Geometrie-Aufgaben: Vektorgeometrie Repetionsserie Teil 1
Grundlagen der Vektorgeometrie:
1. Definiere die folgenden Begriffe:
• Vektor,
• Addition/ Subtraktion/ skalare Multiplikation von Vektoren,
• Zusammenhang vonKoordinatenundKomponenten.
• Skalar- & Vektorprodukt
2. Gegeben sind die folgenden Gr¨ossen:
~a=
1 2
−3
, ~b=
0
−2 1
, ~c=
−1 0 2
, ~d=
2 1 4
, λ= 0.25
Berechne (wenn ¨uberhaupt m¨oglich):
(a) ~a+ (~b×~c)−λ·d~= (b) ~a−(~b·~c)·d~=
(c) (~a·~b)−λ+ (~c·d) =~ (d) (~a×~b) +λ+ (~c×d) =~
(e) (~a×~b)−(~c×d) =~ (f) ~a·~b·~c=
(g) ~a·(~b·~c) = (h) ~a×~b·~c=
(i) ~a×(~b·~c) = (j) ~a·~b·~c·d~= (k) ~a·(~b·~c)·d~=
(l) ~a·(~b×~c) +d~= (m) ~a·(~b×~c)−λ·d~=
(n) ~a−(~b×~c) +λ·d~=
1
3. Gegeben sind die folgenden StreckenAB, DC undEF:
Konstruiere (a) −−→
AB+−−→
CD−−−→ EF (b) 2·−−→
BA−0.5·−−→
DC+−−→ EF (c) −−→
CD·−−→ AB
2
4. Beweise: ~a×~b⊥~a
5. Gegeben sind die folgenden Gr¨ossen:
~a=
1
−2
−6
, ~b=
−2 4 12
L¨ose die folgenden Gleichungen:
(a) ~a+~b+~x=~0 (b) ~a+~b−~x=~0 (c) ~a+~b+~x=~0 (d) ~a−x·~b=~0
(e) ~a·~x+~b=~0 (f) x·~a−~b=~0
6. Wir betrachten die folgenden Punkte:
A= (2/1/−3), B = (−3/0/1), C= (7/−1/−1) (a) Bestimme AB,~
(b) Bestimme den Mittelpunkt der StreckeBC, (c) Bestimme alle Innenwinkel des Dreiecks ∆ABC, (d) Bestimme den Umfang des Dreiecks ∆ABC,
(e) Bestimme auf zwei verschiedene Arten den Fl¨acheninhalt des Drei- ecks ∆ABC,
(f*) Bestimme den UmkreismittelpunktM des Dreiecks ∆ABC,
(g*) Bestimme die Koordinaten eine Punktes P, der in einer Entfernung von 13 ¨uber dem UmkreismittelpunktM des Dreiecks ∆ABC liegt.
7. Wir betrachten einen geraden Kreiskegel, dessen Grundfl¨ache durch die PunkteA= (5/−1/−2), B= (1/−3/2) undC= (5/0/1) definiert ist und dessen Spitze inS= (13/−14/4) liegt.
Berechne die Oberfl¨ache und das Volumen des Kreiskegels.
Zeige weiter, dassS senkrecht ¨uber der Mitte der Grundfl¨ache liegt.
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8. Die Vektoren~a=
x
−2 6
und~b=
2 6 z
spannen ein Quadrat auf.
Berechne den Umfang und den Fl¨acheninhalt des Quadrats.
9. Formuliere & beweise die folgenden S¨atze:
• der H¨ohensatz,
• der Kathetensatz,
• der Satz des Pythagoras.
Weitere Aufgaben mit ausf¨uhrlichen L¨osungen sind zu finden auf http://sos-mathe.ch
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