Sur les zéros des polynômes hypergéométriques et les polynômes de Stieltjes

Research Collection

Doctoral Thesis

Sur les zéros des polynômes hypergéométriques et les polynômes de Stieltjes

Author(s):

Vuille, Charles Publication Date:

1916

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-000104583

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Sur les zéros des polynômes hypergéométriques

et des polynômes ^de Stieltjes

THÈSE

PRÉSENTÉE A

L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE

DE ZURICH

POUR L'OBTENTION DU TITRE DE

DOCTEUR ES SCIENCES MATHÉMATIQUES

PAR

CHARLES VUILLE

DE LA SAGNE

RAPPORTEUR: M. LE PROF. D' A. HURWITZ CO-RAPPORTEUR: M. LE PROF. D' A. HIRSCH

164 ZURICH, ¹⁹¹⁶

—•rZ^T^~

GENÈVE

IMPRIMERIE ALBERT KUNDIG

1916

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Sur les zéros

des polynômes hypergéométriques

et des polynômes ^de Stieltjes

INTRODUCTION

Le

premier objet

^{de ce travail est l'étude de la}

répartition

dans le

plan

des nombres

complexes

^{des zéros des}

polynômes hypergéométriques.

^{Il existe un assez}

grand

^{nombre de tra¬}

vaux sur les zéros de la fonction

hypergéométrique;

^les

plus importants

^{sontceuxde :}

Klein, Ueber die Nullstellen der

hypergeometrischen

Reihe, Mathematische Annalen, ^ßd 37, S. 573. 1890.

Hurwitz, Ueber die Nullstellen der

hypergeometrischen

Reihe,Mathematische Annalen, Bd 38, S. 432, ^1890.

Id._, Ueber die NuUstellen der

hypergeometrischen

Funktion, Mathematische Annalen, ^Bd 64, S. 517, ^1907.

SriEi/rjES,

Correspondance

^avec Hermile, t. II, p. 132, 134, 142, ^1891.

VanVleck, A determination

nf

^{the number}

of

^{real and}

imaginary

^roots

of

the

hypergeometric

^series,Transactionsof the American Mathematical

Society,

^{vol.3, 1902.}

Hilbert, Ueber die Discriminante der im Endlichen abbrechenden

hyper¬

geometrischen

Reihe, ^CrellesJournal, ^Bd 103, ^S. 337, ^1887.

Laguerue,

^{Sur la}distributiondans le

plan

des racines d'une

équation algé¬

brique

^{dont le}

premier

^membre

satisfait

^{à une}

équation différentielle

linéaire du secondordre, Œuvres, ^t. I, p. 161, ^1882.

- 4 ^—

Ces deux derniers travaux traitent

plus spécialement

^{le cas}

où la série

hypergéométrique

^{se réduit à un}

polynôme;

^c'est

aussi le cas que^nousétudions ici.

Le

chapitre premier rappelle

^{la définition du}

point

^{dérivé et}

un théorème

important permettant d'étudier, d'après

^{une mé¬}

thode

indiquée

par

Laguerre,

la distribution dans le

plan

^des zéros d'un

polynôme

satisfaisant à une

équation

différentielle linéaire du second ordre.

Les trois

chapitres

^suivants traitent de

l'application

^{de cette}

méthode aux

polynômes hypergéométriques

; des résultats

auxquels

nous sommes parvenus,

quelques-uns

sont nouveaux, les autres coïncident avec ceux énoncés sans démonstrations par

Laguerre1

^ou

comprennent

^ceux-ci

implicitement.

Dans le dernier

chapitre,

^nous

appliquons

^{la méthode de}

Laguerre

^aux

équations algébriques

^{dont le}

premier

^membre

f(z)

^satisfaità

l'équation

différentielle :

A

(z). f"{z)

⁺

B(z). f'{z)

+

C(z). f{z)

^{= 0}

où

A(z), B(z)

^et

CO)

désignent

^trois

polynômes

^{en z. Nous donnons une nouvelle}

démonstrationd'unthéorèmeétabli

déjà

par^M.

Georges Pôlya2 puis

^{nous démontrons un théorèmeun} peu

plus général auquel

nous sommes parveuus.

1 Œuvres, ^t. I,p. 165.

2 Comptes rendus,^t. 155,p. 767.

Définition du

point

^{dérivé et théorème} fondamental.

Soit une

équation algébrique

^de

degré

^{n :}

f(z)

⁼

a0zn

⁺

üiZ»-1

+ ^... + an⁼ 0 .

(1)

z

désignant

^une

quantité complexe quelconque,

^{formons l'ex¬}

pression

t=i-nm- ⁽²⁾

Les

quantités

^{z et} Ç

peuvent

^être

représentées

^{dans le}

plan

des nombres

complexes

par deux

points

que ^nous

appellerons

pour

abréger

^:

points

^{s et}Ç.

