Lineare optische
Eigenschaften dielektrisch
strukturierter Halbleiter
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.), dem Fachbereich Physik der Philipps-Universität Marburg
vorgelegt von
R
ALFE
ICHMANNaus Neubrandenburg Marburg/Lahn 2002
Erstgutachter: Prof. Dr. P. Thomas Zweitgutachter: Prof. Dr. F. Gebhard
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Modell für eine Kette resonanter Streuer 7
2.1 Material- und Maxwell-Gleichungen . . . 8
2.2 Analytische Ergebnisse . . . 14
3 Ergebnisse für resonante Streuensembles 20 3.1 Transmission fürλ/2-Strukturen . . . 20
3.2 Transmission für d λ-Strukturen . . . 24
3.3 Feldintensität fürλ/2-Strukturen . . . 30
3.4 Feldintensität für d λ-Strukturen . . . 33
3.5 Intensitätsstatistik für d λ-Strukturen . . . 34
4 Coulomb-Wechselwirkung in photonischen Kristallen 42 5 Numerische Methoden für lineare Integralgleichun-gen 49 5.1 Lineare Integralgleichungen . . . 49
5.2 Numerische Verfahren . . . 49
5.3 Numerische Integration . . . 53
5.4 Singuläre Kerne . . . 55
6 Durchführung der Methode für photonische Kristalle 58 6.1 Zwei Halbräume . . . 59
6.2 Kugel . . . 63
6.6 Zylinder mit halbem Rotationsellipsoid als Boden 79
7 Lineare optische Eigenschaften von Halbleiter-Quan-tenfilmen in der Nähe eines photonischen Kristalls 83
7.1 Bewegungsgleichung für die lineare mikroskopi-sche Polarisation . . . 83 7.2 Lokale Spektren . . . 88 7.3 Modellrechnung fürεcyl εmatrix . . . 92 7.4 Quantenfilm-Exzitonen in einem photonischen
Kristall . . . 95
8 Zusammenfassung und Ausblick 99
A Vektorfelder 104
B Elektromagnetische Potentiale 105
C Details zur Berechnung der
Coulomb-Wechselwir-kung in photonischen Kristallen 108
C.1 Dielektrische Kugel . . . 108 C.2 Dielektrischer Zylinder ohne Boden . . . 111 C.3 Dielektrischer Zylinder mit flachem Boden . . . . 113 C.4 Dielektrischer Zylinder mit Halbkugel . . . 114 C.5 Dielektrisches flaches Rotationsellipsoid . . . 115 C.6 Dielektrischer Zylinder mit flachem
Rotationsel-lipsoid . . . 116
1 Einleitung
Die Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Ladungs-trägern in Atomen, Molekülen und in Festkörpern ist die Ur-sache vielgestaltiger dynamischer Prozesse in diesen Systemen. Während es in der Vergangenheit darum ging, diese Vorgänge experimentell zu beobachten und theoretisch zu modellieren, ist es mittlerweile von grundlegendem wissenschaftlichen Interes-se, aber auch von wirtschaftlicher Bedeutung, diese Wechselwir-kung gezielt zu beeinflussen. Eine wichtige Möglichkeit dazu ist es, die Eigenschaften des elektromagnetischen Feldes kontrolliert zu modifizieren.
In dieser Arbeit werden sowohl die Eigenschaften des Licht-feldes in periodisch strukturierten Halbleitersystemen als auch die Auswirkungen des modifizierten Charakters auf optische Ei-genschaften der Proben untersucht. Die Periodizität der Syste-me ist wegen der Wellennatur elektromagnetischer Felder von entscheidender Bedeutung für die Eigenschaften des Lichtfeldes. Die Wechselwirkung der Elementaranregungen in Halbleitern mit dem modifizierten elektromagnetischen Feld führt zu ver-änderten optischen Eigenschaften, durch die sich gezielt struktu-rierten Halbleitern neue Anwendungsgebiete erschließen.
Lokalisierung von Licht in eindimensionalen Ensembles resonanter Streuer
In der Arbeitsgruppe ”Quantenchaos” des Fachbereichs Physik der Universität Marburg wurden im Rahmen einer Doktorar-beit [1] Mikrowellen-Experimente in makroskopischen ein- und zweidimensionalen Systemen durchgeführt. Insbesondere konn-te dort ein zufälliges Pokonn-tential für die Mikrowellen erzeugt
wer-den, so dass Anderson-Lokalisierung [2] in derartigen Systemen studiert werden konnte. Speziell in unendlich großen eindimen-sionalen ungeordneten Systemen sind die Wellenfunktionen alle lokalisiert [3]. Das ist in endlich großen Systemen dann beobacht-bar, wenn die Ausdehnung des Systems größer als die Lokalisie-rungslänge ist. Im Mikrowellen-System [1] wurden lokalisierte Wellenfunktionen erfolgreich identifiziert.
Die Motivation für den ersten Teil dieser Arbeit ist es, einen Vorschlag zur Wiederholung des Experiments in ei-nem Halbleitersystem zu unterbreiten. Moderne Halbleiter-Epitaxieverfahren gestatten die Herstellung von niedrig-dimen-sionalen Systemen, die in einer Matrix eingebettet sind, z.B. von sogenannten Halbleiter-Quantenpunkten, etwa 10nm großen Be-reichen unterschiedlicher Geometrie eines Materials, die in an-dere Materialien eingebettet sind. Sie können sowohl einzeln als auch in großer Anzahl mit Abständen im Bereich von eini-gen 10nm untereinander gefertigt werden. Andere bekannte Bei-spiele sind quasi-eindimensionale Strukturen, die sogenannten Halbleiter-Quantendrähte, sowie quasi-zweidimensionale Syste-me, die sogenannten Halbleiter-Quantenfilme. Diesen drei Struk-turen ist gemein, dass die Bewegung von Ladungsträgern darin gegenüber dem Volumenmaterial in einer Raumrichtung oder in mehreren Raumrichtungen stark eingeschränkt ist.
Wegen der Skalenunabhängigkeit der Maxwell-Gleichungen ist es prinzipiell möglich, ein Mikrowellenexperiment auf ein Halbleitersystem zu übertragen, wenn alle Längenskalen im Sy-stem gleichartig verändert werden. Im Mikrowellen-Experiment haben die Streuer für die elektromagnetischen Wellen Ab-messungen und auch Abstände im Bereich weniger Zentime-ter, und die genutzten Mikrowellen haben Wellenlängen eben-falls im Bereich weniger Zentimeter. Daher können für das Halbleiterstruktur-Experiment Licht am kurzwelligen Ende des sichtbaren Bereichs und Abstände der Strukturen untereinander im Bereich einiger 10nm bis zu wenigen 100nm genutzt werden, um die gleichen Verhältnisse zwischen den verschiedenen
Län-genskalen wie im Mikrowellen-Experiment einzustellen.
Anderson-Lokalisierung von Licht oder allgemeiner von klas-sischen Wellen ist ein in der Literatur vieldiskutiertes Thema. Der Vorteil gegenüber elektronischen Systemen ist das Fehlen ei-ner starken Wechselwirkung wie der Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen, so dass die Beschreibung realer Systeme einfacher ist. Obwohl die Lokalisierung von klassischen Wellen theoretisch vielfach bearbeitet wurde, siehe [4–10], gelang der ex-perimentelle Nachweis neben Mikrowellenexperimenten [1, 11] auch in Halbleitern und für Licht am Rande des sichtbaren Be-reichs erst vor kurzem. Dazu wurden Halbleiter in gemahlener Form genutzt, um die Streuung zu verstärken [12]. Die Inter-pretation der Meßwerte hinsichtlich Lokalisierung wurde kon-trovers diskutiert [13].
