Charakterisierung LEBESGUE-meßbarer Mengen

SATZ 2.8

^(A∈ L(Rⁿ)⇒. . .)

SeiA∈ L(Rⁿ). Dann gilt∀ǫ >0.

1. ∃Gǫ⊆Rⁿ offen mit:Gǫ⊇A, λn(Gǫ\A)≤ǫ.

2. ∃Fǫ⊆Rⁿ abgeschlossen mit:Fǫ⊆A, λn(A\Fǫ)≤ǫ.

SATZ 2.9

^{(. . .}⇒A∈ L(Rⁿ))

SeiA⊆Rⁿ Menge, die (wenigstens) eine der folgenden Eigenschaften besitzt:

1. ∀ǫ >0∃Gǫ⊆Rⁿ offen:λ^∗_n(Gǫ\A)≤ǫ;Gǫ⊇A

2. ∀ǫ >0∃Fǫ⊆Rⁿ abgeschlossen:λ^∗_n(A\Fǫ)≤ǫ;Fǫ⊆A

3. ∀ǫ >0∃Gǫ⊆Rⁿ offen,Fǫ⊆Rⁿ abgeschlossen mit: Fǫ⊆A⊆Gǫ, λn(Gǫ\Fǫ)≤ǫ.

Dann:A∈ L(Rⁿ).

FOLG 2.11

^∗

SeiA⊆Rⁿ. Dann sind ¨aquivalent:

1^◦A∈ L(Rⁿ)

2^◦∃Fk⊆Rⁿ(abgeschlossen) (k∈N), Fk⊆A,∃N⊂Rⁿ, λn(N) = 0 :A= [∞ k=1

∪N.

Beweis

1^◦⇒2^◦: ∃Fk⊆Rⁿabgeschl., Fk⊆A, λn(A\Fk)≤ 1 k⇒

[∞ k=1

Fk⊆A

A\ [∞ k=1

Fk=

\∞ k=1

(A\Fk)⊆A\Fj ∀j∈N

N:=A\

[∞ k=1

Fk, λn(N)≤λn(A\Fj)≤ 1

j ⇒λn(N) = 0

⇒A= [∞ k=1

∪N

34 2. LEBESGUE-MASS

3. Meßbare Funktionen

Bezeichnungen X bel. Menge,A ⊆ P(X)σ-Algebra,µ:A →[0,+∞] Maß.

1. (X,A) =meßbarer Raum (X,A, µ) =Maß-Raum 2. [a,+∞] = [a,+∞[∪ {+∞}

R:={−∞} ∪R∪ {∞}

B(R) :=

A⊆RA∩R∈ B(R)

LEMMA 3.1 (Eigenschaften B (R))

1. B(R) istσ-Algebra.

2. Setzte: E:=

[a,+∞]a∈R . DannAσ(E) =B(R) Beweis

1. Fallunterscheidung nach A mit/ohne∞ 2. siehe ¨Ubungsaufgabe 3.6

3.1 Definition, ¨ Aquivalente Charakterisierung

Motivation

SeienX, Y metrische R¨aume, istB ⊆Y, f :X →Y :f⁻¹(B) :=

x∈X f(x)∈B (Urbild vonB unter f) f :X→Y heißt stetig auf X, wennf⁻¹(V) offen∀V ⊆Y offen.

DEF 3.2 {A , B} -meßbar

Seien (X,A),(Y,B) meßbare R¨aume.f :X →Y heißt{A,B}-meßbar, wenn f⁻¹(B)∈ A ∀B∈ B

LEMMA 3.3 ( {A , B} -meßbarkeit mithilfe von E )

Seien (X,A),(Y,B) meßbare R¨aume,A^σ(E) =B(E ⊆ P(Y)).F¨urf : X −→Y sind ¨aquivalent:

1. ^◦ f ist {A,B}-meßbar 2. ^◦ ∀ E∈ E ⇒f⁻¹(E)∈ A

36 3. MESSBARE FUNKTIONEN Beweis

to do

DEF 3.4 A -meßbar

Sei (X,A) meßbarer Raumf :X →R [bzw.f :X →R] heißtA-meßbar, wenn f⁻¹(B)∈ A ∀B∈ B(R)

f⁻¹(B)∈ A∀B∈ B(R)

Spezialfall: X =Rⁿ,A=L(Rⁿ) bzw. A=B(Rⁿ)f :X →R [f : X →R] heißt LEBESGUE-meßbar bzw.

BOREL-meßbar, wenn

f⁻¹(B)∈ L(Rⁿ) ∀B∈ B(R)

f⁻¹(B)∈ L(Rⁿ)∀B∈ B(R) bzw.

f⁻¹(B)∈ B(Rⁿ) ∀B∈ B(R)

f⁻¹(B)∈ B(Rⁿ)∀B∈ B(R) Im weiteren sei (X,A) meßbarer Raum.

SATZ 3.5 (¨ aquivalente Eigenschaften zu A -meßbar)

Sei (X,A) meßbarer Raum

1. Sei f :X →R. Dann sind ¨aquivalent (i) f istA-meßbar

(ii) ^◦ f⁻¹([a,+∞])∈ A ∀a∈R 2. ^◦ Seif :X →R. Dann sind ¨aquivalent

(i) f istA-meßbar

(ii) ^◦ f⁻¹([a,+∞[)∈ A ∀a∈R (iii) ^◦ f⁻¹(U)∈ A ∀U ⊂Roffen Beweis von 2.

(i)⇒(ii) [a,+∞[∈ B(R)⇒Beh.

(ii)⇒(iii) [a, b[= [a,+∞[\[b,+∞[

f⁻¹([a, b[) =f⁻¹([a,+∞[)\f⁻¹([b,+∞[) (ii) :f⁻¹([a, b[)∈ A; U ⊆Roffen,

U = [∞ i=1

[aibi[⇒f⁻¹(U) = [∞ i=1

f⁻¹([ai, bi[) (iii)⇒(i) [=f⁻¹(A)∈ A ∀A∈ B(R)]

Bˆ:=

A⊆Rf⁻¹(A)∈ A ; U ⊆

(iii)

Bˆ Bˆistσ-Algebra (selbstst¨andig zeigen vgl. ¨UA 1.3)

⇒ B(R) = \

U⊆C⊆P(R)

C σ−Algebra

C ⊆Bˆ

3.2 OPERATIONEN MIT MESSBAREN FUNKTIONEN 37

SATZ 3.6 (¨ aquivalente Eigenschaften zu A -meßbar)

Sei (X,A) meßbarer Raum, seif :X →R. Die folgenden Ausagen sind ¨aquivalent:

(i) ^◦ f istA-meßbar.

(ii) ^◦

x∈X f(x)≥a ∈ A ∀a∈R (iii) ^◦

x∈X f(x)> a ∈ A ∀a∈R (iv) ^◦

x∈X f(x)≤a ∈ A ∀a∈R (v) ^◦

x∈X f(x)< a ∈ A ∀a∈R [Beweis ist nur Rechnen mit Mengenoperationen]

FOLG 3.7

Seif :X→R A-meßbar. Dann gelten die folgenden Ausagen:

(i)

x∈X f(x) =a ∈ A ∀a∈R (ii)

x∈X f(x) = +∞ ,

x∈Xf(x) = +∞ ∈ A (iii) Seig:X→R A-meßbar.A∈ A

h(x) :=

f(x) f¨urx∈A g(x) f¨urx∈X\A Dann ist hA-meßbar.

3.2 Operationen mit messbaren Funktionen

SATZ 3.8

Seif, g:X −→ R¯ A-messbar, dann sind folgenden Ausagen ¨aquivalent:

(i) ^◦

x∈X f(x)> g(x) ∈ A (ii) ^◦

x∈X f(x)≥g(x) ∈ A (iii) ^◦

x∈X f(x) =g(x) ∈ A (iv) ^◦

x∈X f(x)6=g(x) ∈ A

Beweis to do

Bezeichnungen F¨urf :X→R definiere:

Af := {x|f(x) =−∞} ∪ {x|f(x) = +∞}

Af,g:=

{x|f(x) =−∞} ∩ {x|g(x) = +∞} [

{x|g(x) =−∞} ∩ {x|f(x) = +∞}

38 3. MESSBARE FUNKTIONEN

SATZ 3.9

Sein f, g:X →R A-messbar, dann gilt:

1. λf istA-messbar ∀ λ∈R 2. Sei f(x)6= 0 ∀x∈X.Definiere:

1 f

(x) :=

₁

f(x) f¨urx∈X\Af

0 f¨urx∈Af

Dann ist ¹_f A-messbar.

|f|(x) :=

|f(x)| f¨urx∈X\Af

+∞ f¨urx∈Af

Dann ist|f| A-messbar.

4. Definiere:

(f+g) (x) :=

f(x) +g(x) f¨urx∈X\Af,g

0 f¨urx∈Af,g

(f g) (x) :=

f(x)g(x) f¨urx∈X\Af,g

0 f¨urx∈Af,g

Dann sindf+g, f g A-messbar.

[ vgl. ”Rechenregeln f¨ur +∞und−∞” ]

Beweis

siehe nach Satz 3.15 to do

FOLG 3.10

Sein f, g:X →R A-messbar, dann sindmax{f, g}, min{f, g} A-messbar.

Denn: to do insbesondere: to do

Ubung (Aufg. 4.3):¨ Seif :X →R A-messbar,φ: R −→ Rstetig, dann istφ◦f A-messbar.

SATZ 3.11

1. Sei (X,A) meßbarer Raum, seienfn :X →R(n∈N) meßbar. Dann sind folgende Funktionen sup

fn, inf

n fn, lim inf

n→∞ fn, lim sup

n→+∞fn

A-meßbar.

2. Wenn ∀x∈X ∃lim_n→∞fn(x) =:f(x), dann istf A-meßbar.

(Denn lim sup_n_→∞fn= lim inf_n→∞fn)

3.2 OPERATIONEN MIT MESSBAREN FUNKTIONEN 39 Beweis

x∈X

sup

(x)>0

= [∞ n=1

x∈Xfn(x)> a X

infn fn=−sup

n fnX lim sup

n→∞ fn= inf

n sup

k≥n

fk = inf

n FkX lim inf

n→∞ fn= sup

k≥ninf fk= sup

FkX 2. to do

Def 3.12 einfache Funktion

Sei (X,A) meßbarer Raum. Eine A-meßbare Funktion f : X → Rheißt einfach, wenn f nur endlich viele Werte annimmt:

f(x) ={a1, . . . , am} (ai6=aj f¨uri6=j)

DEF charakt. Fkt.

χA:=

1 f¨urx∈A 0 f¨urx∈X\A charakt. Funktion vonA

(X,A) meßbarer Raum:χA A-meßbar⇔A∈ A.

