Inhalt
Allgemeine Verhältnisrechnung (direktes Verhältnis) . . . 4
Allgemeine Verhältnisrechnung (umgekehrtes Verhältnis) . . . 5
Allgemeine Verhältnisrechnung (Schaubilder) . . . 6
Zweisatz . . . 8
Dreisatz . . . 12
Prozentsätze in Brüche und Dezimalzahlen verwandeln . . . 16
Prozentsätze zeichnerisch darstellen . . . 17
Berechnung der Prozentwerte . . . 19
Herabsetzung des Preises (Berechnung des Prozentwertes) . . . 23
Berechnung der Prozentsätze . . . 24
Berechnung der Grundwerte . . . 28
Prozentrechnung (Textaufgaben) . . . 31
Prozent- und Promillerechnung . . . 37
Berechnung der Zinsen . . . 38
Berechnung der Zinsen (Kopfrechnen) . . . 42
Berechnung des Kapitals, des Zinssatzes bzw. der Zeit . . . 43
Zinsen und Zinseszinsen . . . 47
Zinsrechnung (Textaufgaben) . . . 48
Test: Verhältnisrechnung, Prozent- und Zinsrechnung • A . . . 53
Test: Verhältnisrechnung, Prozent- und Zinsrechnung • B . . . 57
Verhältnisrechnung, Prozent- und Zinsrechnung • Themenübersicht . . . 61
Lernerfolgskontrolle • 1 . . . 62
Lernerfolgskontrolle • 2 . . . 63
Lösungen . . . 64
Unbestritten ist, dass die allgemeine Verhältnis-, die Prozent- und die Zinsrechnung sehr bedeutsam für die Bewältigung von Lebenssituationen sind. Begonnen wird in diesem Heft mit der allgemeinen Ver- hältnisrechnung. Hierbei sollen die Kennzeichen und Rechenverfahren bei direkten und umgekehrten Verhältnissen erlernt werden. Die Methoden Zweisatz und Dreisatz werden intensiv behandelt. Von der allgemeinen Verhältnisrechnung erfolgt die Überleitung zur Prozentrechnung. Nach der Klärung des Begriffs Prozent wird zunächst auf die zeichnerische Darstellung von Prozentsätzen eingegangen. Das Schwergewicht der Prozentrechnung liegt im Heft auf der Berechnung von Prozentwerten, Prozentsätzen und Grundwerten. Im Anschluss an Textaufgaben zur Prozentrechnung und nach kurzer Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Prozentrechnung und der Promillerechnung, ist die Zinsrechnung das The- ma. Hier gilt es, die Zinsen, das Kapital, den Zinssatz und die Zeit zu berechnen. In knapper Form wird die
VORSC
HAU
Allgemeine Verhältnisrechnung (direktes Verhältnis)
Vereinfacht gesagt ist in der Mathematik ein Verhältnis eine feste Beziehung (ein konstanter Zusammen- hang) zwischen zwei oder mehreren Zahlengrößen. Zwischen zwei Zahlengrößen ist ein direktes
Verhältnis (= gerades Verhältnis) gegeben, wenn beide Zahlengrößen im gleichen Maße größer und im gleichen Maße kleiner werden („Je mehr …, desto mehr …; je weniger …, desto weniger …!“).
Beispiel: 1 kg einer bestimmten Ware kostet 2 Euro, 2 kg dieser Ware kosten 4 Euro,
demnach kosten 3 kg der Ware 6 Euro … Fülle die Tabelle vollständig aus!
Menge der Ware (in kg): Preis der Ware (in Euro):
1 kg 2,50 Euro
⮊
1. 2 kg⮊
2. 3 kg⮊
3. 7 kg⮊
4. 9 kg⮊
5. 12 kg⮊
6. 14 kg⮊
7. 17 kg⮊
8. 21 kg⮊
9. 24 kg⮊
10. 29 kg⮊
11. 1,5 kg⮊
12. 4,5 kg⮊
13. 8,5 kg⮊
14. 11,5 kg⮊
15. 16,5 kg⮊
16. 18,2 kg⮊
17. 22,6 kg⮊
18. 27,7 kg⮊
19. 33,3 kg⮊
20. 37,9 kgBeachte: Im täglichen Leben gibt es für den Kauf größerer Mengen Preisnachlässe!