Bei den Mikrowellenuntersuchungen [1] wurde die Lokalisie-rung von Wellenfunktionen durch eines von zwei Kriterien ent-schieden: Entweder durch fehlende Transmission am Ende einer eindimensionalen Streuerkette, wenn am Anfang der Kette an-geregt wird, oder durch Untersuchung der Intensitätsverteilung der Wellenfunktionen in zweidimensionalen Systemen. Das er-ste Kriterium folgt unmittelbar aus den Überlegungen von An-derson [2], während das zweite Kriterium auf der Random Ma-trix Theory [14] beruht, die hier eine Unterscheidung zwischen delokalisierten (Porter-Thomas-Verteilung der Intensitäten) und lokalisierten Wellenfunktionen (starke Überhöhung des Auftre-tens kleiner InAuftre-tensitäten) erlaubt.
Mit diesen Kriterien soll im ersten Teil der Arbeit eine ein-dimensionale Anordnung von Halbleiter-Quantenfilmen unter-sucht werden, um die Frage nach der Lokalisierung von Licht in einem derartigen System mit theoretischen Mitteln zu beantwor-ten. Weiterhin können so relativ einfach Parallelen zu früheren Untersuchungen an Multiquantenfilm-Strukturen [15–17] gezo-gen werden.
Coulomb-Wechselwirkung in photonischen Kristallen
Seit Mitte der achtziger Jahre werden die transversal-optischen Eigenschaften photonischer Kristalle intensiv untersucht [18,19]. Die besonderen Eigenschaften für transversale Lichtmoden in photonischen Kristallen wie z.B. die Zustandsdichte, die je nach Geometrie Bandlücken aufweisen kann, haben ihre Ursache in der periodischen Anordnung verschiedener dielektrischer Medi-en auf der GrössMedi-enskala der LichtwellMedi-enlänge. Kombiniert man Atome, Moleküle oder Festkörper mit photonischen Kristallen, dann kann man die Wechselwirkung zwischen der Materie und dem elektromagnetischen Feld beeinflussen, weil man die Eigen-schaften des elektromagnetischen Feldes durch die Geometrie des photonischen Kristalls steuern kann. Die bekanntesten Bspiele dafür sind die Verringerung der spontanen Emission ei-ner Elementaranregung in der photonischen Bandlücke und die starke Wechselwirkung von Elementaranregungen mit Defekt-moden des photonischen Kristalls.
Die Anzahl von Raumrichtungen, in denen die dielektri-schen Medien periodisch angeordnet sind, bestimmen die Di-mensionalität des photonischen Kristalls. Dementsprechend sind Halbleiter-Multiquantenfilme auch eindimensionale photoni-sche Kristalle. Für zweidimensionale photoniphotoni-sche Kristalle wur-den sehr viele verschiewur-dene Geometrien vorgeschlagen, eine der ältesten und wichtigeren davon sind Säulen oder Zylinder eines dielektrischen Materials in einem anderen in rechteckiger oder hexagonaler Anordnung, realisiert z.B. als luftgefüllte Zylinder in makroporösem Silizium [20] oder in GaAs/AlGaAs [21]. Bei dreidimensionalen photonischen Kristallen gestaltete sich die Herstellung am schwierigsten, ”Yablonovite” [22] und die ”Lin-coln log”-Struktur [23] wurden zunächst für Mikrowellen reali-siert und später für den Infrarot-Bereich verkleinert [24, 25], in dem wichtige Wellenlängen (1.3µm und 1.55µm) für die Tele-kommunikation liegen. Darüber hinaus wurden zwei- und drei-dimensionale photonische Kristalle realisiert, deren Eigenschaf-ten sich nach der Herstellung von außen einstellen lassen. Dazu
werden Flüssigkristalle in invertierten Opalen [26] oder in den Zylindern eines zweidimensionalen photonischen Kristalls [27] verwendet, so dass entweder mit externen elektrischen Feldern die Moleküle des Flüssigkristalls ausgerichtet werden können oder die Temperaturabhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten des Flüssigkristalls ausgenutzt werden kann.
Mittlerweile haben photonische Kristalle Anwendung gefun-den, z.B. in LEDs [28,29], Lasern [30–32], Antennen [33] sowie in Glasfasern [34] und Wellenleitern [35].
Neben den durch selbst-organisiertes Wachstum und Mi-krostrukturierungstechniken künstlich hergestellten photoni-schen Kristallen gibt es auch zwei Beispiele natürlich vorkom-mender photonischer Kristalle: Opale [36] und Kristallite auf den Flügeln einiger Schmetterlinge [37–39].
Die Auswirkungen der dielektrischen Strukturierung in pho-tonischen Kristallen auf den longitudinalen Anteil des elektro-magnetischen Feldes haben bisher nur wenig Beachtung ge-funden [40]. Insbesondere für Kombinationen aus Halbleiter-Quantenfilmen und photonischen Kristallen ist es jedoch wich-tig, die Wechselwirkung zwischen Elektronen im Quantenfilm in Anwesenheit des photonischen Kristalls korrekt zu berücksichti-gen, um z.B. die Eigenschaften gebundener Elektron-Loch-Paare richtig zu beschreiben. Derartige Strukturen wurden bereits her-gestellt [41, 42] und sind insbesondere für Laseranwendungen sehr wichtig.
Das Ziel des zweiten Teils dieser Arbeit ist es daher, ein System aus einem zweidimensionalen photonischen Kristall und einem Halbleiter-Quantenfilm zu modellieren und die Modifikationen des Coulomb-Potentials für geladene Teilchen im Quantenfilm zu bestimmen.
Aufbau der Arbeit
Im folgenden Kapitel wird zunächst ein Modell für das Ensem-ble resonanter Streuer entwickelt, das auf der Realisierung mit Halbleitern beruht. Für kleine Systeme werden einige
analyti-sche Betrachtungen angestellt. Danach werden im Kapitel 3 die Ergebnisse für größere Streuensembles präsentiert, wobei zum Vergleich mit den analytischen Resultaten kleine Systeme eben-falls behandelt werden.
Das Kapitel 4 leitet die Betrachtungen zu photonischen Kristal-len ein. Dort werden das zu Grunde liegende Modellsystem be-schrieben und ein allgemein gültiges Ergebnis für die Coulomb-Wechselwirkung in dielektrisch strukturierten Halbleitersyste-men abgeleitet. Danach werden im Kapitel 5 kurz die notwen-digen Mittel für die numerische Lösung dargelegt, die für die Er-gebnisse im Kapitel 6 zum Einsatz kommen. Wichtige Details zu den Ergebnissen in diesem Kapitel, die aber den Textfluss stören würden, sind im Anhang C dargelegt. Die Betrachtungen wer-den durch die Untersuchung linearer optischer Eigenschaften ei-nes Halbleiter-Quantenfilms in unmittelbarer Umgebung eiei-nes photonischen Kristalls im Kapitel 7 abgeschlossen.
