Prop¨adeutikum Mathematische Modellbildung

Prop¨adeutikum Mathematische Modellbildung ^∗

Martin Brokate

Inhaltsverzeichnis

1 Vorbemerkungen, Dimensionsanalyse, Skalierung 1

2 Asymptotische Entwicklung 9

3 Mehrere Skalen 17

4 Modelle im Kontinuum 26

∗Skript, SS 2009

†Zentrum Mathematik, TU M¨unchen

Literatur

R. Aris: Mathematical modelling techniques. Pitman, London 1978.

C. Eck, H. Garcke, P. Knabner: Mathematische Modellierung. Springer 2008.

N.D. Fowkes, J.J. Mahoney: Einf¨ uhrung in die Mathematische Modellierung. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996. Originalausgabe: An Introduction to Ma- thematical Modelling. Wiley, Chichester 1994.

K.H. Hoffmann: Einf¨ uhrung in die mathematische Modellbildung. Skript, TU M¨ unchen 2008.

M.H. Holmes: Introduction to Perturbation Methods. Springer-Verlag, New York 1995.

F.C. Hoppensteadt, C.S. Peskin: Modeling and Simulation in Medicine and the Life Sciences. Springer 2002.

M.S. Klamkin (Editor): Mathematical Modelling: Classroom Notes in Applied Mathe- matics. SIAM, Philadelphia 1987.

C.C. Lin, L.A. Segel: Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences. Macmillan Publishing Co., New York 1974.

I. M¨ uller: Grundz¨ uge der Thermodynamik mit historischen Anmerkungen. Springer- Verlag, Berlin 1994.

J.D. Murray: Mathematical Biology, I: An Introduction. Springer-Verlag, New York 2002.

1 Vorbemerkungen, Dimensionsanalyse, Skalierung

Vorbemerkungen.

...

Hilfsmittel sind Dimensionsanalyse und Skalierung. Deren Ziel ist es, die Anzahl der

Gr¨ oßen (Parameter und Variablen) eines Modells zu verringern und zur Vereinfachun-

gen des Modells beizutragen, indem kleine (und damit m¨ oglicherweise vernachl¨ assigbare)

Gr¨ oßen identifiziert werden.

Dimensionsanalyse. Mathematische Modelle stellen formale mathematische Zusam- menh¨ ange zwischen Gr¨ oßen her. Beispiele:

1. Ein Gegenstand, der sich w¨ ahrend einer Zeitdauer t mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, legt den Weg s = vt zur¨ uck.

2. Der aktuelle Gesamtwert W eines Wertpapierdepots, bestehend aus I verschiedenen Sorten, ergibt sich als

W =

I

X

i=1

n

w

,

wobei w

der Kurswert eines einzelnen Papiers der i-ten Sorte und n

die St¨ uckzahl der im Depot befindlichen Papiere der jeweiligen Sorte darstellt.

Es wird unterstellt, dass jede auftretende Gr¨ oße eine Dimension hat, und dass Gr¨ oßen gleicher Dimension sich als Vielfaches einer ausgezeichneten Gr¨ oße dieser Dimension, einer sogenannten Einheit, darstellen lassen. Beispiele oben:

1. Der Weg s hat die Dimension L einer L¨ ange, m¨ ogliche Einheiten sind Meter (m), Zentimeter (cm). Die Zeitdauer t hat die Dimension T einer Zeit, m¨ ogliche Einheiten sind Sekunde (s), Stunde (h). Die Geschwindigkeit v hat die zusammengesetzte Dimension LT

, die Einheit entsteht durch entsprechende Kombination, z.B. m/s, km/h.

2. Der Gesamtwert W hat die Dimension G von Geld, die St¨ uckzahlen n

haben die Dimension der Sorte W

, die einzelnen Kurswerte w

haben die Dimension GW

. Durch eine Messung bestimmt man den Zahlenwert einer Gr¨ oße als Vielfaches der Ein- heit. Durch Wechsel zu einer anderen Einheit ¨ andern sich die Zahlenwerte. Es wird weiter unterstellt, dass sich die Quotienten der Zahlenwerte zweier Gr¨ oßen nicht ¨ andern, wenn die zugeh¨ orige Einheit ge¨ andert wird. (Dass ein Depot doppelt so viel wert ist wie ein anderes, ist unabh¨ angig davon, ob man in Euro oder Kiloeuro misst.)

Nur Gr¨ oßen gleicher Dimension k¨ onnen addiert, subtrahiert oder verglichen werden. Bei Multiplikation und Division werden die Dimensionen entsprechend multipliziert bzw. di- vidiert. Beispiel: Im Hookeschen Gesetz F = −kx f¨ ur eine ausgelenkte elastische Feder (F Kraft, x Auslenkung, k Federkonstante) haben beide Seiten die Dimension einer Kraft, k hat die Dimension Kraft geteilt durch L¨ ange.

Dieselbe reale Situation kann auf unterschiedliche mathematische Weise modelliert wer- den. Man erwartet, dass relevante Aussagen ¨ uber die Situation nicht davon abh¨ angen, wie die Einheiten der jeweiligen Dimensionen gew¨ ahlt werden (modulo entsprechender Trans- formation von Zahlenwerten). Es ist daher naheliegend zu versuchen, das mathematische Modell auf eine dimensionslose Form zu bringen. Dieser Vorgang heißt Entdimensiona- lisierung.

Beispiel 1.1 Ein K¨ orper konstanter Masse m steigt antriebslos von der Erdoberfl¨ ache mit einer Anfangsgeschwindigkeit V senkrecht nach oben. Zum Zeitpunkt t

hat er die H¨ ohe x

(t

) ¨ uber der Erdoberfl¨ ache. Auf ihn wirkt die Schwerkraft

F = −γ m · m

(x

(t

) + R)

,

mit der Gravitationskonstante γ und dem Erdradius R. Mit der Erdbeschleunigung g = (γm

)/R

erhalten wir aus dem Newtonschen Gesetz F = m x ¨

(zweite Ableitung nach t

)

¨

x

= − gR

(x

+ R)

, (1.1)

mit den Anfangsbedingungen

x

(0) = 0 , x ˙

(0) = V . (1.2)

Der Luftwiderstand wird in diesem Modell nicht ber¨ ucksichtigt. Gesucht wird der Zeit- punkt t

, zu dem der K¨ orper die maximale H¨ ohe erreicht. Da das Anfangswertproblem zu gegebenen Parameterwerten V, g, R eindeutig l¨ osbar ist (Theorie gew¨ ohnlicher Diffe- rentialgleichungen), ergibt sich

t

= f

(V, g, R) (1.3)

mit einer zun¨ achst unbekannten Funktion f

.