VORSC
HAU
Allgemeine Verhältnisrechnung (umgekehrtes Verhältnis)
Zwischen zwei Zahlengrößen besteht ein umgekehrtes Verhältnis (= ungerades Verhältnis), wenn die eine Zahlengröße größer, die andere Zahlengröße zugleich entsprechend kleiner wird („Je mehr …, desto weniger …; je weniger …, desto mehr …!“).
Beispiel: Ein Arbeiter benötigt für eine bestimmte Arbeit 24 Tage (24 : 1 = 24) zwei Arbeiter benötigen für dieselbe Arbeit 12 Tage (24 : 2 = 12) somit benötigen drei Arbeiter für diese Arbeit 8 Tage (24 : 3 = 8).
Fülle die Tabelle vollständig aus!
Zahl der Arbeiter: Benötigte Arbeitszeit:
1 Arbeiter 180 Stunden
⮊
1. 2 Arbeiter⮊
2. 3 Arbeiter⮊
3. 4 Arbeiter⮊
4. 5 Arbeiter⮊
5. 6 Arbeiter⮊
6. 9 Arbeiter⮊
7. 10 Arbeiter⮊
8. 12 Arbeiter⮊
9. 15 Arbeiter⮊
10. 18 Arbeiter⮊
11. 20 Arbeiter⮊
12. 24 Arbeiter⮊
13. 25 Arbeiter⮊
14. 30 Arbeiter⮊
15. 32 Arbeiter⮊
16. 36 Arbeiter⮊
17. 40 Arbeiter⮊
18. 45 Arbeiter⮊
19. 48 Arbeiter⮊
20. 50 ArbeiterHinweis: Voraussetzung ist, dass alle Arbeiter dieselbe Leistungsfähigkeit und den gleichen Arbeitswillen haben.
VORSC
HAU
Allgemeine Verhältnisrechnung (Schaubilder) • 1
Verhältnisse zwischen zwei Zahlengrößen lassen sich in Schaubildern (= Diagrammen) darstellen.
Ein Beispiel für ein direktes Verhältnis (= gerade Verhältnis):
Lies aus dem oberen Schaubild ab und schreibe auf!
Wie viel Geld verdient eine Aushilfe in einer Firma:
1. in 1 Stunde?
⮊
2. in 2 Stunden?
⮊
3. in 2,5 Stunden?
⮊
4. in 3,5 Stunden?
⮊
5. in 4,5 Stunden?
⮊
Trage in das obere Schaubild ein und schreibe auf! Wie viel Geld verdient eine Aushilfe in einer Firma:
6. in 6 Stunden?
⮊
7. in 7 Stunden?
⮊
8. in 8 Stunden?
⮊
9. in 8,5 Stunden?
⮊
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
80 70 60 50 40 30 20 10
Zeit (Std.) Lohn
(Euro)
11 12 13
VORSC
HAU
Allgemeine Verhältnisrechnung (Schaubilder) • 2
Ein Beispiel für ein umgekehrtes Verhältnis (= ungerades Verhältnis):
Lies aus dem oberen Schaubild ab und notiere! Wie viele Tage reicht der Futtervorrat, 11. wenn 1 Pferd versorgt werden muss?
⮊
12. wenn 2 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
13. wenn 3 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
14. wenn 4 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
15. wenn 5 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
16. wenn 10 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
17. wenn 12 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
18. wenn 15 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
Rechne aus! Wie viele Tage reicht der Futtervorrat:
19. wenn 20 Pferde versorgt werden müssen?
⮊
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
60 50 40 30 20 10
Zahl der Pferde Futtervorrat
(Tage)
11 12 13 14 15
70 80 90
VORSC
HAU
Zweisatz • 1
Zweisatz bedeutet, dass die Rechnung in zwei Schritten (= Sätzen) durchgeführt wird. Zwei Arten des Zweisatzes sind zu unterscheiden: Entweder wird ausgehend von der Einheit (Grundgröße) eine Mehrheit (Vielfaches) berechnet oder ausgehend von der Mehrheit (Vielfaches) wird die Einheit (Grundgröße) ausgerechnet.
Direktes Verhältnis
Beispiel (Von der Einheit zur Mehrheit):
Aufgabe: In einem Karton befinden sich jeweils 8 Dosen Wie viele Dosen sind insgesamt in 6 Kartons enthalten?