2 Modell für eine Kette
resonanter Streuer
Das Halbleitersystem, das den Betrachtungen hier zu Grunde lie-gen soll, ist in Abbildung 2.1 schematisch dargestellt. Es besteht
Ein kin z zT 0 d 1 2 N ematrix
Abbildung 2.1: Modell einer eindimensionalen Anordnung von
N Halbleiter-Quantenfilmen im Abstand d untereinander. Die
Kette ist in einer Matrix mit der Dielektrizitätskonstantenεmatrix eingebettet und wird in positiver z-Richtung mit einem externen elektromagnetischen Feld ~Einangeregt.
aus N Quantenfilmen, die den Abstand d untereinander haben, in eindimensionaler Anordnung entlang der z-Achse. Die Um-gebung bildet ein Halbleitermaterial mit der Dielektrizitätskon-stantenεmatrix. Die Kette soll entlang der z-Achse (~kin= (0, 0, kz)) mit einem transversalen elektromagnetischen Feld ~Einangeregt werden. Der Abstand d der Quantenfilme zueinander soll im Bereich der Wellenlängeλ des anregenden Lichts liegen, wobei
d=λ/2 und d λ wichtige zu untersuchende Anordnungen sind. Der Ort zT liegt hinter der Kette und dient später zur Be-stimmung der Transmission.
ähnli-chen Systems mit Quantenpunkten sind bereits in [43] und [44] dargelegt und sollen daher hier nur kurz wiederholt werden. Am Schluss dieses Abschnitts werden die Modifikationen für die hier betrachteten eindimensionalen Systeme dargelegt.
2.1 Material- und Maxwell-Gleichungen
Für die Materialgleichungen wird der Hamilton-Operator
H= Hdot+ Hlicht+ HWW (2.1)
verwendet, um die lineare mikroskopische Interband-Polari-sation zu bestimmen, die als Inhomogenität in die Maxwell-Gleichungen eingeht.
Im Hamilton-Operator beschreibt Hdoteinen Quantenpunkt als Zwei-Niveau-System mit den Niveaus c und v, den zugehörigen Energien Ec und Ev sowie den Erzeugungs- (a†) und Vernich-tungsoperatoren (a) für Elektronen in den Niveaus c und v in zweiter Quantisierung
Hdot= Eca†cac+ Eva†vav (2.2) Die elektronische Wellenfunktion ist dabei in einem Produktan-satz darstellbar als
Ψ(~r) =ξ(~r) · acuc(~r) + avuv(~r) (2.3) wobeiξ(~r)die Einhüllende für beide Niveaus in Folge des Con-finements ist sowie uc(~r)und uv(~r)die aus der Kristallstruktur folgenden Blochfunktionen der Niveaus c und v sind.
Der Term Hlicht ist der Anteil für das anregende Licht, er wird nicht weiter betrachtet, da das elektromagnetische Feld klassisch behandelt werden soll. Der letzte Term HWW steht für die Wech-selwirkung zwischen anregendem Lichtfeld und dem Zwei-Niveau-System, die hier semiklassisch und in Dipol-Näherung
2.1 Material- und Maxwell-Gleichungen
mit dem Dipolmatrixelement ~dcv der Kristall-Einheitszelle be-handelt werden soll
HWW = −~Edot d~cva†cav+ ~d∗cva†vac (2.4) wobei ~Edot das mit der Einhüllenden ξ(~r)über einen Quanten-punkt gemittelte elektromagnetische Feld ist
~Edot=
Z
Dot|ξ(~r)|
2~E(~r)d3r (2.5)
Mit diesem Hamilton-Operator kann die Bewegungsgleichung für die mikroskopische Polarisation
pcv= ha†cavi (2.6)
aus der Heisenberg-Gleichung gewonnen werden. Sie lautet −i ¯h∂tpcv(t) = Egappcv(t) − ~Edot· ~d∗cv (2.7) mit der Energielücke
Egap= Ec− Ev (2.8)
Durch Fouriertransformation in den Frequenzraum erhält man
pcv(ω) = −~Edot· ~d∗cv
1
−Egap+ ¯hω+ iγ (2.9)
wobei die infinitesimal kleine Konstanteγ die Kausalität sichert und durchγ→ 0 später aus den Gleichungen eliminiert wird.
Bestimmt man nun die makroskopische Polarisation für die Einheitszellen am Ort ~R im Quantenpunkt als Erwartungswert der Dipoldichte ~Pez(~R,t) = h e Vez Z ezΨ †(~R +~r)(~R +~r)Ψ (~R +~r)i (2.10)
und nutzt (2.3) sowie die Definition des Dipolmatrixelements ~ dcv= e Z ez u∗c(~r)~ruv(~r)d~r (2.11) so erhält man ~Pez(~R,t) = 1 Vez ~ dcvpcv(t) + ~d∗cvp∗cv(t) |ξ(~R|2 (2.12)
Fouriertransformation und Mittelung über alle Einheitszellen er-gibt mit der impliziten Definition
~Pdot(ω) =χdot(ω)~Edot(ω) (2.13) folgendes Ergebnis für die Suszeptibilitätχdot(ω)des Quanten-punkts χdot(ω) = −|~dcv| 2 Vdot 1 −Egap+ ¯hω+ iγ− 1 Egap+ ¯hω+ iγ 1 (2.14) wobeiχdot(ω)Tensorcharakter hat, 1 die tensorielle 1 ist, sowie
Vdot das Volumen eines Quantenpunktes bezeichnet.
Nun muss noch das elektromagnetische Feld mit Hilfe der Gleichungen bestimmt werden. Die Maxwell-Gleichung für das volle ~E-Feld
∇×∇× +εc12∂ 2 t~E(~r,t) = − 4π c2∂ 2 t~P(~r,t) (2.15) kann durch Fourier-Transformation und mit Hilfe des Green-schen Tensors, in Komponentenschreibweise
Gmn(~r,~r0,ω) = − δmn− 1− ikD k2D2 δmn− −3 + 3ikD + k2D2 k2D4 DmDn exp(ikD) 4πD (2.16)
gelöst werden, wobei k =√εω/cmit der Dielektrizitätskonstan-ten ε sowie der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ist, und
2.1 Material- und Maxwell-Gleichungen
~D =~r −~r0der Abstandsvektor, D sein Betrag und Dmmit m ∈ 1,2,3
seine Komponenten sind. Der Greensche Tensor erfüllt die Wel-lengleichung mit einerδ-Inhomogenität
−∇×∇× +k2G(~r,~r0,ω) =δ(~r −~r0)1 (2.17) Das ~E-Feld kann dann mit der Lippmann-Schwinger-Gleichung
~E(~r,ω) = ~Ein(~r,ω) −4πω 2 c2 Z Dot G(~r,~r0,ω) · ~P(~r0,ω)d3r0 (2.18) bestimmt werden.
Das mittlere Feld am Quantenpunkt ist damit ~Edot(ω) = ~Edotin (ω) −
4πω2
c2 Vdotχdot(ω) · Gdot(ω) · ~Edot(ω)
= ~Edotin (ω) + ~Edotstreu(ω)
(2.19) wobei der über den Quantenpunkt gemittelte Greenschen Tensor Gdot genutzt wurde, bzw.
~
Edot(ω) =
1+4πω
2
c2 Vdotχdot(ω) · Gdot(ω)
−1
· ~Edotin (ω) (2.20) Definiert man nun die renormierte Suszeptibilitätχrenbezogen nur auf das anregende Feld
~Pdot(ω) =χren(ω)~Edotin (ω) (2.21) dann folgt
χren(ω) = 1 +
4πω2
c2 Vdotχdot(ω) · Gdot(ω)
−1
·χdot(ω) (2.22) Wenn man einen geringen Shift der Resonanz vernachlässigt und nur den resonanten Term berücksichtigt, erhält man für die re-normierte Suszeptibilität
χren(ω) = −|~dcv| 2
Vdot
1
−Egap+ ¯hω+ iγrad
Für dieses Ergebnis ist ein Konvergenzproblem zu lösen, das der elektrostatischen Selbstenergie eines geladenen Teilchens ähnlich ist [45], weil der Greensche Tensor (2.16) für~r =~r0divergent ist.