Bemerkung:

1. BetrachteAi:=f⁻¹(ai)∈ A, f¨ur (i= 1, . . . , n) Ai p.d., mitX =Sm i=1Ai

⇒ f(x) :=Pn

i=1aiχAi(x)

2. Seien bi∈R, Bi∈ A(i= 1, . . . , n) Dann ist (⋆) f :=

Xn i=1

biχBi einfach.

3. Seien f, geinfach Funktionen, so sindλf(λ∈R), f+g,|f|,max{f, g},min{f, g} einfache Funktionen.

[Bezeichnung:(⋆) heißtNormaldarstellung der einfachen Funktionf, wennBi∈ Ap.d., X =Sn

i=1Bi ]^∗

SATZ 3.13

Sei (X,A) meßbarer Raum, sei f :X →[0,+∞] A-meßbar. Dann existiert Folge (ϕn)A-meßbar und einfach mit:

0≤ϕn(x)<+∞ ∀x∈X

ϕ1(x)≤. . .≤ϕn(x)≤ϕn+1(x)≤. . .≤f(x) ∀x∈X

n→∞lim ϕn(x) =f(x) ∀x∈X

40 3. MESSBARE FUNKTIONEN Beweis

ϕn(x) :=

_k−1

2ⁿ ,f¨ur ^k−1₂n ≤f(x)<₂^kn(k= 1, . . . ,2ⁿn) (bzw. f¨ur x∈Ak,n) n ,f¨urf(x)≥n(bzw. f¨urx∈An)

ϕn(x)≤f(x) ∀x∈X Ak,n:=

x∈X ^k−₂_n¹ ≤f(x)<₂^kn (k= 1, . . . ,2ⁿn) An :=

x∈X f(x)≥n

f-meßbar⇒Ak,n, An∈ A, p.d., X =S2ⁿn k=1Ak,n

∪An

ϕn(x) =

2ⁿn

k=1

k−1

2ⁿ χAk,n(x) +nχAn(x) x∈X einfach Funktion in Normaldarstellung

k−1 2ⁿ , k

2ⁿ

2k−2 2ⁿ⁺¹ , 2k

2ⁿ⁺¹

2k−2

2ⁿ⁺¹ ,2k−1 2ⁿ⁺¹

∪

2k−1 2ⁿ⁺¹ , 2k

2ⁿ⁺¹

Ak,n=A_2k−1,n+1∪A2k,n+1⇒ϕn(x)≤ϕn+1(x)

(Hier zu Fallunterscheidung, Rechnen mit Ungleichungen) 1.

f(x) = +∞: ϕn(x) =n ∀n∈N:ϕn(x) =n→+∞=f(x) 2.

f(x)<+∞: x6∈An∀n > f(x) ⇒x∈Ak,n f¨ur genau ein k∈ {1,2, . . . ,2ⁿn}

⇒0≤f(x)−ϕn(x)< k

2ⁿ −ϕn(x) = k

2ⁿ −k−1 2ⁿ = 1

2ⁿ →0

3.3 Eigenschaft ”fast-¨ uberall”

DEF 3.14 ”µ-fast-¨ uberall”

Sei (X,A, µ) Maß-Raum. Eine EigenschaftE gilt ”µ-fast-¨uberall” (µ-f.¨u.) inX, wenn

∃N ∈ Amit:µ(N) = 0, E gilt∀x∈X\N Beispiel

Seienf, g:X →Rmit:f, gA-meßbar, µ

xf(x)6=g(x) = 0 Dannf =g µ-f.¨u. inX.

SATZ 3.15

Sei (X,A, µ) vollst¨andiger Maß-Raum.

1. Sei f :X →RA-meßbar. Sei g:X→R mit

f =g µ−fast-¨uberall Dann istg A-meßbar.

2. Seien fn:X →R(n∈N)A-meßbar, f :X →Rmit:

fn(x)→f(x) f¨urµ−f.¨u. inX Dann istf A-meßbar.

3.3 EIGENSCHAFT ”FAST- ¨UBERALL” 41 Beweis

1. ∃N ∈ A, µ(N) = 0 so daß giltf(x) =g(x)∀x∈X\N. a∈R:

x∈X g(x)≥a =

x∈X\N g(x)≥a ∪

x∈N g(x)≥a

[z.z. 1.Menge inA, gen¨ugt z.z. die beiden rechten Menge inA] x∈X\N g(x)≥a =

x∈X\Nf(x)≥a =

x∈Xf(x)≥a ∩(X\N)

| {z } ∈A

x∈N g(x)≥a ⊆N ⇒

x∈N g(x)≥a ∈ A 2. Fn(x) := infk≥nfk(x), x∈X Nach Satz 3.5 ⇒Fn istA-meßbar.

F(x) := sup

Fn(x), x∈X; Satz 3.5⇒istA-meßbar.

F(x) := sup

Fn(x) = lim inf

n→∞ fn(x) =f(x)∀x∈X\N, N ∈ A, µ(N) = 0 Teil 1. liefert Beh.

42 3. MESSBARE FUNKTIONEN

4. Integration

Sei im weiteren: (X,A, µ) Maß-Raum

Vorbemerkung

to do Lemma to do Beweis to do

4.1 Integration nicht negativer einfacher Funktionen

DEF 4.1 Integral einf. Fkt.

Seif :X→[0,+∞[ einfache Funktion, f =Pm

i=1aiχAi Normaldarstellung Integralvonf:

f dµ= Z

f(x)dµ(x) :=

Xm i=1

aiµ(Ai)

Definition ist korrekt:f =Pn

j=1bjχBj Normaldarstellung

⇒ Xm i=1

aiµ(Ai) = Xn j=1

bjµBj

Ai= [n j=1

(Ai∩Bj), Bj= [m i=1

(Ai∩Bj)p.d.

⇒µ(Ai) = Xn j=1

µ(Ai∩Bj) µ(Bj) = Xn i=1

µ(Ai∩Bj) µ(Ai∩Bj) 0⇒Ai∩Bj 6=∅

⇒ai=f(x) =bj ∀x∈A−i∩Bj (6⇐)

⇒ Xm i=1

aiµ(Ai) = Xm i=1

Xn j=1

aiµ(Ai∩Bj) = Xm i=1

Xn j=1

bjµ(Ai∩Bj) = Xn j=1

bjµ(Bj)

44 4. INTEGRATION Bemerkung

f dµ= +∞m¨oglich.

SATZ 4.2 allg. Eigenschaften Integral einf. Fkt.

Seienf, g:X →[0,+∞[ einfache Funktionen. Dann gilt

i=1aiχ_Ai einfache Funktionf(x)∈[0,+∞[ nicht notwendiger Weise in Normaldarstellung

⇒

Seien im folgende einfache FunktionenX→[0,+∞[

1. A∈ A:R

4.2 Integral ¨ uber nichtnegative A -messbarer Funktionen

(X,A, µ) Maß-Raum

E⁺(X) :=Menge der einfachen Funktionenf :X→[0,∞[

M⁺(X) :=Menge der nicht negativenA-meßbaren Funktionenf :X →[0,+∞].

4.2 INTEGRAL ¨UBER NICHTNEGATIVEA-MESSBARER FUNKTIONEN 45

DEF 4.3 Integral ¨ uber nichtnegative Funktionen

Seienf ∈ M⁺(X), A∈ A.

i=1aiχAi Normaldarstellung Xm

46 4. INTEGRATION

SATZ 4.4 allg. Eigenschaften Integral nichtneg. Fkt.

Seienf, g∈ M⁺(X). Dann:

1. folgt aus der Definition

2. W¨ahlefn↑f undgn↑geinfach, Eigenschaften gelten nach Satz 4.2

⇒R

SATZ 4.5 Eigenschaften f¨ ur bestimmte A, B ∈ A

F¨urf ∈ M⁺(X) gilt:

4.3µ-INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 47

4.3 µ -integrierbare Funktionen

(X,A, µ) Maß-Raum;

EineA-meßbare Funktionf :X →R (numerische Funktion) heißtµ-integrierbar, wenn:

Seif :X→R µ-integrierbar. Definiere Af :=A⁻_f ∪A⁺_f :=

x∈X f(x) =−∞ ∪

xf(x) = +∞ Dann giltµ(A⁺_f) = 0 =µ(A⁻_f).

48 4. INTEGRATION

SATZ 4.8 ¨ aquivalente Charakterisierung µ-int´bar

Seif :X→R A-meßbar. Dann sind ¨aquivalent (i) ^◦ f istµ-integrierbar.

(ii) ^◦ ∃u, v∈ M⁺(X),µ-integrierbar:f =u−v µ-fast-¨uberall

SATZ 4.9 allg. Eigenschaften µ-int´barer Funktionen

Seienf, g:X →R µ-integrierbar. Dann:

4.4 VERTAUSCHUNG VON INTEGRATION UND GRENZ ¨UBERGANG 49 Beweis

Ubungsaufgabe¨

4.4 Vertauschung von Integration und Grenz¨ ubergang

SATZ 4.10 (monotone Kovergenz; B.LEVI)

Seienfn∈ M⁺(X)(n∈N), fn(x)≤fn+1(x)∀x∈X, dann gilt:

Bemerkung: Satz 4.10 gilt auch, fallsfn ≤fn+1 µ-fast ¨uberall.

FOLG 4.11 (FATOU)

50 4. INTEGRATION

⇒Grenz¨ubergang und Satz 4.10 Beh.

kurze Motivation:

SATZ 4.13 (absolute Stetigkeit des Integrals)

Seif :X→R µ -integrierbar. Dann gilt:

∀ǫ >0∃δ=δ(ǫ, f)>0 : ∀A∈ A, µ(A)≤δ ⇒ Z

|f|dµ≤ǫ

4.4 VERTAUSCHUNG VON INTEGRATION UND GRENZ ¨UBERGANG 51 Beweis

n∈N:

gn:=

|f(x)| f¨ur|f(x)| ≤n, n f¨ur|f(x)|> n d.h.gn = min{|f|, n}

⇒gn∈ M⁺(X);gn(x)≤n, gn(x)≤ |f(x)| gn(x)≤gn+1(x), limgn(n) =|f(x)|

⇒lim Z

gndµ =

Satz 4.10

|f|dµ ǫ >0, ∃n0=n0(ǫ) : Z

|f|dµ− Z

gn0dµ≤ ǫ 2 W¨ahleδ:= _2n^ǫ

0,A∈ A, µ(A)≤δ Z

|f|dµ= Z

(|f| −gn0)dµ+ Z

gn0dµ Z

|f|dµ=≤ Z

(|f| −gn0)dµ+n0µ(A)≤ ǫ 2+n0

ǫ 2n0

=ǫ

SATZ 4.14 (majorisierte Konvergenz; H.LEBESGUE)

Seifk,:X → RA-meßbar mit:

klim→∞fk(x) =f(x) f¨urµ-fast-allex∈X,

|fk(x)| ≤F(X) f¨urµ-fast-allex∈X, wobei: F ∈ M⁺(X), F µ-integrierbar.