Zweisatz:
1. Satz: 1 Karton ≙ 8 Dosen
2. Satz: 6 Kartons ≙ 8 · 6 Dosen = 48 Dosen Beispiel (Von der Mehrheit zur Einheit):
Aufgabe: Mit einem Eimer, in dem 2,5 Liter Farbe sind, lässt sich eine Fläche von 30 m2 streichen.
Welche Flächengröße kann man mit einem Liter dieser Farbe streichen?
Zweisatz:
1. Satz: 2,5 l ≙ 30 m2
2. Satz: 1 l ≙ 30 : 2,5 m2 = 12 m2
Löse die folgenden Textaufgaben!
1. Für einen km benötigt ein Ausdauerläufer 5 Minuten. Wie lange braucht dieser Ausdauerläufer für eine Strecke von 10 km, wenn er das Tempo beibehält?
⮊
1. Satz:2. Satz:
2. Ein Mädchen spart in jedem Monat 7,50 Euro. Wie viel Geld hat das Mädchen nach einem Jahr gespart?
⮊
1. Satz:2. Satz:
3. In einer Stunde legt ein Autofahrer mit seinem Fahrzeug auf der Autobahn 95 km zurück. Wie viel km fährt der Autofahrer bei Beibehaltung seiner Geschwindigkeit in 2 ½ Stunden?
⮊
1. Satz:2. Satz:
4. Durch ein Rohr läuft gleichmäßig Wasser. In einer Minute sind es 50 Liter. Wie viele Liter Wasser fließen in einer Viertelstunde durch das Rohr?
⮊
1. Satz:VORSC
HAU
Zweisatz • 2
5. In der Luft breitet sich der Schall mit einer Geschwindigkeit von etwa 330 m pro Sekunde aus. Welche Entfernung legt der Schall in einer halben Minute zurück?
⮊
1. Satz:2. Satz:
6. 7 Pumpen, die dieselbe Leistungsstärke haben, fördern in einer bestimmten Zeit zusammen 2 100 Liter Wasser. Wie viele Liter Wasser fördert eine Pumpe in der Zeit?
⮊
1. Satz:2. Satz:
7. Eine Maschine stellt in 5 Stunden 3 850 Schraubverschlüsse her. Wie viele Schraubverschlüsse stellt die Maschine in einer Stunde her?
⮊
1. Satz:2. Satz:
8. Zum Verschnüren von 25 gleichen Paketen werden 20 Meter Bindfaden verbraucht. Wie viel Meter Bindfaden werden pro Paket verbraucht?
⮊
1. Satz:2. Satz:
9. Bei einem Fußballspiel werden durch den Verkauf von 320 Stehplatzkarten (für Erwachsene) 2 880 Euro eingenommen. Wie teuer war eine Stehplatzkarte (für Erwachsene)?
⮊
1. Satz:2. Satz:
10. 550 m2 Bauland kosten 165 000 Euro. Wie teuer ist 1 m2 Bauland?
⮊
1. Satz:2. Satz:
VORSC
HAU
Zweisatz • 3
Umgekehrtes Verhältnis
Beispiel (Von der Einheit zur Minderheit):
Aufgabe: Eine Maschine erledigt eine Arbeit in 8 Stunden. Welche Zeit benötigen zwei Maschinen für die Arbeit?
Zweisatz:
1. Satz: 1 Maschine ≙ 8 Stunden
2. Satz: 2 Maschinen ≙ 8 Stunden : 2 = 4 Stunden Beispiel (Von der Mehrheit zur Einheit):
Aufgabe: 3 Personen teilen sich die Kosten für eine Taxifahrt. Jeder muss 8,50 Euro bezahlen. Wie teuer wird die Taxifahrt, wenn eine Person allein mitfährt?
Zweisatz:
1. Satz: 3 Personen ≙ 8,50 Euro (je Person) 2. Satz: 1 Person ≙ 8,50 Euro · 3 = 25,50 Euro
Löse die folgenden Textaufgaben!
11. Zum Abtransport von Sand braucht ein Lastkraftwagen 6 Tage. Wie lange brauchen 3 Lastkraftwagen, um den Sand wegzubringen?