Daher erhält man im Realteil von Gdot(ω)divergente Terme, die vernachlässigt werden müssen, so dass der erste nicht divergente Term die Energierenormierung bestimmt. Der Imaginärteil von Gdot(ω) führt zur Dämpfung der Polarisation allein durch die Wechselwirkung mit dem anregenden Lichtfeld. Für die daraus resultierende Linienbreite erhält man
γrad= 2 3 Egap ¯hc 3√ ε|~dcv|2 (2.24)
Die renormierte Suszeptibilität (2.23) ist wegen der Kugelsym-metrie des Problems diagonal.
Die radiative Dämpfung γrad ist bislang die einzige Dämp-fung für die Polarisation im Problem und wird daher später die Linienbreite in optischen Spektren bestimmen. Auch die Fre-quenz der optischen Anregung des Zwei-Niveau-Systems muss, gemessen in Einheiten von γrad in der Nähe der Energielücke
Egap/ ¯hliegen, weil ansonsten auf Grund des ”Resonanznenners” in der Suszeptibilität (2.23) keine nennenswerte Polarisation im Quantenpunkt entstehen kann. Aus diesen zwei Gründen fixiert
γraddie Energieskala des Problems.
Betrachtet man im nächsten Schritt ein System aus zwei Quan-tenpunkten, so erhält man für die Polarisationen ~Pdot,1und ~Pdot,2
~Pdot,1=χren,1~Edotin,1− 4πω2
c2 VdotG(0,~D)χren,1~Pdot,2
~Pdot,2=χren,2~Edotin,2− 4πω2
c2 VdotG(0,~D)χren,2~Pdot,1
(2.25)
wobei sich der eine Quantenpunkt am Ort 0 und der zweite am Ort ~D befindet. Verallgemeinert man diesen Fall schließlich auf N Quantenpunkte, so erhält man für die Polarisation des
Quanten-2.1 Material- und Maxwell-Gleichungen
punktes mit dem Index i bei Kopplung an die N − 1 anderen ~Pdot,i(ω) =χren,i(ω) ~Ein dot,i− 4πω2 c2 N
∑
j, j6=i VdotG(~ri,~rj,ω)~Pdot, j (2.26) Aus dieser Gleichung lässt sich ein lineares System mit 3N Glei-chungen gewinnen, um zuerst die Polarisationen zu bestimmen und danach mittels (2.18) das elektromagnetische Feld überall im Raum zu berechnen, wobei das Integral über einen Quanten-punkt durch ein Integral über alle N QuantenQuanten-punkte zu ersetzen ist.Eindimensionale Systeme
Diese Ergebnisse sollen abschließend an den eindimensionalen Fall angepaßt werden, d.h. nicht nur die Geometrie der Streuer-anordnung, sondern auch die Beschreibung des elektromagneti-schen Feldes soll eindimensional entlang der z-Achse erfolgen. Die Motivation dafür ist die wesentlich vereinfachte Interpreta-tion der Daten, da z.B. die Transmission an Stelle des differenti-ellen Streuquerschnitts untersucht werden kann. Auch die Aus-wertung der Amplituden gestaltet sich in einer Dimension deut-lich einfacher als in zwei oder drei Dimensionen.
Die Maxwell-Gleichung lautet dann im Frequenzraum (∂z2+ k2)E(0, z,ω) =
4π
c2ω
2P(0, z,ω) (2.27)
Um das Feld mit der Lippmann-Schwinger-Gleichung (2.18) be-rechnen zu können, wird die Greensche Funktion für den eindi-mensionalen Fall benötigt
G(z, z0,ω) = 1
2ikexp(ik|z − z
0|) (2.28)
Das elektromagnetische Feld und auch Materialgrößen hängen jetzt nicht mehr von anderen Koordinaten als z ab, d.h., das Sy-stem ist in x- und y-Richtung homogen. Die Streuer sind jetzt
im Sinne des ursprünglichen Modells für Halbleiterstrukturen also Quantenfilme und nicht mehr Quantenpunkte. Dies ist die wesentliche Änderung in diesem Modell gegenüber den frühe-ren Arbeiten [43, 44]. Der Vorteil dieser Arbeiten ist die Berück-sichtigung des vollen elektromagnetischen Feldes in drei Dimen-sionen, was die Untersuchung von Nah- und Fernfeld-Effekten sowie von Auswirkungen der Kopplung punktförmiger Streuer über longitudinale und transversale Anteile des elektromagneti-schen Feldes ermöglichte.
Die radiative Dämpfung für eindimensionale Systeme kann früheren Arbeiten zu Multiquantenfilmen [15–17] entnommen werden
γrad= 2π| fcv|2 ω
c√ε (2.29)
und enthält wegen der Dimensionsreduzierung die gegenüber dem 3D-Fall veränderte Oszillatorstärke fcvder Resonanz.
2.2 Analytische Ergebnisse
Für Systeme aus wenigen Streuern kann die Lippmann-Schwinger-Gleichung (2.18) analytisch ausgewertet werden. Da-her sollen hier als Vorbetrachtung und als Vergleichsmöglichkeit zu den numerischen Untersuchungen die zwei einfachsten Syste-me, ein einzelner Streuer und zwei gekoppelte Streuer, im Hin-blick auf das erste und einfachere Kriterium für Lokalisierung, die Transmission, behandelt werden.