Dann ist fµ-integrierbar und es gilt:

k→∞lim Z

fkdµ= Z

f dµ.

Bemerkung F ist Majorante Beweis

∃N^∗, Nk∈ A:µ(N^∗) = 0, µ(Nk) = 0 mit

fk(x)→f(x)∀x∈X\N^∗, |fk(x)| ≤F(x)∀x∈X\Nk

N_∞:=

x∈X F(x) = +∞ ⇒N_∞∈ A, µ(N_∞) = 0 N :=N^∗∪

[∞ k=1

∪N_∞⇒N∈ A, µ(N) = 0

⇒ |f(x)| ≤F(x)∀x∈X\N integrierbare Majorante SAT Z4.8⇒f µ−integrierbar F+f ≥F− |f| ≥0, F−fk≥F− |fk| ≥0

52 4. INTEGRATION

4.5 LEBESGUE-Integral in R

ⁿ

SeiQ⊂RⁿQuader in Standart-Lage.

Q=Sν fheißt RIEMANN-integrierbar AUFQ, wenn

sup

SeifRIEMANN-integriebar aufQ. DAnn istfLEBESGUE-messbar aufQund es gilt Z

SeiQ⊂Rⁿ Quader in Standart-Lage undf riemannintegrierbar aufQ.

⇒ f ist Lebesgue-integrierbar mit:

Beispiel Dirichlet-Funktion to do

ist nicht Riemann-integrierbar, aber Lebesgue-integrierbar.

5. Produkt-Maß u. -Integration

5.1 Produkt-σ-Algebra

SeienA⊆X, B⊆Y

A×B :=

(x, y)∈X×Y x∈A, y∈B ⊆X×Y SindA, C⊆X undB, D⊆Y so gilt:

(A×B)∩(C×D) = (A∩C)×(B∩D) (A×B)^c= (A^c×B)∪(X×B^c)

DEF 5.1

Seien (X,A),(Y,B) meßbare R¨aume.

1. E⁰=

A×B A∈ A, B∈ B ⊆ P(X×Y) 2.

A × B:=Aσ(E⁰) = \

E0⊆ϕ

ϕ σ−Algebra aufP(X×Y)

ϕ=P rodukt−σ−Algebra

Bemerkung Sei

E:=

(

E⊆X×Y E= [m i=1

(Ai×Bi) Ai∈ A, Bi∈ Bp.d.

)

Es gilt:A × B=A^σ(E).

Achtung!AusF ∈ A × B 6⇒F =A×B mit A⊆X, B⊆Y.

Motivation f¨ur Produkt-Maß auf A × B:

Seien (X,A, µ),(Y,B, ν) Maßr¨aumeE⊂X×Y;x∈X, y∈Y : Ex:=

s∈Y (x, s)∈E =x−Schnitt vonE Ey:=

s∈X (s, y)∈E =y−Schnitt vonE 53

54 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION

Y

Ex

E

X Ey

y

x

Ziel: suche Maß sodass Z

ν(Ex)dµ(x) = Z

µ(Ey)dν(y) = Maß vonE

SATZ 5.2

SeiE∈ A × B. Dann gilt:

Ex∈ B ∀x∈X, Ey∈ A ∀y∈Y.

A B

X Y

AxB

(x,s) in A x B

Beweis S⁰:=

E∈ A × BEx∈ B∀x∈X

1. Es giltE⁰⊆ S⁰:E∈ E⁰:E=A×B, A∈ A, B∈ B. Ex=

s∈Y (x, s)∈A×B =

∅ f¨ur x6∈A B f¨ur x∈A 2. S⁰istσ-Algebra:E∈ S⁰, d.h.Ex∈ B: (E^c)X = (Ex)^c∈ B

Ej ∈ S⁰



[^∞

j=1



= [∞ j=1

(Ej)X ∈ B

⇒ A × B ⊆ S⁰

Beweis f¨ur zweite Aussage erfolgt analog.

5.2 PRODUKT-MASS 55 Bemerkung Borel Lebesgue to do

FOLG 5.3

Seif :X×Y →R A × B-meßbar. Dann:

1. y→f(x, y) istB-meßbar ∀x∈X.

2. x→f(x, y) istA-meßbar∀y∈Y,

Beweis zu 1.

a∈Rbel.E:=

(x, y)∈X×Y f(x, y)> a Voraussetzung:E∈ A × B;x∈X

y∈Y f(x, y)> a =

y∈Y (x, y)∈E =Ex(Y) 2. erfolgt analog.

5.2 Produkt-Maß

SATZ 5.4

Seien (X,A, µ), (Y,B, ν)σ-endliche Maß-R¨aume. Dann gilt f¨urE∈ A × B: 1. x→ν(Ex) istA-meßbar,

2. y→µ(Ey) istB-meßbar, 3. R

ν(Ex)dµ(x) =R

µ(Ey)dν(y).

[ohne Beweis, Beweis findet sich in der Literatur (z.Bsp. Hewitt/Stromberg)] Beweisidee: to do

SATZ 5.5

Seien (X,A, µ),(Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. F¨ur E∈ A × Bsei λ(E) :=

ν(Ex)dµ(x) = Z

µ(Ey)dν(y)

Dann gilt:

1. λ(A×B) =µ(A)ν(B) ∀A∈ A, ∀B∈ B ^′′P roduktmaß^′′

2. λistσ-endl. Maß auf A × B. ^′′σ−endlich^′′

3. Sei τ Maß aufA × Bmit:

τ(A×B) =µ(A)ν(B)∀A∈ A, ∀B∈ B^′′eindeutigkeit^′′

Dann giltτ=λ.

56 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION [Lemma Maße auf Erzeugenden System gleich so Maße gleich]⇒τ=λ

Satz

SATZ 5.6 (FUBINI I)

Seien (X,A, µ),(Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. Seif :X×Y →[0,+∞] (A × B)-meßbar. Dann gilt:

1. x→f(x, y) istA-meßbar∀y∈Y

5.3 PRODUKT-INTEGRATION 57

1. und 2. ergibt sich aus Folgerung 5.3 E⊂X×Y monotone konv.: lim_n→∞R

58 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION

Satz 5.8 Fubini II

Seien (X,A, µ),(Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. Seif :X×Y → R (µ×µ)-integrierbar. Dann gilt:

5.3 PRODUKT-INTEGRATION 59 Anwendung: X=R^p, Y =R^q

1. B(R^p)× B(R^q) =B(R^p+q),βp×βq =βp+q

2. L(R^p)× L(R^q)⊂ L(R^p+q), λp×λq 6=λp+q, λp×λq ist nicht volldst¨andig.

3. L(R^p)× L(R^q)^λb×λq=L(R^p+q), λp×λq =λp+q

[ohne Beweis]

Satz 5.9

Seien (X,A, µ),(Y,B, ν) vollst¨andigeσ-endliche Maßr¨aume. Seif : X×Y −→ [0,+∞] (A × B)^µ^×^ν-messbar.

Dann gilt:

1. x 7−→ f(x, y) istA-messbar f¨urν-fast alley∈Y, 2. y 7−→ f(x, y) istB-messbar f¨ur µ-fast allex∈X, 3. x 7−→ R

f(x, y)dν istA-messbar, 4. y 7−→ R

f(x, y)dµistB-messbar, 5. R

X×Y

f d(µ×ν) =R

f(x, y)dν

dµ=R

f(x, y)dµ

dν.

[ohne Beweis]

Bemerkung

Rⁿ; n=p+q:R^p×R^q∼=Rⁿaberλp×λq6=λn

Integration ¨ uber ”krummlinige” begrenzte Gebiete

A y=y (x)

y=y (x) 1 2

y

x

A:=n

(x, y)∈R²a≤x≤b, y1(x)≤y≤y2(x)o Z

f d(λ1×λ1) = Z b

Z y2(x) y1 (x)

f(x, y)dy

! dx

2. B:=

(x, y)∈R²x1(y)≤x≤x2(y), c≤y≤d Z

f d(λ1×λ1) = Z _d

Z x2(y) x1(y)

f(x, y)dx

! dy

60 5. PRODUKT-MASS U. -INTEGRATION

Beispiele (Produkt-Maß u. -Integration)

1. Aus Existenz und Gleichheit der iterierten Integrale folgt nicht Produkt-Integrierbarkeit Q:=n

aber: f nicht (λ1×λ1)-integrierbar ¨uberQ, anderen falls w¨are f ¨uber jede Teilmenge integrierbar, also auch ¨uberQ0 :=

(x, y)∈R²

0≤x, y≤1 : d.h.: R

f d(λ1×λ1)<+∞dann w¨are FUBINI anwendbar:

Uber¨ Q0sind die iterierten Integrale aber nicht gleich⇒Widerspruch.

2. Iterierte Integrale existieren, aber sind nicht gleich:

Q0:=

gdν Beweis: ¨Ubung

Beispiel Berechnung von R_∞

−∞e⁻^t²dt

2. (Prinzip von CAVALIERI)

Seien (X,A, µ) (Y,B, ν)σ-endliche Maßr¨aume. SeienE1, E2∈ A × Bmit:

6. Transformationsformel

6.1 Transformation von LEBESGUE-meßbaren Mengen

Bezeichung E⊆RⁿMenge:

T:E→Rⁿheißt LIPSCHITZ-stetig, wenn ex.L0= const<+∞, so daß

|T x−T y| ≤L0|x−y| ∀x, y∈E

SATZ 6.1

SeiE⊆ L(Rⁿ), seiT :E→Rⁿ LIPSCHITZ-stetig aufE. Dann gilt:

T(E)∈ L(Rⁿ) Beweis

to do

SATZ 6.1´

Sei Ω⊆Rⁿ offen,T : Ω→Rⁿ LIPSCHITZ-stetig, dass heißt

∀K⊂Ω kompakt∃Lk= const<+∞: |T x−T y| ≤Lk|x−y| ∀x, y∈K Dann gilt:

A⊆Ω, A∈ L(Rⁿ) ⇒ T(A)∈ L(Rⁿ) Beweis

to do

Bemerkung/Bezeichnungen:

Es ex.stetigeAbbildungf: [0,1]→Rmit:

∃A0⊂[0,1], λn(A0) = 0 undf(A0)6∈ L(R¹)

Betr.ξ~j∈Rⁿ (j= 1, . . . , n) GRAMsche Determinate vonn

ξ~1, . . . , ~ξn

G(ξ~1, . . . , ~ξn) := det





 D~ξ1, ~ξ1

E · · · D ξ~1, ~ξn

· · · · D~ξn, ~ξ1

· · · D

~ξn, ~ξn







62 6. TRANSFORMATIONSFORMEL

o aufgespanntes Parallelotop (n-Spat)

(Satz:)λ Das LEBESGUE-Maß ist also rotations- und translationsinvariant.

