1. BetrachteAi:=f−1(ai)∈ A, f¨ur (i= 1, . . . , n) Ai p.d., mitX =Sm i=1Ai
⇒ f(x) :=Pn
i=1aiχAi(x)
2. Seien bi∈R, Bi∈ A(i= 1, . . . , n) Dann ist (⋆) f :=
Xn i=1
biχBi einfach.
3. Seien f, geinfach Funktionen, so sindλf(λ∈R), f+g,|f|,max{f, g},min{f, g} einfache Funktionen.
[Bezeichnung:(⋆) heißtNormaldarstellung der einfachen Funktionf, wennBi∈ Ap.d., X =Sn
i=1Bi ]∗
SATZ 3.13
Sei (X,A) meßbarer Raum, sei f :X →[0,+∞] A-meßbar. Dann existiert Folge (ϕn)A-meßbar und einfach mit:
0≤ϕn(x)<+∞ ∀x∈X
ϕ1(x)≤. . .≤ϕn(x)≤ϕn+1(x)≤. . .≤f(x) ∀x∈X
n→∞lim ϕn(x) =f(x) ∀x∈X
40 3. MESSBARE FUNKTIONEN Beweis
ϕn(x) :=
k−1
2n ,f¨ur k−12n ≤f(x)<2kn(k= 1, . . . ,2nn) (bzw. f¨ur x∈Ak,n) n ,f¨urf(x)≥n(bzw. f¨urx∈An)
ϕn(x)≤f(x) ∀x∈X Ak,n:=
x∈X k−2n1 ≤f(x)<2kn (k= 1, . . . ,2nn) An :=
x∈X f(x)≥n
f-meßbar⇒Ak,n, An∈ A, p.d., X =S2nn k=1Ak,n
∪An
ϕn(x) =
2nn
X
k=1
k−1
2n χAk,n(x) +nχAn(x) x∈X einfach Funktion in Normaldarstellung
k−1 2n , k
2n
=
2k−2 2n+1 , 2k
2n+1
=
2k−2
2n+1 ,2k−1 2n+1
∪
2k−1 2n+1 , 2k
2n+1
Ak,n=A2k−1,n+1∪A2k,n+1⇒ϕn(x)≤ϕn+1(x)
(Hier zu Fallunterscheidung, Rechnen mit Ungleichungen) 1.
f(x) = +∞: ϕn(x) =n ∀n∈N:ϕn(x) =n→+∞=f(x) 2.
f(x)<+∞: x6∈An∀n > f(x) ⇒x∈Ak,n f¨ur genau ein k∈ {1,2, . . . ,2nn}
⇒0≤f(x)−ϕn(x)< k
2n −ϕn(x) = k
2n −k−1 2n = 1
2n →0
3.3 Eigenschaft ”fast-¨ uberall”
DEF 3.14 ”µ-fast-¨ uberall”
Sei (X,A, µ) Maß-Raum. Eine EigenschaftE gilt ”µ-fast-¨uberall” (µ-f.¨u.) inX, wenn
∃N ∈ Amit:µ(N) = 0, E gilt∀x∈X\N Beispiel
Seienf, g:X →Rmit:f, gA-meßbar, µ
xf(x)6=g(x) = 0 Dannf =g µ-f.¨u. inX.
SATZ 3.15
Sei (X,A, µ) vollst¨andiger Maß-Raum.
1. Sei f :X →RA-meßbar. Sei g:X→R mit
f =g µ−fast-¨uberall Dann istg A-meßbar.
2. Seien fn:X →R(n∈N)A-meßbar, f :X →Rmit:
fn(x)→f(x) f¨urµ−f.¨u. inX Dann istf A-meßbar.
3.3 EIGENSCHAFT ”FAST- ¨UBERALL” 41 Beweis
1. ∃N ∈ A, µ(N) = 0 so daß giltf(x) =g(x)∀x∈X\N. a∈R:
x∈X g(x)≥a =
x∈X\N g(x)≥a ∪
x∈N g(x)≥a
[z.z. 1.Menge inA, gen¨ugt z.z. die beiden rechten Menge inA] x∈X\N g(x)≥a =
x∈X\Nf(x)≥a =
x∈Xf(x)≥a ∩(X\N)
| {z } ∈A
x∈N g(x)≥a ⊆N ⇒
x∈N g(x)≥a ∈ A 2. Fn(x) := infk≥nfk(x), x∈X Nach Satz 3.5 ⇒Fn istA-meßbar.
F(x) := sup
n
Fn(x), x∈X; Satz 3.5⇒istA-meßbar.
F(x) := sup
n
Fn(x) = lim inf
n→∞ fn(x) =f(x)∀x∈X\N, N ∈ A, µ(N) = 0 Teil 1. liefert Beh.
42 3. MESSBARE FUNKTIONEN
4. Integration
Sei im weiteren: (X,A, µ) Maß-Raum
Vorbemerkung
to do Lemma to do Beweis to do
4.1 Integration nicht negativer einfacher Funktionen
DEF 4.1 Integral einf. Fkt.
Seif :X→[0,+∞[ einfache Funktion, f =Pm
i=1aiχAi Normaldarstellung Integralvonf:
Z
X
f dµ= Z
X
f(x)dµ(x) :=
Xm i=1
aiµ(Ai)
Definition ist korrekt:f =Pn
j=1bjχBj Normaldarstellung
⇒ Xm i=1
aiµ(Ai) = Xn j=1
bjµBj
Ai= [n j=1
(Ai∩Bj), Bj= [m i=1
(Ai∩Bj)p.d.
⇒µ(Ai) = Xn j=1
µ(Ai∩Bj) µ(Bj) = Xn i=1
µ(Ai∩Bj) µ(Ai∩Bj) 0⇒Ai∩Bj 6=∅
⇒ai=f(x) =bj ∀x∈A−i∩Bj (6⇐)
⇒ Xm i=1
aiµ(Ai) = Xm i=1
Xn j=1
aiµ(Ai∩Bj) = Xm i=1
Xn j=1
bjµ(Ai∩Bj) = Xn j=1
bjµ(Bj)
43
44 4. INTEGRATION Bemerkung
R
X
f dµ= +∞m¨oglich.
SATZ 4.2 allg. Eigenschaften Integral einf. Fkt.
Seienf, g:X →[0,+∞[ einfache Funktionen. Dann gilt
i=1aiχAi einfache Funktionf(x)∈[0,+∞[ nicht notwendiger Weise in Normaldarstellung
⇒
Seien im folgende einfache FunktionenX→[0,+∞[
1. A∈ A:R
4.2 Integral ¨ uber nichtnegative A -messbarer Funktionen
(X,A, µ) Maß-Raum
E+(X) :=Menge der einfachen Funktionenf :X→[0,∞[
M+(X) :=Menge der nicht negativenA-meßbaren Funktionenf :X →[0,+∞].
4.2 INTEGRAL ¨UBER NICHTNEGATIVEA-MESSBARER FUNKTIONEN 45
DEF 4.3 Integral ¨ uber nichtnegative Funktionen
Seienf ∈ M+(X), A∈ A.
i=1aiχAi Normaldarstellung Xm
46 4. INTEGRATION
SATZ 4.4 allg. Eigenschaften Integral nichtneg. Fkt.
Seienf, g∈ M+(X). Dann:
1. folgt aus der Definition
2. W¨ahlefn↑f undgn↑geinfach, Eigenschaften gelten nach Satz 4.2
⇒R
SATZ 4.5 Eigenschaften f¨ ur bestimmte A, B ∈ A
F¨urf ∈ M+(X) gilt:
4.3µ-INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 47
4.3 µ -integrierbare Funktionen
(X,A, µ) Maß-Raum;
EineA-meßbare Funktionf :X →R (numerische Funktion) heißtµ-integrierbar, wenn:
Z
Seif :X→R µ-integrierbar. Definiere Af :=A−f ∪A+f :=
x∈X f(x) =−∞ ∪
xf(x) = +∞ Dann giltµ(A+f) = 0 =µ(A−f).
48 4. INTEGRATION
SATZ 4.8 ¨ aquivalente Charakterisierung µ-int´bar
Seif :X→R A-meßbar. Dann sind ¨aquivalent (i) ◦ f istµ-integrierbar.
(ii) ◦ ∃u, v∈ M+(X),µ-integrierbar:f =u−v µ-fast-¨uberall
SATZ 4.9 allg. Eigenschaften µ-int´barer Funktionen
Seienf, g:X →R µ-integrierbar. Dann:
4.4 VERTAUSCHUNG VON INTEGRATION UND GRENZ ¨UBERGANG 49 Beweis
Ubungsaufgabe¨
4.4 Vertauschung von Integration und Grenz¨ ubergang
SATZ 4.10 (monotone Kovergenz; B.LEVI)
Seienfn∈ M+(X)(n∈N), fn(x)≤fn+1(x)∀x∈X, dann gilt:
Bemerkung: Satz 4.10 gilt auch, fallsfn ≤fn+1 µ-fast ¨uberall.