Transmission eines einzelnen Streuers
Startpunkt für die Betrachtungen eines einzelnen Streuers ist die Lippmann-Schwinger-Gleichung (2.18) bzw. (2.19), die für einen beliebigen Ort entlang der Kette und für den eindimensionalen Fall lautet
~
E(z,ω) ≈ ~Ein(z,ω) −4πω
2
2.2 Analytische Ergebnisse
wobei in der Greenschen Funktion z0näherungsweise durch den
Ort des Streuers zscatt ersetzt wurde. Die Länge Lscatt bezeichnet die Ausdehnung des Quantenfilms in z-Richtung. Mit Hilfe der renormierten Suszeptibilität (2.23) erhält man
~E(z,ω) = ~Ein(z,ω) −4πω2
c2 G(z, zscatt,ω)Lscattχren(ω)~E in(z
scatt,ω) (2.31) Setzt man jetzt die Ergebnisse für die Greensche Funktion (2.28), die renormierte Suszeptibilität (2.23) und die radiative Dämp-fung (2.29) ein, so erhält man unter Verwendung von Egap= ¯hω0
zunächst ~
E(z,ω) = ~Ein(z,ω) − ¯hω iγrad − ¯hω0+ iγrad
exp(ik|z − zscatt|)~Ein(zscatt,ω) (2.32) und speziell für den Fall resonanter Anregungω=ω0
~
E(z,ω) = ~Ein(z,ω) − exp(ik|z − zscatt|)~Ein(zscatt,ω) (2.33) Nimmt man als anregendes Feld eine ebene Welle an
~
Ein(z,ω) = ~E0inexp(ikz) (2.34) dann bedeutet dies für z > zscatt
~E(z,ω) = ~Ein
0 exp(ikz) − ~E0inexp(ikz) exp(−ikzscatt) exp(ikzscatt) = 0
(2.35) also eine perfekte destruktive Interferenz des eingestrahlten mit dem gestreuten elektromagnetischen Feld. Damit ist die Trans-mission eines resonant mit einer ebenen Welle angeregten Zwei-Niveau-Systems in einem eindimensionalen System gleich Null. Für die Reflexion muss die Auswertung an einem Ort z mit
vorgenommen werden, also ist |z − zscatt| = zscatt− z. Damit lautet das Ergebnis für das reflektierte Feld
~
Er(z,ω) = −~E0inexp(ikzscatt) exp(−ikz)exp(ikzscatt) = −~E0inexp(2ikzscatt) exp(−ikz)
(2.36)
Transmissionsspektren zweier gekoppelter Streuer
Durch die Auswertung der Gleichung (2.30) sollen jetzt einige Ei-genschaften eines Systems aus zwei gekoppelten Streuern unter-sucht werden. Die Verallgemeinerung der Gleichung für mehrere Streuer lautet ~E(z,ω) ≈ ~Ein(z,ω) −4πω2 c2
∑
i LscattG(z, zi,ω)Pi(ω) = ~Ein(z,ω) −4πω 2 c2∑
i LscattG(z, zi,ω)χ(ω)~E(zi,ω) (2.37)Wertet man dieses Ergebnis für z = zjaus, so erhält man ~E(zj,ω) = ~Ein(zj,ω) − 4πω2 c2
∑
i LscattG(zj, zi,ω)χ(ω)~E(zi,ω) (2.38) oder als Matrixgleichung geschrieben∑
i δi j+ 4πω 2 c2LscattG(zj, zi,ω)χ(ω)~E(zi,ω) = ~E in(z j,ω) (2.39) Setzt man die Ergebnisse (2.28) für die Greensche Funktion, (2.14) für die Suszeptibilität und (2.29) für die radiative Dämpfung ein, so erhält man für das Matrixelementiγradexp(2πi|zj− zi|/λ)
¯hω− ¯hω0+ iγ
2.2 Analytische Ergebnisse
Für ein System aus zwei Streuern lautet das Gleichungssystem daher 1+ iγrad ¯hω− ¯hω0+iγ iγradexp(2πiz12/λ) ¯hω− ¯hω0+iγ iγradexp(2πiz21/λ) ¯hω− ¯hω0+iγ 1+ iγrad ¯hω− ¯hω0+iγ ! · E(z1,ω) E(z2,ω) = Ein(z1,ω) Ein(z2,ω) (2.41) Um die Resonanzen dieses Systems aus zwei gekoppelten Streu-ern zu finden, müssen die FrequenzenωRbestimmt werden, für die die Determinante der Matrix Null ist. Für solche Frequenzen führen kleinste Störungen in der Anregung sofort zu großen Än-derungen der verschiedenen E(zi,ω). Da für zwei Streuer z12=
|z1− z2| = z21 ist, erhält man aus der Forderung an die
Determi-nante
( ¯hωR− ¯hω0+ iγ+ iγrad)2+γrad2 exp(4πiz12/λ) = 0 (2.42)
und damit für die Resonanz
¯hωR= ¯hω0− iγ− iγrad± iγradexp(2πiz12/λ) (2.43)
Betrachtet man die Resonanzen als Quasiteilchen, dann ent-spricht der Realteil ¯hω0
Rder Energie des Quasiteilchens. Um die Bedeutung des Imaginärteils ¯hω00
R zu verdeutlichen, kann man die Fouriertransformation in den Zeitbereich heranziehen
E(t) = √1
2π Z∞
−∞exp(−iωt)E(ω)dω (2.44)
Mitω=ω0+ iω00folgt für den Exponentialfaktor
exp(−iωt) = exp(−iω0t+ω00t) (2.45) Damit entspricht der negative Imaginärteil − ¯hω00
Rder Zerfallsra-te oder der inversen Lebensdauer der Resonanz.
Die ResonanzenωRsollen jetzt für einige spezielle Werte für z12
untersucht werden, wobei die phänomenologische Dämpfungγ
• z12=λ/2
Der Exponentialfaktor ist in diesem Fall exp(2πi/2) = −1.
Damit erhält man zwei Resonanzen bei der gleichen Ener-gie ¯hω0, aber mit unterschiedlicher Breite: 2γrad und 0. Da-mit gibt es in einer solchen Struktur eine optisch aktive Mo-de mit verdoppelter Zerfallsrate und eine optisch nicht ak-tive Mode. Die optische Inaktivität der zweiten Mode er-klärt sich aus Gleichung (2.32): Die Linienbreite bestimmt nicht nur die Linienform (im Nenner), sondern auch die Kopplungsstärke (im Zähler). Im Spektrum ist daher nur eine Linie mit doppelter Breite zu erwarten.
• z12=λ/4
Der Exponentialfaktor ist jetzt exp(2πi/4) = i. Damit gibt
es in diesem System zwei Resonanzen bei den Energien
¯hω0+γradund ¯hω0−γrad, die beide die gleiche Lebensdauer haben. Das Spektrum ist daher symmetrisch, und es enthält die Überlagerung zweier Linien bei ¯hω0±γrad.
• z12= d
In diesem allgemeinen Fall sind keine speziellen Aussagen möglich. Man erhält zwei Resonanzen
¯hωR= ¯hω0− iγrad± iγradexp(2πid/λ) (2.46) • z12=λ/2 + dmit d λ
Der Exponentialfaktor ist hier
exp(2πi/2 + 2πid/λ) = −exp(2πid/λ) (2.47) Damit lautet das Ergebnis
¯hωR= ¯hω0− iγrad∓ iγradexp(2πid/λ) (2.48) Damit ist das Ergebnis hier das gleiche wie beim vorheri-gen Fall, so dass beide Systeme die gleichen Spektren lie-fern sollten.
2.2 Analytische Ergebnisse
• z12=λ/2 − d mit d λ
Der Exponentialfaktor ist in diesem Fall
exp(2πi/2 − 2πid/λ) = −exp(−2πid/λ) (2.49) Damit liegen die Resonanzen in diesem letzten untersuch-ten Fall bei
¯hωR= ¯hω0− iγrad∓ iγradexp(−2πid/λ) (2.50) Das Ergebnis ist dem vorherigen für z12=λ/2 + dbis auf
das Vorzeichen im Exponentialfaktor sehr ähnlich. Nutzt man die Eulersche Formel für komplexe Zahlen und die Parität der Cosinus- und Sinusfunktion, so erhält man die gleichen Lebensdauern der beiden Resonanzen, aber be-züglich ¯hω0genau vertauschte Energien. Das Spektrum für
diesen Fall ist deswegen ein um ¯hω0gespiegeltes Spektrum
des vorherigen Systems.
Nach diesen Vorbetrachtungen für Systeme mit wenigen Streuern soll die in diesem Abschnitt entwickelte Methode auf größere Systeme angewendet werden, wobei auf die analyti-schen Resultate dieses Abschnitts zum Test der numerianalyti-schen Er-gebnisse zurückgegriffen wird.
Streuensembles
3.1 Transmission für
λ
/2
-Strukturen
Die Transmission T ist proportional zur Intensität des elektro-magnetischen Feldes hinter der Struktur (bezogen auf die Ein-strahlrichtung)
T(ω)∝|~Ein(ω) + ~Estreu(ω)|2 (3.1)
Dabei sind ~Ein(ω)das eingestrahlte Feld und ~Estreu(ω)das Feld, welches durch die Polarisation der Streuer erzeugt wird, siehe Gleichung (2.19).