Beweis

(Nutze Linearit¨at vonT:)

T(Q) =T(R)−T({a}) =P(T ~ξ1, . . . , T ~ξn) +T({a})

( ¨Uber Wurzel aus der GRAMschen Determinaten erh¨alt man:)

λn(T(Q)) =λn

P(T ~ξ1, . . . , T ~ξn)

=|detM| ·vn(R) =|detM| ·vn(Q)

FOLG 6.3

Sei T : Rⁿ →Rⁿ lineare Abbildung. SeiM = (mij) Darstellungsmatrix von T bez. der knanonischen Basis {e1, . . . , en}. Dann:

λn(T(A)) =|detT|λn(A) ∀A∈ L(Rⁿ) Beweis

to do

IstAoffen so ist die Aussage klar,da sich Darstellen l¨aßtA=S∞

i=1Wi, sonst Fall detM = 0 fertig, detM 6= 0

⇒umkehrbar.

6.2 TRANSFORMATION VONL-M.B. MENGEN MITTELS C¹-ABB 63

Motivation f¨ ur Transformationsformel

T(A)

1dλn= Z

1|detM|dλn.

T(x+h) =T x+T h+ 0 T^′(x) =T: Z

T(A)

1dλn= Z

1|detT^′|dλn(x)

6.2 Transformation von L -m.b. Mengen mittels C

-Abb

[preprint 2005-8]

SATZ 6.4

Sei Ω⊆Rⁿ offen . SeiT ∈C¹(Ω,Rⁿ). Dann gilt f¨ur jeden abgeschloßenen W¨urfelW ⊂Ω:

λn(T(W)≤ Z

|detT^′(x)|dλn

Beweis: Walter, Analysis II

FOLG 6.5

Sei Ω⊆Rⁿ offen . SeiT ∈C¹(Ω,Rⁿ). Dann gilt:

λn(T(A))≤ Z

|detT^′(x)|dλn ∀A∈ L(Ω).

[Beweis: Ziege zun¨achst ¨uber W¨urfel und gehe dann zur Grenze ¨uber]

FOLG 6.2^∗ (LEMMA von SARD) Sei Ω⊆Rⁿ offen . SeiT ∈C¹(Ω,Rⁿ).

Ω0:=

x∈ΩdetT^′(x) = 0 Dann giltλn(T(Ω0)) = 0.

6.3 Transformationsformel

SATZ 6.6 (Transformationsformel)

Sei Ω⊆Rⁿ offen . SeiT ∈C¹(Ω,Rⁿ).

Ω0:=

x∈ΩdetT^′(x) = 0

SeiT : Ω\Ω0→Rⁿ injektiv un seif :T(Ω)→RLEBESGUE-integrierbar. Dann gilt:

1. f(T(·))|detT^′(·)|LEBESGUE-integrierbar ¨uber Ω und 2. R

T(A)

f dλn =R

f(T x)|detT^′(x)|dλn ∀A⊆Ω, A∈ L(Rⁿ)

64 6. TRANSFORMATIONSFORMEL Vorbemerkung

Spezialfall: Ω0=∅ AlsoT ∈C¹(Ω;Rⁿ) mit detT^′(x)6= 0∀x∈Ω Dann gilt: lokale Invertierbarkeit, d.h.

∀x0∈Ω∃Br(X0)⊂Ω mit aberT wegen der periodizit¨at nicht global injektiv:

T1x=x1cos(x2+ 2π) =T1(x1, x2+ 2π), T2. . .

⇒ T injektiv in {x= (x1, x2)|x1>0,−π≤x2 < π} Beweis von Satz 6.6

1. Spezialfall Ω0=∅:

6.3 TRANSFORMATIONSFORMEL 65

66 6. TRANSFORMATIONSFORMEL

Beispiele und Anwendungen

1. Transformation auf Kugelkoordinaten mit Zentrum x

y1 = x1+rcosϕ1, T ist bijektiv, abgesehen von Nullmenge

(r, ϕ1, . . . , ϕn−1)∈QR

Teil II

Funktionentheorie

Wiederholung:

Grundbegriffe/Funktionenreihen

Wiederholung

C = K¨orper der komplexen Zahlen z=x+iy, x= Rez, y= Imz, |z|=p

x²+y²

z=x+iy, ⇒ z¯=x−iy z¯·z=|z|²

z+ ¯z= 2 Rez, z−¯z= 2i Imz

||a| − |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|[Dreicksungleichung]

Br(z0) ={z∈C| |z−z0|< r}ist die offene Kreischreibe umz0 mit Radiusr.

Grundlegende Definitionen

1. M ⊂Cheißt zusammenh¨angend, wenn keine offene TeilmengenU1, U2⊂Cexistieren, mit:

(a) U1∩U2=∅

(b) M ⊆U1∪U2, M∩Uk 6=∅ (k= 1,2)

2. γ: [a, b] −→ C, (a, b∈R, a < b) heißtstetig in t0∈[a, b],wenn:

∀ǫ >0∃δ=δ(ǫ)>0 : |γ(t)−γ(t0)| ≤ǫ ∀t∈[a, b], |t−t0| ≤δ undstetig auf [a, b], wennγ stetig in jedemt∈[a, b]

3. Eine stetige Abbildung γ: [a, b] −→ CheißtWeg.

Ein Weg heißtgeschlossen, wennγ(a) =γ(b)

4. [z, w] :={ξ∈C|ξ=z+t(w−z), t∈[0,1]} heißtVerbindungsstrecke zwischenz, w∈C 5. M ⊂Cheißt konvex, wenn ∀z, w∈M ⇒ [z, w]⊂M

6. M ⊂Cheißtwegzusammenh¨angend, wenn ∀z, w∈M ∃Wegγ: [a, b] −→ Cmitγ(a) =z, γ(b) =w

7. M⊂CheißtGebiet, wenn M offen und zusammenh¨angend ist.

Satz zusammenh¨ angend,wegzusammenh¨ angend

1. M ⊂Cwegzusammenh¨angend folgt M ist zusammenh¨angend

2. M ⊂Coffen und zusammenh¨angend folgt M ist wegzusammenh¨angend [ohne Beweis]

Multiplikation zweier Reihen

to do

70 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN

Satz von Mertens

to do

Grundbegriffe:

1. Funktionenreihen

Sei M ⊆ C;fn : M → C(n ∈ N) Reihe P_∞

n=0fn konvergiert (punktweise) in z ∈ M, wenn P_∞

n=1fn(z) konvergiert.

DEF 0.1 Konvergenz

P_∞

n=0fn konv. gleichm¨aßig inM, wenn ex.f :M →C:

∀ǫ >0∃n0=n0(ǫ) : f(z)−

Xn k=1

fk(z)

≤ǫ∀z∈M, ∀n≥n0

SeiM ⊆Coffen,P_∞

n=0fn konv. lokal gleichm¨aßig inM

∀z∈M ∃Br(z)⊂M : X∞ n=0

fn konv. gleichm. aufBr(z)

CAUCHYsches Konvergenzkriterium: Es sind ¨aquivalent:

(i) P_∞

n=0fnkonv. gleichm¨aßig inM.

(ii)

∀ǫ >0∃n0=n0(ǫ)

Xn k=m

fk(z)

≤ǫ∀z∈M, ∀n > m≥n0

SATZ 0.2 (Majorantenkriterium; WEIERSTRAß)

SeiP_∞

n=0αn konv. Reihe nicht negativer reeller Zahlen. Es gelte:

|fn(z)| ≤αn, ∀z∈M, ∀n≥n^∗. Dann konv.P_∞

n=1fn absolut und gleichm¨aßig aufM.

SATZ 3

^∗

Stetigkeit

SeiM⊆Coffen, seienfn:M→Cstetig aufM. seiP_∞

n=1fnlokal gleichm¨aßig konvergent aufM.

Dannf:=P_∞

n=0fnstetig aufM.

2. Potenzreihen

an∈C(n= 0,1,2, . . .), z0∈Cfix.

(1) P_∞

n=0an(z−z0)ⁿ Potenzreihe (mit Entwicklungspunktz0)

LEMMA 0.3 (ABEL)

Es gelte:

|an(z1−z0)ⁿ| ≤k= const<∞ ∀n (z16=z0) Dann gilt f¨ur 0< r <|z1−z0|:

(1) konvergiert absolut und gleichm¨aßig auf Br(z0).

2. POTENZREIHEN 71 Beweis

to do

Bemerkung

Voraussetzungen wie in Lemma 0.3,R:=|z1−z0|.Dann gilt:

∀z∈BR(z0) ∃f(z) :=

X∞ n=0

an(z−z0)ⁿ, f stetig in BR(z0)

SATZ 0.4 (CAUCHY; HADAMARD)

1. lim suppⁿ

|an|= 0⇒(1) konv. ∀z∈C 2. 0< ¹_ρ := lim suppⁿ

|an|<+∞ ⇒(1) konv. ∀|z−z0| ≤ρ 3. lim suppⁿ

|an|= +∞ ⇒(1) konv. nur f¨urz=z0

Bemerkungen

1. Bρ(z0) (0< ρ <+∞)Konvergenzscheiben ρheißt Konvergenzradiusf¨ur (1).

2. Konvergenzverhalten von (1) f¨ur|z−z0|=ρmuß f¨ur jede Reihe speziell untersucht werden.

Beispiele

1. X∞

n=1

zⁿ n² : pⁿ

|an|= 1

√nn 2

→1

⇒ρ= 1;|z|= 1→ zⁿ

n² = 1

n² ⇒Konvergenz an Rand (Majorante)

2. X∞

n=0

zⁿ :⇒ρ= 1 X∞ n=0

zⁿ= 1

1−z, ∀|z|<1

|z|= 1⇒ |zⁿ|= 1⇒keine Konvergenz auf dem Rand.

3. X∞

n=1

(−1)ⁿ

n zⁿ (logarithmeische Reihe)ρ= 1 z= 1 :P∞

n=1

(−1)ⁿ

n : konvergent (LEIBNIZsche Reihe) z=−1 :P_∞

n=1 1

n: divergent

4. X∞

n=1

zⁿ n! : √ⁿ

n!→ ∞ ⇒ρ= +∞n⇒ konvergent ∀z∈C Bezeichnung:

e^z:=

X∞ n=1

zⁿ

n! z∈C

72 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN

SATZ 6

^∗

Nullkreis

f(z) =P_∞

n=0anzⁿhabe Konvergenzradiusρ >0.

Sei (ξk) Folge mit:

0<|ξk|< ρ, f(ξk) = 0, lim

k→∞ξk= 0 Dann:

f(z) = 0 ∀|z|< ρ.[an= 0∀n∈N∪ {n}]

Erg¨ anzung 1: Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen; Wurzel-Funktion.

K:=S1(0) =∂B1(0) :=

(x, y)∈R²x²+y²= 1

s= L¨ange des Bogens (”Bogenmass” des Winkelsα)

(coss,sins)s∈[0,2π[ ist Parametrisierung vonK mitsals Parameter.