Zur Entdimensionalisierung der Variablen x

und t

betrachten wir intrinsische Refe- renzgr¨ oßen, n¨ amlich eine Referenzl¨ ange L f¨ ur x

(Dimension L) und eine Referenzzeit T f¨ ur t

(Dimension T ), und definieren die neuen dimensionslosen Variablen

x = x

L , t = t

T , (1.4)

damit ist gemeint

x(t) = 1

L x

(T t) . (1.5)

Aus der Kettenregel folgt

˙

x(t) = T

L x ˙

(T t) , x(t) = ¨ T

L x ¨

(T t) . (1.6)

Einsetzen von (1.1) f¨ uhrt auf

¨

x(t) = − T

L

gR

(Lx(t) + R)

, (1.7)

mit den Anfangsbedingungen

x(0) = 0 , x(0) = ˙ T

L x ˙

(0) = T V

L . (1.8)

Je nach Wahl von L und T erhalten wir unterschiedliche Formen des entdimensionalisier- ten Modells.

Variante 1: Wir w¨ ahlen

L = R , T = R

V . (1.9)

Es ergibt sich

¨

x = − R

RV

gR

(Rx + R)

= − gR V

1

(x + 1)

, x(0) = 0 , x(0) = 1 ˙ . (1.10)

Dieses Modell enth¨ alt nur noch einen einzigen freien Parameter, ε = V

gR , (1.11)

der zudem dimensionslos ist, seine Dimension errechnet sich als (LT

)

(LT

L)

= L

T

. Das Anfangswertproblem zur Parameterwahl (1.9) lautet nun

ε¨ x = − 1

(x + 1)

, x(0) = 0 , x(0) = 1 ˙ . (1.12) Seine L¨ osung ist eine Funktion “x = x(t, ε)”, an ihren Eigenschaften lassen sich nach R¨ ucktransformation gem¨ aß (1.5) alle Eigenschaften von x

ablesen. Insbesondere kann die Zeit t

, zu der die Maximalh¨ ohe erreicht wird, nur von ε abh¨ angen, also

t

= f(ε) , (1.13)

mit einer geeigneten (zun¨ achst unbekannnten) Funktion f . Es ergibt sich f¨ ur das urspr¨ ung- liche Modell

t

= T t

= R

V f (ε) = R V f

V

gR

. (1.14)

Die Entdimensionalisierung hat also dazu gef¨ uhrt, die Komplexit¨ at der Abh¨ angigkeit t

= f

(V, g, R) aus (1.3) auf die Form (1.14) zu reduzieren, f h¨ angt nur noch vom dimensionslosen Parameter ε ab.

Variante 2: Wir w¨ ahlen (g hat Dimension LT

) L = R , T =

s R

g . (1.15)

Einsetzen in (1.7) und (1.8) f¨ uhrt auf das Anfangswertproblem

¨

x = − 1

(x + 1)

, x(0) = 0 , x(0) = ˙ √

ε , (1.16)

mit dem dimensionslosen Parameter ε = V

/gR wie oben. Das qualitative Ergebnis ist dasselbe: Es folgt t

= h(ε) mit einer geeigneten Funktion h, und

t

= T t

= s

R g h

V

gR

. (1.17)

Ein Vergleich mit (1.14) ergibt R

V f (ε) = s

R

g h(ε) = R V

√ εh(ε) , (1.18)

also f (ε) = √

εh(ε). Unter dem Gesichtspunkt Dimensionsanalyse sind beide Varianten also gleichwertig. Unter dem (weiter unten besprochenen) Gesichtspunkt Skalierung trifft das nicht mehr zu.

Wir stellen jetzt dar, wie man die Varianten des entdimensionalisierten Problems syste-

matisch erh¨ alt. Die Aufgabe ist,

• alle m¨ oglichen dimensionslosen Gr¨ oßen,

• und alle m¨ oglichen Referenzgr¨ oßen

als Produkte von Potenzen der Problemparameter darzustellen.

1. Festlegung der Grundeinheiten: L¨ ange L, Masse M, Zeit T . 2. Liste der Variablen und Parameter mit ihren Einheiten:

Variable Dimension

x

L

t

T

Parameter Dimension

V LT

g LT

R L

Die Masse kommt in diesem Beispiel nicht vor.

3. Dimensionslose Gr¨ oßen π: Ansatz

π = V

g

R

. (1.19)

Einsetzen der Dimensionen in die rechte Seite

(LT

)

(LT

)

L

(1.20) Dieser Ausdruck muss dimensionslos sein, die Exponenten aller Grundeinheiten m¨ ussen also Null werden

α

+ α

+ α

= 0

−α

− 2α

= 0 (1.21)

also

Aα = 0 , A =

1 1 1

−1 −2 0

, α =



 α

α

α



 . (1.22)

Die L¨ osungsmenge ist gerade der Kern von A, er hat hier die Dimension 1 und die Form

α = c



 2

−1

−1



 , c 6= 0 . (1.23)

Einsetzen in (1.19) mit c = 1 ergibt

π = V

g

R

. (1.24)

Das ist gerade der dimensionslose Parameter ε aus (1.11). Alle anderen dimensions-

losen Parameter haben die Form π

.

4. Referenzgr¨ oßen: Ansatz f¨ ur die Referenzl¨ ange

L = V

g

R

. (1.25)

Gleichheit der Dimensionen auf beiden Systemen f¨ uhrt auf das Gleichungssystem Aα = b , b =

1 0

(1.26) mit der allgemeinen L¨ osung

α = c



 2

−1

−1



 +



 0 0 1



 . (1.27)

und damit

L = R(V

g

R

)

= Rε

. (1.28) F¨ ur c = 0 ergibt sich L = R (wie in den Varianten 1 und 2), f¨ ur c 6= 0 erhalten wir

L = V

g ε

, also L = V

g falls c = 1. (1.29)

Analog werden Referenzzeiten bestimmt aus Aα = b , b =

0 1

(1.30)

α = c



 2

−1

−1



 +



 1

−1 0



 , T = V

g ε

. (1.31)

Es ergeben sich die Referenzzeiten in Variante 1 und 2 T = R

V , c = −1 , und T = s

R

g , c = − 1

2 . (1.32)

Mit c = 0 erhalten wir zus¨ atzlich

T = V

g . (1.33)

Es erhebt sich die Frage, ob sich alle “relevanten Gleichungen” f¨ ur solche Modelle als di- mensionslose Gleichungen schreiben lassen. Das Π-Theorem von Buckingham besagt, dass das der Fall ist. Wir behandeln es hier nicht.