Laguerre

^{nomme le}

point

Ç^:

point

^{dérivé du}

point

^z par

rapport

^à

l'équation f{z)

^{= 0'.}

Si,

pour la valeur considérée _{z, la} dérivée

f'{z)

^{est diffé¬}

rente de

zéro,

Ç^{a unevaleurfinie eten}

général

^différente de z;

au

point

^z

correspond

^un

point

bien déterminé

Ç;

^les

points

^z

et Ç coïncident

lorsque

^{zest racine de}

l'équation f(z)

^{= 0.}

Soient zit z2> ..., zn les racines de

l'équation (I)

que ^nous

représenterons

^aussi par ^des

points

^du

plan.

On

peut

^{démontrer le} théorème suivant:

Si,

_parun

point quelconque

^{z du}

plan,

^on

fait

passer^une

circonférence

telle que tous les

points

z4, z2 ^... z„ soient situés d'un même côté de cette

circonférence,

^le

point

£ ^{dérivé du}

point

^zpar

rapport

^à

l'équation

^f

(z)

^{= 0 se trouve aussi du}

même côté de la

circonférence (flg. 1).

1 Laguerre, Œuvres,^t.I, p. 56^r Sur la résolution des équations numériques.

— 6 ^—

En

effet,

^si

X,

^Y

désignent

^des coordonnées

courantes, l'équation

d'une circonférence

passant

par le

point z(x, y) peut

^{s'écrire :}

K(X, Y)

⁼

A[(X

^-

oc)2

+

(Y

^-

y)*]

—

B(X

^—

x)

^—

C(Y- y)

^{= 0 .}

(3)

Cettecirconférence divise le

plan

^en

deux

régions,

caractérisées l'une _par

l'inégalité K(X,Y) < 0,

l'autre par

K(X,Y) >

^0.

Supposons

que ^tous les

points

z\\xii

Vi)'

Z^[X^, Pîlt ^••• > Zn[ÛCn, y

m)

soient situés dans la

région

^caracté¬

risée _par

K(X, Y)^0;

^ces

points peuvent

éventuellement se

trouver,

tous ou en

partie,

^sur la circonférence.

Nous avons alors:

A[(xk

^—

ocy

+

(yk

^—

yf]

^{— B}

(œk

^—

x)

^—

C(yk —y^O

h=.

1, 2,

..., n .

d'où l'on tire:

B(xk

^—

x)

+

C(yk

^—

y)

(xk

^—

xf

⁺

(yk

^—

y)2

^{A .}

(4)

D'autre

part,

^{de la définition}

(2)

^du

point ^dérivé,

^{nous dé¬}

duisonssuccessivement:

n

rw

t ^—z

m

^{+ +... +}

n 1

z zn

Posons: z= x

+ iy,

zk^— xk +

iyk,

£⁼

£

+ iy.

Il vient : n

,7„ —y) 2i ou :

n

(X

^—

x)

^f i()j —y)

-g ^(a?t

^—

^a;)

^{+ »}

^(y*

^—

^y)

(g

^{— x) —}

t(n

^—

y)

_

<^ç ^{xk

^—

^üc)

^—

^i{yk

^—

^y)

(I

^-

oof

+

(„

^-

y)«

-

-g ^(a*

^-

^,«)a

⁺

^(y,

^-

^y)2

d'où en

séparant

^{le réel de}

l'imaginaire

^:

v n

4 ^—X -^ri Xk ^{— X}

n

n

: _{= ,S!} a

n ^—

yf

^

(a*

^—se.

n

(^r^-»-+-(ïJ

^_

yf

^-2

(^

^_

#)

⁺

(y^-1/)2

^•

($

^—

xf

⁺ (u ^— yf

iti

(x«

—

*)*

⁺

(y«

^—

y)

n ^— y

-sb

^{yk —y}

Multiplions

^la

première

^{de ces}

égalités

par ^— , la seconde Q

par^— et additionnons-les membre àmembre.

Nous obtenons:

B(Ç

^-

x)

⁺

C(»

^—

y)

_

1 _xj ^{B(a>* —}

<»)

+

C(y*

^—

y)

_ 1_-^

B(d?fc

—

w-^J (xi- ^—

(5

^—

«)2

⁺

(» —y)2

ⁿ_-g (a*

-

a?)2

+

(yt

^—

y)"

et

d'après (4)

^:

B(g —a;)

⁺

Cfo —y) (I

^-

*)2

⁺

(«

^-

2/)a

^-

ou bien:

A[(|

^-

<r)2

+

(v,

^-

y)2]

^-

B($

^-

x)

^-

C(«

^-

y)

^{^0 .}

Le

point

Ç ^{est donc du même} côté de la circonférence que ^les

points

zlzi ^{... zn. 0.}Q. ^{F. Ü.}

La démonstration est évidemment la même si les

points

zizi...zn^{sonttousdans la}

région

caractérisée par

K(X7 Y)

^{^ 0}; ilen est alors de même du

point

Ç. Notre calcul nous montre que le

point

^{Ç estsur la} circonférence

lorsqu'il

^{en estainsi de}

tous les

points

zizi ^... zn et seulement dans ce cas. Le théo-

— 8 ^—

rème reste naturellement vrai dans le cas

particulier

^{où la} circonférence se réduit à une droite.