⮊
1. Satz:2. Satz:
12. Eine Wasserpumpe füllt ein Schwimmbecken in 210 Minuten. In welcher Zeit füllen 5 Wasserpumpen dieses Schwimmbecken?
⮊
1. Satz:2. Satz:
13. Eine 3,60 m lange Holzlatte soll in 8 Holzlatten zersägt werden, die alle dieselbe Länge haben sollen.
Wie lang wird jede Holzlatte?
⮊
1. Satz:2. Satz:
14. Der 1,5 Liter Inhalt einer großen Flasche wird gleichmäßig auf 6 Flaschen verteilt. Wie viele Liter werden in jede der 6 Flaschen gegossen?
⮊
1. Satz:2. Satz:
VORSC
HAU
13 . In einem Fußballstadion sind 47 300 Zuschauer . 63 % der Zuschauer sind Erwachsene .
Wie viele Erwachsene sind im Stadion?
⮊
14 . Ein Smartphone hat 16 Giga-Byte internen Speicher . 6,8 Giga-Byte des Speichers sind belegt .
Wie viel Prozent des Speichers sind belegt?
⮊
16 . Ein Kaufmann kaufte eine Ware für 42 Euro ein . Zum Preis von 56 Euro verkauft der Kaufmann die Ware . Wie viel Prozent Gewinn macht der Kaufmann?
⮊
15 . Eine Ware ist 25 % billiger als vorher . Vorher kostete die Ware 49 Euro . Wie viel Geld kostet die Ware jetzt?
⮊
Prozentrechnung (Textaufgaben) • 5
VORSC
HAU
17 . Eine junge Frau verdiente pro Stunde 9,50 Euro . Jetzt bekommt die Frau 10 % mehr .
Wie viel Geld verdient die Frau nun pro Stunde?
⮊
18 . Eine Familie verbrauchte im Vorjahr durchschnittlich 440 Liter Wasser pro Tag . In diesem Jahr hat die Familie im Durchschnitt 480 Liter Wasser pro Tag verbraucht .
Um wie viel Prozent ist der Verbrauch gestiegen?
⮊
20 . Die Einwohnerzahl eines Stadtteils ist in den letzten 5 Jahren um 9 % auf 46 107 gestiegen .
Wie viele Menschen wohnten vor 5 Jahren in der Stadt?
⮊
19 . Einschließlich Mehrwertsteuer (19 %) beträgt die Rechnungssumme 73,78 Euro .
Wie hoch ist die Rechnung ohne Mehrwertsteuer?
⮊
Prozentrechnung (Textaufgaben) • 6
VORSC
HAU
Prozent- und Promillerechnung
In der Prozentrechnung wird mit der Zahl 100 verglichen:
1 % = 1001 2 % = 1002 3 % = 1003 …
In der Promillerechnung erfolgt der Vergleich mit der Zahl 1 000 . Das Zeichen für Promille ist ‰ .
1 ‰ = 100010 2 ‰ = 10002 3 ‰ = 10003 …
pro (lateinisch) = für, bezogen auf; mille (lateinisch) = 1 000
Zahlenangaben in Promille werden z . B . gemacht beim Alkoholgehalt im Blut, beim Eiweißbedarf des Menschen, bei Jahresprämien für Versicherungen…
Merke dir: 1 % = 10 ‰ 1 ‰ = 0,1 %
Rechne um in Promille!
1 . 4 % =
⮊
2 . 7 % =
⮊
3 . 1,2 % =
⮊
4 . 2,3 % =
⮊
5 . 0,6 % =
⮊
6 . 0,05 % =
⮊
7 . 0,13 % =
⮊
8 . 1,06 % =
⮊
9 . 1 12 % =
⮊
10 . 21 % =
⮊
Rechne um in Prozent!
11 . 20 ‰ =
⮊
12 . 35 ‰ =
⮊
13 . 8 ‰ =
⮊
14 . 7,4 ‰ =
⮊
15 . 12,3 ‰ =
⮊
16 . 0,9 ‰ =
⮊
17 . 16,51 ‰ =
⮊
18 . 102,3 ‰ =
⮊
19 . 4 12 ‰ =
⮊
20 . 51 101 ‰ =
⮊
Angaben in Promille erfolgen gewöhnlich nur, wenn der entsprechende Prozentsatz (sehr) klein ist .