Jeder Punkt (x, y)∈R²((x, y)6= (0,0)) kann in eindeutiger Weise durch Zahlenpaar 0< r <+∞, ϕ∈[0,2π]

mittels

x=rcosϕ, y=rsinϕ dargestellt werden. (r, ϕ) Polarkoordinaten von (x, y).

Betrachtez=x+iy⇒z=r(cosϕ+isinϕ) trigon. Darstellung⇒r=|z|, ϕ=arg z= arctan^y_x (Arg z∈[0,2π[ Hauptwert vonarg) Es gilt:

1. ¯z=x−iy=r(cosϕ−isinϕ)

z = _|_z^z^¯_|2 = ¹_r(cosϕ−isinϕ)

2. z1z2=r1r2(cos(ϕ1+ϕ2) +isin(ϕ1+ϕ2)) z^m=r^m(cosmϕ+isinmϕ)

n-te Wurzel (Umkehrfunktion von f(z) = z

ⁿ

)

Sei

w=r(cosϕ+isinϕ), r >0 gegeben. Die Gleichung

zⁿ=w besitzt genaunvoneinander verschiedene L¨osungen:

zν= √ⁿ r

cos

ϕ n +2ν

nπ

+isin ϕ

n +2ν nπ

(ν = 0,1, . . . , n−1)

Beweis

Ansatz: z=ρ(cosψ+isinψ)

⇒ρⁿ(cos(nψ) +isin(nψ)) =zⁿ =w=r(cosϕ+isinϕ)

⇒ρⁿ=r, ρ= √ⁿ

r; nψ=ϕ+ 2νπ; ψ= ϕ n +2ν

nπ ν = 0,1, . . . , n−1

ERG ¨ANZUNG 2: SPEZ. POTENZREIHEN 73 sind dien-ten Einheitwurzeln.

Bezeichnung

(gist Rechtsinverses vonfaufE)

Beispiel

⇒Sprung von 2√rbei Durchgang durch pos.x-Achse g1(reⁱ⁰) =−√

r; g0(re^i2π) =√ r

Erg¨ anzung 2: spez. Potenzreihen

DEF exp

Insbesonderee^iy= cosy+isiny (EULERsche Formel)

74 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN Beweis

to do

DEF cos, sin

cosz:=P_∞

n=0(−1)^{n z}_(2n)!²ⁿ , sinz:=P_∞

n=0(−1)^{n z}_(2n+1)!²ⁿ⁺¹ , z∈C

Bemerkung

1. beide Reihen konvergieren absolut auf ganzC ⇒ cos,sin : C −→ Cwohldefiniert 2. Euler Formel gilt immer e^z¹^+iz² =e^z¹(cosz2+isinz2) (analoger Beweis)

3. e ist 2πi-periodisch, e^z+i2π =e^z 4. e^iπ=−1, e^2πi= 1

5. cosz=¹₂(e^iz+e^−iz), sinz=_2i¹(e^iz−e^−iz) 6. cos²z+ sin²z= 1

7. e^ze⁻^z= 1

8. cos(w+z) = coswcosz−sinwsinz sin(w+z) = sinwcosz+ coswsinz

9. (e^z)^′=e^z

Erg¨ anzung 3: Umkehrfunktion

DEF Umkehrfkt.

Seif :D(⊆C)→C, seiE ⊆f(D).g:E→D heißt Zweig vonf⁻¹ aufE, wenn f(g(z)) =z ∀z∈E.

(gist Rechtsinverses vonf aufE)

Bsp.1 Wurzelfunktion

to do

Bsp.2 komplexer Logarithmus

to do

Umkehrung vone^z: Seiw∈C\ {0}. w=r(cosϕ+isinϕ), r >0,0≤ϕ <2π.

Bestimmez∈Cmit w=e^z, d.h.z=x+iy=ρ(cosψ+isinψ)

⇒e^x(cosy+isiny) =e^z=w=r(cosϕ+isinϕ)

⇒e^x=r, x= lnr cosy= cosϕ,siny= sinϕ Damitz= ln|w|+i(ϕ+ 2kπ), k∈Zbel.

Bezeichnung:z=Logw= ln|w|+iargwHauptwert

ERG ¨ANZUNG 3: UMKEHRFUNKTION 75

1. Die Zahl 0 besitzt keinen Logarithmus.

2. Jede reelle Zahl r >0 besitzt genau einen reellen Logarithmus lnr

3. Jede komplexe Zahlw=re^iϕ(ϕ6= 0) besitzt genau die abz¨ahlbarvielen Logarithmen lnr+i(ϕ+2kπ) (k∈ Z). besitzt genaunvoneinander verschiedene Wurzeln:

zν= ⁿ√ sind dien-ten Einheitwurzeln.

Bezeichnung

rbei Durchgang durch pos.x-Achse

g1(reⁱ⁰) =−√

r; g0(re^i2π) =√ r

76 WIEDERHOLUNG: GRUNDBEGRIFFE/FUNKTIONENREIHEN

1. Holomorphe Funktionen

DEF 1.1 komplex Differnzierbar

f :D→Cheißt (komplex) differenzierbar in z∈D, wenn existiert

h→lim0

(f(z+h)−f(z))

h (h∈C)

Bezeichung

f^′(z) := lim

h→0

h(f(z+h)−f(z)) Bemerkungen

1. f differenzierbar inz ⇒f stetig inz 2. ¨Aquivalent

(i) ^◦ f differnzierbar inz

(ii) ^◦ ∃a(=a(z))∈Cω(z;h)∈C:f(z+h) =f(z) +ah+ω(z;h)∀h∈Br(z) wobei: limh→0ω(z;h)

h = 0;aist eindeutig bestimmt.

Beispiele

1. f(z) =zⁿ, z∈C(n∈N); f^′(z) =nzⁿ⁻¹

2. f(z) =z¯z=|z|²:f ist nur inz= 0 differenzierbar.

3. f(z) = ¯z: stetig in ganzC, aber nirgends differenzierbar.

4. Potenzreihen:

f(z) =P_∞

n=0anzⁿ habe Konvergenzradiusρ >0. Dann istf ∀|z|< ρdifferenzierbar und es gilt f^′(z) =

X∞ n=1

nanzⁿ⁻¹

Notation: f⁽⁰⁾:=f, f⁽¹⁾:=f^′, f⁽²⁾:= (f⁽¹⁾)^′, . . .

SATZ 1.2 Rechenregeln

SeienD, E ⊆Coffen

1. Seien f, G:D→Cdiff.bar in z∈D. Dann sind λf(λ∈C)undf+gdiff.bar in zund es gilt:

(λf)^′(z) =λf^′(z), (f+g)^′(z) =f^′(z) +g^′(z)

2. Seine f :D→E diff.bar inz∈D, sei g:E →Cdiff.bar inf(z). Dann sind g◦f diff.bar in z und es gilt:

(g◦f)^′(z) =g^′(f(z))f^′(z) 77

78 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN

Bezeichung (nat¨ urliche Identifikation)

D⊆C: ˜D:=

(x, y)∈R²z=x+iy∈D

(Topologische Eigenschaften(offen, abgeschlossen, wegzusammenh¨angend) bleiben erhalten.) 2. f(z) =u(x, y) +iv(x, y), z=x+iy:

u= Ref, v=Imf.

SATZ 1.3 (CAUCHY; RIEMANN)

SeiD⊆Coffen.

(nutzen nat¨urliche Identifikation)

1. Sei f :D→Cdiff-bar inz0∈D(z0=x0+iy0). Dann sindu, v diff.bar in (x0, y0)∈D˜ und es gilt (CR) ∂u

∂x(x0, y0) =∂v

∂y(x0, y0), ∂u

∂y(x0, y0) =−∂v

∂x(x0, y0) (CR) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.

2. Seien u, v : ˜D → R diff.bar in (x0, y0) ∈ D˜ (⊆ R² offen). Es gelte (CR). Dann ist f(z) := u(x, y) + iv(x, y) (z=x+iy,(x, y)∈D) diff.bar in˜ z0=x0+iy0.

Beweis

1. Sei (x, y)∈R² mit (x0+x, y0+y)∈D;˜ h:=x+iy

⇒f(z0+h) =f(z0) +f^′(z0)h+ω(z0;h), lim

h→0

|h| = 0.

f^′(z0) =a+ib, ω=ω1+ω2;k= 1,2 :

|wk|

|h| ≤|w|

|h| →0 f¨urh→0.

Damit

u(x0+x, y0+y)−u(x0, y0) +i[v(x0+x, y0+y)−v(x0, y0)]

=f(z0+h)−f(z0) =f^′(z0)h+ω

= (a+ib)(x+iy) =ω1+iω2

=ax+ (−b)y+ω1+i[bx+ay+ω2]

⇔u(x0+x, y0+y)−u(x0, y0) =ax+ (−b)y+ω1

v(x0+x, y0+y)−v(x0, y0) =bx+ay+ω2

⇔ ∂u

∂x(x0, y0) =a=∂v

∂y(x0, y0), ∂v

∂x(x0, y0) =b=−∂u

∂y(x0, y0)

⇒f^′(z0) = ∂u

∂x+i∂v

∂x = ∂v

∂y −i∂u

∂y 2. Gleichungskette umdrehen:

u(x0+x, y0+y)−u(x0, y0) = ∂u

∂x(x0, y0)x+∂u

∂y(x0, y0)y+σ1

v(x0+x, y0+y)−v(x0, y0) = ∂v

∂x(x0, y0)x+∂v

∂y(x0, y0)y+σ2 σk

√x²+y² →0 f¨urx²+y²→0.

Nun (CR) benutzen:

∂u

∂y =i²∂v

∂x; i∂u

∂x =i∂u

∂y

Einsetzten und zusammenfassen von Real und Imagin¨arteil ergibtf(z) ist differenzierbar inz0.

Bemerkung

Matrix... to do

Nebenbemerkung

ξ(x, y) :ξ(x, h1, y+h2)−ξ(x, y) =A(h1, h2) +ω

Bemerkung

^∗

Es gilt:

f^′(z) =∂u

∂x(x, y) +i∂v

∂x(x, y) = ∂v

∂y(x, y)−i∂u

∂y(x, y) [vgl. Hildebrandt Analysis2 Kap. 3.1 Korollar 1]

DEF 1.4 Holomorph

SeiD⊆Coffen.f :D→Cheißtholomorph(analytisch) aufD, wennf diff-bar in allen Punkten vonD ist.

LEMMA 1.5 Konstant in M

(n∈N, n≥2) SeiM⊆RⁿGebiet. Seiϕ:M→Rdiff.bar inM; es gelte:_∂xi^∂ϕ(x) = 0∀x∈M (i= 1, . . . , n) Dann:ϕ≡const inM.

SeiM ⊆R² offen. Seiu:M → Rdiff.bar in M; es gelte: _∂x^∂u_i(x) = 0∀xi∈M(i= 1,2) Falls M zusammenh¨angend ist, dann folgt:u≡const inM.