Soit maintenant _zt l'une

quelconque

^{des racines de}

l'équa¬

tion

f(z)

^{= 0.} Considérons

l'équation

^de

degré

^{n— 1 :}

m

₌₀

z^— z,

(5)

et calculons le

point

^{dérivé Ç, du}

^point

^zx par

rapport

^à

l'équa¬

tion

(5).

Si Ç ^{est le}

point

^{dérivé d'un}

point quelconque

z, ^nous avons

d'après

^{la définition:}

m

K=z-{n-l)tiw\'

— Zi

d'où,

^en

posant

^:

Ç^{= z —}

{n

^—

1)

2!

et pour ^{z =} zl ^:

Les n—1 racines de

l'équation (5)

^{sontlesracines} z^z3... zn de

l'équation f(z)

^{= 0.}

^Si,

par le

pointy,

^nous faisons passer

une circonférence_{telle que} tous les

points

^{z%... zn soient d'un}

mêmecôté de cette

circonférence,

^le

point

^{Ç, se trouvera aussi}

d'après

^{le théorème}

démontré,

^{du même côté de cette circon¬}

férence. Or Zi est l'une

quelconque

des racines de

l'équation f(z)

^=0.

Nous pouvons donc énoncer le théorème

fondamental

^sui¬

vant:

z,, z2, ^... z„ étant lesracines de

l'équation f(z)

⁼

0, si,

par l'un

quelconque

^{zk des n}

points

z,, za, ^... zn , on

/««Y

passer une

circonférence (ou

^une

droite)

^telle que les n ^— 1 autres

points

^soientsitués d'un même côté de celte

circonférence,

^le

point Çk défini

^par:

çt

⁼

,t-2(n -1)^

est situé du même côtéde cette

circonférence.

Laguerre1

^{a énoncé ce théorème et a montré comment on}

pouvait l'appliquer

^àl'étude de la distributiondansle

plan

^des racines d'une

équation algébrique

^{dont le}

premier

^membre satisfait à une

équation

différentielle linéaire du second ordre.

Nous

étudierons, d'après

^cette

méthode,

^la

répartition

^{dans le}

plan

des zéros des

polynômes hypergéométriques qui,

^comme

on le

sait,

satisfont

justement

^{à une telle}

équation

^différen¬

tielle.

Laguerre

^a

énoncé,

sans en donner les

démonstrations,

les résultats

auxquels

^{l'avait conduit}

l'applicatio^

^{de sa mé¬}

thodeaux

équations

^{dont le}

premier

^{membre est un}

polynôme hypergéométrique.

^Nous retrouverons ces résultats au cours de ce travail.

1 Œuvres, ^t. I, p. 161-166.

CHAPITRE II

Première

application

du théorème fondamental.

Considérons lasérie

hypergéométrique

^:

F(a,b,c,z)

^{= l} +

y^z

⁺

_l2c^{c

₊

_i)

^{z +}

qui

^satisfaità

l'équation

différentielle linéairedu secondordre:

z{\

^—

z). ¥"(z)

⁺

[c

^—

(a

+^b +

1)*]F'(*)

^{—a. b .}

F(z)

^{= 0 .}

Donnons au

paramètre

^{a une}valeur entière

négative:

^—n;

la série se réduit alors à un

polynôme hypergéométrique

^de

degré

^{n. Pour}

employer

^{la notation de}

Laguerre, remplaçons

b _par ^a et c par

ß

^{—n +}

\,

^{x et}

ß

^{étant des}

quantités

^réelles

quelconques.

^Nous obtenons le

polynôme

^:

Y(~\ ^-1 ^{n * ,}

n(n-l).«.(«

⁺

!)

, ,

+ (

,)nn.(n-l)...\.a...(oc

+^n—

1)

'rK '

l.2...n.(ß

^—

n+\)...ß

ou bien :

rW—.-£<•

^{^}

1.2..k.(ß-n+l).(ß-n+2)..(ß-n+k)~

^{{ '}

où le

premier

coefficient est

égal

^{à 1.}

Afin _que ce

polynôme

soit bien de

degré

^{n et} que ^{ses coeffi-}

cients aient des valeurs

finies,

^{nous devons}

imposer

^{à « et}

ß

les conditions suivantes :

a ^ ^— v )

_ v ⁼

0,1,2, ...,n-\

^.

p^v

)

F(z)

^{satisfait à}

l'équation

différentielle:

z(\

^—

z)F"(z)

+

[(ß

^—n +

1)

^—

(a

^{— n} +

\)z}F'(z)

+

a.nF(s)

^{= 0}

ou en

posant

^{n— 1 =} p.^:

Z(l

^-

2)Y"(z)

⁺

[(n

^-

«)z

⁺

ß

^-

p]F'(z)

+

((i

⁺

l) *F(z)

^{= 0 .}

(2)

Considérons maintenant

l'équation

^de

degré

^n:

FW

⁼

0, (3)

F

(z) désignant

^notre

polynôme liypergéométrique.