FOLG 4.11 (FATOU)
50 4. INTEGRATION
⇒Grenz¨ubergang und Satz 4.10 Beh.
kurze Motivation:
SATZ 4.13 (absolute Stetigkeit des Integrals)
Seif :X→R µ -integrierbar. Dann gilt:
∀ǫ >0∃δ=δ(ǫ, f)>0 : ∀A∈ A, µ(A)≤δ ⇒ Z
A
|f|dµ≤ǫ
4.4 VERTAUSCHUNG VON INTEGRATION UND GRENZ ¨UBERGANG 51 Beweis
n∈N:
gn:=
|f(x)| f¨ur|f(x)| ≤n, n f¨ur|f(x)|> n d.h.gn = min{|f|, n}
⇒gn∈ M+(X);gn(x)≤n, gn(x)≤ |f(x)| gn(x)≤gn+1(x), limgn(n) =|f(x)|
⇒lim Z
X
gndµ =
Satz 4.10
Z
X
|f|dµ ǫ >0, ∃n0=n0(ǫ) : Z
X
|f|dµ− Z
X
gn0dµ≤ ǫ 2 W¨ahleδ:= 2nǫ
0,A∈ A, µ(A)≤δ Z
A
|f|dµ= Z
A
(|f| −gn0)dµ+ Z
A
gn0dµ Z
A
|f|dµ=≤ Z
X
(|f| −gn0)dµ+n0µ(A)≤ ǫ 2+n0
ǫ 2n0
=ǫ
SATZ 4.14 (majorisierte Konvergenz; H.LEBESGUE)
Seifk,:X → RA-meßbar mit:
klim→∞fk(x) =f(x) f¨urµ-fast-allex∈X,
|fk(x)| ≤F(X) f¨urµ-fast-allex∈X, wobei: F ∈ M+(X), F µ-integrierbar.
Dann ist fµ-integrierbar und es gilt:
k→∞lim Z
X
fkdµ= Z
X
f dµ.
Bemerkung F ist Majorante Beweis
∃N∗, Nk∈ A:µ(N∗) = 0, µ(Nk) = 0 mit
fk(x)→f(x)∀x∈X\N∗, |fk(x)| ≤F(x)∀x∈X\Nk
N∞:=
x∈X F(x) = +∞ ⇒N∞∈ A, µ(N∞) = 0 N :=N∗∪
[∞ k=1
Nk
!
∪N∞⇒N∈ A, µ(N) = 0
⇒ |f(x)| ≤F(x)∀x∈X\N integrierbare Majorante SAT Z4.8⇒f µ−integrierbar F+f ≥F− |f| ≥0, F−fk≥F− |fk| ≥0
52 4. INTEGRATION
4.5 LEBESGUE-Integral in R
nSeiQ⊂RnQuader in Standart-Lage.
Q=Sν fheißt RIEMANN-integrierbar AUFQ, wenn
sup
SeifRIEMANN-integriebar aufQ. DAnn istfLEBESGUE-messbar aufQund es gilt Z
SeiQ⊂Rn Quader in Standart-Lage undf riemannintegrierbar aufQ.
⇒ f ist Lebesgue-integrierbar mit:
Z
Beispiel Dirichlet-Funktion to do
ist nicht Riemann-integrierbar, aber Lebesgue-integrierbar.
5. Produkt-Maß u. -Integration
5.1 Produkt-σ-Algebra
SeienA⊆X, B⊆Y
A×B :=
(x, y)∈X×Y x∈A, y∈B ⊆X×Y SindA, C⊆X undB, D⊆Y so gilt:
(A×B)∩(C×D) = (A∩C)×(B∩D) (A×B)c= (Ac×B)∪(X×Bc)
DEF 5.1
Seien (X,A),(Y,B) meßbare R¨aume.
1. E0=
A×B A∈ A, B∈ B ⊆ P(X×Y) 2.
A × B:=Aσ(E0) = \
E0⊆ϕ
ϕ σ−Algebra aufP(X×Y)
ϕ=P rodukt−σ−Algebra
Bemerkung Sei
E:=
(
E⊆X×Y E= [m i=1
(Ai×Bi) Ai∈ A, Bi∈ Bp.d.
)
Es gilt:A × B=Aσ(E).
Achtung!AusF ∈ A × B 6⇒F =A×B mit A⊆X, B⊆Y.
Motivation f¨ur Produkt-Maß auf A × B:
Seien (X,A, µ),(Y,B, ν) Maßr¨aumeE⊂X×Y;x∈X, y∈Y : Ex:=
s∈Y (x, s)∈E =x−Schnitt vonE Ey:=
s∈X (s, y)∈E =y−Schnitt vonE 53
54 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION
Y
Ex
E
X Ey
y
x
Ziel: suche Maß sodass Z
X
ν(Ex)dµ(x) = Z
Y
µ(Ey)dν(y) = Maß vonE
SATZ 5.2
SeiE∈ A × B. Dann gilt:
Ex∈ B ∀x∈X, Ey∈ A ∀y∈Y.
A B
X Y
AxB
(x,s) in A x B
Beweis S0:=
E∈ A × BEx∈ B∀x∈X
1. Es giltE0⊆ S0:E∈ E0:E=A×B, A∈ A, B∈ B. Ex=
s∈Y (x, s)∈A×B =
∅ f¨ur x6∈A B f¨ur x∈A 2. S0istσ-Algebra:E∈ S0, d.h.Ex∈ B: (Ec)X = (Ex)c∈ B
Ej ∈ S0
[∞
j=1
Ej
= [∞ j=1
(Ej)X ∈ B
⇒ A × B ⊆ S0
Beweis f¨ur zweite Aussage erfolgt analog.
5.2 PRODUKT-MASS 55 Bemerkung Borel Lebesgue to do
FOLG 5.3
Seif :X×Y →R A × B-meßbar. Dann:
1. y→f(x, y) istB-meßbar ∀x∈X.
2. x→f(x, y) istA-meßbar∀y∈Y,
Beweis zu 1.
a∈Rbel.E:=
(x, y)∈X×Y f(x, y)> a Voraussetzung:E∈ A × B;x∈X
y∈Y f(x, y)> a =
y∈Y (x, y)∈E =Ex(Y) 2. erfolgt analog.
5.2 Produkt-Maß
SATZ 5.4
Seien (X,A, µ), (Y,B, ν)σ-endliche Maß-R¨aume. Dann gilt f¨urE∈ A × B: 1. x→ν(Ex) istA-meßbar,
2. y→µ(Ey) istB-meßbar, 3. R
X
ν(Ex)dµ(x) =R
Y
µ(Ey)dν(y).
[ohne Beweis, Beweis findet sich in der Literatur (z.Bsp. Hewitt/Stromberg)] Beweisidee: to do
SATZ 5.5
Seien (X,A, µ),(Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. F¨ur E∈ A × Bsei λ(E) :=
Z
X
ν(Ex)dµ(x) = Z
Y
µ(Ey)dν(y)
Dann gilt:
1. λ(A×B) =µ(A)ν(B) ∀A∈ A, ∀B∈ B ′′P roduktmaß′′
2. λistσ-endl. Maß auf A × B. ′′σ−endlich′′
3. Sei τ Maß aufA × Bmit:
τ(A×B) =µ(A)ν(B)∀A∈ A, ∀B∈ B′′eindeutigkeit′′
Dann giltτ=λ.
56 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION [Lemma Maße auf Erzeugenden System gleich so Maße gleich]⇒τ=λ
Satz
SATZ 5.6 (FUBINI I)
Seien (X,A, µ),(Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. Seif :X×Y →[0,+∞] (A × B)-meßbar. Dann gilt:
1. x→f(x, y) istA-meßbar∀y∈Y
5.3 PRODUKT-INTEGRATION 57
1. und 2. ergibt sich aus Folgerung 5.3 E⊂X×Y monotone konv.: limn→∞R
Y
58 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION
Satz 5.8 Fubini II
Seien (X,A, µ),(Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. Seif :X×Y → R (µ×µ)-integrierbar. Dann gilt:
5.3 PRODUKT-INTEGRATION 59 Anwendung: X=Rp, Y =Rq
1. B(Rp)× B(Rq) =B(Rp+q),βp×βq =βp+q
2. L(Rp)× L(Rq)⊂ L(Rp+q), λp×λq 6=λp+q, λp×λq ist nicht volldst¨andig.
3. L(Rp)× L(Rq)λb×λq=L(Rp+q), λp×λq =λp+q
[ohne Beweis]
Satz 5.9
Seien (X,A, µ),(Y,B, ν) vollst¨andigeσ-endliche Maßr¨aume. Seif : X×Y −→ [0,+∞] (A × B)µ×ν-messbar.
Dann gilt:
1. x 7−→ f(x, y) istA-messbar f¨urν-fast alley∈Y, 2. y 7−→ f(x, y) istB-messbar f¨ur µ-fast allex∈X, 3. x 7−→ R
Y
f(x, y)dν istA-messbar, 4. y 7−→ R
X
f(x, y)dµistB-messbar, 5. R
X×Y
f d(µ×ν) =R
X
R
Y
f(x, y)dν
dµ=R
Y
R
X
f(x, y)dµ
dν.
[ohne Beweis]
Bemerkung
Rn; n=p+q:Rp×Rq∼=Rnaberλp×λq6=λn
Integration ¨ uber ”krummlinige” begrenzte Gebiete
1.