(u ist im Allgemeinen konstant auf jeder zusammenhangskomponente von M) Beweis

to do

FOLG 1.6 Konstant in D

SeiD⊆CGebiet (d.h. offen und zusammenh¨angen); seif :D→Cholomorph aufD. Dann:

1. f^′(z) = 0∀z∈D⇒f(z)≡w (w∈C)∀z∈D 2. |f(z)|= const ∀z∈D⇒f(z)≡ξ (ξ∈C)∀z∈D.

Beweis

1. 0 =f^′(z) = ^∂u_∂x(x, y) +i^∂v_∂x(x, y) = ^∂u_y (x, y) +i^∂v_∂y(x, y)

⇒ ∂u

∂x =∂u

∂y = 0,∂v

∂x = ∂v

∂y = 0 2. f =u+iv;u²+v²= const(∀(x, y)∈D)˜

⇒2u∂u

∂x+ 2v∂v

∂x = 0, 2u∂u

∂y + 2v∂v

∂y = 0 in ˜D (CR)⇒u∂u

∂x −v∂u

∂y = 0

| {z }

mitumult.

, u∂u

∂y +v∂u

∂x = 0

| {z }

mitvmult.

addiere diese beiden:⇒(u²+v²)^∂u_∂x = 0 ⇒ ^∂u_∂x = 0 in ˜D (Lemma 1.5) Analog folgt: ^∂u_∂y = 0 in ˜D. Damit giltu≡const in ˜D.

Analog:v≡const in ˜D ⇒Beh.

80 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN

2. CAUCHYsche Integralsatz (Sterngebiete)

2.1 Kurvenintegrale

SeiD⊆CGebiet. Seif=u+iv:D→Cholomorph.

g= u

−v

, h= v

CR-Dgl. ⇒g, hwirbelfrei.

⇒ ∃U, V :D→R²:∇U=g, ∇V =h F:=U+iV →F^′=f.

1. Integration, Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen einer reellen Ver¨anderlichen.

DEF 2.1 Integrale R → R

Seif : [a, b]→Cstetig,f =u+iv Z b

f(t)dt= Z b

u(t)dt+i Z b

v(t)dt 1 dim. reelle Rieman-Integrale

f ist stetig differenzierbar int0∈]a, b[^def⇔ u, v sind im Punktt0 stetig differenzierbar.

⇒f^′(t0) =u^′(t0) +iv^′(t0)

Bemerkung f stetig ⇔ Re f und Im f stetig.

Eigenschaften 1. Rb

a(c1f1+c2f2)dt=c1

af1dt+c2

a f2dt(linearit¨at) 2. Rb

af(t)dt=Rb a f(t)dt 3. Rb

af(t)dt≤Rb

a|f(t)|dt

4. Sei f : [a, b] → C stetig, es existiert F : [a, b] → C mit F^′ = f (komponentenweise eindimensionale Ableitung)

⇒ Z b

f(t)dt=F(b)−F(a)

82 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE)

1. Wege m¨ussen nicht injektiv sein.

2. γheißt geschlossen ⇔ γ(a) =γ(b) Beispiele

(1) Seiz0∈C, r >0 Definiereγ: [0,2π]→C:

γ(t) :=z0+re^it positiv orientierte Kreislinie

(2) Seiz0∈C, r >0 Definiereγ: [0,2π]→C:

γ(t) :=z0+re^i(2π⁻^t) negativ orientierte Kreislinie (3) Verbindungsstrecke vonz0nachz1:γ: [0,1]→C:

γ(t) :=z0+t(z1−z0) (4) Polygonz¨uge (Verkn¨upfung mehrer Verbindungsstrecken)

(5) Dreiecksweg Verbindungsstrecke vonz2nachz3nachz1

2. Kurvenintegrale

DEF 2.2 Integrationsweg

γ: [a, b]→Cheißt Integrationsweg, falls (1) γstetig

(2) γist st¨uckweise diff.bar, d.h.

∃ Zerlegung :a=t0< t1< . . . < tm=b:γ|^[ti,ti+1] stetig diff.bar (i= 0, . . . , m−1)

2.1 KURVENINTEGRALE 83

Bemerkung: DEF ist unabh¨angig von der Zerlegung L¨ange der Kurvenγ:

l(γ) :=

(1) Unabh¨angigkeit von der Parameterdarstellung:

Seienγ: [a, b]→C, σ: [c, d]→CIntegralwege mit

f dzist linear.

(3) Seiγ1: [a, b]→C, γ2: [c, d]→CIntegrations-Wege mitγ1(b) =γ2(c). Seif :T(γ1∪γ2)→Cstetig

84 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) Beweis von Eigenschaft 2a)

Z b a

f(γ(a+b−t))(−γ)^′(t)dt=− Z b

f(γ(a+b−t))(γ)^′(t)dt= Z b

f(γ(s))(γ)^′(s)−ds=− Z

f(z)dz

s:=a+b−t ds=−dt

Beispiel

Seiz0∈C, r >0γ(t) =z0+re^it t∈[0,2π] undf(z) = (z−z0)^m (m=−1,−2, . . .) Z

f(z)dz=

2π f alls m=−1 0 falls m=−2,−3, . . . Dennm=−1:

Z 2

π(re^it)⁻¹ire^itdt= 2πi

⇒ Z

z−z0 = 2πi

Bezeichungen

(1) z0, z1∈C, [z0, z1] =

z0+t(z1−z0) t∈[0,1]

⇒ −[z0, z1] = [z1, z0] (2) γ: [a, b]→Cheißt geschlossen, fallsγ(a) =γ(b).

(3) ∆ bedeutet ∆⊂Cabgeschlossenes Dreieck

3. Stammfunktion

DEF 2.4 Stammfunktion

SeiD⊆Coffen. Seif :D→Cstetig.F :D→Cheißt Stammfunktionvonf inD, falls (1) F holomorph in D

(2) F^′ =f in D

SATZ 2.5

SeiD⊆Coffen;f stetig inD. SeiF eine Stammfunktion vonf inD. Seienz0, z1∈DDann Z

f dz=F(z1)−F(z0)

f¨ur alle Integrationswegeγ, diez0 mitz1 verbinden.

InsbesondereR

f dz= 0∀ geschlossene Integrationswegeγ inD.

2.1 KURVENINTEGRALE 85 Beweis

Seienz0, z1∈Cbel. Seiγ: [a, b]→CIntegrationsweg diffenrzierbar mitγ(a) =z0, γ(b) =z1. (F◦γ)^′= (F^′◦γ)γ^′= (f◦γ)γ^′

⇒ Z

f dz= Z b

f(γ(t))γ^′(t)dt= Z b

(F◦γ)^′(t)dt=F(γ(b))−F(γ(a)) =. . .

Bsp.

(1) f(z) = (z−z0)^m, z∈C\{z0} (m=−2,−3, . . .) F(z) := 1

m+ 1(z−z0)^m+1, z∈C\ {z0} ist Stammfuntkion vonf inC\ {z0} (2) z→_z−z¹0 hat keine Stammfunktion inC\ {z0}. Aberz→ R

[z0+1,z]

dξ

ξ−z0 ist Stammfunktion von _z−z¹₀ inC⁻_z₀ C⁻z0 :C\

x+iImz0

x≤Rez0

SATZ 2.6 Bedinungen f¨ ur Stammfunktion

SeiG⊆CGebiet;f stetig inG. Dann sind ¨aquivalent:

(i) ^◦ f hat Stammfunktion inG (ii) ^◦ R

f dz= 0∀ geschlossene Integrationswegeγ (iii) ^◦ R

f dzh¨angt nur vom Anfangs und Endpunkt vonγab. Dass heißt f¨urγ: [a, b] −→ G, σ: [c, d] −→

Gmit γ(a) =σ(c), γ(b) =σ(d) gilt Z

f dz= Z

f dz

Beweis

(i)⇒(ii) (SATZ 2.5)

(ii)⇒(iii) Seienγ: [a, b]→C,σ: [c, d]→CIntegrationswege mitγ(a) =σ(c), γ(b) =σ(d) Definiereτ : [a, b+d−c]→C, τ :=γ∪(−δ)⇒γ(a) =σ(c) =τ(b+d−c).

(ii)⇒0 =R

f dz=R

f dz+ R

−σ

f dz=R

f dz−R

f dz

⇒R

f dz=R

f dz

σ

γ γ( )

σ( ) γ( )

σ( ) G

d b a

c

86 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) (iii)⇒(i) Seiz_∗∈Gfixiert. Seiz∈G,γzein Int.-Weg der z_∗mit zverbindet.

F(z) :=R

γz

f dξ h¨angt nur vonzab (iii). Seiz0∈Gbel.

∃r >0 :Br(z0)⊂G, γ˜z:=γz0∪[z0, z], z∈Br(z0) Int.-Weg vonz_∗ nachz

⇒F(z) = Z

˜ γz

f ds=F(z0) + Z

[z0,z]

f dξ=F(z0) + ˜F(z0), z∈Br(z0)

Nach SATZ 2.6’ ˜F ist holomorph, ˜F^′(z) =f(z)∀z∈Br(z0)⇒F^′(z) = 0 +f(z)∀z∈Br(z0)

SATZ 2.6’ Bedinungen f¨ ur Stammfunktion 2

SeiD⊆Ckonvex;f stetig inD. Dann sind ¨aquivalent.

(i) ^◦ f hat Stammfuntkion inD (ii) ^◦ R

δ∆

f dz= 0∀∆⊆D (δ∆ bzw.∂∆ Rand des Dreiecks)

Beweis

(i)⇒(ii)X (SATZ 2.5)

(ii)⇒(i) Seiz_∗∈D Wir definieren:

F(z) :=

[z_∗,z]

f ds= Z 1

f(z_∗+t(z−z_∗))(z−z_∗)dt, z∈D

Seienz∈D, h∈D ∆ =conv{z_∗, z.z+h}

z z+h

z

D

δ∆ = [z_∗, z]∪[z, z+h]∪[z+h, z_∗] = [z_∗, z]∪[z, z+h]∪(−[z_∗, z+h]) 0⁽ⁱⁱ⁾=

δ∆

f ds=F(z) + Z

[z,z+h]

f ds−F(z+h) = 0

⇒F(z+h)−F(z)−f(z)h= Z1

(f(z+th)h−f(z)h)dt:=ω(z;h)

Setigkeit von f ⇒ ^ω(z;h)h

≤ R1

0 |f(z+th)−f(z)|dt → 0 f¨ur h → 0. Damit ist F holomorph auf D und F^′=f.