^Soient

zt, zt, ^... zn les racines de

l'équation (3)

que ^nous

représen¬

terons dans le

plan

des nombres

complexes

par ^les

points

%i 9 *ä> ^'•• Zn ^.

Calculons,

une fois pour

toutes, l'expression

^du

point

^dérivé

Ç,

^d'un

point

^racinezt par

rapport

^à

l'équation

^{—~^— = 0.}

Nousavons par définition^:

Si,

^dans

l'équation

différentielle

(2),

^{nous faisons z =} zit nous

obtenons,

^en

remarquant

que

F(z,)

^{= 0 :}

*,(1

^-

zJF'iZi) + [fc

^-

oc)zi ⁺ ß

^-

(xjF'iz,)

^{= 0}

d'où l'on tire:

F'(*,)

_

__ii(Lziii)__

F"(*,) (p —a)*, +ß~fj.

— 12 ^— On trouve alors pour Ç4

l'expression

^:

£i

⁼ zt

+2p. ^*«(1

—

*,)

ou bien:

(ju.

^—

tx)zt

⁺

ß

^{— u}

y ^— ?

g

⁺ p ^—

*«(

f*

(4)

Supposons

que z{ soit la racine ou une desracines de

l'équa¬

tion

(3)

^{dont la valeur ab-}

+y

^{solue est. la}

plus grande

et décrivons autour de

l'origine

^{comme centre}

unecirconférence

passant

par le

point

zt

(flg. 2).

^Si

zt est

imaginaire,

^{la cir¬}

conférence passera ^{en ou¬}

trepar^unsecond

point

zif racine

conjuguée

^de zl,,

symétrique

par

rapport

^à l'axe desœ.

Tous les

pointsz2,

z3,...

zn sont situés à l'intérieur du cercle

.eeïistëéfé,

cir¬

conférence

comprise. D'après

^{le théorème}

fondamental,

^{il en}

sera de même du

point

dérivé Ç,; c'est-à-dire _quenous aurons: Vh> 2.

ou

d'après (4)

^:

15,1

⁼

l*i

et en

remarquant

^que

\zt |

n'est pas nul ^:

|/3

⁺ p ^—

zt(*

⁺

p)I^IO* —«)*i

+

ß-p\

13

Posons _zt ⁼_xt +

iyl

; ^nous obtenons successivement

j(/3

⁺

^p)

^-

^(«Hh^f

⁺

Z/Ka

⁺

fx)2

^

{(/3

^-

^)

^_a;,

(«

^-

pi) }'

⁺

^&(«

^-

^a)2

^•

4*ti(a:\

⁺

y[)

^-

_2x,\ («

+

p)(/9

⁺

^

^~

03

^~

f)(«

^~

fO !

+

03

+

f*)2

^-

(/S

^-

f*)â

^{^0}

«G»!

⁺

yD

^-

*i(«

⁺

ß)

+

ß

^{^o •}

'

(5)

Si _zx

désignait

^{la racine ou une} des racines dont la valeur absolue est la

plus petite,

^nous serions conduits par ^{un calcul}

analogue

^à

l'inégalité

^:

«(*»!+#) ^—*i(«

⁺

/3)

⁺

/3^0

^.

(6) Supposons

^«

>

^0.

De

(5)

^{nous tirons:}

<

⁺

y\

^- oc,

(l

⁺

^

⁺

^{^}

^{0 .}

Le

point

zt est situé à l'intérieur du cercle:

X* 4.

y*

^{— x}

(\

₊

^Ê\ 4-^

^{= 0} ,

circonférence

comprise.

Nous avons deux casà considérer: 1/31

ier cas:

\ß\ >

^{a ou LC-!}

>

^{1. Le}

point

^{z. est à} l'intérieur du

a

cercle I ou du cercle II suivant que

ß

^est

positif

^ou

négatif (flg. 3).

^{Dans les deux cas il sera à} l'intérieur du cercle décrit autour de

l'origine

^{comme centreavec—} pour rayon ^et il en

sera de même à

plus

^forteraison pour ^toutesles autres racines

— 14 ^—

de

l'équation F(z)

^{= 0. Nous avons} ainsi démontré le hui¬

tième théorème énoncé _par

Laguerre1

^:

Ißlf

"ex.

[

0

lk )

Fig, ^3.

Théorème VIII . Si a.

>

^{0 et}

|/3| >

« tot4es /es racinesde

l'équation -F'(z)

^{— 0 sem£}

comprises

^à l'intérieur du cercle

2e cas:

\ß\ ^<

^{a ou —}

131 ^<

^{1. Le}

point

^{.3, est à} l'intérieur du cercle I ou du cercle II suivant que

ß

^est

positif

^ou

négatif (fig. 4);

dans les deux cas il se trouve à l'intérieur du cercle décritautourde

l'origine

^{commecentreavec}l'unité pour rayon et il en est de même à

plus

^forte raison de toutes les autres racines de

l'équation F(z)

^{= 0. Nous retrouvons ainsi le neu¬}

vième théorème de

Laguerre

^:

1 Œuvres, ^t.I, p. 165 ; faute d'impression. ^{Les théorèmes}sont numérotés ici

d'aprèsl'ordre danslequel Laguerre^{lesaénoncés.}

Théorème IX : Si a.