VORSC
HAU
Berechnung der Zinsen • 1
Die Zinsrechnung ist sozusagen die „Prozentrechnung unter der Beachtung der Zeit“ . Bei der Zinsrechnung geht es stets um Geld . Zinsen sind eine Vergütung, Entschädigung für geliehenes Geld . Die Höhe der Zinsen (z) hängt vom Kapital (k), von dem Zinssatz (p) und der Zeitdauer (j, m oder t) ab .
Vergleich der Fachbegriffe der Prozentrechnung mit den Fachbegriffen der Zinsrechnung:
Prozentrechnung Zinsrechnung
Prozentwert (Pw) ≙ Zinsen (z)
Prozentsatz (Ps oder p) ≙ Zinssatz (p), Zinsfuß (p)
Grundwert (Gw) ≙ Kapital (k), Darlehen (k), Kredit (k)
gibt es nicht in der Prozentrechnung! ≙ Zeit: Jahre (j), Monate (m), Tage (t)
In der Zinsrechnung müssen von den vier Größen immer drei Größen gegeben (= bekannt) sein, um die vierte Größe ausrechnen zu können . Zur Berechnung der Zinsen müssen der Zinssatz (p), das Kapital (k) und die Zeit (j, m oder t) bekannt sein .
Berechnung der Jahreszinsen:
Wird keine andere Zeit angegeben, gilt immer die Jahreszinsrechnung, d . h . die Zinsen für ein Jahr sind zu berechnen .
Die Jahreszinsen lassen dich per Formel, aber auch mit einem Dreisatz ausrechnen . Beispiel:
Wie viel Zinsen gibt es für ein Kapital von 5 000 Euro bei einem Jahreszinssatz von 3 % nach einem Jahr?
Lösung mit der Jahreszins-Formel:
z = k · p · j100 %
z = 5 000 Euro · 3 % · 1 (Jahr) 100 %
z = 5 000 Euro · 3 % · 1 100 %
z = 150 Euro
Lösung mit dem Dreisatz:
1. Satz: 100 % ≙ 5 000 Euro
2. Satz: 1 % ≙ 5 000 Euro : 100 = 50 Euro 3. Satz: 3 % ≙ 50 Euro · 3 = 150 Euro
VORSC
HAU
Name:
erreichte Punktzahl:
Test: Verhältnisrechnung,
Prozent- und Zinsrechnung • A
11. Alter Preis der Ware: 60 Euro
Herabsetzung des Preises der Ware: 35 % Rechne den neuen Preis der Ware aus!
⮊
12. In einer Woche wurden in einem Geschäft 36 % der gelieferten 25 Fernsehgeräte verkauft. Wie viele Fernsehgeräte der Lieferung wurden verkauft?
⮊
13. In einer Schulklasse sind 15 Jungen und 9 Mädchen. Wie viel Prozent der Klasse sind Jungen?
⮊
14. Einschließlich 19 % Mehrwertsteuer kostet ein Gerät 117,81 Euro.
Wie hoch ist der Preis des Gerätes ohne Mehrwertsteuer?
⮊
15. Wie viele Zinsen bekommt man für ein Kapital von 4 500 Euro bei einem Zinssatz von 2,5 % nach einem Jahr?
⮊
VORSC
HAU
Name:
Gesamtpunktzahl:
Test: Verhältnisrechnung,
Prozent- und Zinsrechnung • A
16. Ein Mann nimmt einen einjährigen Kredit in Höhe von 15 000 Euro zu einem Zinssatz von 9 % auf. Wie viel Geld muss der Mann nach einem Jahr zurückzahlen?
⮊
17. Wie viele Euro beträgt das Kapital, wenn es dafür nach einem Jahr bei 3 % Verzinsung 54 Euro gibt?
⮊
18. Zu welchem Zinssatz sind 13 000 Euro ausgeliehen, wenn man nach Ende eines Jahres 455 Euro Zinsen erhält?
⮊
19. Für 20 000 Euro Kapital wurden bei 4 % Verzinsung 400 Euro Zinsen gezahlt.
Wie lange war das Geld ausgeliehen?
⮊
20. Eine Frau, die ein Kapital von 30 000 Euro hat, schließt zu einem Zinssatz von 4 % einen zweijährigen Vertrag mit einer Bank ab. Wie viel Geld besitzt die Frau einschließlich Zinseszinsen nach 2 Jahren?