2.2 CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) 87

2.2 CAUCHYsche Integralsatz (Sterngebiete)

SATZ 2.7 (GOURSAT)

SeiD⊆Coffen: seif holomorph aufD. Dann gilt f¨ur jedes abgeschlossenes Dreieck ∆⊂D:

2 abgeschlossens Dreieck, ∆^d

2 ⊂ D,∆^d

[f¨urf nur holomorph] siehe PRINGSHEIM (1905) to do

DEF 2.8 Sterngebiet

G⊆Coffen heißt Sterngebiet, falls∃z_∗∈G: [z_∗, z]⊂G(z_∗ heißt Sternmittelpunkt )

SATZ 2.9 (CAUCHYsche Integralsatz f. Sterngebiete)

SeiGSterngebiet, Seif :G→Cholomorph. Dann gilt:

Seix_∗∈GSternmittelpunkt vonG.

Definiere:u(x) :=

88 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) Beweis von SATZ 2.9 ? (Cauchy’ Int Satz f Sterng.)

Seif:G→Cholomorph. (f=u+iv) Definiere damit zwei wirbelfreie Vektorfelder:

x Damit erf¨ullen auchU, V die C.R.DGL:

SetzteF(z) =F(x+iy) =U(x, y) +iV(x, y)

FOLG 2.11 Integral ¨ uber Dreieck (Verallg. Lemma 2.7)

SeiD⊆Coffen, sei ∆⊂D abgeschlossenes Dreieck, seiz0∈∆.

1.Fall:z0 ist Eckpunkt von ∆

z

₁

CAUCHY’SCHE INTEGRALFORMEL 89 2.Fallz0∈δ∆, aber kein Eckpunkt

z

₀

∆

₂

∆

₁

δ∆

D

Nach 1.Fall: Z

δ∆

f(z)dz= Z

δ∆1

f(z)dz

| {z }

+ Z

δ∆2

f(z)dz

| {z }

= 0

3.Fallz0∈Int(∆)

z

₀

∆

₂

∆

₁

D

Nach 2.Fall: Z

δ∆

f(z)dz= Z

δ∆1

f(z)dz

| {z }

+ Z

δ∆2

f(z)dz

| {z }

= 0

FOLG 2.12 Integral ¨ uber geschlossenen Integrationsweg

SeiD⊆Coffen, konvex; seiz0∈DSeif stetig in D, holomorph in D\ {z0}. Dann gilt Z

f(z)dz= 0

f¨ur jeden geschlossenen Interationswegγ inD.

Beweis

Sei ∆⊂Dabgeschlossens Dreieck.

1. Fall:z06∈∆⇒∆⊂D\ {z0} SATZ 2.4?⇒ R

δ∆

f(z)dz= 0 2. Fall z0∈∆ nach Folg 2.11⇒ R

δ∆

f dz= 0

⇒(Satz2.6)∃ Stammfunktion f¨ur f in D ⇒Beh.

90 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) Beispiel

γ(t) =z0+re^it, t∈[0,2π]

bekannt: Z

dz z−z0

= 2πi

r z₀

ξ ξ

Es gilt: Z

dz z−ξ =

2πi f¨ur |ξ−z0|< r 0 f¨ur |ξ−z0|> r

SATZ 2.13 (CAUCHYsche Integralformel)

SeiD ⊆Coffen, sei f holomorph aufD. SeiBr(z0) Kreisscheibe mitBr(z0)⊂D. Sei γ(t) :=z0+re^it, t∈ [0,2π].

Dann gilt:

f(z) = 1 2πi

f(ξ)

ξ−zdξ ∀z∈Br(z0)

Beweis

∃R > r: BR(z0)⊂D, seiz∈Br(z0):

g(ξ) :=

(_f(ξ)

−f(z)

ξ−z f¨ur ξ∈BR(z0), ξ6=z f^′(z) f¨ur ξ=z g:BR(z0)→Cstetig,gholomorph in BR(z0)\ {z}

FOLG 2.12⇒0 =R

g(ξ)dξ=R

γ f(ξ)

ξ−zdξ−2πif(z).

FOLG 2.14 Ableitungen der Chauchy’schen Formel

SeiD⊆Coffen, sief holomorph aufD. Sei Br(z0) Kreisscheibe mitBr(z0)⊂D.

Seiγ(t) :=z0+re^it, t∈[0,2π].

Dann ist f unendlich oft diffenrenzierbar inD und es gilt:

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi Z

f(ξ)

(ξ−z)ⁿ⁺¹dξ, n∈N ∀z∈Br(z0)

Beweis

n= 1 Sei z∈Br(z0), seihmit: (z+h)∈Br(z0) f(z+h)−f(z) = 1

2πi Z

ξ−(z+h)− 1 ξ−z

f(ξ)dξ

ξ−z−h− 1

ξ−z = h

(ξ−z−h)(ξ−z) = h(ξ−z−h) +h²

(ξ−z−h)(ξ−z)² = h

(ξ−z)² + h²

(ξ−z−h)(ξ−z)²

2.4 KRITERIEN F ¨UR HOLOMORPHIE 91

⇒ 1

ξ−z−h− 1

ξ−z =ah+ω(z;h) = 1 2πi

f(ξ)

(ξ−z)²dξ·h+ω(z;h) =f(z+h)−f(z) wobei ω(z;h) = _2πi¹ R

f(ξ)

(ξ−z−h)(ξ−z)²dξ·h² z.z. ^ω(z;h)_h →0 f¨urh→0 gen¨ugt zu zeigenR

f(xi)

(ξ−z−h)(ξ−z)²dξ ist beschr¨ankt.

z∈Br(z0) : |ξ−z| ≥d= const>0∀ξ∈δBr(z0) f¨ur|h| ≤ ^d2 gilt:|ξ−z−h| ≥ |ξ−z| − |h| ≥d−^d2 = ^d₂

Damit:

f(xi)

(ξ−z−h)(ξ−z)²dξ

≤ max

Br(z0)|f| Z

dξ

|ξ−z−h||ξ−z|² ≤ 2 d

1 d²·max

Br(z0)|f|·2πr ∀|h| ≤d

2, (z+h)∈Br(z0)

⇒ ^ω(z;h)h →0 f¨urh→0

→f^′(z) =_2πi^1! R

γ f(ξ) (ξ−z)²dξ

F¨urn≥1 f¨uhre Induktion durch.

2.4 Kriterien f¨ ur Holomorphie

(Hinreichende Bedingung f¨ur Holomorphie; ¨aquiv. Charakterisierung)

SATZ 2.15 (MORERA)

SeiD⊆Coffen. Seif stetig aufD mit: Z

δ∆

f(z)dz= 0 f¨ur alle abgeschlossene Dreiecke ∆⊂D.

Dann ist f holomorph ( inD).

Beweis

SeiBrbel. offene KreisscheibeBr⊂D Br offen, konvex, insbed.:

δ∆

f dz= 0∀abgeschlossene Dreiecke ∆⊂Br

SATZ 2.6’ ⇒f bestitzt Stammfuntkion:

∃F:Br→C: F^′(z) =f(z) ∀z∈Br

AlsoF hohlomrph inBr⇒F unendlich oft diff.bar ⇒f diff.bar inBr⇒Beh.

SATZ 2.16 (¨ aquivalente Charakterisierung)

SeiD⊆Coffen, seif :D→Cstetig inD. Dann sind ¨aquivalent:

(i) f ist holomorph in D

(ii) f besitzt inD lokal Stammfunktionen:

∀Br0(z0)⊂D ∃F :Br0(z0)→Cdiff.bar mit F^′(z) =f(z) ∀z∈Br0(z0)

92 2. CAUCHYSCHE INTEGRALSATZ (STERNGEBIETE) (iii) f(z) =u(x, y) +iv(x, y), (x, y)∈D(z˜ =x+iy∈D)

u, v sind diff.bar in ˜D und es gilt die CHAUCHY-RIEMANNschen DGL.

(iv) ∀Bp0(z0)⊂D gilt: (i)⇔(iii) vgl. Kapitel 1, SATZ 1.3 (Cauchy; Riemann) (i)⇒(iv) BetrachteBp0(z0)⊂D;z∈Bp0(z0): Insbesondere Folgerung 2.14:f⁽ⁿ⁾(z) =_2πi^n! R

γ f(ξ) (ξ−z)ⁿ⁺¹dξ γ(t) :=z0+re^it, 0< ρ < r ⇒ f⁽ⁿ⁾(z) =n!an

3. Eigenschaften holomorpher Funktionen

3.1 Satz von LIOUVILLE, Fundamentalsatz d. Algebra

SATZ 3.1 (LIOUVILLE)

Seif :C→Cholomorph. Es gelte:|f(z)| ≤M = const<∞ ∀z∈CDann:

f(z)≡const

Beweis

Zeigen: f(z) =f(0) ∀z∈C Seiz∈Cbel. betrachter >|z|

⇒f(z)−f(0) = 1 2πi

f(ζ)

ζ−zdζ− 1 2πi

f(ζ) ζ dζ, wobei: γ(t) =re^it, t∈[0,2π]

⇒ |f(z)−f(0)|= 1 2π

f(ζ) ζ(ζ−z)dζ

|z|

|ζ|=r,|ζ−z| ≥ |ζ| − |z|=r− |z|>0

⇒ |f(z)−f(0)| ≤ 1

2π·M · 1

r(r− |z|)·2πr|z|

= M|z|

r− |z| →0 f¨urr→ ∞

SATZ 3.1

^∗

Polynome vom Grade k

Seif:C→Cholomorph mit

|f(z)| ≤A+B|z|^k ∀z∈C (A, B= const≥0, k∈Nfix. ) Dann istfPolynom vom Grade≤k.

SATZ 3.2 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes nicht-konstante Polynom inCbesitzt inCwenigstens eine Nullstelle.

94 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN Beweis

SeiP(z) :=a0+a1z+. . .+anzⁿ (an6= 0, n≥1) an, z∈C Ann.:P(z)6= 0∀z∈C;f(z) :=_p(z)¹ , z∈Cist holomorph inC.

|P(z)| ≥ |an||z|ⁿ− |a_n−1||z|ⁿ⁻¹−. . .− |a1||z| − |a0|

=|z|ⁿ

|an| −|an−1|

|z| −. . .− |a1|

|z|ⁿ⁻¹ −|a0|

|z|ⁿ

, z6= 0

∃R >0 : −|an−1|

|z| −. . .− |a1|

|z|ⁿ⁻¹ − |a0|

|z|ⁿ ≤|an|

2 ∀|z|> R

⇒ |P(z)| ≥ |z|ⁿ

|an| −|an| 2

=|an|

2 |z|ⁿ >1 2|an|Rⁿ

⇒ |f(z)|= 1

|p(z)| ≤ 2

|an|Rⁿ ∀|z|> R

|f(·)|stetig aufBR(0): |f(z)| ≤C1= const ∀z∈BR(0) Damit: |f(z)| ≤max

C1, 2

|an|Rⁿ

∀z∈C

Nach LOUIVILLEf(z) konstant⇒p(z) konstant⇒Widerspruch.