A y=y (x)
y=y (x) 1 2
y
x
A:=n
(x, y)∈R2a≤x≤b, y1(x)≤y≤y2(x)o Z
A
f d(λ1×λ1) = Z b
a
Z y2(x) y1 (x)
f(x, y)dy
! dx
2. B:=
(x, y)∈R2x1(y)≤x≤x2(y), c≤y≤d Z
B
f d(λ1×λ1) = Z d
c
Z x2(y) x1(y)
f(x, y)dx
! dy
60 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION
Beispiele (Produkt-Maß u. -Integration)
1. Aus Existenz und Gleichheit der iterierten Integrale folgt nicht Produkt-Integrierbarkeit Q:=n
aber: f nicht (λ1×λ1)-integrierbar ¨uberQ, anderen falls w¨are f ¨uber jede Teilmenge integrierbar, also auch ¨uberQ0 :=
(x, y)∈R2
0≤x, y≤1 : d.h.: R
Q0
f d(λ1×λ1)<+∞dann w¨are FUBINI anwendbar:
Uber¨ Q0sind die iterierten Integrale aber nicht gleich⇒Widerspruch.
2. Iterierte Integrale existieren, aber sind nicht gleich:
Q0:=
gdν Beweis: ¨Ubung
Beispiel Berechnung von R∞
−∞e−t2dt
2. (Prinzip von CAVALIERI)
Seien (X,A, µ) (Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. SeienE1, E2∈ A × Bmit:
6. Transformationsformel
6.1 Transformation von LEBESGUE-meßbaren Mengen
Bezeichung E⊆RnMenge:
T:E→Rnheißt LIPSCHITZ-stetig, wenn ex.L0= const<+∞, so daß
|T x−T y| ≤L0|x−y| ∀x, y∈E
SATZ 6.1
SeiE⊆ L(Rn), seiT :E→Rn LIPSCHITZ-stetig aufE. Dann gilt:
T(E)∈ L(Rn) Beweis
to do
SATZ 6.1´
Sei Ω⊆Rn offen,T : Ω→Rn LIPSCHITZ-stetig, dass heißt
∀K⊂Ω kompakt∃Lk= const<+∞: |T x−T y| ≤Lk|x−y| ∀x, y∈K Dann gilt:
A⊆Ω, A∈ L(Rn) ⇒ T(A)∈ L(Rn) Beweis
to do
Bemerkung/Bezeichnungen:
Es ex.stetigeAbbildungf: [0,1]→Rmit:
∃A0⊂[0,1], λn(A0) = 0 undf(A0)6∈ L(R1)
Betr.ξ~j∈Rn (j= 1, . . . , n) GRAMsche Determinate vonn
ξ~1, . . . , ~ξn
o
G(ξ~1, . . . , ~ξn) := det
D~ξ1, ~ξ1
E · · · D ξ~1, ~ξn
E
· · · · D~ξn, ~ξ1
E
· · · D
~ξn, ~ξn
E
61
62 6. TRANSFORMATIONSFORMEL
o aufgespanntes Parallelotop (n-Spat)
(Satz:)λ Das LEBESGUE-Maß ist also rotations- und translationsinvariant.
Beweis
(Nutze Linearit¨at vonT:)
T(Q) =T(R)−T({a}) =P(T ~ξ1, . . . , T ~ξn) +T({a})
( ¨Uber Wurzel aus der GRAMschen Determinaten erh¨alt man:)
λn(T(Q)) =λn
P(T ~ξ1, . . . , T ~ξn)
=|detM| ·vn(R) =|detM| ·vn(Q)
FOLG 6.3
Sei T : Rn →Rn lineare Abbildung. SeiM = (mij) Darstellungsmatrix von T bez. der knanonischen Basis {e1, . . . , en}. Dann:
λn(T(A)) =|detT|λn(A) ∀A∈ L(Rn) Beweis
to do
IstAoffen so ist die Aussage klar,da sich Darstellen l¨aßtA=S∞
i=1Wi, sonst Fall detM = 0 fertig, detM 6= 0
⇒umkehrbar.
6.2 TRANSFORMATION VONL-M.B. MENGEN MITTELS C1-ABB 63
Motivation f¨ ur Transformationsformel
Z
T(A)
1dλn= Z
A
1|detM|dλn.
T(x+h) =T x+T h+ 0 T′(x) =T: Z
T(A)
1dλn= Z
A
1|detT′|dλn(x)
6.2 Transformation von L -m.b. Mengen mittels C
1-Abb
[preprint 2005-8]
SATZ 6.4
Sei Ω⊆Rn offen . SeiT ∈C1(Ω,Rn). Dann gilt f¨ur jeden abgeschloßenen W¨urfelW ⊂Ω:
λn(T(W)≤ Z
W
|detT′(x)|dλn
Beweis: Walter, Analysis II
FOLG 6.5
Sei Ω⊆Rn offen . SeiT ∈C1(Ω,Rn). Dann gilt:
λn(T(A))≤ Z
A
|detT′(x)|dλn ∀A∈ L(Ω).
[Beweis: Ziege zun¨achst ¨uber W¨urfel und gehe dann zur Grenze ¨uber]
FOLG 6.2∗ (LEMMA von SARD) Sei Ω⊆Rn offen . SeiT ∈C1(Ω,Rn).
Ω0:=
x∈ΩdetT′(x) = 0 Dann giltλn(T(Ω0)) = 0.
6.3 Transformationsformel
SATZ 6.6 (Transformationsformel)
Sei Ω⊆Rn offen . SeiT ∈C1(Ω,Rn).
Ω0:=
x∈ΩdetT′(x) = 0
SeiT : Ω\Ω0→Rn injektiv un seif :T(Ω)→RLEBESGUE-integrierbar. Dann gilt:
1. f(T(·))|detT′(·)|LEBESGUE-integrierbar ¨uber Ω und 2. R
T(A)
f dλn =R
A
f(T x)|detT′(x)|dλn ∀A⊆Ω, A∈ L(Rn)
64 6. TRANSFORMATIONSFORMEL Vorbemerkung
Spezialfall: Ω0=∅ AlsoT ∈C1(Ω;Rn) mit detT′(x)6= 0∀x∈Ω Dann gilt: lokale Invertierbarkeit, d.h.
∀x0∈Ω∃Br(X0)⊂Ω mit aberT wegen der periodizit¨at nicht global injektiv:
T1x=x1cos(x2+ 2π) =T1(x1, x2+ 2π), T2. . .
⇒ T injektiv in {x= (x1, x2)|x1>0,−π≤x2 < π} Beweis von Satz 6.6
1. Spezialfall Ω0=∅:
6.3 TRANSFORMATIONSFORMEL 65
66 6. TRANSFORMATIONSFORMEL
Beispiele und Anwendungen
1. Transformation auf Kugelkoordinaten mit Zentrum x
y1 = x1+rcosϕ1, T ist bijektiv, abgesehen von Nullmenge
(r, ϕ1, . . . , ϕn−1)∈QR
Teil II
Funktionentheorie
67
Wiederholung:
Grundbegriffe/Funktionenreihen
Wiederholung
C = K¨orper der komplexen Zahlen z=x+iy, x= Rez, y= Imz, |z|=p
x2+y2
z=x+iy, ⇒ z¯=x−iy z¯·z=|z|2
z+ ¯z= 2 Rez, z−¯z= 2i Imz
||a| − |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|[Dreicksungleichung]
Br(z0) ={z∈C| |z−z0|< r}ist die offene Kreischreibe umz0 mit Radiusr.
Grundlegende Definitionen
1. M ⊂Cheißt zusammenh¨angend, wenn keine offene TeilmengenU1, U2⊂Cexistieren, mit:
(a) U1∩U2=∅
(b) M ⊆U1∪U2, M∩Uk 6=∅ (k= 1,2)
2. γ: [a, b] −→ C, (a, b∈R, a < b) heißtstetig in t0∈[a, b],wenn:
∀ǫ >0∃δ=δ(ǫ)>0 : |γ(t)−γ(t0)| ≤ǫ ∀t∈[a, b], |t−t0| ≤δ undstetig auf [a, b], wennγ stetig in jedemt∈[a, b]
3. Eine stetige Abbildung γ: [a, b] −→ CheißtWeg.
Ein Weg heißtgeschlossen, wennγ(a) =γ(b)
4. [z, w] :={ξ∈C|ξ=z+t(w−z), t∈[0,1]} heißtVerbindungsstrecke zwischenz, w∈C 5. M ⊂Cheißt konvex, wenn ∀z, w∈M ⇒ [z, w]⊂M
6. M ⊂Cheißtwegzusammenh¨angend, wenn ∀z, w∈M ∃Wegγ: [a, b] −→ Cmitγ(a) =z, γ(b) =w
7. M⊂CheißtGebiet, wenn M offen und zusammenh¨angend ist.
Satz zusammenh¨ angend,wegzusammenh¨ angend
1. M ⊂Cwegzusammenh¨angend folgt M ist zusammenh¨angend
2. M ⊂Coffen und zusammenh¨angend folgt M ist wegzusammenh¨angend [ohne Beweis]
Multiplikation zweier Reihen
to do
69
70 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN
Satz von Mertens
to do
Grundbegriffe:
1. Funktionenreihen
Sei M ⊆ C;fn : M → C(n ∈ N) Reihe P∞
n=0fn konvergiert (punktweise) in z ∈ M, wenn P∞
n=1fn(z) konvergiert.