Ensemble ohne Unordnung
Die Abbildungen 3.1 und 3.2 zeigen die Transmission für den Fall d =λ/2, der sogenannten Bragg-Struktur, und für Frequen-zen um die Bandlücke Egap= ¯hω0. Dabei ist als schwarze
gestri-chelte Linie das Ergebnis ohne Unordnung jeweils in den vier Teilbildern a) bis d) enthalten. In diesen und allen folgenden Ab-bildungen dieses Kapitels ist ¯h = 1 gesetzt.
Zunächst zeigen die Transmissionsspektren ohne Unordnung die symmetrische Form, die im Abschnitt 2.2 für ein System aus zwei Streuern abgeleitet wurde. Weiterhin ist die Vergrößerung der Linienbreite mit zunehmender Zahl von Streuern zu erken-nen, ebenfalls im Einklang mit den Resultaten aus dem Abschnitt 2.2. Für Superradianz in Mehrfach-Quantenfilm-Strukturen ist eine zur Filmzahl proportional steigende strahlende
Verbreite-3.1 Transmission fürλ/2-Strukturen −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a) 1 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω−ω 0 [γrad] T b) 2 Streuer 0 0.01 d 0.02 d 0.05 d 0.2 d −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c) 5 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −200 −10 0 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d) 20 Streuer ω−ω 0 [γrad] T
Abbildung 3.1: Transmission fürλ/2-Strukturen mit räumlicher Unordnung. Dargestellt sind die Ergebnisse für einen Streuer (a) sowie für zwei (b), fünf (c) und 20 Streuer (d). Die Stärke der Unordnung ist, bezogen auf den mittleren Abstand d, zwischen 1% (rot) und 20% (cyan) variiert.
rung der Absorptionslinie charakteristisch [15]. Dieses reprodu-zierte Ergebnis ist ein wertvoller Test des Modells.
In Mehrfach-Quantenfilm-Strukturen existieren weiterhin sub-radiante Moden, die in der idealen λ/2-Struktur nicht an das Lichtfeld ankoppeln. Da die Effekte in einer Bragg-Struktur
pha-−100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a) 1 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω−ω 0 [γrad] T b) 2 Streuer 0 0.1 γrad 0.5 γrad 1.0 γrad 5.0 γrad −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c) 5 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −200 −10 0 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d) 20 Streuer ω−ω 0 [γrad] T
Abbildung 3.2: Transmission für λ/2-Strukturen mit energeti-scher Unordnung. Die Bildteile a) bis d) zeigen wieder die Ergeb-nisse für einen Streuer sowie zwei, fünf und 20 Streuer. Schwarz gestrichelt ist jeweils das Ergebnis ohne Unordnung enthalten, die farbigen Kurven stellen die Ergebnis für verschieden starke Unordnung bezogen auf die radiative Dämpfungγrad dar, siehe Legende.
sensensitiv sind, können sie durch Unordnung teilweise aufge-hoben werden, da die subradianten Moden aktiviert sind [17].
3.1 Transmission fürλ/2-Strukturen
Ensemble mit räumlicher oder energetischer Unordnung
In der Beschreibung der eindimensionale Kette von resonanten Streuern gibt es zwei Möglichkeiten, Unordnung einzuführen: Zum einen können die Streuer von ihrer eigentlichen Position leicht verschoben werden, zum zweiten kann die Bandlücke und damit die Resonanzfrequenz von ihrem mittleren Wert abwei-chen.
Beide Ursachen von Unordnung im Ensemble sind z.B. bei der Herstellung von Quantenpunkt-Proben sogar eher zu erwarten als eine ideale Struktur, denn die Anordnung der Streuer erfolgt auch bei selbstorganisiertem Wachstum nicht auf Atomlagen ge-nau [46], und es gibt Größenfluktuationen der Quantenpunk-te [47], die sich auf die elektronischen EigenschafQuantenpunk-ten der Quan-tenpunkte und damit auf die Lage der Niveaus auswirken. Ent-sprechendes gilt auch für Multi-Quantenfilm-Proben.
Die Abbildung 3.1 zeigt die über 1000 Realisierungen der Un-ordnung gemittelte Transmission für Ensembles mit räumlicher Unordnung. Man erkennt, dass die Transmission außerhalb von
ω0größer wird, da die Phasenbeziehung zwischen den von den
einzelnen Streuern erzeugten Streufeldern zerstört wird, wenn die Abstände zwischen den Quantenfilmen keine Vielfachen von
λ/2mehr sind. Damit weichen die Transmissionslinien mit zu-nehmender Unordnung und mit zuzu-nehmender Zahl von Streu-ern immer weiter vom Fall der Superradianz ab.
Für resonante Anregung zeigt sich, dass ein derartiges Streu-ensemble an der Resonanz nicht transmittiert, also immer T = 0 ist. Der Grund hierfür ist, wie im Abschnitt 2.2 gezeigt, Interfe-renz zwischen dem eingestrahlten Feld und dem Streufeld der Quantenfilme. Bei nur einem resonanten Streuer ist die Polari-sation des Streuers umπ/2gegenüber dem eingestrahlten Feld phasenverschoben, das Streufeld ist nochmals umπ/2gegenüber der Polarisation verschoben, und es gibt keine weitere Dämp-fung im System als die radiative Kopplungγrad. Damit interferie-ren die Felder vollständig destruktiv hinter dem ersten Streuer und vollständig konstruktiv in Rückwärtsrichtung vor dem
er-sten Streuer.
Ein anderes Ergebnis zeigt die Abbildung 3.2, in der die ge-mittelten Resultate für um Egapschwankende Bandlücken dar-gestellt sind. Hier folgen die Resultate denen für die Konfigu-ration ohne Unordnung, ausgenommen den Bereich um ω0, in
dem die Bandlücken zufällig verteilt sind. In diesem Bereich wird die Transmission größer als im idealen Fall, weil die Streu-er nun bezogen auf ihre jeweilige Bandlücke individuell vStreu-er- ver-schieden angeregt werden. Insbesondere ist die Transmission bei
ω=ω0nicht mehr Null, weil der Fall der resonanten Anregung,
der dazu führen würde, hier sehr unwahrscheinlich ist. Inλ /2-Ensembles mit energetischer Unordnung kann es also nicht mehr zur Ausbildung kollektiver Phänomene wie im idealen Fall kom-men.
3.2 Transmission für
d
λ
-Strukturen
Ziel der Arbeit ist es zu prüfen, ob Anderson-Lokalisierung von Licht in den hier betrachteten Strukturen möglich ist, in denen die Streuer durch ihre Resonanz charakterisiert sind, und welche Unterschiede sich zu den Mikrowellenexperimenten [1] ergeben. Man unterscheidet bei Lokalisierung durch Unordnung zwi-schen ”klassischer” Lokalisierung und Anderson-Lokalisierung. Das Kriterium ist der Größenvergleich zwischen der DeBroglie-Wellenlänge des untersuchten Teilchens, hier also der Wellenlän-ge λ des Photons, und der Korrelationslänge Lcorr der Unord-nung. Klassische Lokalisierung bedeutet, daß ein Teilchen in ei-nem räumlich großen Minimum des Unordnungspotentials sitzt und ähnlich einem Quantentopf die Potentialbarrieren an beiden Seiten nicht überwinden kann. Daher lautet das Kriterium hier
λ << Lcorr. Im anderen Fall kommt es auch zur Lokalisierung im Raum, aber die Ursache ist, dass ein Elektron oder Photon durch Vielfachstreuung an Streuzentren an seiner Position bleibt, da durch destruktive Interferenz die
Aufenthaltswahrscheinlich-3.2 Transmission fürd λ-Strukturen
keit an allen anderen Orten im Raum verschwindet. Das bedeu-tet auch, dass Anderson-Lokalisierung ein Wellenphänomen ist und durch phasenzerstörende Prozesse, z.B. inkohärente Streu-ung an Phononen, zerstört werden kann. Das Kriterium lautet hierλ >> Lcorr.