3.2 Eindeutigkeitssatz; Maximumsprinzip

G⊂Cheißt Gebiet:Gist offen,Gist wegzusammenh¨angend⇔6 ∃U1, U2 offen6=∅ mitU1∩U2=∅, G=U1∪U2.

SATZ 3.3 (Eindeutigkeit)

SeiD⊆CGebiet, seif :D→Cholomorph.

Es gelte mindestens eine der folgenden Voraususetzungen:

1. ∃U ⊂Doffen mit:f|U = 0

2. ∃z0∈D mit:f⁽ⁿ⁾z0) = 0 f¨urn= 0,1,2, . . . 3. ∃z0∈D und (zj)⊂D\ {z0} mit: lim

j→∞zj =z0 undf(zj) = 0∀j∈N Dann ist f ≡0 inD.

Vorbemerkung ( ¨Aquivalenz der Voraussetzungen)

• 1) ⇒ 2)X

• 1) ⇒ 3)X

• 3) ⇒ 1) : betrachte offene KreisscheibeBr(z0)⊂D ⇒ f(z) = P_∞

k=0ak(z−z0)^k ∀z ∈Br(z0) (Satz 2.16)

f stetig in z0:a0= ^f(z_0!⁰⁾ = lim

j→∞f(zj) = 0 ⇒ f(z) =P_∞

k=1ak(z−z0)^k ∀z∈Br(z0) – Induktionsannahme:a0=a1=· · ·=an= 0.

3.2 EINDEUTIGKEITSSATZ; MAXIMUMSPRINZIP 95

SATZ 3.3

^∗

(Eindeutigkeit-Variante 2)

Sei D ⊆ CGebiet, sei f : D → C holomorph.Es existiere (zn) ⊂ D mit: zn → z^∗ ∈ D, zn 6= z^∗, f(zn) = 0 ∀n ∈ N. Dann: f1hat gleichen Konvergenzradius:

lim sup^k

96 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN

Satz 3.3 auf f-g anwenden.

SATZ 3.5 kein Maximum

SeiD⊆CGebiet, seif inD holomorph, nicht konstant. Dann nimmtz→ |f(z)|kein Maximum inD an.

3.2 EINDEUTIGKEITSSATZ; MAXIMUMSPRINZIP 97

< 1

2π(M t1+M(t2−t1) +M(2π−t2)) =M` Wiederspruch und damit:|f(z)|=|f(z0)|=M ∀z∈BR(z0)

⇒f(z) =c0= const(∈C) ∀z∈BR(z0)

Folg. 3.4 ⇒ f(z) =c0∀z∈BR(z0),Widerspruch.

SATZ 3.5’ kein Minimum

SeiD⊆CGebiet, seif inD holomorph, nicht konstant. Dann nimmtz→ |f(z)|kein Minimum inD an.

Beweis

Ann.:∃z0∈D:|f(z0)| ≤ |f(z)| ∀z∈D g(z) := 1

f(z), z∈D⇒gholomorph,g nicht-konstant

|g(z)| ≤ |g(z0)| ∀z∈D `

Bem.:

f(x) :=x²+ 1, x∈]−1,1[

• f nicht konstant,f ∈C^∞(]−1,1[)

• f(x)≥f(0) = 1∀x∈]−1,1[

• f(]−1,1[) = [1,2[ nicht offen.

• f nicht injektiv Beispiel

f(z) =z² z=x+iy:

z²=x²−y²+ 2ixy Re(z²) =x²−y²6=x² ∀z mitImz6= 0 f(x) =x², x∈D:=]−1,1[⇒f(D) = [0,1[

D⊆CGebiet⇒f(D) Gebiet.

Satz von Brouwer

SeiD⊆Rⁿ offen, seif :D −→ Rstetig, injektiv. Dann istf(D) offen.

[ohne Beweis]

Aber: f(z) :=z², z∈B1(0)

• f nicht-konstant, holomorph

• f nicht injektiv

• f(B1(0)) =B1(0) w∈B1(0) : |w|<1 ∃zν(ν ∈ {0,1}) : z²_ν=w

98 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN

SATZ 3.6 Gebietstreue holomorpher Abbildungen

SeiD⊆CGebiet. Seif holomorph und nicht-konstant aufD. Dann ist f(D) offen (und damit Gebiet).

Beweis

Seiw0∈f(D) bel. zu zeigen: ∃Bρ(w0)⊂f(D)

w0=f(z0) mitz0∈D.D offen⇒ ∃R >0:BR(z0)⊂D.

∃0< r0≤R0:f(z)6=f(z0) ∀|z−z0=r0

Anderefalls: ∀0< r≤R∃zr mit:f(zr) =f(z0) und|zr−z0|=r;

Betrachter→0 :zr→z0, tzr6=z0

f(zr)−f(z0) = 0⇒f(z) =f(z0) ∀z∈BR(z0) Widerspruch, daf nicht konstant.

Definiere:ρ:= ¹₂min_|z−z0|=r0|f(z)−f(z0)| ⇒ρ >0 Seiw∈Bρ(f(z0)) bel.; zeigen: w∈f(D)(⇒ Beh. ).

Definiere:h(z) :=f(z)−w, z∈Br0(z0)

⇒hholomorph inBr0(z0), nicht konstant, stetig inBr0(z0).

Zeigen: ∃z˜∈Br0(z0) :h(˜z) = 0.

Annhameh(z)6= 0∀z∈Br0(z0)

SATZ 3.5⇒ |h(·)|nimmt inBr0(z0) kein Minimum an, andererseits:Br0(z0) kompakt⇒

∃z^∗∈Br0(z0) :|h(z)| ≥ |h(z^∗)| ∀z∈Br0(z0) Nun gilt:w∈Bρ(f(z0)), d.h.|w−f(z0)

| {z }

−h(z0)

|< ρ

⇒ ∀|z−z0|=r0 gilt:

|h(z)|=|f(z)−w|=|f(z)−f(z0) +f(z0)−w|

≥ |f(z)−f(z0)| − |f(z0)−w|

>2ρ−ρ=ρ

⇒ min

|z−z0|=r0|h(z)| ≥ρ >|h(z0)| ≥ |h(z^∗)|

⇒z^∗∈Br0(z0)

(denn anderenfalls:z^∗∈δBr0(z0) ⇒ |h(z^∗)| ≥min_z∈δB_r₀(z0)|h(z)|>|h(z^∗)|`)

⇒Widerspruch Damit:∃z˜∈Br0(z0) :h(˜z) = 0

SATZ 3.7 (Maximum-Prinzip)

SeiD⊆CGebiet, seif :D→Cholomorph.

(1) Es existiereBr(z0) mit:|f(z)| ≤ |f(z0)| ∀z∈Br(z0) Dann:f ≡const inD.

(2) SeiD außerdem beschr¨ankt. Seif : ¯D→Cstetig. Dann:

|f(z)| ≤max

ζ∈δD|f(ζ)| ∀z∈D.¯

3.2 EINDEUTIGKEITSSATZ; MAXIMUMSPRINZIP 99 Beweis

(1) Annahme: f nicht konstant inD⇒f(z0)6= 0.

SATZ 3.6⇒f(Br(z0)) offen;f(z0)∈f(Br(z0))

⇒ ∃Bρ(f(z0))⊂f(Br(z0)).

W¨ahlet >1 mit: (t−1)|f(z0)|< ρ, f¨urν:=tf(z0) gilt|ν|=t|f(z0)|>|f(z0)| andererseits gilt:|ν−f(z0)|= (t−1)|f(z0)|< ρ

d.h.ν∈Bρ(f(z0))⊂f(Br(z0))⇒ν =f(ζ) mitζ∈Br(z0)⇒ |ν|=|f(ζ)| ≤ |f(z0)| ⇒Widerspruch.

(2) ¯D kompakt:∃z^∗∈D¯ :|f(z^∗)|= max_z∈D¯|f(z)|

1.Fallz^∗∈D⇒f ≡const⇒Beh. 2.Fallz^∗∈δD⇒fertig.

SATZ 3.7’ (Minimum-Prinzip)

SeiD⊆CGebiet, seif :D→Cholomorph.

(1) Es existiereBr(z0) mit:|f(z)| ≥ |f(z0)| ∀z∈Br(z0) Dann:f(z0) = 0 oderf ≡const inD.

(2) SeiD außerdem beschr¨ankt. Seif : ¯D→Cstetig. Dann besitztf Nullstellen in ¯D oder

|f(z)| ≥ min

ζ∈δD|f(ζ)| ∀z∈D.¯ Beweis

(1) Seif(z0)6= 0⇒ |f(z)| ≥ |f(z0)|>0 ∀z∈Br(z0) g(z) := 1

f(z), z∈Br(z0)⇒qholomorph inBr(z0)

⇒f ≡const inBr(z0)⇒f ≡const inD.

(2) f habe in ¯D keine Nullstellen⇒f(z)6= 0∀z∈D¯ g(z) := 1

f(z), z∈D;¯ g: ¯D→Cstetig Aus SATZ 3.7/2⇒ |g(z)| ≤max_ζ∈δD|g(ζ)| ∀z∈D¯ ⇒Beh.

100 3. EIGENSCHAFTEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN

4 ^∗ . Isolierte Singularit¨ aten

4.1 Definition RIEMANNscher Hebbarkeitssatz

DEF 4.1 Singularit¨ at

SeiD⊆Coffen,z0∈D. Seif :D\ {z0} →Cholomorph.z0heißt isolierte Singularit¨at vonf. Beispiele

(1) sinz

z , z6= 0z0= 0 isolierte Singularit¨at.

(2) _z(z¹₋_i)2, z6= 0, zneqi: z0= 0, z1=iisolierte Singularit¨at.

(3) e¹^z, z6= 0 : z0= 0 isolierte Singularit¨at.

SATZ 4.2 (RIEMANNsche Hebbarkeitssatz)

SeiD⊆Coffen,z0∈D,f :D\ {z0} →Cholomorph mit:

fˆ(z) =f(z)∀z∈D\ {z0}

Beweis

g(z) :=

(z−z0)²f(z) f¨ur z∈D\ {z0}

0 f¨ur z=z0

z.z.gist differenzierbar inz0: 0<|h|< R: 1

h(g(z0+h)−g(z0))

=|h||f(z0+h)| ≤ |h|M →0 f¨urh→0

⇒g^′(z0) = 0⇒g holomorph inD.

⇒Br(z0)⊂D: g(z) = X∞ n=0

an(z−z0)ⁿ ∀z∈Br(z0)

⇒a0=g(z0) = 0 unda1=g^′(z0) = 0

⇒g(z) = X∞ n=2

an(z−z0)ⁿ= (z−z0)² X∞ n=2

an(z−z0)ⁿ⁻²= (z−z0)² X∞ n=0

an+2(z−z0)ⁿ

⇒fˆ= X∞ n=0

an+2(z−z0)ⁿ ∀z∈Br(z0)

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Im Dokument Analysis IIIb (Seite 33-0)