Als Konsequenz ergibt sich aus dem vorgestellten Verfahren, dass sich die dimensionslosen

Parameter und die Referenzgr¨ oßen eines Modells bereits aus der Liste der Parameter

und Variablen bestimmen lassen. Es ist daher nicht nur nicht notwendig, die Modellglei-

chungen zu l¨ osen (wie wir in den Varianten 1 und 2 oben bereits gesehen haben), sondern

es ist nicht einmal notwendig, die Modellgleichungen zu kennen! Es gen¨ ugt die Kenntnis

der Parameter und Variablen (mitsamt ihrer Dimensionen). Zugrunde liegt dabei die Mo- dellannahme, dass die interessierenden Variablen nur von den in der Liste enthaltenen Parametern abh¨ angen.

Skalierung der Referenzgr¨ oßen. Durch die richtige Wahl der Skalierung will man erreichen, dass die entdimensionalisierten Variablen (im Beispiel x, t), und nach M¨ oglich- keit auch ihre Ableitungen, in der Gr¨ oßenordnung von 1 liegen. Die Information ¨ uber die Gr¨ oßenordnung der urspr¨ unglichen Variablen (im Beispiel x

, t

) ist dann in den Refe- renzgr¨ oßen (im Beispiel L, T ) enthalten. Diese Zusatzinformation will man sich sp¨ ater zunutze machen, wenn man Terme identifizieren will, die man vernachl¨ assigen kann, ohne die L¨ osung stark zu ver¨ andern.

Die Wahl der richtigen Skalierung wird i.a. von der Gr¨ oßenordnung der Parameter im Ausgangsproblem abh¨ angen. Im Beispiel ist das der Parameter V , wenn man die Erde als fix gegeben annimmt. Die Gr¨ oßenordnung von V legt die relative Gr¨ oße von x

im Verh¨ altnis zum Erdradius R fest.

Wir wollen nun beispielsweise die Situation modellieren, in der der K¨ orper sich relativ zum Erdradius nur wenig von der Erdoberfl¨ ache entfernt. Es wird also x

klein sein gegen R, und die Wahl der Skalierung L = R in den Varianten 1 und 2 oben ist nicht passend, da dann x 1 zu erwarten ist. In dieser Situation kann man die zu erwartende Gr¨ oßen- ordnung einfach absch¨ atzen. Die Geschwindigkeit wird von der Anfangsgeschwindigkeit V abnehmen auf 0 bei Maximalh¨ ohe. Die ¨ Anderung der Geschwindigkeit erfolgt n¨ ahe- rungsweise linear (da die Schwerkraft und damit die Beschleunigung sich in der N¨ ahe der Erdoberfl¨ ache nur wenig ¨ andert). Die gesuchte Zeit t

liegt daher in der Gr¨ oßenordnung von V /g, und die Variable x

hat die Gr¨ oßenordnung V · V /g = V

/g. Als geeignete Wahl der Parameter erscheint daher

L = V

g , T = V

g . (1.34)

Als Variante 3 erhalten wir die zugeh¨ orige dimensionslose Gleichung

¨

x = − T

L

gR

(Lx + R)

= − 1

(εx + 1)

, ε = V

gR , (1.35)

mit den Anfangsbedingungen

x(0) = 0 , x(0) = ˙ T V

L = 1 . (1.36)

Bei kleinen Anfangsgeschwindigkeiten V ist der Parameter ε klein. Man stellt nun die Frage, ob das Weglassen des Terms mit ε (oder ¨ aquivalent: ε = 0) zu einer sinnvollen N¨ aherung f¨ uhrt. F¨ ur das Anfangswertproblem (1.35) und (1.36) ist das der Fall, f¨ ur ε = 0 erhalten wir ¨ x = −1 und damit

x(0, t) = t − 1

2 t

, x

(0, t

) = Lx(0, t

T ) = t

V − g

2 (t

)

, (1.37) das ist gerade die Wurfparabel unter der Annahme konstanter Schwerkraft. Im Kontrast dazu betrachten wir die anderen beiden Varianten. Nullsetzen von ε in Variante 1,

ε¨ x = − 1

(x + 1)

, x(0) = 0 , x(0) = 1 ˙ , (1.38)

f¨ uhrt auf die nicht l¨ osbare Gleichung 0 = −1/(x + 1)

. Nullsetzen von ε in Variante 2,

¨

x = − 1

(x + 1)

, x(0) = 0 , x(0) = ˙ √

ε , (1.39)

ergibt 0 = x(0) = ˙ x(0), ¨ x(0) = −1, sowie ¨ x(t) < 0 f¨ ur x(t) > −1, und f¨ uhrt damit auf eine

negative N¨ aherungsl¨ osung, die f¨ ur die betrachtete Modellsituation sinnlos ist (Trajektorie

unterhalb der Erdoberfl¨ ache). In diesem Fall erkennt man bereits aus der Mathematik,

dass Varianten 1 und 2 f¨ ur ε 1 problematisch sind; darauf kann man sich allerdings im

Allgemeinen nicht verlassen.

2 Asymptotische Entwicklung

Als einleitendes Beispiel betrachten wir die quadratische Gleichung

x

+ 2εx − 1 = 0 . (2.1)

Die Nullstellen f¨ ur ε = 0 sind x

= ±1. F¨ ur kleines ε > 0 suchen wir N¨ aherungen x

(ε) f¨ ur die Nullstellen x(ε) der Form

x

(ε) =

n

X

k=0

a

ε

. (2.2)

Zur Berechnung der Koeffizienten verwenden wir den Potenzreihenansatz x(ε) =

∞

X

k=0

a

ε

. (2.3)

Einsetzen in (2.1) ergibt

∞

X

k=0

a

ε

!