>

^{0 et}

| ^ß | ^<

^{« toutes les racines de}

Véquation F(z)

^{= 0 ,ço«£}

^comprises

à l'intérieur du cercle

(0, 1)\

Considérons maintenant

l'inégalité (6)

^où

^(a^

4-

«Vi)

^dé-

0

V J4

Fig. ^4.

signe

^{laracine ou une des racines dont la} valeur absolue est la

plus petite,

^et introduisons l'inversion par

rapport

^{au cercle}

(0,1):

_

oc'

__

y'

^. _{, i} _

i

x-^fy> y~^r+-y<

^{ou 1*1}

~\7\-

L'inégalité (6)

^devient:

-s-^—i

^—

(«

⁺

/3)-„ .'

_{„ +}

ß

^ ⁰

a?. + y. ^«• + _y.

ou bien ^:

ß(tf

+

tf)-(*

⁺

ß)<+«^o

^•

Supposons /3

^{< 0. Alors:}

1 Egalement^fauted'impression^chezLaguerre.

— 16 ^—

Le

point z[

^{se trouve à} l'intérieur du cercle

circonférence

comprise.

Nous avons de nouveau deux casà considérer:

1er cas:

|«| ^> ,J3|

^ou

>

^{1. Le}

point z[

^{est à} l'intérieur du cercle I ou du cercle IIsuivant _que a est

négatif

^ou

positif (flg. 5).

Dans les deux cas il se trouve à l'intérieur du cercle décrit autour de

l'origine

^{comme centreavec} a

Donc

\z\\ <

H

pour rayon.

Fig. ^5.

Or

\z,\

¹

*•77, d'où:

> ß

Le

point

zi est doncsituéàl'extérieur ducercledécritautour de

l'origine

^avec

ß

^{- comme} rayon ^et il en sera de même à

plus

^forte raison des autres racines de

l'équation F(z)

^{= 0.}

Nousavonsainsi démontréle

quatrième théorème

de

Laguerre

^:

Théorème IV : Si

ß <

^{0 et}

\ß\ < J«|

^toutes les racines de

l'équation F(z)

⁼0 sont situées à l'extérieur ducercle

( ^0,

2e cas:

|«|

^<

|/3|

^ou

ß <

^{1. Le}

point

^{est à} l'intérieur du cercle I ou du cercle II suivant _que aest

négatif

^ou

positif (flg. 6);

dans les deux

cas il se trouve à Tinté- +y>

rieur du cercle décrit autour de

l'origine

^avec

l'unité pour rayon.

Donc

|.si| <

^{1 d'où l'on} conclut

|^,|

^{> 1.}

Le

point

zt ^{et à}

plus

forte raison aussi toutes les autres racines de

l'équation F(z)

^{= 0 sont} situés à l'extérieur du cercle unité.

Nous retrouvons ainsi le

cinquième

^théorème

de

Laguerre

^:

Théorème V^: Si

ß ^<

^{0 et}

| ß j ^> |

^a

|

^toutes les racines de

l'équation F(z)

^{=0 sont} situées à Vextérieur du cercle unité

(0, 1).

Fig. ^6.

2

CHAPITRE III

Deuxième

application

du théorème fondamental.

Soit m une

quantité

^réelle

quelconque.

Considérons la droite

.* + my + p⁼

0,

p étant un

paramètre variable,

^et

déplaçons

cettedroite

parallèlement

^à

elle-même

depuis

^le

point (—

^oo,

0)

dans la direction du

point (-|-

oo,

0) jusqu'à

ce

qu'elle

passe par^un

point

-i

{x\

^>

VA)

^{racine de}

l'équa¬

tion

F(*)

⁼

0,

^F

(z)

^dési¬

gnant toujours

^notre

poly¬

nôme

hypergéométrique (flg. 7).

^{Cette droite aalors}

pour

équation

^:

Fig.^7.

X xi +

m(y

^—

?/,)

^{= 0}

Toutes les autres racines _{zt, z3} ... zn de

l'équation F(z)

^{= 0}

sont du même côté de cette droite que le

point (+

^oo,

0)

^{et il}

en est de même,

d'après

^{le théorème}

fondamental,

^du

point

dérivé:

Ç, ⁼

£,

+ *„, =zt+

2? S-[l~,Zfi

(fj.

^—

a)*,

+

ß

^— p.

ce

qui

^{nous donne}

l'inégalité

^:

Çf

^— xi +

m(ytx

^—

y,)>

^{0 .}

(1)

Le

signe >

devrait être

remplacé

par le

signe

^{= dans le}

casoù toutes les racines zt, 22, ^... zn sont ^sur la

droite,

^ce

qui

n'est

possible

que pour ^{m —} x, si toutes les racines sont

réelles,

ou pour ^{m =}0 si toutes lesracines ontla même

partie

réelle. Donnons à m une valeur réelle finie

quelconque

^et

notons que

l'inégalité (1) peut

éventuellement se transformer

en une

égalité

pour ^{m =} 0.

