Stringtheorie I Prof. Dieter L¨ ust

WS 2004/2005 16.12.04

Stringtheorie I Prof. Dieter L¨ ust

Ubungsblatt 8¨

1. Die konforme Abbildung vom Zylinder auf die komplexe Ebene

Seien σ, τ wie gehabt die Koordinaten auf der Weltfl¨ache. Wir definieren die komplexen Koordinaten auf dem Zylinder:

z⁰ =τ −iσ, z⁰ =τ+iσ.

Die Abbildung auf die komplexe Ebene ist definiert durch z =e^z0, z =e^z0.

(i) Worauf wird eine Linie auf der Weltfl¨ache mit gleichbleibendem τ abgebildet?

(ii) Was geschieht mit σ–Translationen σ →σ+θ und Zeittranslationen τ →τ +a unter der Abbildung auf die komplexe Ebene?

Sei φ(z, z) ein konformes Feld, welches unter z → z⁰ = f(z), z → z⁰ = f(z) wie folgt transformiert:

φ(z, z)→φ⁰(z⁰, z⁰) = ∂z⁰

∂z h

∂z⁰

∂z h

φ(z⁰, z⁰).

(iii) Betrachte die infinitesimalen Transformationen

z⁰ =z+ξ(z), z⁰ =z+ξ(z).

Wir erhalten φ⁰(z, z) =φ(z, z) +δ_ξ,ξφ(z, z). Berechne δ_ξ,ξφ(z, z).

(iv) Gib das Transformationsverhalten des konformen Feldes φ(z, z) unter Reskalierung z →λz, λ reell und unter Rotationen z →e^−iθz an.

(v) Betrachte nun wieder die Abbildung vom Zylinder auf die komplexe Ebene und gib die Relation eines holomorphen Feldesφ(z)E auf der Ebene zum Feldφ(z)Z auf dem Zylinder an.

2. Das Operatorprodukt mit dem Energie-Impulstensor Die erhaltene Ladung

Tξ = I

C0

dz

2πiξ(z)T(z)

generiert die infinitesimale konforme Transformation z → z⁰ = z+ξ(z), wobei T(z) der Energie-Impulstensor ist. δξφ(w), berechnet in Aufgabe 1.iii) hier mit h = 0, ∂φ = 0, ist gegeben durch

δ_ξφ(w) = [T_ξ, φ(w)].

Beachte dabei, dass Produkte radial geordnet sind:

R(φ1(z)φ2(w)) =φ1(z)φ2(w), |z|>|w|,

R(φ₁(z)φ₂(w)) =φ₂(w)φ₁(z), |z|<|w|. (2.1) Zeige, dass ein konformes Feld φ das folgende Operatorprodukt mit T(z) hat:

T(z)φ(w) = hφ(w)

(z −w)² + ∂φ(w)

(z−w) + endl. Terme.

Tip: Cauchy-Riemann