+ 2ε

∞

X

k=0

a

ε

− 1 = 0 . Gliedweises Multiplizieren f¨ uhrt auf

(a

+ 2a

a

ε + (2a

a

+ a

)ε

+ . . . ) + (2a

ε + 2a

ε

+ . . . ) − 1 = 0 . (2.4) Liegt ε im Konvergenzintervall von (2.3), so auch von (2.4), und nach dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen sind die Koeffizienten aller ε

in (2.4) gleich Null. Die daraus resultie- rende Methode Koeffizientenvergleich liefert

a

= 1 ⇒ a

= ±1 , (2.5)

2a

a

+ 2a

= 0 ⇒ a

= −1 , (2.6)

2a

a

+ a

+ 2a

= 0 ⇒ a

= 1

2a

= ± 1

2 . (2.7)

Die erhaltenen N¨ aherungen sind also

x

= a

= ±1 , x

(ε) = ±1 − ε , x

(ε) = ±1 − ε ± 1

2 ε

. (2.8) Die N¨ aherung x

(ε) ist f¨ ur ε = 10

bereits auf 7 Stellen genau. Die L¨ osungsformel f¨ ur quadratische Gleichungen liefert die exakte L¨ osung x(ε) = −ε ± √

ε

+ 1.

Bei der Verwendung asymptotischer Entwicklungen geht es um das Verhalten der N¨ ahe- rung f¨ ur ε → 0 bei festem, in der Regel kleinem n. Fehlerabsch¨ atzungen (z.B. f¨ ur das Restglied der Taylorentwicklung) sind daf¨ ur relevant. Das Verhalten f¨ ur n → ∞ bei fe- stem ε (also das Konvergenzverhalten der Potenzreihe) spielt eine Nebenrolle und dient hier nur zur Begr¨ undung der Methode des Koeffizientenvergleichs.

Asymptotische Approximation. Wir erinnern an die in der Analysis behandelte “Groß-

O”- und “Klein-O”-Notation.

Definition 2.1 Seien g, ϕ : (0, ε

) → R gegeben. Wir sagen, dass g = O(ϕ) f¨ ur ε → 0, falls es C > 0 gibt mit

|g(ε)| ≤ C|ϕ(ε)| , f¨ ur alle ε > 0 hinreichend nahe an 0. (2.9) Wir sagen, dass g = o(ϕ) f¨ ur ε → 0, falls

lim

|g(ε)|

|ϕ(ε)| = 0 . (2.10)

Hinreichend f¨ ur g = O(ϕ) ist, dass

lim

|g(ε)|

|ϕ(ε)|

existiert und endlich ist.

Beispiele:

g(ε) = ε

, ϕ(ε) = ε , g = o(ϕ) , g(ε) = ε

, ϕ(ε) = −2ε

+ ε

, g = O(ϕ) , g(ε) = ε sin

1 + 1

ε

, ϕ(ε) = ε , g = O(ϕ) , g(ε) = exp

− 1 ε

, , ϕ(ε) = ε

, g = o(ϕ) f¨ ur alle n ∈ N .

Wir wollen Funktionen in der N¨ ahe von 0 approximieren. Ist etwa f (ε) = ε

+ 2ε

, so liefert ϕ(ε) = ε

die Differenz (f − ϕ)(ε) = 2ε

, eine gute N¨ aherung. Andererseits liefert ϕ(ε) =

ε

eine erheblich schlechtere N¨ aherung, da (f − ϕ)(ε) =

ε

+ 2ε

bei 0 nur dieselbe Ordnung wie ϕ hat.

Definition 2.2 (Asymptotische N¨ aherung)

Seien f, ϕ : (0, ε

) → X, X normierter Raum. Die Funktion ϕ heißt asymptotische N¨ ahe- rung von f , falls

kf − ϕk = o(kϕk) . (2.11)

(Mit kf − ϕk ist die Funktion ε 7→ kf(ε) − ϕ(ε)k gemeint, analog kϕk.) Wir schreiben

f ∼ ϕ . (2.12)

2 Im Fall X = R ist (2.11) ¨ aquivalent zu

f = ϕ + o(ϕ) . (2.13)

Beispiel: F¨ ur X = R betrachten wir f(ε) = sin ε. Jede der Funktionen ϕ(ε) = ε , ϕ(ε) = ε + 2ε

, ϕ(ε) = ε − 1

6 ε

,

ist wegen f (ε) = ε −

ε

+ O(ε

) eine asymptotische N¨ aherung von f .

Oft sucht man asymptotische N¨ aherungen an eine mit ε parametrisierte Familie von Funk- tionen (z.B. L¨ osungen von Differentialgleichungen, die von ε abh¨ angen). Beispiel:

u

(t) = t + exp

− t ε

, 0 ≤ t ≤ 1 . (2.14)

Betrachtet man ein einzelnes t ∈ [0, 1], so befindet man sich in der Situation X = R mit f(ε) = u

(t). Eine asymptotische N¨ aherung f¨ ur t > 0 ist die (bez¨ uglich ε) Konstante t, f¨ ur t = 0 die Konstante 1.

Generell ist es w¨ unschenswert, wenn eine asymptotische N¨ aherung auf dem gesamten Intervall [0, 1] gut ist. Dem entspricht etwa die Wahl X = C[0, 1] mit der Supremumsnorm.

Im Beispiel (2.14) allerdings liefert die (wieder von ε unabh¨ angige) Funktion ϕ(t) = t keine asymptotische N¨ aherung, da

ku

− ϕk

= u

(0) − ϕ(0) = 1 , kϕk

= 1 .

Die N¨ aherung ist aber nur dicht bei 0 schlecht. F¨ ur X = L

(0, 1) mit der Integralnorm gilt

kf

− ϕk

= Z

0

e

dt = −εe

1 0

≤ ε , kϕk

= 1 2 ,

also ist ϕ eine asymptotische N¨ aherung von f im Sinne der Integralnorm, welche geringere Anforderungen an die Qualit¨ at der N¨ aherung stellt.

Asymptotische Entwicklung. Der Begriff der asymptotischen Entwicklung verallge- meinert die Darstellung als Taylorpolynom plus Restglied,

f (ε) = a

+ a

ε + · · · + a

ε

+ R

(ε) , a

= f

(0)

k! . (2.15)

Die folgende Definition geht auf Poincar´ e zur¨ uck (1886).