(1) peut

^s'écrire:

R[(Çt-*f)a -im)}>

^{0 ,}

R

indiquant

^la

partie

^{réelle de la}

quantité

^entre

parenthèse.

Posons m =

tg

ç, p étant

supposé compris

^{entre — ~- et}

+

^; d'où,

^en

remarquant

que ^cos9 est

positif:

RK^-zM'9) ^>o

^.

Introduisons latransformation de coordonnées:

z ^— z . er

ou bien

, ^• 1

x = x cos<p ^{— y sin}9 ⁼

—7^—=== ^(x'

^—

my')

y⁼

%j

^cos9 + _{x' sin 9} ⁼

-Tr={\j

+

mx')

V1 + m2

(2)

obtenueen faisanttourner le

système Oxy

^de

l'angle

9 ^autour de

l'origine.

Notre

inégalité

^devient:

(1')

R(Ç\

^-

z\) ^>

^{0 .}

Nousavons d'autre

part

^:

Si -i ^{- '}

(p

^—

^a)zt

⁺

^ß

^{— ;x}

— 20 ^— d'où par ^notre transformation:

(Ç1-z'i)e*=2!x

ï\

^-

z\

⁼

2p

(n

^—

BWei

+

ß-n

(ljL

^—

*)z'te'*

⁺

ß

^—n

(1')

^devient:

d'où:

RjY((l

^-

z't e*)^

^-

a)z'te-^

⁺

ß

^-

y)} ^>

⁰ ,

2'j désignant

^le

conjugué

^de

z\.

R[z\z't(e-^

^-

z't)(n

^—

«)

+

03 -f*)^(l

^—

V9)]

^{> 0}

ce

qui

^donne:

«

⁺

ijî) (cos

₉ ^—

aft)

(u ^—

a)

+

(/3

^—

p.) [a/,

^(1—œ\ cosy⁺

y\

^sin

9)

⁺

^{2/\ (x\} sin9

⁺

*/', cos9)]

^{> O}

1 ou en divisant tous les termes par ^cos9 ^— ,

r\

^{Vl +nr}

(a*

⁺

2/7)(1

^—

<r', V/r+w*)(<*

^{— «)}

+

(jS

^—

v)[x\ (VTr ^w"2

^—

a',

⁺

y, m)

⁺

^ (œ\

^{m +}

j/t)]>0

ou enfin:

(«

^-

p) «

+

?/>', V/TT^1

+

(2p

^-a-

/3) <

⁺

(ß

^-

a) tf

+

2(ß

^-

fj.)mœ\ tft

⁺

(ß- fi)aft V\~+ri> >

^{0 .}

(3) Supposons

^d'abord:

« ^— p. > ^{0 .}

Divisons tous les termes de

(3)

par

(«

^—

p)

^et posons

-—-=q ^{: nous} obtenons: a^—p

(oc':

+

y'l)oc\ Vï+W»

^-

₍₁

+

q)tf

⁺

(q

^-

\)y'l

+

2mqx\y\

⁺

qx\ V'T+m? >

^{0 .}

(4) Remarquons

^en

passant

que la racine

l/l

₊ m2 doit être

prise positivement puisque

^cos<p ^{=-- .} est

toujours

po-

Vl-\-m2

sitif.

Considérons la courbe du troisième

degré

^:

f(x', y')

⁼

(a/2

⁺

y'2)x' V\ +m2

^—

x'2(l

+

q)

+

y'2(q

^—

1)

+

2mqx'y'+ qx' \/T+m?

^{= 0 .}

(5)

Cette courbe

partage

^le

plan

^{en deux}

régions caractérisées,

^l'une _par

f(x', y')

> ⁰

qui

^{contient en}

particulier

^le

point z\;

^l'autre par

f(x', y') <

0 ; ^une de

ces

régions peut

^{d'ailleurs être formée}

de deux

portions

^{distinctes du}

plan

^{si la}

courbe se compose de deux

branches,

comme

l'indique

^la

flgure schématique

ci-contre

(flg. 8).

Nous pouvons résoudre

l'équation (5)

par

rapport

^à

y'

^:

,_

—mqx'+

V"m2q2x'2

^—(x'

VT+»P

+3^—

l)(V3Vl

+^»t2—xn(\ + q) +qx'

Vl

+w")

x']/l+^m- +2^—1 ou bien :

Fig.^8.

22 où_{act et «j} sont racines de

l'équation

se^•

X

VT+

^m'

-<z(?-i)

^{= o}

d'où:

et nous avons : «, + «2 ⁼

«, _

1 g=

\/l

+

4g(g

^—

1)(1 +m2) 2V/1

+^w

(7) VT+

^OT2

*,.«, ^{= —}

q{q

^—

1)

Nous avons deux cas à considérer suivant le

signe

^du pro¬

duit

q{q

^—

1).

1er cas:

q(q

^—

1) <

^{0. Alors le}

produit

a,. a2 et la somme

o «,

^+"Ç>

HC'

y

Fig. ^9.