DEF 0.1 Konvergenz
P∞
n=0fn konv. gleichm¨aßig inM, wenn ex.f :M →C:
∀ǫ >0∃n0=n0(ǫ) : f(z)−
Xn k=1
fk(z)
≤ǫ∀z∈M, ∀n≥n0
SeiM ⊆Coffen,P∞
n=0fn konv. lokal gleichm¨aßig inM
∀z∈M ∃Br(z)⊂M : X∞ n=0
fn konv. gleichm. aufBr(z)
CAUCHYsches Konvergenzkriterium: Es sind ¨aquivalent:
(i) P∞
n=0fnkonv. gleichm¨aßig inM.
(ii)
∀ǫ >0∃n0=n0(ǫ)
Xn k=m
fk(z)
≤ǫ∀z∈M, ∀n > m≥n0
SATZ 0.2 (Majorantenkriterium; WEIERSTRAß)
SeiP∞
n=0αn konv. Reihe nicht negativer reeller Zahlen. Es gelte:
|fn(z)| ≤αn, ∀z∈M, ∀n≥n∗. Dann konv.P∞
n=1fn absolut und gleichm¨aßig aufM.
SATZ 3
∗Stetigkeit
SeiM⊆Coffen, seienfn:M→Cstetig aufM. seiP∞
n=1fnlokal gleichm¨aßig konvergent aufM.
Dannf:=P∞
n=0fnstetig aufM.
2. Potenzreihen
an∈C(n= 0,1,2, . . .), z0∈Cfix.
(1) P∞
n=0an(z−z0)n Potenzreihe (mit Entwicklungspunktz0)
LEMMA 0.3 (ABEL)
Es gelte:
|an(z1−z0)n| ≤k= const<∞ ∀n (z16=z0) Dann gilt f¨ur 0< r <|z1−z0|:
(1) konvergiert absolut und gleichm¨aßig auf Br(z0).
2. POTENZREIHEN 71 Beweis
to do
Bemerkung
Voraussetzungen wie in Lemma 0.3,R:=|z1−z0|.Dann gilt:
∀z∈BR(z0) ∃f(z) :=
X∞ n=0
an(z−z0)n, f stetig in BR(z0)
SATZ 0.4 (CAUCHY; HADAMARD)
1. lim suppn
|an|= 0⇒(1) konv. ∀z∈C 2. 0< 1ρ := lim suppn
|an|<+∞ ⇒(1) konv. ∀|z−z0| ≤ρ 3. lim suppn
|an|= +∞ ⇒(1) konv. nur f¨urz=z0
Bemerkungen
1. Bρ(z0) (0< ρ <+∞)Konvergenzscheiben ρheißt Konvergenzradiusf¨ur (1).
2. Konvergenzverhalten von (1) f¨ur|z−z0|=ρmuß f¨ur jede Reihe speziell untersucht werden.
Beispiele
1. X∞
n=1
zn n2 : pn
|an|= 1
√nn 2
→1
⇒ρ= 1;|z|= 1→ zn
n2 = 1
n2 ⇒Konvergenz an Rand (Majorante)
2. X∞
n=0
zn :⇒ρ= 1 X∞ n=0
zn= 1
1−z, ∀|z|<1
|z|= 1⇒ |zn|= 1⇒keine Konvergenz auf dem Rand.
3. X∞
n=1
(−1)n
n zn (logarithmeische Reihe)ρ= 1 z= 1 :P∞
n=1
(−1)n
n : konvergent (LEIBNIZsche Reihe) z=−1 :P∞
n=1 1
n: divergent
4. X∞
n=1
zn n! : √n
n!→ ∞ ⇒ρ= +∞n⇒ konvergent ∀z∈C Bezeichnung:
ez:=
X∞ n=1
zn
n! z∈C
72 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN
SATZ 6
∗Nullkreis
f(z) =P∞
n=0anznhabe Konvergenzradiusρ >0.
Sei (ξk) Folge mit:
0<|ξk|< ρ, f(ξk) = 0, lim
k→∞ξk= 0 Dann:
f(z) = 0 ∀|z|< ρ.[an= 0∀n∈N∪ {n}]
Erg¨ anzung 1: Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen; Wurzel-Funktion.
K:=S1(0) =∂B1(0) :=
(x, y)∈R2x2+y2= 1
s= L¨ange des Bogens (”Bogenmass” des Winkelsα)
(coss,sins)s∈[0,2π[ ist Parametrisierung vonK mitsals Parameter.
Jeder Punkt (x, y)∈R2((x, y)6= (0,0)) kann in eindeutiger Weise durch Zahlenpaar 0< r <+∞, ϕ∈[0,2π]
mittels
x=rcosϕ, y=rsinϕ dargestellt werden. (r, ϕ) Polarkoordinaten von (x, y).
Betrachtez=x+iy⇒z=r(cosϕ+isinϕ) trigon. Darstellung⇒r=|z|, ϕ=arg z= arctanyx (Arg z∈[0,2π[ Hauptwert vonarg) Es gilt:
1. ¯z=x−iy=r(cosϕ−isinϕ)
1
z = |zz¯|2 = 1r(cosϕ−isinϕ)
2. z1z2=r1r2(cos(ϕ1+ϕ2) +isin(ϕ1+ϕ2)) zm=rm(cosmϕ+isinmϕ)
n-te Wurzel (Umkehrfunktion von f(z) = z
n)
Sei
w=r(cosϕ+isinϕ), r >0 gegeben. Die Gleichung
zn=w besitzt genaunvoneinander verschiedene L¨osungen:
zν= √n r
cos
ϕ n +2ν
nπ
+isin ϕ
n +2ν nπ
(ν = 0,1, . . . , n−1)
Beweis
Ansatz: z=ρ(cosψ+isinψ)
⇒ρn(cos(nψ) +isin(nψ)) =zn =w=r(cosϕ+isinϕ)
⇒ρn=r, ρ= √n
r; nψ=ϕ+ 2νπ; ψ= ϕ n +2ν
nπ ν = 0,1, . . . , n−1
ERG ¨ANZUNG 2: SPEZ. POTENZREIHEN 73 sind dien-ten Einheitwurzeln.
Bezeichnung
(gist Rechtsinverses vonfaufE)
Beispiel
⇒Sprung von 2√rbei Durchgang durch pos.x-Achse g1(rei0) =−√
r; g0(rei2π) =√ r
Erg¨ anzung 2: spez. Potenzreihen
DEF exp
Insbesondereeiy= cosy+isiny (EULERsche Formel)
74 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN Beweis
to do
DEF cos, sin
cosz:=P∞
n=0(−1)n z(2n)!2n , sinz:=P∞
n=0(−1)n z(2n+1)!2n+1 , z∈C
Bemerkung
1. beide Reihen konvergieren absolut auf ganzC ⇒ cos,sin : C −→ Cwohldefiniert 2. Euler Formel gilt immer ez1+iz2 =ez1(cosz2+isinz2) (analoger Beweis)
3. e ist 2πi-periodisch, ez+i2π =ez 4. eiπ=−1, e2πi= 1
5. cosz=12(eiz+e−iz), sinz=2i1(eiz−e−iz) 6. cos2z+ sin2z= 1
7. eze−z= 1
8. cos(w+z) = coswcosz−sinwsinz sin(w+z) = sinwcosz+ coswsinz
9. (ez)′=ez
Erg¨ anzung 3: Umkehrfunktion
DEF Umkehrfkt.
Seif :D(⊆C)→C, seiE ⊆f(D).g:E→D heißt Zweig vonf−1 aufE, wenn f(g(z)) =z ∀z∈E.
(gist Rechtsinverses vonf aufE)
Bsp.1 Wurzelfunktion
to do
Bsp.2 komplexer Logarithmus
to do
Umkehrung vonez: Seiw∈C\ {0}. w=r(cosϕ+isinϕ), r >0,0≤ϕ <2π.
Bestimmez∈Cmit w=ez, d.h.z=x+iy=ρ(cosψ+isinψ)
⇒ex(cosy+isiny) =ez=w=r(cosϕ+isinϕ)
⇒ex=r, x= lnr cosy= cosϕ,siny= sinϕ Damitz= ln|w|+i(ϕ+ 2kπ), k∈Zbel.
Bezeichnung:z=Logw= ln|w|+iargwHauptwert
ERG ¨ANZUNG 3: UMKEHRFUNKTION 75
1. Die Zahl 0 besitzt keinen Logarithmus.
2. Jede reelle Zahl r >0 besitzt genau einen reellen Logarithmus lnr
3. Jede komplexe Zahlw=reiϕ(ϕ6= 0) besitzt genau die abz¨ahlbarvielen Logarithmen lnr+i(ϕ+2kπ) (k∈ Z). besitzt genaunvoneinander verschiedene Wurzeln:
zν= n√ sind dien-ten Einheitwurzeln.
Bezeichnung
rbei Durchgang durch pos.x-Achse
g1(rei0) =−√
r; g0(rei2π) =√ r
76 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN
1. Holomorphe Funktionen
DEF 1.1 komplex Differnzierbar
f :D→Cheißt (komplex) differenzierbar in z∈D, wenn existiert
h→lim0
(f(z+h)−f(z))
h (h∈C)
Bezeichung
f′(z) := lim
h→0
1
h(f(z+h)−f(z)) Bemerkungen
1. f differenzierbar inz ⇒f stetig inz 2. ¨Aquivalent
(i) ◦ f differnzierbar inz
(ii) ◦ ∃a(=a(z))∈Cω(z;h)∈C:f(z+h) =f(z) +ah+ω(z;h)∀h∈Br(z) wobei: limh→0ω(z;h)
h = 0;aist eindeutig bestimmt.