Definition 2.3 (Asymptotische Entwicklung)

Eine (endliche oder unendliche) Folge von Funktionen ϕ

, ϕ

, . . . mit ϕ

: (0, ε

) → R heißt asymptotische Folge, falls ϕ

= o(ϕ

) f¨ ur ε → 0, f¨ ur alle k. Eine Funktion f : [0, ε

) → X, X normierter Raum, besitzt eine asymptotische Entwicklung der Ordnung n bez¨ uglich dieser Folge, falls es Koeffizienten a

∈ X gibt mit

f (ε) =

m

X

k=0

a

ϕ

(ε) + o(ϕ

) , f¨ ur alle m ≤ n, (2.16)

f¨ ur ε → 0. 2

Asymptotische Entwicklungen werden haupts¨ achlich bei Problemen eingesetzt, die sich in der allgemeinen Form

F (u

, ε) = 0 (2.17)

schreiben lassen. Hier ist F : X × [0, ε

) → Y eine mit ε parametrisierte Abbildung zwischen normierten R¨ aumen X und Y . Wir nehmen an, dass es L¨ osungen u

∈ X gibt und dass f (ε) = u

eine asymptotische Entwicklung hat, also

u

= u

+ o(ϕ

) , u

=

m

X

k=0

a

ϕ

(ε) , 0 ≤ m ≤ n . (2.18)

Nebenbemerkung: Wir behandeln jetzt nicht die Frage, ob und warum L¨ osungen u

und asymptotische Entwicklungen von u

existieren.

Ist ϕ

(ε) = ε

, so heißt das Problem regul¨ ar gest¨ ort, der Ansatz u

= u

+ o(ε

) , u

=

m

X

k=0

a

ε

, 0 ≤ m ≤ n , (2.19) heißt regul¨ are St¨ orung von (2.17). Wir nehmen nun eine geeignete Lipschitzstetigkeit von F an, und zwar gebe es L > 0 mit

kF (u, ε) − F (v, ε)k ≤ Lku − vk , f¨ ur alle u, v ∈ X, ε ∈ [0, ε

). (2.20) Lemma 2.4 Es gelte (2.20). Dann gilt f¨ ur die N¨ aherungen u

aus (2.18)

kF (u

, ε)k = o(ϕ

) , 0 ≤ m ≤ n . (2.21) Beweis: Es gilt kF (u

, ε)k = kF (u

, ε) − F (u

, ε)k ≤ Lku

− u

k = o(ϕ

). 2 Ist ϕ

beschr¨ ankt, wie etwa bei regul¨ ar gest¨ orten Problemen, so folgt aus (2.21)

ε→0

lim F (u

, ε) = 0 . (2.22) N¨ aherungen u

mit der Eigenschaft (2.22) heißen konsistent mit Problem (2.17).

Lemma 2.4 dient dazu, die unbekannten Koeffizienten a

zu berechnen. Betrachten wir nochmals die quadratische Gleichung

F (x, ε) = x

+ 2εx − 1 = 0 (2.23)

mit dem Ansatz

x

= x

+ o(ε

) , x

=

m

X

k=0

a

ε

. (2.24)

Es gilt f¨ ur m = 0

ϕ

(ε) = 1 , x

= a

, o(1) = F (x

, ε) = a

+ 2εa

− 1 ,

⇒ a

= ±1 , und f¨ ur m = 1

ϕ

(ε) = ε , x

= a

+ a

ε ,

o(ε) = F (x

, ε) = (a

+ a

ε)

+ 2ε(a

+ a

ε) − 1 = (2a

a

+ 2a

)ε + o(ε) ,

⇒ 2a

a

+ 2a

= 0 , a

= −1 .

Das ist gerade die Methode des Koeffizientenvergleichs. Durch Lemma 2.4 wird also deren

Anwendung gerechtfertigt f¨ ur asymptotische N¨ aherungen, unabh¨ angig von der Existenz

einer f¨ ur n → ∞ konvergenten Reihenentwicklung.

Wir betrachten nun die quadratische Gleichung

F (x, ε) = εx

+ 2x − 1 = 0 . (2.25) Die exakte L¨ osung ist

x

= − 1 ε ±

√ 1 + ε

ε . (2.26)

Es gilt

lim

x

= 1

2 , lim

ε→0

x

= −∞ . (2.27)

F¨ ur ε = 0 hat (2.25) eine einzige L¨ osung, x

= 1/2. Der Ansatz (2.19), also die Behandlung als regul¨ ar gest¨ ortes Problem, f¨ uhrt auf asymptotische N¨ aherungen x

f¨ ur x

( ¨ Ubung).

Die unbeschr¨ ankte L¨ osungsschar {x

} kann auf diese Weise nicht erhalten werden. Das Problem (2.25) heißt singul¨ ar gest¨ ort, der Term εx

singul¨ are St¨ orung des Problems 2x − 1 = 0.

Wir machen den Ansatz

x

= ε

(a

+ a

ε + a

ε

+ · · · + a

ε

) , γ < 0 . (2.28) Falls dadurch eine asymptotische N¨ aherung von x

dargestellt wird, muss F (x

, ε) = o(ϕ

) gem¨ aß Lemma 2.4 gelten. Daraus berechnen wir die Koeffizienten. Es ist φ

(ε) = ε

. Einsetzen in (2.25) ergibt

F (x

, ε) = ε

a

+ 2ε

a

− 1 = o(ε

) , (2.29) oder ¨ aquivalent

ε

a

+ 2a

− ε

= o(1) . (2.30) F¨ ur a

= 0 (und γ < 1) gilt (2.30), aber dann k¨ onnen wir im Ansatz (2.28) den Term ε

vor die Klammer ziehen und nochmal anfangen. Ist a

6= 0, so muss γ = −1 sein, um den Term 2a

zu balancieren, und es muss gelten

a

+ 2a

= 1 , a

= −2 . (2.31) F¨ ur m = 1 haben wir ϕ

(ε) = 1, und f¨ ur x

(t) = ε

(a

+ a

ε) muss gelten

o(1) = F (x

, ε) = ε

(a

+ 2a

a

ε + a

ε

) + 2ε

(a

+ a

ε) − 1 . (2.32) Das ist nur m¨ oglich, wenn

2a

a

+ 2a

− 1 = 0 , also a

= 1

2(a

+ 1) = − 1

2 . (2.33)

Die ersten beiden asymptotischen N¨ aherungen im Ansatz (2.28) (wenn sie existieren) f¨ ur x

haben also die Form

x

= − 2

ε , x

= − 2 ε − 1

2 . (2.34)