«f -+- a2 sont

positifs

; donc _«, et _«2 sont aussi

positifs,

^{s'ils sont}

réels,

^et

compris

^dans l'intervalle 0 ^— ,^ =r. Il est clair

vT+ ^m"

que, suivant les valeurs

respectives

^de

qet

m, ^a, et _a2

peuvent

aussi être

imaginaires. Supposons

^d'abord «, et _«2 réels et notons sur l'axe des w' les

points 0,

«,, «s et 1

lA

+^m

(fig- 9).

Les

points

«, et «2 sont d'ailleurs

symétriques

par

rapport

^au

point

2\/l

+ ^m"

L'équation (6)

^{nous montre} que

y'

^{n'est réel} que pour les valeurs de x'

comprises

^{entre 0 et} «4 d'une

part,

^{et entre} a2 et

—-v==^ d'autre

part.

^{La courbe}

fix', y')

^{= 0 se} compose V \ + ^m1

donc dans ce cas de deux branches distinctes

comprises

^l'une

entre les deux droites x'

=0,

^x'= ai, l'autre entreles deux droites x' a«, x ^— 1

v/rr

^{m':. Ces}

^quatre

^{droites sont tan¬}

gentes

^{à la}

courbe,

^la

première

^en

particulier

^au

point

^0lui-

même.

La courbe

possède l'asymptote

^:

œ

1-J

\/l

+ ^m'

suivant _{que q} est

>

^{- ou}

<

^{~ cette}

asymptote

^est

comprise

entre les deux droites x' ⁼

0,

^{œ' =} cxt, ou entreles droites

:. Dans le

premier

^{cas la courbe se}

œ x =

VT+

^m"

compose d'une branche infinie située dans le

premier

^inter¬

valle et d'une branche fermée

comprise

dans le second inter¬

valle. L'inverse a lieu dans le second cas.

Si _«! et_a2 sont

imaginaires, y'

^est réel pour ^{toutes les va¬}

leurs de x'

comprises

^{entre 0}

1

-7~>

et et seulementpour

l ^+x'

VY+m?

^{' * "} Fig. ^10.

ces valeurs.

La courbe se compose ^{donc d'une} seule branche infinie com-

prise

^{entre les}

tangentes

^x'=

0,

^x'= 1

(fig. 10).

\/l+ma

En

résumé,

^nous voyons que,

quels

que soient «4 et a3, notre

!

24 ^—

courbe du troisième

degré

est entièrement

comprise

^{entre les}

deux droites

x' -=0, x ⁼ 1

VY+

^m-

Tous les

points

^{situés à}

gauche

^{de la droitex'= 0 sont d'un}

même côté de la

courbe;

par

conséquent

pour ^{tous ces}

points f(x',y')

^{a le même}

signe,

c'est-à-dire le

signe

^—

(signe

^de

f(x', y')

pour

y'

^{= 0 x'= — oo}

)

; ^tous les

points

pour

lesquels f{x', y')

^est

positif

seront donc à droitedecettedroite x'⁼0 et il en seraainsi en

particulier

^du

point z\ ^(x\, y\)

; d'où^:

x\ >

⁰

et en faisant la transformation inverse de

(2)

^:

x, + _my,

>0

ou bien:

x, + _myt

>

⁰

Le

point

^z,(x,,

yt)

est donc du même côté de la droite d, ^{: x} -j- my ⁼ 0

que le

point (+

^oo,

0)

; il en sera de

même,

^à

plus

^forte

raison,

de toutes les autres racines de

l'équation F(z)

⁼

0, d'après

^la définition mêmedu

point

-s.

(flg. 11).

Nous pouvons ^donc dire: m étant une quan¬

tité réelle finie

quelcon¬

que, ^toutes les racines de

l'équation

^F

(z)

^{= 0}

sont situées du même côté de la droitex+ my

=

0que

^le

point (+ oo,0).

Fig. ^{il. Si}l'on fait varier_m,cette

droite tourne autourde

l'origine

^et

peut prendre

^{toutes les}

posi¬

tions sans toutefois coïncider avec l'axe des x. Il en résulte que toutes les racines ^de

l'équation F(V)

^{= 0 sont réelles et}

positives,

^{et nous} pouvonsénoncer le résultat suivant:

Si a.^— p.

>

^{0 et}

q(q

^—

1) <

^{0 toutes} les racines de

l'équa¬

tion

F(z)

^{— 0 sont réelles et}

positives.

2ecas:

q(q

^{— 1}

^>

^{0 d'où} q

<

⁰ ou q

>

^1.

Dans ce cas les deux nombres _«j et _«2 sont

toujours

réels ; leur

produit

^est

négatif

^et

leur somme

positive

; les deux

points

xt, a2,

symé¬

triques

par

rapport

^au

point comprennent 2V/1

₊ m2

dans leur intervalle le 2e intervalle 0

v/rr

^Fig.

12.

m"

(fig. 12).

L'équation (6)

^{nous montre} que

y'

n'est réel que pour les valeurs de x'

comprises

^entre «t et 0 d'une

part

^{et entre}

~7== et a, d'autre

part.