Beispiele
1. f(z) =zn, z∈C(n∈N); f′(z) =nzn−1
2. f(z) =z¯z=|z|2:f ist nur inz= 0 differenzierbar.
3. f(z) = ¯z: stetig in ganzC, aber nirgends differenzierbar.
4. Potenzreihen:
f(z) =P∞
n=0anzn habe Konvergenzradiusρ >0. Dann istf ∀|z|< ρdifferenzierbar und es gilt f′(z) =
X∞ n=1
nanzn−1
Notation: f(0):=f, f(1):=f′, f(2):= (f(1))′, . . .
SATZ 1.2 Rechenregeln
SeienD, E ⊆Coffen
1. Seien f, G:D→Cdiff.bar in z∈D. Dann sind λf(λ∈C)undf+gdiff.bar in zund es gilt:
(λf)′(z) =λf′(z), (f+g)′(z) =f′(z) +g′(z)
2. Seine f :D→E diff.bar inz∈D, sei g:E →Cdiff.bar inf(z). Dann sind g◦f diff.bar in z und es gilt:
(g◦f)′(z) =g′(f(z))f′(z) 77
78 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN
Bezeichung (nat¨ urliche Identifikation)
1.
D⊆C: ˜D:=
(x, y)∈R2z=x+iy∈D
(Topologische Eigenschaften(offen, abgeschlossen, wegzusammenh¨angend) bleiben erhalten.) 2. f(z) =u(x, y) +iv(x, y), z=x+iy:
u= Ref, v=Imf.
SATZ 1.3 (CAUCHY; RIEMANN)
SeiD⊆Coffen.
(nutzen nat¨urliche Identifikation)
1. Sei f :D→Cdiff-bar inz0∈D(z0=x0+iy0). Dann sindu, v diff.bar in (x0, y0)∈D˜ und es gilt (CR) ∂u
∂x(x0, y0) =∂v
∂y(x0, y0), ∂u
∂y(x0, y0) =−∂v
∂x(x0, y0) (CR) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.
2. Seien u, v : ˜D → R diff.bar in (x0, y0) ∈ D˜ (⊆ R2 offen). Es gelte (CR). Dann ist f(z) := u(x, y) + iv(x, y) (z=x+iy,(x, y)∈D) diff.bar in˜ z0=x0+iy0.
Beweis
1. Sei (x, y)∈R2 mit (x0+x, y0+y)∈D;˜ h:=x+iy
⇒f(z0+h) =f(z0) +f′(z0)h+ω(z0;h), lim
h→0
ω
|h| = 0.
f′(z0) =a+ib, ω=ω1+ω2;k= 1,2 :
|wk|
|h| ≤|w|
|h| →0 f¨urh→0.
Damit
u(x0+x, y0+y)−u(x0, y0) +i[v(x0+x, y0+y)−v(x0, y0)]
=f(z0+h)−f(z0) =f′(z0)h+ω
= (a+ib)(x+iy) =ω1+iω2
=ax+ (−b)y+ω1+i[bx+ay+ω2]
⇔u(x0+x, y0+y)−u(x0, y0) =ax+ (−b)y+ω1
v(x0+x, y0+y)−v(x0, y0) =bx+ay+ω2
⇔ ∂u
∂x(x0, y0) =a=∂v
∂y(x0, y0), ∂v
∂x(x0, y0) =b=−∂u
∂y(x0, y0)
⇒f′(z0) = ∂u
∂x+i∂v
∂x = ∂v
∂y −i∂u
∂y 2. Gleichungskette umdrehen:
u(x0+x, y0+y)−u(x0, y0) = ∂u
∂x(x0, y0)x+∂u
∂y(x0, y0)y+σ1
v(x0+x, y0+y)−v(x0, y0) = ∂v
∂x(x0, y0)x+∂v
∂y(x0, y0)y+σ2 σk
√x2+y2 →0 f¨urx2+y2→0.
Nun (CR) benutzen:
∂u
∂y =i2∂v
∂x; i∂u
∂x =i∂u
∂y
Einsetzten und zusammenfassen von Real und Imagin¨arteil ergibtf(z) ist differenzierbar inz0.
79
Bemerkung
Matrix... to do
Nebenbemerkung
ξ(x, y) :ξ(x, h1, y+h2)−ξ(x, y) =A(h1, h2) +ω
Bemerkung
∗Es gilt:
f′(z) =∂u
∂x(x, y) +i∂v
∂x(x, y) = ∂v
∂y(x, y)−i∂u
∂y(x, y) [vgl. Hildebrandt Analysis2 Kap. 3.1 Korollar 1]
DEF 1.4 Holomorph
SeiD⊆Coffen.f :D→Cheißtholomorph(analytisch) aufD, wennf diff-bar in allen Punkten vonD ist.
LEMMA 1.5 Konstant in M
(n∈N, n≥2) SeiM⊆RnGebiet. Seiϕ:M→Rdiff.bar inM; es gelte:∂xi∂ϕ(x) = 0∀x∈M (i= 1, . . . , n) Dann:ϕ≡const inM.
SeiM ⊆R2 offen. Seiu:M → Rdiff.bar in M; es gelte: ∂x∂ui(x) = 0∀xi∈M(i= 1,2) Falls M zusammenh¨angend ist, dann folgt:u≡const inM.
(u ist im Allgemeinen konstant auf jeder zusammenhangskomponente von M) Beweis
to do
FOLG 1.6 Konstant in D
SeiD⊆CGebiet (d.h. offen und zusammenh¨angen); seif :D→Cholomorph aufD. Dann:
1. f′(z) = 0∀z∈D⇒f(z)≡w (w∈C)∀z∈D 2. |f(z)|= const ∀z∈D⇒f(z)≡ξ (ξ∈C)∀z∈D.
Beweis
1. 0 =f′(z) = ∂u∂x(x, y) +i∂v∂x(x, y) = ∂uy (x, y) +i∂v∂y(x, y)
⇒ ∂u
∂x =∂u
∂y = 0,∂v
∂x = ∂v
∂y = 0 2. f =u+iv;u2+v2= const(∀(x, y)∈D)˜
⇒2u∂u
∂x+ 2v∂v
∂x = 0, 2u∂u
∂y + 2v∂v
∂y = 0 in ˜D (CR)⇒u∂u
∂x −v∂u
∂y = 0
| {z }
mitumult.
, u∂u
∂y +v∂u
∂x = 0
| {z }
mitvmult.
addiere diese beiden:⇒(u2+v2)∂u∂x = 0 ⇒ ∂u∂x = 0 in ˜D (Lemma 1.5) Analog folgt: ∂u∂y = 0 in ˜D. Damit giltu≡const in ˜D.
Analog:v≡const in ˜D ⇒Beh.
80 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN
2. CAUCHYsche Integralsatz (Sterngebiete)
2.1 Kurvenintegrale
SeiD⊆CGebiet. Seif=u+iv:D→Cholomorph.
g= u
−v
, h= v
u
CR-Dgl. ⇒g, hwirbelfrei.
⇒ ∃U, V :D→R2:∇U=g, ∇V =h F:=U+iV →F′=f.
1. Integration, Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen einer reellen Ver¨anderlichen.
DEF 2.1 Integrale R → R
Seif : [a, b]→Cstetig,f =u+iv Z b
a
f(t)dt= Z b
a
u(t)dt+i Z b
a
v(t)dt 1 dim. reelle Rieman-Integrale
f ist stetig differenzierbar int0∈]a, b[def⇔ u, v sind im Punktt0 stetig differenzierbar.
⇒f′(t0) =u′(t0) +iv′(t0)
Bemerkung f stetig ⇔ Re f und Im f stetig.
Eigenschaften 1. Rb
a(c1f1+c2f2)dt=c1
Rb
af1dt+c2
Rb
a f2dt(linearit¨at) 2. Rb
af(t)dt=Rb a f(t)dt 3. Rb
af(t)dt≤Rb
a|f(t)|dt
4. Sei f : [a, b] → C stetig, es existiert F : [a, b] → C mit F′ = f (komponentenweise eindimensionale Ableitung)
⇒ Z b
a
f(t)dt=F(b)−F(a)
81
82 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE)
1. Wege m¨ussen nicht injektiv sein.
2. γheißt geschlossen ⇔ γ(a) =γ(b) Beispiele
(1) Seiz0∈C, r >0 Definiereγ: [0,2π]→C:
γ(t) :=z0+reit positiv orientierte Kreislinie
(2) Seiz0∈C, r >0 Definiereγ: [0,2π]→C:
γ(t) :=z0+rei(2π−t) negativ orientierte Kreislinie (3) Verbindungsstrecke vonz0nachz1:γ: [0,1]→C:
γ(t) :=z0+t(z1−z0) (4) Polygonz¨uge (Verkn¨upfung mehrer Verbindungsstrecken)
(5) Dreiecksweg Verbindungsstrecke vonz2nachz3nachz1
2. Kurvenintegrale
DEF 2.2 Integrationsweg
γ: [a, b]→Cheißt Integrationsweg, falls (1) γstetig
(2) γist st¨uckweise diff.bar, d.h.
∃ Zerlegung :a=t0< t1< . . . < tm=b:γ|[ti,ti+1] stetig diff.bar (i= 0, . . . , m−1)
2.1 KURVENINTEGRALE 83
Bemerkung: DEF ist unabh¨angig von der Zerlegung L¨ange der Kurvenγ:
l(γ) :=
(1) Unabh¨angigkeit von der Parameterdarstellung:
Seienγ: [a, b]→C, σ: [c, d]→CIntegralwege mit
f dzist linear.