Wir behandeln nun die asymptotische Entwicklung f¨ ur Problem 1.1 in der entdimensio- nalisierten Form, Variante 3,

u

(t) = − 1

(εu(t) + 1)

, u(0) = 0 , u

(0) = 1 . (2.35)

Wir setzen die zugeh¨ orige L¨ osung u

(Existenz und Eindeutigkeit nach Picard-Lindel¨ of) an als regul¨ are St¨ orung

u

(t) = u

(t) + εu

(t) + ε

u

(t) + . . . (2.36) Dem entspricht in Definition 2.3 die Wahl f(ε) = u

, ϕ

(ε) = ε

, a

= u

, X ein geeigneter Raum von Funktionen auf [0, T ], z.B. X = C

[0, T ]. Es ist

u

(t) = u

(t) = t − t

2 . (2.37)

Wir k¨ onnen die Funktionen u

mit Koeffizientenvergleich berechnen. Dazu verwenden wir die Entwicklung

1

(1 + z)

= 1 − 2z + 3z

− 4z

+ . . . , (2.38) die sich aus der Taylorreihe von g(w) = w

um w = 1 ergibt. F¨ ur z = εu

erhalten wir aus (2.35) – (2.38)

u

(t) + εu

(t) + ε

u

(t) + · · · = − 1 + 2ε(u

(t) + εu

(t) + ε

u

(t) + . . . )

− 3ε

(u

(t) + εu

(t) + ε

u

(t) + . . . )

(2.39) sowie

u

(0) + εu

(0) + ε

u

(0) + · · · = 0 ,

u

(0) + εu

(0) + ε

u

(0) + · · · = 1 . (2.40) Die Terme zu ε

liefern

u

= −1 , u(0) = 0 , u

(0) = 1 , also (2.37) nach zweimal Aufintegrieren. Die Terme zu ε liefern

u

= 2u

, u

(0) = 0 , u

(0) = 0 , (2.41) mit der L¨ osung

u

(t) = 1

3 t

− 1

12 t

. (2.42)

Die Terme zu ε

liefern

u

= 2u

− 3u

, u

(0) = 0 , u

(0) = 0 , (2.43) mit der L¨ osung

u

(t) = − 1

4 t

+ 11

60 t

− 11

360 t

. (2.44)

Eine zweite Methode ist der Ansatz u(t, ε) = u

(t), u(t, ε) = u(t, 0) + ε∂

u(t, 0) + 1

2 ε

∂

u(t, 0) + . . . (2.45) In der Theorie gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen wird bewiesen, dass die Ableitungen der L¨ osung nach dem Parameter ε existieren und eine asymptotische Entwicklung liefern, und es wird gezeigt, wie sich diese Ableitungen berechnen lassen. Wir erhalten (2.36) mit

u

(t) = u(t, 0) , u

(t) = ∂

u(t, 0) , u

(t) = 1

2 ∂

u(t, 0) .

Dadurch ist auch der Ansatz (2.36) gerechtfertigt (Existenz der asymptotischen Entwick- lung).

Eine dritte Methode ergibt sich durch Anwendung von Lemma 2.4. Dabei wird u

, oder

¨ aquivalent u

= u

+ εu

, berechnet aus

F (u

, ε) = o(ε) .

Die Abbildung F hat die Form F : C

[0, 1] × [0, ε

) → Y = C[0, 1] × R × R , F (u, ε) =





u

+

u(0) u

(0) − 1



 . (2.46)

Setzt man f¨ ur den Bruch die Reihenentwicklung (2.38) ein, so wird man wieder auf den Koeffizientenvergleich gef¨ uhrt.

Schließlich kann man auch die Gleichung

F (u

, ε) = 0

nach ε differenzieren. Aus der Kettenregel (f¨ ur die Ableitung in normierten R¨ aumen, in Verallgemeinerung der Ableitung im R

) ergibt sich

0 = d

dε F (u

, ε) = ∂

F (u

, ε)∂

u

+ ∂

F (u

, ε) .

Im Punkt ε = 0 erhalten wir, da (∂

u

)(t) = ∂

u(t, ε) = u

(t) gilt f¨ ur t ∈ [0, 1], 0 = ∂

F (u

, 0)u

+ ∂

F (u

, 0) ,

eine lineare Gleichung f¨ ur u

im Funktionenraum.

Wir suchen nun eine N¨ aherung f¨ ur die dimensionslose Maximalh¨ ohe h

in Abh¨ angigkeit von ε. Sie bestimmt sich aus den Gleichungen

h

= u

(t

) , u

(t

) = 0 , (2.47) wobei t

die dimensionslose Zeit ist, zu der die Maximalh¨ ohe erreicht wird. Die Entwick- lung f¨ ur u

f¨ uhrt auf

0 = u

(t

) = u

(t

) + εu

(t

) + ε

u

(t

) + . . . (2.48) Wir setzen nun auch f¨ ur t

eine asymptotische Entwicklung als regul¨ are St¨ orung an,

t

= t

+ εt

+ ε

t

+ . . . . (2.49) Einsetzen in (2.48) ergibt

0 = u

(t

) + (t

u

(t

) + u

(t

))ε + O(ε

) , (2.50) und Koeffizientenvergleich f¨ uhrt auf

0 = u

(t

) = 1 − t

= 0 , t

= 1 , (2.51) 0 = t

u

(t

) + u

(t

) = −t

+ t

− 1

3 t

, t

= t

− 1 3 t

= 2

3 , (2.52)

also

t

= t

+ εt

+ O(ε

) = 1 + 2

3 ε + O(ε

) . (2.53)

Mit Taylorentwicklung erhalten wir die gesuchte N¨ aherung f¨ ur die Maximalh¨ ohe h

= u

(t

) = u

(t

) + (t

u

(t

) + u

(t

))ε + O(ε

)

= 1 2 + 1

4 ε + O(ε

) . (2.54)

3 Mehrere Skalen

Wir betrachten Probleme, in denen mehrere Skalen gleichzeitig auftreten. Ist dabei u

eine unbekannte Funktion, welche die parametrisierte Gleichung

F (u

, ε) = 0 (3.1)

l¨ osen soll, so kann man dann nicht mehr erwarten, dass der Ansatz

u

(x) = u

(x) + εu

(x) + ε

u

(x) + . . . (3.2) zum Ziel f¨ uhrt.

