FSeilStahl a) Wie viele Bretter dürfen maximal im Bretterlager gestapelt sein, so dass mit der zur Verfügung stehenden Kraft F

1 Arbeitsbereich Mechanik I Prof. Dr.-Ing. U. Weltin

Aus einem Bretterlager (Stahlboden) werden mit einem Seil einzelne Holzbretter der Masse mB = 2kg herausgezogen. Dabei stehen als Zugkraft maximal Fmax = 3000N zur Verfügung. Aufgrund des begrenzten Raumes muss das Seil über ein dünnes Stahlrohr umgelenkt werden.

Die Reibbeiwerte der auftretenden Reibpaarungen entnehmen Sie der nachfolgenden Tabelle.

F Br ett er -L ag er

Stahl Seil

a) Wie viele Bretter dürfen maximal im Bretterlager gestapelt sein, so dass mit der zur Verfügung stehenden Kraft Fmax das unterste Brett noch herausgezogen werden kann.

b) Auf welchen Wert reduziert sich die erforderliche Zugkraft bei maximaler Füllung des Bretterlagers, nachdem die anfängliche Haftreibung überwunden wurde.

Gegeben: Fmax = 3000N, mB = 2kg, ₂ s 81m , 9 g=

Reibpaarung Haftreibwert Gleitreibwert

Holz auf Holz 0,5 0,3

Holz auf Stahl 0,7 0,5

Seil auf Stahl 0,3 0,2

2 BEISPIELLÖSUNG

Mit angenommenen n Bretter im Bretterlager ergibt sich aus dem Freikörperbild am untersten Brett folgende Gleichung für die Seilkraft:

F^* R(n-1)

Rn G Nn

F^*

F

G(n-1) F* =R(n₋1) +Rn

Mit dem Coulomb’schen Reibgesetz:

( )

HS B HS

n n

HH B HH

) 1 n ( ) 1 n (

g m n N

R

g m 1 n G

R

µ

⋅

⋅

= µ

⋅

=

µ

⋅

⋅

−

= µ

⋅

= ₋

−

( )

(

)

B

*

HS B HH

B

*

g m g

m n F

g m n g

m 1 n F

µ

⋅

− µ + µ

⋅

⋅

=

µ

⋅

⋅ + µ

⋅

⋅

−

=

Daraus ergibt sich die Anzahl n der Bretter in Abhängigkeit der Seilkraft F^*:

(

)

B

HH B

*

g m

g m n F

µ + µ

⋅

µ

⋅

= +

Die Seilkraft ergibt sich mit Hilfe der Seilgleichung von Eytelwein zu:

α

⋅

⋅ µ

=F e ^SS F ^* .

Mit einem Umschließungswinkel von 2

= π

α (= 90°) wird dies zu: ^{* 2}

SS

e F F

π

⋅

−µ

⋅

= .

Somit ist:

(

)

B

HH 2 B

g m

g m e

n F

SS

µ + µ

⋅

µ

⋅ +

= ⋅

π

⋅

−µ

Mit den gegebenen Größen für die Haftreibung berechnet sich die Anzahl der Bretter zu:

n = 79,9

Da nur ganze Bretter gelagert werden, dürfen maximal 79 Bretter im Speicher liegen.

Zur Berechnung der Kraft nach der Überwindung der Haftreibung muss die Gleichung nach F umgestellt werden:

( )

(

)

π

⋅ µ

⋅ µ

⋅

− µ + µ

⋅

⋅

=

Das Einsetzen der Reibkoeffizienten für Gleiten ergibt eine Kraft von:

FGleit = 1698,6N