(3) Seiγ1: [a, b]→C, γ2: [c, d]→CIntegrations-Wege mitγ1(b) =γ2(c). Seif :T(γ1∪γ2)→Cstetig
84 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) Beweis von Eigenschaft 2a)
Z b a
f(γ(a+b−t))(−γ)′(t)dt=− Z b
a
f(γ(a+b−t))(γ)′(t)dt= Z b
a
f(γ(s))(γ)′(s)−ds=− Z
γ
f(z)dz
s:=a+b−t ds=−dt
Beispiel
Seiz0∈C, r >0γ(t) =z0+reit t∈[0,2π] undf(z) = (z−z0)m (m=−1,−2, . . .) Z
γ
f(z)dz=
2π f alls m=−1 0 falls m=−2,−3, . . . Dennm=−1:
Z 2
0
π(reit)−1ireitdt= 2πi
⇒ Z
γ
dz
z−z0 = 2πi
Bezeichungen
(1) z0, z1∈C, [z0, z1] =
z0+t(z1−z0) t∈[0,1]
⇒ −[z0, z1] = [z1, z0] (2) γ: [a, b]→Cheißt geschlossen, fallsγ(a) =γ(b).
(3) ∆ bedeutet ∆⊂Cabgeschlossenes Dreieck
3. Stammfunktion
DEF 2.4 Stammfunktion
SeiD⊆Coffen. Seif :D→Cstetig.F :D→Cheißt Stammfunktionvonf inD, falls (1) F holomorph in D
(2) F′ =f in D
SATZ 2.5
SeiD⊆Coffen;f stetig inD. SeiF eine Stammfunktion vonf inD. Seienz0, z1∈DDann Z
γ
f dz=F(z1)−F(z0)
f¨ur alle Integrationswegeγ, diez0 mitz1 verbinden.
InsbesondereR
γ
f dz= 0∀ geschlossene Integrationswegeγ inD.
2.1 KURVENINTEGRALE 85 Beweis
Seienz0, z1∈Cbel. Seiγ: [a, b]→CIntegrationsweg diffenrzierbar mitγ(a) =z0, γ(b) =z1. (F◦γ)′= (F′◦γ)γ′= (f◦γ)γ′
⇒ Z
γ
f dz= Z b
a
f(γ(t))γ′(t)dt= Z b
a
(F◦γ)′(t)dt=F(γ(b))−F(γ(a)) =. . .
Bsp.
(1) f(z) = (z−z0)m, z∈C\{z0} (m=−2,−3, . . .) F(z) := 1
m+ 1(z−z0)m+1, z∈C\ {z0} ist Stammfuntkion vonf inC\ {z0} (2) z→z−z10 hat keine Stammfunktion inC\ {z0}. Aberz→ R
[z0+1,z]
dξ
ξ−z0 ist Stammfunktion von z−z10 inC−z0 C−z0 :C\
x+iImz0
x≤Rez0
SATZ 2.6 Bedinungen f¨ ur Stammfunktion
SeiG⊆CGebiet;f stetig inG. Dann sind ¨aquivalent:
(i) ◦ f hat Stammfunktion inG (ii) ◦ R
γ
f dz= 0∀ geschlossene Integrationswegeγ (iii) ◦ R
γ
f dzh¨angt nur vom Anfangs und Endpunkt vonγab. Dass heißt f¨urγ: [a, b] −→ G, σ: [c, d] −→
Gmit γ(a) =σ(c), γ(b) =σ(d) gilt Z
γ
f dz= Z
σ
f dz
Beweis
(i)⇒(ii) (SATZ 2.5)
(ii)⇒(iii) Seienγ: [a, b]→C,σ: [c, d]→CIntegrationswege mitγ(a) =σ(c), γ(b) =σ(d) Definiereτ : [a, b+d−c]→C, τ :=γ∪(−δ)⇒γ(a) =σ(c) =τ(b+d−c).
(ii)⇒0 =R
τ
f dz=R
γ
f dz+ R
−σ
f dz=R
γ
f dz−R
σ
f dz
⇒R
γ
f dz=R
σ
f dz
σ
γ γ( )
σ( ) γ( )
σ( ) G
d b a
c
86 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) (iii)⇒(i) Seiz∗∈Gfixiert. Seiz∈G,γzein Int.-Weg der z∗mit zverbindet.
F(z) :=R
γz
f dξ h¨angt nur vonzab (iii). Seiz0∈Gbel.
∃r >0 :Br(z0)⊂G, γ˜z:=γz0∪[z0, z], z∈Br(z0) Int.-Weg vonz∗ nachz
⇒F(z) = Z
˜ γz
f ds=F(z0) + Z
[z0,z]
f dξ=F(z0) + ˜F(z0), z∈Br(z0)
Nach SATZ 2.6’ ˜F ist holomorph, ˜F′(z) =f(z)∀z∈Br(z0)⇒F′(z) = 0 +f(z)∀z∈Br(z0)
SATZ 2.6’ Bedinungen f¨ ur Stammfunktion 2
SeiD⊆Ckonvex;f stetig inD. Dann sind ¨aquivalent.
(i) ◦ f hat Stammfuntkion inD (ii) ◦ R
δ∆
f dz= 0∀∆⊆D (δ∆ bzw.∂∆ Rand des Dreiecks)
Beweis
(i)⇒(ii)X (SATZ 2.5)
(ii)⇒(i) Seiz∗∈D Wir definieren:
F(z) :=
Z
[z∗,z]
f ds= Z 1
0
f(z∗+t(z−z∗))(z−z∗)dt, z∈D
Seienz∈D, h∈D ∆ =conv{z∗, z.z+h}
z z+h
z
*D
δ∆ = [z∗, z]∪[z, z+h]∪[z+h, z∗] = [z∗, z]∪[z, z+h]∪(−[z∗, z+h]) 0(ii)=
Z
δ∆
f ds=F(z) + Z
[z,z+h]
f ds−F(z+h) = 0
⇒F(z+h)−F(z)−f(z)h= Z1
0
(f(z+th)h−f(z)h)dt:=ω(z;h)
Setigkeit von f ⇒ ω(z;h)h
≤ R1
0 |f(z+th)−f(z)|dt → 0 f¨ur h → 0. Damit ist F holomorph auf D und F′=f.
2.2 CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) 87
2.2 CAUCHYsche Integralsatz (Sterngebiete)
SATZ 2.7 (GOURSAT)
SeiD⊆Coffen: seif holomorph aufD. Dann gilt f¨ur jedes abgeschlossenes Dreieck ∆⊂D:
Z
2 abgeschlossens Dreieck, ∆d
2 ⊂ D,∆d
[f¨urf nur holomorph] siehe PRINGSHEIM (1905) to do
DEF 2.8 Sterngebiet
G⊆Coffen heißt Sterngebiet, falls∃z∗∈G: [z∗, z]⊂G(z∗ heißt Sternmittelpunkt )
SATZ 2.9 (CAUCHYsche Integralsatz f. Sterngebiete)
SeiGSterngebiet, Seif :G→Cholomorph. Dann gilt:
Z
Seix∗∈GSternmittelpunkt vonG.
Definiere:u(x) :=
88 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) Beweis von SATZ 2.9 ? (Cauchy’ Int Satz f Sterng.)
Seif:G→Cholomorph. (f=u+iv) Definiere damit zwei wirbelfreie Vektorfelder:
x Damit erf¨ullen auchU, V die C.R.DGL:
SetzteF(z) =F(x+iy) =U(x, y) +iV(x, y)
FOLG 2.11 Integral ¨ uber Dreieck (Verallg. Lemma 2.7)
SeiD⊆Coffen, sei ∆⊂D abgeschlossenes Dreieck, seiz0∈∆.
1.Fall:z0 ist Eckpunkt von ∆
z
1CAUCHY’SCHE INTEGRALFORMEL 89 2.Fallz0∈δ∆, aber kein Eckpunkt
z
0∆
2∆
1δ∆
D
Nach 1.Fall: Z
δ∆
f(z)dz= Z
δ∆1
f(z)dz
| {z }
=0
+ Z
δ∆2
f(z)dz
| {z }
=0
= 0
3.Fallz0∈Int(∆)
z
0∆
2∆
1D
Nach 2.Fall: Z
δ∆
f(z)dz= Z
δ∆1
f(z)dz
| {z }
=0
+ Z
δ∆2
f(z)dz
| {z }
=0
= 0
FOLG 2.12 Integral ¨ uber geschlossenen Integrationsweg
SeiD⊆Coffen, konvex; seiz0∈DSeif stetig in D, holomorph in D\ {z0}. Dann gilt Z
γ
f(z)dz= 0
f¨ur jeden geschlossenen Interationswegγ inD.
Beweis
Sei ∆⊂Dabgeschlossens Dreieck.
1. Fall:z06∈∆⇒∆⊂D\ {z0} SATZ 2.4?⇒ R
δ∆
f(z)dz= 0 2. Fall z0∈∆ nach Folg 2.11⇒ R
δ∆
f dz= 0
⇒(Satz2.6)∃ Stammfunktion f¨ur f in D ⇒Beh.