Grenzschichten. Wir betrachten als Beispiel das Randwertproblem

εu

+ 2u

+ 2u = 0 , (3.3)

u(0) = 0 , u(1) = 1 . (3.4)

Gesucht ist eine Funktion u

: [0, 1] → R , welche u

(x) + 2u

(x) + 2u

(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ (0, 1) sowie die Randbedingungen (3.4) erf¨ ullt. Vermittels

F (u, ε) =





εu

+ 2u

+ 2u u(0) u(1) − 1



 , F : X × [0, ε

) → Y , (3.5) wird (3.3), (3.4) unter (3.1) subsumiert.

Der Ansatz als regul¨ are St¨ orung gem¨ aß (3.2) f¨ uhrt nach Koeffizientenvergleich der ε

- Terme auf

u

+ u

= 0 , (3.6)

u

(0) = 0 , u

(1) = 1 . (3.7)

Die allgemeine L¨ osung von (3.6) ist

u

(x) = ce

, c ∈ R , (3.8)

und es ist f¨ ur kein c ∈ R m¨ oglich, beide Randbedingungen (3.7) zu erf¨ ullen. Da u

eine L¨ osung von (3.6), (3.7) ist genau dann, wenn F (u

, 0) = 0, ist letztere Gleichung nicht l¨ osbar.

Um zu verstehen, was hier vor sich geht, betrachten wir das Problem vom Standpunkt der Theorie der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen. Der L¨ osungsansatz

u

(x) = e

, λ Konstante, f¨ uhrt auf die Gleichung

(ελ

+ 2λ + 2)e

= 0 . Deren beide L¨ osungen

λ

= − 1 ε ±

√ 1 − 2ε

ε (3.9)

liefern die allgemeine L¨ osung

u

(x) = c

e

+ c

e

(3.10) von (3.3), und die beiden Konstanten sind so zu bestimmen, dass die Randbedingungen (3.4) erf¨ ullt sind. Asymptotische Entwicklung der Nullstellen λ

ergibt

λ

= −1 + O(ε) , λ

= − 2

ε + O(1) . (3.11)

Kandidat f¨ ur eine N¨ aherung f¨ ur u

w¨ are also eine Funktion der Form

c

e

+ c

e

. (3.12)

Deren beide Anteile variieren auf zwei verschiedenen Skalen, O(1) und O(ε). F¨ ur ε → 0 spielt der zweite Anteil nur in der N¨ ahe des linken Randpunkts x = 0 von [0, 1] eine Rolle (insbesondere wegen seiner großen ersten Ableitung), w¨ ahrend ¨ uberall sonst der erste Anteil dominiert. Man spricht von einer Grenzschicht, die sich in diesem Beispiel in der N¨ ahe des linken Randes befindet, und von einem Grenzschichtverhalten der L¨ osung u

.

Wir vergessen nun wieder die explizite L¨ osung (3.10), welche in komplizierteren Problemen auch nicht zur Verf¨ ugung steht, und besch¨ aftigen uns mit asymptotischen N¨ aherungen von Grenzschichtverhalten. Zur Betrachtung einer m¨ oglichen Grenzschicht bei x = 0 f¨ uhren wir eine neue Skala ein, die um den Faktor ε

vergr¨ oßert,

ξ = x

ε

, x = ε

ξ , (3.13)

wobei α > 0 geeignet zu bestimmen ist. Wir wollen nun u

in der ξ-Skala approximieren und setzen

U

(ξ) = u

(ε

ξ) , u

(x) = U

( x

ε

) . (3.14)

Es gilt

U

(ξ) = ε

u

(ε

ξ) , U

(ξ) = ε

u

(ε

ξ) . Einsetzen in die Differentialgleichung (3.3) f¨ ur u

ergibt

0 = (εu

+ 2u

+ 2u

)(ε

ξ)

= ε

U

(ξ) + 2ε

U

(ξ) + 2U

)(ξ) . (3.15) Wir machen einen Potenzreihenansatz f¨ ur U

,

U

(ξ) = U

(ξ) + εU

(ξ) + . . . (3.16) Einsetzen in (3.15) f¨ uhrt auf

0 = ε

(U

+ εU

+ . . . ) + 2ε

(U

+ εU

+ . . . ) + 2(U

+ εU

+ . . . ) . (3.17) Wir wollen zwei der drei Summanden gegeneinander balancieren.

• Erster und dritter Summand: 1 − 2α = 0, α = 1/2, aber dann hat der zweite Term

die Ordnung ε

, was auf U

= 0 f¨ uhrt und uns nicht weiterbringt.

• Zweiter und dritter Summand: −α = 0, aber dann ist ξ = x, wir haben also keine zweite Skala.

• Erster und zweiter Summand: 1 − 2α = −α, also α = 1, beide Terme sind O(ε

), der dritte Term ist O(1). Das f¨ uhrt zum Erfolg.

Mit α = 1 wird (3.17) zu

0 = ε

(U

+ εU

+ . . . ) + 2ε

(U

+ εU

+ . . . ) + 2(U

+ εU

+ . . . ) . (3.18) Koeffizientenvergleich in der niedrigsten Ordnung f¨ uhrt auf

U

+ 2U

= 0 . (3.19)

Da wir eine Approximation in der Grenzschicht nahe x = 0 suchen, nehmen wir die linke Randbedingung hinzu,

U

(0) = 0 . (3.20)

Die allgemeine L¨ osung von (3.19), (3.20) ist

U

(ξ) = b(1 − e

) , (3.21)

sie enth¨ alt noch einen freien Parameter. Analog kann man eine m¨ ogliche Grenzschicht nahe x = 1 untersuchen. Der Ansatz

ζ = 1 − x

ε

, V

(ζ) = u

(1 − ε

ζ) , f¨ uhrt schließlich auf

V

− 2V

= 0 .

Verwendet man die Randbedingung V

(0) = 1, so ergibt sich als L¨ osung V

(ζ) = 1 + b

2 (e

− 1) , b ∈ R . (3.22)

Transformiert man nun V

in die x-Skala, so erh¨ alt man v

(x) := V

1 − x ε

= 1 + b 2

e

− 1 .