Da es hier um den zweiten Fall gehen soll, sollen nun Struktu-ren untersucht werden, in denen die Streuer einen deutlich klei-neren Abstand als in den bisher betrachtetenλ/2-Strukturen ha-ben.
Zu beachten ist dabei natürlich, daß einer der Modellpara-meter die Quantenfilmdicke ist; die lineare Ausdehnung wird durchgehend als Lscatt= 10nmangesetzt. Da sich die Streuer nicht berühren dürfen, machen Abstände d < 10nm keinen Sinn. Die hier und im folgenden präsentierten Rechnungen wurden mit
d= 13nm durchgeführt, weitere Rechnungen mit anderen Ab-ständen zeigen nur geringe quantitative Abweichungen.
In Abbildung 3.3 ist die Transmission für verschieden lange Streuerketten mit dem Abstand d = 13nm zwischen den einzel-nen Filmen dargestellt. Man erkennt eieinzel-nen Energiebereich mit verschwindender Transmission um die Resonanz, der aber nicht symmetrisch um die Resonanz liegt. Stattdessen beginnt er bei
¯hω0= Egap und erstreckt sich zu positiven Energien. Weiterhin wird er mit zunehmender Zahl von Streuer immer breiter. Die Ursachen für das unsymmetrische Verhalten sind die Symme-triebrechung im System durch die Anregung entlang der Streu-erkette~kink z und der kleine Abstand der Streuer untereinander, der nicht zur konstruktiven Interferenz wie in Bragg-Strukturen führt.
In früheren Arbeiten [43] wurde gefunden, dass bei gleicharti-ger Anregung zweier Streuer: ~Ein
scatt,1= ~Escattin ,2= ~Escattin das Absorp-tionsspektrum symmetrisch ist. Eine derartige Anregung ent-spräche hier der Einstrahlrichtung ~kin⊥ z und wurde nicht wei-ter unwei-tersucht. Wenn dagegen nur einer von zwei Streuern ange-regt wird: ~Ein
Absorpti-−100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a) 2 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 b) 5 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c) 20 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −200 −10 0 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d) 50 Streuer ω−ω 0 [γrad] T
Abbildung 3.3: Transmission für Ensembles mit d = 13nm und ohne Unordnung. Deutlich ist die Asymmetrie der Ergebnisse zu erkennen, die durch die inhomogene Anregung der Streuer hervorgerufen wird.
onsspektrum zwei Resonanzen mit unterschiedlicher Breite, wo-bei die Breite der hinzugekommenen Resonanz, der sogenannten dunklen Mode, wesentlich kleiner ist als die Breite der auch im ersten Fall gefundenen Absorptionslinie, der sogenannten hellen Mode.
An-3.2 Transmission fürd λ-Strukturen −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a) 2 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω−ω 0 [γrad] T b) 5 Streuer 0 0.01 d 0.02 d 0.05 d 0.2 d −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c) 20 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −200 −10 0 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d) 50 Streuer ω−ω 0 [γrad] T
Abbildung 3.4: Transmission durch Ensembles mit d = 13nm und räumlicher Unordnung. Dargestellt sind die Ergebnisse für ver-schieden starke Abweichungen der Streuer von ihrem Ort im ge-ordneten System. Das Ergebnis ist über 1000 Realisierungen der Unordnung gemittelt.
regung aller N Streuer der Form
Escatttin ,n= E0inexp(ikzn) (3.2) gewonnen, wobei znder Ort des n-ten Streuers ist. Damit ist die Anregung hier unsymmetrisch, und als Folge koppeln die
Mo-den des Systems aus N Streuern unterschiedlich stark an das ex-terne Feld an und erzeugen so die Unsymmetrie in der Transmis-sion. Dieses Verhalten ist besonders ausgeprägt für lange Ketten, denn bei nur wenigen Quantenfilmen ist die Anregung noch fast homogen, da der Abstand zN− z1zwischen dem ersten und dem
letzten Streuer der Kette noch klein gegenüber der Wellenlänge
λ ist. Diese Relation ist bei langen Ketten nicht mehr gegeben, wenn die Gesamtlänge zN− z1 des Ensembles im Bereich einer
oder mehrerer Wellenlängen liegt. Der Rückgriff auf die analyti-schen Resultate in Abschnitt 2.2 ermöglicht, die qualitativen Aus-sagen für ein System aus zwei resonanten Streuern quantitativ zu belegen. Der Exponentialfaktor in (2.46) bestimmt Real- und Ima-ginärteil der Resonanzen und damit Position und Linienbreite. In diesem allgemeinen Fall haben die beiden Moden keine symme-trische Position umω0, und ihre Lebensdauern sind voneinander
verschieden. Diese Verhältnisse sind insbesondere im Bildteil a) in Abbildung 3.3 deutlich erkennbar.
Dieses Ergebnis soll jetzt mit solchen für ungeordnete Ensem-bles verglichen werden. Dazu wurden Streuerketten sowohl mit energetischer als auch räumlicher Unordnung untersucht.
Theoretische Modelle für unendlich ausgedehnte eindimensio-nale Systeme mit Unordnung liefern, dass die Anwesenheit von Unordnung die Lokalisierung aller Wellenfunktionen verursacht [48]. In Systemen endlicher Ausdehnung können daher auch scheinbar ausgedehnte Wellenfunktionen beobachtet werden [1], wenn die Lokalisierungslänge größer als die Systemausdehnung ist. Daher kann auch bei den hier behandelten Quantenfilm-Ensembles nicht davon ausgegangen werden, dass Auswirkun-gen der Lokalisierung universell in den Ergebnissen beobachtbar sind, wie z.B. verschwindende Transmission durch ungeordnete Ensembles.
Die Abbildung 3.4 zeigt im Vergleich mit Abbildung 3.3, dass räumliche Unordnung die Transmission im Mittel kaum ver-ändert. Starke energetische Unordnung, gemessen in Einheiten vonγrad, wie in der Abbildung 3.5 hingegen erzeugt für
größe-3.2 Transmission fürd λ-Strukturen −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a) 2 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω−ω 0 [γrad] T b) 5 Streuer 0 0.1 γrad 0.5 γrad 1.0 γrad 5.0 γrad −100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c) 20 Streuer ω−ω 0 [γrad] T −200 −10 0 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d) 50 Streuer ω−ω 0 [γrad] T
Abbildung 3.5: Transmission durch Ensembles mit d = 13nm und energetischer Unordnung. Dargestellt sind die Ergebnisse für verschieden starke Abweichungen der Resonanzfrequenz der Streuer vom idealen Wert 1.5eV. Das Ergebnis ist über 1000 Rea-lisierungen der Unordnung gemittelt.
re Streu-Ensembles ein breiteres Stopp-Band als im geordneten Fall. Es könnten daher innerhalb dieses Stopp-Bandes, aber au-ßerhalb des Stopp-Bandes für den geordneten Fall, was in der Abbildung 3.5d) als schwarz gestrichelte Linie enthalten ist, loka-lisierte Wellenfunktionen existieren. Da aber auch in Ensembles
ohne Unordnung derartige Energiebereiche mit verschwinden-der Transmission existieren, muss diese Vermutung durch die Untersuchung der Wellenfunktionen selbst geprüft werden.