90 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) Beispiel
γ(t) =z0+reit, t∈[0,2π]
bekannt: Z
γ
dz z−z0
= 2πi
r z0
ξ ξ
Es gilt: Z
γ
dz z−ξ =
2πi f¨ur |ξ−z0|< r 0 f¨ur |ξ−z0|> r
SATZ 2.13 (CAUCHYsche Integralformel)
SeiD ⊆Coffen, sei f holomorph aufD. SeiBr(z0) Kreisscheibe mitBr(z0)⊂D. Sei γ(t) :=z0+reit, t∈ [0,2π].
Dann gilt:
f(z) = 1 2πi
Z
γ
f(ξ)
ξ−zdξ ∀z∈Br(z0)
Beweis
∃R > r: BR(z0)⊂D, seiz∈Br(z0):
g(ξ) :=
(f(ξ)
−f(z)
ξ−z f¨ur ξ∈BR(z0), ξ6=z f′(z) f¨ur ξ=z g:BR(z0)→Cstetig,gholomorph in BR(z0)\ {z}
FOLG 2.12⇒0 =R
γ
g(ξ)dξ=R
γ f(ξ)
ξ−zdξ−2πif(z).
FOLG 2.14 Ableitungen der Chauchy’schen Formel
SeiD⊆Coffen, sief holomorph aufD. Sei Br(z0) Kreisscheibe mitBr(z0)⊂D.
Seiγ(t) :=z0+reit, t∈[0,2π].
Dann ist f unendlich oft diffenrenzierbar inD und es gilt:
f(n)(z) = n!
2πi Z
γ
f(ξ)
(ξ−z)n+1dξ, n∈N ∀z∈Br(z0)
Beweis
n= 1 Sei z∈Br(z0), seihmit: (z+h)∈Br(z0) f(z+h)−f(z) = 1
2πi Z
γ
1
ξ−(z+h)− 1 ξ−z
f(ξ)dξ
1
ξ−z−h− 1
ξ−z = h
(ξ−z−h)(ξ−z) = h(ξ−z−h) +h2
(ξ−z−h)(ξ−z)2 = h
(ξ−z)2 + h2
(ξ−z−h)(ξ−z)2
2.4 KRITERIEN F ¨UR HOLOMORPHIE 91
⇒ 1
ξ−z−h− 1
ξ−z =ah+ω(z;h) = 1 2πi
Z
γ
f(ξ)
(ξ−z)2dξ·h+ω(z;h) =f(z+h)−f(z) wobei ω(z;h) = 2πi1 R
γ
f(ξ)
(ξ−z−h)(ξ−z)2dξ·h2 z.z. ω(z;h)h →0 f¨urh→0 gen¨ugt zu zeigenR
γ
f(xi)
(ξ−z−h)(ξ−z)2dξ ist beschr¨ankt.
z∈Br(z0) : |ξ−z| ≥d= const>0∀ξ∈δBr(z0) f¨ur|h| ≤ d2 gilt:|ξ−z−h| ≥ |ξ−z| − |h| ≥d−d2 = d2
Damit:
Z
γ
f(xi)
(ξ−z−h)(ξ−z)2dξ
≤ max
Br(z0)|f| Z
γ
dξ
|ξ−z−h||ξ−z|2 ≤ 2 d
1 d2·max
Br(z0)|f|·2πr ∀|h| ≤d
2, (z+h)∈Br(z0)
⇒ ω(z;h)h →0 f¨urh→0
→f′(z) =2πi1! R
γ f(ξ) (ξ−z)2dξ
F¨urn≥1 f¨uhre Induktion durch.
2.4 Kriterien f¨ ur Holomorphie
(Hinreichende Bedingung f¨ur Holomorphie; ¨aquiv. Charakterisierung)
SATZ 2.15 (MORERA)
SeiD⊆Coffen. Seif stetig aufD mit: Z
δ∆
f(z)dz= 0 f¨ur alle abgeschlossene Dreiecke ∆⊂D.
Dann ist f holomorph ( inD).
Beweis
SeiBrbel. offene KreisscheibeBr⊂D Br offen, konvex, insbed.:
Z
δ∆
f dz= 0∀abgeschlossene Dreiecke ∆⊂Br
SATZ 2.6’ ⇒f bestitzt Stammfuntkion:
∃F:Br→C: F′(z) =f(z) ∀z∈Br
AlsoF hohlomrph inBr⇒F unendlich oft diff.bar ⇒f diff.bar inBr⇒Beh.
SATZ 2.16 (¨ aquivalente Charakterisierung)
SeiD⊆Coffen, seif :D→Cstetig inD. Dann sind ¨aquivalent:
(i) f ist holomorph in D
(ii) f besitzt inD lokal Stammfunktionen:
∀Br0(z0)⊂D ∃F :Br0(z0)→Cdiff.bar mit F′(z) =f(z) ∀z∈Br0(z0)
92 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) (iii) f(z) =u(x, y) +iv(x, y), (x, y)∈D(z˜ =x+iy∈D)
u, v sind diff.bar in ˜D und es gilt die CHAUCHY-RIEMANNschen DGL.
(iv) ∀Bp0(z0)⊂D gilt: (i)⇔(iii) vgl. Kapitel 1, SATZ 1.3 (Cauchy; Riemann) (i)⇒(iv) BetrachteBp0(z0)⊂D;z∈Bp0(z0): Insbesondere Folgerung 2.14:f(n)(z) =2πin! R
γ f(ξ) (ξ−z)n+1dξ γ(t) :=z0+reit, 0< ρ < r ⇒ f(n)(z) =n!an
3. Eigenschaften holomorpher Funktionen
3.1 Satz von LIOUVILLE, Fundamentalsatz d. Algebra
SATZ 3.1 (LIOUVILLE)
Seif :C→Cholomorph. Es gelte:|f(z)| ≤M = const<∞ ∀z∈CDann:
f(z)≡const
Beweis
Zeigen: f(z) =f(0) ∀z∈C Seiz∈Cbel. betrachter >|z|
⇒f(z)−f(0) = 1 2πi
Z
γ
f(ζ)
ζ−zdζ− 1 2πi
Z
γ
f(ζ) ζ dζ, wobei: γ(t) =reit, t∈[0,2π]
⇒ |f(z)−f(0)|= 1 2π
Z
γ
f(ζ) ζ(ζ−z)dζ
|z|
|ζ|=r,|ζ−z| ≥ |ζ| − |z|=r− |z|>0
⇒ |f(z)−f(0)| ≤ 1
2π·M · 1
r(r− |z|)·2πr|z|
= M|z|
r− |z| →0 f¨urr→ ∞
SATZ 3.1
∗Polynome vom Grade k
Seif:C→Cholomorph mit
|f(z)| ≤A+B|z|k ∀z∈C (A, B= const≥0, k∈Nfix. ) Dann istfPolynom vom Grade≤k.
SATZ 3.2 (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes nicht-konstante Polynom inCbesitzt inCwenigstens eine Nullstelle.
93
94 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN Beweis
SeiP(z) :=a0+a1z+. . .+anzn (an6= 0, n≥1) an, z∈C Ann.:P(z)6= 0∀z∈C;f(z) :=p(z)1 , z∈Cist holomorph inC.
|P(z)| ≥ |an||z|n− |an−1||z|n−1−. . .− |a1||z| − |a0|
=|z|n
|an| −|an−1|
|z| −. . .− |a1|
|z|n−1 −|a0|
|z|n
, z6= 0
∃R >0 : −|an−1|
|z| −. . .− |a1|
|z|n−1 − |a0|
|z|n ≤|an|
2 ∀|z|> R
⇒ |P(z)| ≥ |z|n
|an| −|an| 2
=|an|
2 |z|n >1 2|an|Rn
⇒ |f(z)|= 1
|p(z)| ≤ 2
|an|Rn ∀|z|> R
|f(·)|stetig aufBR(0): |f(z)| ≤C1= const ∀z∈BR(0) Damit: |f(z)| ≤max
C1, 2
|an|Rn
∀z∈C
Nach LOUIVILLEf(z) konstant⇒p(z) konstant⇒Widerspruch.
3.2 Eindeutigkeitssatz; Maximumsprinzip
G⊂Cheißt Gebiet:Gist offen,Gist wegzusammenh¨angend⇔6 ∃U1, U2 offen6=∅ mitU1∩U2=∅, G=U1∪U2.
SATZ 3.3 (Eindeutigkeit)
SeiD⊆CGebiet, seif :D→Cholomorph.
Es gelte mindestens eine der folgenden Voraususetzungen:
1. ∃U ⊂Doffen mit:f|U = 0
2. ∃z0∈D mit:f(n)z0) = 0 f¨urn= 0,1,2, . . . 3. ∃z0∈D und (zj)⊂D\ {z0} mit: lim
j→∞zj =z0 undf(zj) = 0∀j∈N Dann ist f ≡0 inD.
Vorbemerkung ( ¨Aquivalenz der Voraussetzungen)
• 1) ⇒ 2)X
• 1) ⇒ 3)X
• 3) ⇒ 1) : betrachte offene KreisscheibeBr(z0)⊂D ⇒ f(z) = P∞
k=0ak(z−z0)k ∀z ∈Br(z0) (Satz 2.16)
f stetig in z0:a0= f(z0!0) = lim
j→∞f(zj) = 0 ⇒ f(z) =P∞
k=1ak(z−z0)k ∀z∈Br(z0) – Induktionsannahme:a0=a1=· · ·=an= 0.