F¨ ur x < 1 folgt v

(x) → ±∞ f¨ ur ε → 0, was zu keiner sinnvollen N¨ aherung f¨ uhrt (oder es ist b = 0 und v

konstant). Falls eine Grenzschicht nahe x = 1 existieren sollte (was in diesem Beispiel nicht der Fall ist), k¨ onnte man sie jedenfalls mit dem vorgef¨ uhrten Ansatz nicht bestimmen. Wir verf¨ ugen nunmehr ¨ uber zwei N¨ aherungen,

u

(x) = ce

, U

(ξ) = b(1 − e

) . (3.23) Die zweite ist speziell f¨ ur eine Grenzschicht nahe x = 0 konstruiert worden und hat die Eigenschaft, dass f¨ ur festes x > 0

lim

U

x ε

= b . (3.24)

Wir nehmen nun an, dass die erste N¨ aherung außerhalb der Grenzschicht brauchbar ist.

Verlangen wir, dass die Randbedingung u

(1) = 1 erf¨ ullt ist, so erhalten wir

c = e

, u

(x) = e

. (3.25)

Wir wollen nun die beiden N¨ aherungen zu einer einzigen zusammensetzen. Diese Prozedur heißt Matching. Sei nun ε sehr klein und x > 0 so gew¨ ahlt, dass ε x 1, also x ebenfalls dicht bei 0. Da u

(0) = c, ist es wegen (3.24) naheliegend, f¨ ur das Matching zu verlangen, dass

b = c . (3.26)

Wir gelangen nun insgesamt zu einer N¨ aherung u

(x) = u

(x) + U

x

ε

− b = e

− e

. (3.27) Wir stellen uns die Grenzschicht als ein Intervall [0, kε] vor, wobei k eine kleine nat¨ urliche Zahl ist. Innerhalb der Grenzschicht ist u

(x) − b = u

(x) − u

(0) klein, außerhalb der Grenzschicht ist U

(x/ε) − b wegen (3.24) klein. Da u

bzw. U

als N¨ aherungen außer- halb bzw. innerhalb der Grenzschicht konstruiert worden sind, ist die N¨ aherung (3.27) insgesamt sinnvoll. F¨ ur die Randbedingungen gilt

u

(0) = 0 , u

(1) − 1 = U

1

ε

− b → 0 , f¨ ur ε → 0. (3.28) Ged¨ ampfte Schwingung. Wir betrachten als Beispiel das Anfangswertproblem

u

+ εu

+ u = 0 , (3.29)

u(0) = 0 , u

(0) = 1 . (3.30)

Es beschreibt einen ged¨ ampften Oszillator. Die exakte L¨ osung ist u

(t) = 1

q 1 −

e

sin t r

1 − ε

4

!

. (3.31)

F¨ ur kleines ε > 0 handelt es sich um eine Schwingung mit Frequenz auf einer Skala von O(1) und exponentiell fallender Amplitude mit Abklingrate auf einer Skala von O(ε

).

Die L¨ osung f¨ ur ε = 0 ist

u

(t) = sin t . (3.32)

F¨ ur festes ε ist u

nur im Bereich tε 1 eine gute Approximation von u

, f¨ ur t → ∞ ist die Approximation unbrauchbar, egal wie klein ε ist. Der Ansatz

u

(t) = u

(t) + εu

(t) + . . .

mit anschließendem Koeffizientenvergleich f¨ uhrt auf die O(1)-N¨ aherung aus (3.32) und das O(ε)-Problem

u

+ u

+ u

= 0 , u

(0) = u

(0) = 0 , (3.33) mit der L¨ osung

u

(t) = − t

2 sin t

und der N¨ aherung

1 − ε t

2

sin t (3.34)

f¨ ur u

. F¨ ur εt 1 erhalten wir eine auf der richtigen Zeitskala fallende Amplitude, aber f¨ ur t → ∞ ist die Approximation noch schlechter als mit u

. Um eine bessere N¨ aherung zu erhalten, machen wir einen Zwei-Skalen-Ansatz f¨ ur das Problem

F (u

, ε) = 0 , F (w, ε) =





w

+ εw

+ w w(0) w

(1) − 1



 , (3.35)

indem wir Funktionen w der Form

w(t) = z(t, ε

t) ,

z = z(t, s)

, (3.36) betrachten. F¨ ur α > 0 ist die zweite Zeitskala s = ε

t ”langsamer” als die t-Skala. Die Ableitungen von w sind

w

(t) = (∂

z + ε

∂

z)(t, ε

t) , (3.37) w

(t) = (∂

z + 2ε

∂

z + ε

∂

z)(t, ε

t) . (3.38) Einsetzen in den Operator F f¨ uhrt auf

w

(t) + εw

(t) + w(t) = h

∂

z + 2ε

∂

z + ε

∂

z + ε(∂

z + ε

∂

z + z i

(t, ε

t) , (3.39) w(0) = z(0, 0) , w

(0) − 1 = ∂

z(0, 0) + ε

∂

z(0, 0) − 1 . (3.40) Wir suchen N¨ aherungen f¨ ur u

der Form

u

(t) = u

(t, ε

t) , (3.41) u

(t) = u

(t, ε

t) + εu

(t, ε

t) . (3.42) Wir wollen u

so bestimmen, dass f¨ ur z = u

in (3.39) und (3.40) die O(1)-Terme ver- schwinden. Daf¨ ur ist hinreichend

(∂

u

+ u

)(t, s) = 0 , f¨ ur alle t, s, (3.43) u

(0, 0) = 0 , ∂

u

(0, 0) = 1 . (3.44) Da in der Gleichung (3.43) keine Ableitungen nach s auftreten, k¨ onnen wir sie als gew¨ ohn- liche Differentialgleichung in t auffassen, mit s als Parameter. Ihre allgemeine L¨ osung ist u

(t, s) = c

(s) sin t + c

(s) cos t . (3.45) Aus den Randbedingungen (3.44) ergibt sich

0 = u

(0, 0) = c

(0) , 1 = ∂

u

(0, 0) = c

(0) . (3.46) Wir sind noch frei in der Wahl von c

(s) und c

(s). Das werden wir bei den O(ε)-Termen ausnutzen. Zun¨ achst setzen wir z(t, s) = (u

+ εu

)(t, s) in (3.35) ein und erhalten (Ar- gumente auf der rechten Seite sind (t, ε

t))

w

(t) + εw

(t) + w(t) =

∂

u

+ u

+ ε(∂

u

+ ∂

u

+ u

) + 2ε

∂

u

+ +O(ε

) + O(ε

) . (3.47)