La courbe

f(x', y')

^{=0 se} compose de deux branches dis¬

tinctes

comprises,

l'une entre les deux

tangentes œ'=at,

x' = 0,' l'autre entre les deux

tangentes

^{x' — —.-_ ,}

V\

+^m2

!_-g_

Vl+m2

et, _par

conséquent,

^{la branche infinie de la courbe sont com¬}

prises

^{dans le}

premier

^{intervalle oudans le second. La courbe}

estdoncentièrement

comprise

^{entre les deux}

tangentes

^x'=xl, x'⁼_Xi. Tous les

points

^{situés à}

gauche

de la droite x'^— _x, sont d'un même côté de la

courbe;

par

conséquent

pour ^tous

ces

points f(x', y')

^{a le même}

signe,

c'est-à-dire le

signe

^—; tousles

points

pour

lesquels f(x', y')

^est

positif

^sont donc néces- x'—_«2. Suivant queq est> ^{1 ou}

<

⁰

l'asymptote

^x'-

— 26 ^—

sairement à droite de cette droite x'= at et il en est ainsi en

particulier

^du

point z\ (af^ ?/,)

; d'où^:

x't

^— «, > ⁰

et en faisant la transformation inverse de

(2)

^:

xt + myt

«.

>0

ou

V\

+ ^m2

xt

+

myt ^— a,

\/l

+ ^m2

>

⁰

Le

point zK{xu yt)

^{est donc situé du même côtéde la droite}

d«,

^{: x} + my^— «,

l/l

₊ ma= 0 que le

point (+

oo,

0)

^{et il}

enest

ainsi,

^à

plus

^forte

raison,

^{de toutes les}

autresracines de

l'équa¬

tion

F(z)

⁼⁰

(flg. 13).

Nous pouvons dire^:

ni étant une

quantité

réelle finie

quelconque,

toutes les racines de

l'équation F(z)

^{=0 sont}

situées du même côté de la droite rf2 que le

point (+

^oo,

0).

Cherchons l'enve¬

loppe

^de

di lorsque

^m

varie.

Si nous

remplaçons

^«, par la valeur trouvée

(7), l'équation

de cette droite

peut

^{s'écrire :} Fig. ^13.

d'où,

^{en dérivant} par

rapport

^au

paramètre

^m:

?/ + _ô-

4q(q

^—

\)m

2'V/l +

4q(q

^—

1) (1

+

ni2)

on en tire :

y

et en introduisant cette valeur du radical dans

l'équation (8)

, 1 ^{mq{q —}

1)

^„

x + my ^{— - ï-^ = 0}

2 ,v

d'où

m=

*-2

^x

q(q—D q(q

^—

i)

Remplaçons

^m par ^cette valeur dans

l'équation (8) après

avoir fait passer le radical au secondmembre et élevé les deux membres de

l'équation

^{au carré.}

Nous obtenons :

1 1

x ^— ö + _y

q{q— \)—y2

=

4+?(î-l)

^l+

^</2

1

X^—;

(q(q-l)-yr

ou

X

(q{q-\)-y*y iq»(q—iy

⁼

\+q(g-l)

¹

^+?/s

x ^—

(g(g-i)-2/2)2-

X

(q(q—l)

^— y-ïr2

q(q

^~

!)[?(?

^-

1)

^-

y"l

⁼ 7 +

QÜ

^-

])

— 28 ^— d'où

ou bien

œ-ï

\

⁺

^9(S-l)'9(a

+

x

S ^—

-1)

^{= 1}

y*

__

q{q ^—

1) (9)

La droite

d2 enveloppe

^une

ellipse

^{de centre} _2' ^{0 et de} demi-axes et

Vq{q

^—

1),

^ou

plus

exactement lademi-

ellipse BiAiBü puisque ^d2

^{rencontre l'axe des x en un}

point

d'abscisse

négative

^: «,

l/l

+ m2. Cette

ellipse

^{a les}

points (0, 0)

^et

(1, 0)

^comme

foyers (fig. 14).

Considéronscette

ellipse

E etsoient

d2', d2", d'"a,

^...

diverses

positions

que

prend

^{la droite}

d2 lorsque

m

varie;

^{toutes lesracines}

de

l'équation F(z)

^{= 0}

sont situéesdu même côté de chacune de ces droites que le

point (-4-

oo,

0);

lorsque

^{m devient de}

plus

^en

plus grand,

^{la droite}

da

^tend

vers une

position limite,

^{vers la}

tangente

^à

l'ellipse parallèle

àl'axe desx. Nous en déduisons lerésultat suivant :

Si a. ^— [x

>

^{0 et}

q(q

^—

1) >

^{0 toutes lesracines de}

l'équa¬

tion

F(z)

^{= 0 sont situées à} t'intérieur de la

portion

^de

plan

limitée par la

demi-ellipse Bt A,B2

et par les deux

parallèles

àl'axe des x:

B^

,

B„C2.

<4

+YS A

I

^{^~ B1 '-.}

\

^{0 4-Ri.----'iy • i,}

Fig. ^14.