3.2 EINDEUTIGKEITSSATZ; MAXIMUMSPRINZIP 95
SATZ 3.3
∗(Eindeutigkeit-Variante 2)
Sei D ⊆ CGebiet, sei f : D → C holomorph.Es existiere (zn) ⊂ D mit: zn → z∗ ∈ D, zn 6= z∗, f(zn) = 0 ∀n ∈ N. Dann: f1hat gleichen Konvergenzradius:
lim supk
96 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN
Satz 3.3 auf f-g anwenden.
SATZ 3.5 kein Maximum
SeiD⊆CGebiet, seif inD holomorph, nicht konstant. Dann nimmtz→ |f(z)|kein Maximum inD an.
3.2 EINDEUTIGKEITSSATZ; MAXIMUMSPRINZIP 97
< 1
2π(M t1+M(t2−t1) +M(2π−t2)) =M` Wiederspruch und damit:|f(z)|=|f(z0)|=M ∀z∈BR(z0)
⇒f(z) =c0= const(∈C) ∀z∈BR(z0)
Folg. 3.4 ⇒ f(z) =c0∀z∈BR(z0),Widerspruch.
SATZ 3.5’ kein Minimum
SeiD⊆CGebiet, seif inD holomorph, nicht konstant. Dann nimmtz→ |f(z)|kein Minimum inD an.
Beweis
Ann.:∃z0∈D:|f(z0)| ≤ |f(z)| ∀z∈D g(z) := 1
f(z), z∈D⇒gholomorph,g nicht-konstant
|g(z)| ≤ |g(z0)| ∀z∈D `
Bem.:
f(x) :=x2+ 1, x∈]−1,1[
• f nicht konstant,f ∈C∞(]−1,1[)
• f(x)≥f(0) = 1∀x∈]−1,1[
• f(]−1,1[) = [1,2[ nicht offen.
• f nicht injektiv Beispiel
f(z) =z2 z=x+iy:
z2=x2−y2+ 2ixy Re(z2) =x2−y26=x2 ∀z mitImz6= 0 f(x) =x2, x∈D:=]−1,1[⇒f(D) = [0,1[
D⊆CGebiet⇒f(D) Gebiet.
Satz von Brouwer
SeiD⊆Rn offen, seif :D −→ Rstetig, injektiv. Dann istf(D) offen.
[ohne Beweis]
Aber: f(z) :=z2, z∈B1(0)
• f nicht-konstant, holomorph
• f nicht injektiv
• f(B1(0)) =B1(0) w∈B1(0) : |w|<1 ∃zν(ν ∈ {0,1}) : z2ν=w
98 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN
SATZ 3.6 Gebietstreue holomorpher Abbildungen
SeiD⊆CGebiet. Seif holomorph und nicht-konstant aufD. Dann ist f(D) offen (und damit Gebiet).
Beweis
Seiw0∈f(D) bel. zu zeigen: ∃Bρ(w0)⊂f(D)
w0=f(z0) mitz0∈D.D offen⇒ ∃R >0:BR(z0)⊂D.
∃0< r0≤R0:f(z)6=f(z0) ∀|z−z0=r0
Anderefalls: ∀0< r≤R∃zr mit:f(zr) =f(z0) und|zr−z0|=r;
Betrachter→0 :zr→z0, tzr6=z0
f(zr)−f(z0) = 0⇒f(z) =f(z0) ∀z∈BR(z0) Widerspruch, daf nicht konstant.
Definiere:ρ:= 12min|z−z0|=r0|f(z)−f(z0)| ⇒ρ >0 Seiw∈Bρ(f(z0)) bel.; zeigen: w∈f(D)(⇒ Beh. ).
Definiere:h(z) :=f(z)−w, z∈Br0(z0)
⇒hholomorph inBr0(z0), nicht konstant, stetig inBr0(z0).
Zeigen: ∃z˜∈Br0(z0) :h(˜z) = 0.
Annhameh(z)6= 0∀z∈Br0(z0)
SATZ 3.5⇒ |h(·)|nimmt inBr0(z0) kein Minimum an, andererseits:Br0(z0) kompakt⇒
∃z∗∈Br0(z0) :|h(z)| ≥ |h(z∗)| ∀z∈Br0(z0) Nun gilt:w∈Bρ(f(z0)), d.h.|w−f(z0)
| {z }
−h(z0)
|< ρ
⇒ ∀|z−z0|=r0 gilt:
|h(z)|=|f(z)−w|=|f(z)−f(z0) +f(z0)−w|
≥ |f(z)−f(z0)| − |f(z0)−w|
>2ρ−ρ=ρ
⇒ min
|z−z0|=r0|h(z)| ≥ρ >|h(z0)| ≥ |h(z∗)|
⇒z∗∈Br0(z0)
(denn anderenfalls:z∗∈δBr0(z0) ⇒ |h(z∗)| ≥minz∈δBr0(z0)|h(z)|>|h(z∗)|`)
⇒Widerspruch Damit:∃z˜∈Br0(z0) :h(˜z) = 0
SATZ 3.7 (Maximum-Prinzip)
SeiD⊆CGebiet, seif :D→Cholomorph.
(1) Es existiereBr(z0) mit:|f(z)| ≤ |f(z0)| ∀z∈Br(z0) Dann:f ≡const inD.
(2) SeiD außerdem beschr¨ankt. Seif : ¯D→Cstetig. Dann:
|f(z)| ≤max
ζ∈δD|f(ζ)| ∀z∈D.¯
3.2 EINDEUTIGKEITSSATZ; MAXIMUMSPRINZIP 99 Beweis
(1) Annahme: f nicht konstant inD⇒f(z0)6= 0.
SATZ 3.6⇒f(Br(z0)) offen;f(z0)∈f(Br(z0))
⇒ ∃Bρ(f(z0))⊂f(Br(z0)).
W¨ahlet >1 mit: (t−1)|f(z0)|< ρ, f¨urν:=tf(z0) gilt|ν|=t|f(z0)|>|f(z0)| andererseits gilt:|ν−f(z0)|= (t−1)|f(z0)|< ρ
d.h.ν∈Bρ(f(z0))⊂f(Br(z0))⇒ν =f(ζ) mitζ∈Br(z0)⇒ |ν|=|f(ζ)| ≤ |f(z0)| ⇒Widerspruch.
(2) ¯D kompakt:∃z∗∈D¯ :|f(z∗)|= maxz∈D¯|f(z)|
1.Fallz∗∈D⇒f ≡const⇒Beh. 2.Fallz∗∈δD⇒fertig.
SATZ 3.7’ (Minimum-Prinzip)
SeiD⊆CGebiet, seif :D→Cholomorph.
(1) Es existiereBr(z0) mit:|f(z)| ≥ |f(z0)| ∀z∈Br(z0) Dann:f(z0) = 0 oderf ≡const inD.
(2) SeiD außerdem beschr¨ankt. Seif : ¯D→Cstetig. Dann besitztf Nullstellen in ¯D oder
|f(z)| ≥ min
ζ∈δD|f(ζ)| ∀z∈D.¯ Beweis
(1) Seif(z0)6= 0⇒ |f(z)| ≥ |f(z0)|>0 ∀z∈Br(z0) g(z) := 1
f(z), z∈Br(z0)⇒qholomorph inBr(z0)
⇒f ≡const inBr(z0)⇒f ≡const inD.
(2) f habe in ¯D keine Nullstellen⇒f(z)6= 0∀z∈D¯ g(z) := 1
f(z), z∈D;¯ g: ¯D→Cstetig Aus SATZ 3.7/2⇒ |g(z)| ≤maxζ∈δD|g(ζ)| ∀z∈D¯ ⇒Beh.
100 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN
4 ∗ . Isolierte Singularit¨ aten
4.1 Definition RIEMANNscher Hebbarkeitssatz
DEF 4.1 Singularit¨ at
SeiD⊆Coffen,z0∈D. Seif :D\ {z0} →Cholomorph.z0heißt isolierte Singularit¨at vonf. Beispiele
(1) sinz
z , z6= 0z0= 0 isolierte Singularit¨at.
(2) z(z1−i)2, z6= 0, zneqi: z0= 0, z1=iisolierte Singularit¨at.
(3) e1z, z6= 0 : z0= 0 isolierte Singularit¨at.
SATZ 4.2 (RIEMANNsche Hebbarkeitssatz)
SeiD⊆Coffen,z0∈D,f :D\ {z0} →Cholomorph mit:
fˆ(z) =f(z)∀z∈D\ {z0}
Beweis
g(z) :=
(z−z0)2f(z) f¨ur z∈D\ {z0}
0 f¨ur z=z0
z.z.gist differenzierbar inz0: 0<|h|< R: 1
h(g(z0+h)−g(z0))
=|h||f(z0+h)| ≤ |h|M →0 f¨urh→0
⇒g′(z0) = 0⇒g holomorph inD.
⇒Br(z0)⊂D: g(z) = X∞ n=0
an(z−z0)n ∀z∈Br(z0)
⇒a0=g(z0) = 0 unda1=g′(z0) = 0
⇒g(z) = X∞ n=2
an(z−z0)n= (z−z0)2 X∞ n=2
an(z−z0)n−2= (z−z0)2 X∞ n=0
an+2(z−z0)n
⇒fˆ= X∞ n=0
an+2(z−z0)n ∀z∈Br(z0)
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