Hans Walser, [20150815]
Fibonacci-erzeugende Funktion Anregung: (Hong, 2015)
1 Worum geht es?
Wir arbeiten mit der verallgemeinerten Fibonacci-Folge an mit den Startwerten a0 und a1 und der Rekursion:
an = pan−1+qan−2 (1)
Wir suchen nun eine erzeugende Funktion, also eine (formale) Potenzreihe von der Form:
f x
( )
=a0+a1x+a2x2+!= anxnn=0
∑
∞ (2)2 Folgenglieder
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Folgenglieder.
n an
0 a0 Startwert 1 a1 Startwert 2 a2 = pa1+qa0
3 a3= p2a1+pqa0+qa1
4 a4 = p3a1+p2qa0+2pqa1+q2a0
5 a5 = p4a1+p3qa0+3p2qa1+2pq2a0 +q2a1 Tab. 1: Folgenglieder
Für p=q=1 und die Startwerte a0 =0,a1=1 ergibt sich die gewöhnliche Fibonacci- Folge.
3 Erzeugende Funktion Die Funktion
f x
( )
= a01−+(apx−qx1−a0p2)x (3)leistet das Gewünschte, wie durch Rückrechnen eingesehen werden kann. Zu zeigen ist:
a0+
(
a1−a0p)
x=(
1−px−qx2) (
a0+a1x+a2x2+a3x3+!)
(4)Für das Produkt auf der rechten Seite von (4) erhalten wir:
1−px−qx2
( ) (
a0 +a1x+a2x2+a3x3+!)
==
a0+a1x+a2x2+a3x3+!
−a0px−a1px2−a2px3−a3px4−!
−a0qx2−a1qx3−a2qx4 −a3qx5−!
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
=a0+
(
a1−a0p)
x+(
a2 −a1p−a0q)
"$$#=0$$%x2+
(
a3−a2p−a1q)
"$$#=0$$%x3+!
=a0+
(
a1−a0p)
x(5)
Wegen der Rekursion (1) verschwinden die Koeffizienten für x2 und höhere Potenzen von x. Damit sind (4) und (3) bewiesen.
3.1 Beispiele 3.1.1 Fibonacci
Für p=q=1 und die Startwerte a0 =0,a1=1 ergibt sich:
f x
( )
=1−x−xx2 =x+x2+2x3+3x4+5x5+8x6+13x7+21x8+! (6) Die Abbildung 1 zeigt den Grafen dieser Funktion.
Abb. 1: Funktionsgraf
3.1.2 p = 2
Für p=2,q=1 und die Startwerte a0 =0,a1=1 ergibt sich:
f x
( )
=1−2x−xx2 =x+2x2+5x3+12x4+29x5+70x6+169x7+408x8+! (7) Die Abbildung 2 zeigt den Grafen dieser Funktion.
Abb. 2: Funktionsgraf
4 Quotientenfolge
Wir bilden nun die Quotientenfolge:
bn =aan
n+1 (8)
Nebenbemerkung: Es ist (nicht mit der schulischen p-q-Formel verwechseln):
n→∞lim bn = −p+ 2pq2+4q und lim
n→−∞bn =−p− 2qp2+4q (10) Man kann sich überlegen, was die zweite Formel von (10) bedeutet.
Weiter sei nun:
cn = f b
( )
n (11)4.1 Beispiele 4.1.1 Fibonacci
Für p=q=1 und die Startwerte a0 =0,a1=1 ergeben sich die Werte der Tabelle 2.
n an bn cn
0 0 0 0
1 1 1 –1 2 1 12 2 3 2 23 –6 4 3 53 15 5 5 58 –40 Tab. 2: Fibonacci
4.1.2 p = 2
Für p=2,q=1 und die Startwerte a0 =0,a1=1 ergeben sich die Werte der Tabelle 3.
n an bn cn
0 0 0 0
1 1 12 –2 2 2 25 10 3 5 125 –60 4 12 1229 348 5 29 2970 –2030
Tab. 3
4.1.3 q = 2
Für p=1,q=2 und die Startwerte a0 =0,a1=1 ergeben sich die Werte der Tabelle 4.
Die Werte der Folge cn sind nicht mehr ganzzahlig. Der Einfluss von q = 2 ist offen- sichtlich.
n an bn cn
0 0 0 0
1 1 1 −12 2 1 13 43 3 3 53 −158 4 5 115 1655 5 11 1121 −23132
Tab. 4
5 Tribonacci
Die Folge cn genügt folgender Rekursion:
cn =−p2q+qcn−1+ p2q+qcn−2+cn−3 (12)
Wir haben eine so genannte Tribonacci-Folge.
Beweis fehlt, experimentell erhärtet.
Die Startwerte a0 und a1 der ursprünglichen Folge haben keinen Einfluss auf die Re- kursion (12). Hingegen hängen die Startwerte der Folge cn von den Starwerten der ur- sprünglichen Folge ab:
c0 = f b
( )
0 = f( )
aa01 , c1= f b( )
1 = f( )
aa12 , c2 = f b( )
2 = f( )
aa23 (13)Für q = 1 und ganzzahlige Startwerte sowie ganzzahliges p sind die Werte von cn ganzzahlig.
Die Folge cn hat mit der Schreibweise
r=−p2q+q, s= p2q+q, t=1 (14)
die erzeugende Funktion:
g x
( )
=c0+(c1−rc1−rx−sx0)x+(c22−tx−rc31−sc0)x2 (15)Literatur
Hong, Dae S. (2015): When is the Generating Function of the Fibonacci Numbers an Integer? The College Mathematics Journal. Vol. 46, No. 2, March 2015, 110-112.