3.3 Feldintensität für
λ
/2
-Strukturen
Wie im Abschnitt 2.1 dargestellt ist, kann mittels (2.18) das elek-tromagnetische Feld überall im Raum bestimmt werden, wenn die Polarisation der Streuer bekannt ist. Daher kann in ähnlicher Weise wie bei der Transmission auch das Feld und damit dessen Intensität entlang der Streuerkette berechnet werden:
I(~r,ω) = |~E(~r,ω)|2= |~Ein(~r,ω) + ~Estreu(~r,ω)|2 (3.3)
wobei hier ~r = (0,0,z) ist. In diesem Abschnitt sollen zunächst wieder Bragg-Strukturen als Testfall untersucht werden, bevor im folgenden Abschnitt die Ensembles mit d λdiskutiert wer-den.
Die Intensität hinter der Streuerkette für eine bestimmte Anre-gungsenergie ¯hω am vorher festgelegten Punkt zT als Detektor-position kann unmittelbar mit der Transmission beiωverglichen werden. Dementsprechend zeigt die Abbildung 3.6, dass bei nur leicht (+0.2γrad) neben der Resonanzω0liegender Anregung die
Intensität hinter der Streuerkette I(z 0) = 0 ist, während sie in Abbildung 3.7 deutlich größer als 0 ist, weil dort die Anregung stark nicht-resonant (+10γrad) erfolgte. Diese Ergebnisse findet man auch in Abbildung 3.1 wieder, wenn man nur die Daten für die Ensemble ohne Unordnung berücksichtigt.
Innerhalb der Kette zeigt die Intensität ein oszillatorisches Ver-halten, wobei die Intensität immer kleiner wird, je weiter hinten in der Kette der Beobachtungspunkt liegt. Während bei nur ei-nem resonanten Streuer die Interferenz zwischen anregendem und Streufeld bei resonanten Anregung noch relativ einfach zu beschreiben ist, kann die Abnahme der Amplitude der Oszillati-on nicht durch eine einfache FunktiOszillati-on charakterisiert werden.
3.3 Feldintensität fürλ/2-Strukturen −5 0 5 0 1 2 3 4 a) 2 Streuer z [d] I [I in ] −5 0 5 10 0 1 2 3 4 b) 5 Streuer z [d] I [I in ] 0 10 20 0 1 2 3 4 c) 20 Streuer z [d] I [I in ] 0 20 40 0 1 2 3 4 d) 50 Streuer z [d] I [I in ]
Abbildung 3.6: Intensität des Feldes fürλ/2-Strukturen bei leicht verstimmter Anregung (ω=ω0+ 0.2γrad). Analog zu den Trans-missionsergebnissen ist das System nahezu undurchlässig, da die Anregung fast resonant erfolgt.
Vor der Kette, also in Einstrahlrichtung rückwärts gesehen, zeigt sich bei nur leicht verstimmter Anregung (siehe Abbildung 3.6) der bisherigen Argumentation entsprechend eine fast voll-ständige konstruktive Interferenz des eingestrahlten mit dem ge-streuten Feld, so dass sich hier eine Oszillation mit der Amplitu-de 4.0 bezogen auf die Intensität Iin= |Ein|2 des eingestrahlten
−5 0 5 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 a) 2 Streuer z [d] I [I in ] −5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 b) 5 Streuer z [d] I [I in ] 0 10 20 0 1 2 3 4 c) 20 Streuer z [d] I [I in ] 0 20 40 0 1 2 3 4 d) 50 Streuer z [d] I [I in ]
Abbildung 3.7: Intensität des Feldes fürλ/2-Strukturen bei ver-stimmter Anregung (ω=ω0+ 10γrad). Man erkennt deutlich, ins-besondere für kurze Ketten (siehe Bildteile a und b) die Trans-mission nahe 1, da es weit außerhalb der resonanten Anregung nicht zur destruktiven Interferenz zwischen eingestrahltem und gestreutem Feldern kommt.
Feldes ergibt. Bei stärker nicht resonanter Anregung (siehe Ab-bildung 3.7) nimmt die Reflexion ab und die Transmission zu, wobei diese Tendenz insbesondere bei kurzen Ketten ausgeprägt ist.
3.4 Feldintensität fürd λ-Strukturen
3.4 Feldintensität für
d
λ
-Strukturen
Den Erläuterungen im Abschnitt 3.2 folgend, soll jetzt das elek-tromagnetische Feld in Strukturen mit d λ untersucht wer-den. Im vorangegangenen Abschnitt 3.3 spiegelten die Ergebnis-se deutlich die besondere PhaErgebnis-senbeziehung zwischen den Streu-feldern der einzelnen Streuer wider. Eine derartige Phasenbezie-hung ist hier nicht gegeben.
Die Transmissionsspektren für Systeme mit d λ im Ab-schnitt 3.2 zeichneten sich durch die verbreiterten Stopp-Bänder aus, dementsprechend soll jetzt die Anregung leicht unterhalb (−1.0γrad) der Resonanzfrequenzω0 des einzelnen Streuer ohne
Unordnung erfolgen, weil Anregung bei Energien innerhalb des verbreiterten T = 0-Bereichs in Abbildung 3.5 durch Unordnung verursachte Modifikationen des elektromagnetischen Feldes er-möglichen kann.
Abbildung 3.8 zeigt Ergebnisse für Systeme ohne Unordnung und über 1000 Realisierungen gemittelte Resultate mit räumli-cher Unordnung. Die gleichmäßigen Oszillationen wie in der Ab-bildung 3.6 sind nicht mehr vorhanden, und man erkennt die re-duzierte Transmission bei räumlicher Unordnung.
Starke energetische Unordnung (siehe Abbildung 3.9) hinge-gen zerstört das oszillatorische Verhalten vollständig. In lanhinge-gen Ketten (siehe die Teilbilder c) für 20 Streuer und d) für 50 Streu-er) erzeugt energetische Unordnung einzelne starke Feldüberhö-hungen und reduziert die Transmission auf Null. Damit sind in diesen Resultaten Charakteristika lokalisierter Wellenfunktionen zu finden. Auch diese Resultate stammen aus einer Konfigurati-onsmittelung über 1000 Ensembles. Daher treten derartige Wel-lenfunktionen nicht nur bei bestimmten Unordnungsrealisierun-gen auf, sondern sind dann beobachtbar, wenn die Streuensem-bles Fluktuationen der Bandlücken aufweisen.
Dieser Fall soll im Folgenden mit statistischen Methoden ge-nauer untersucht werden.
−5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 a) 2 Streuer z [d] I [I in ] −5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 z [d] I [I in ] b) 5 Streuer 0 0.2 d 0 10 20 0 0.5 1 1.5 2 c) 20 Streuer z [d] I [I in ] 0 20 40 0 0.5 1 1.5 2 2.5 d) 50 Streuer z [d] I [I in ]
Abbildung 3.8: Feldintensität in einem d = 13nm-Ensemble mit Anregung beiω0−γrad. Dargestellt sind die Ergebnisse für Syste-me ohne Unordnung (schwarz gestrichelte Linie) und mit räum-licher Unordnung (cyanfarbige Linie), wobei über 1000 Realisie-rungen gemittelt wurde.
3.5 Intensitätsstatistik für
d
λ
-Strukturen
Die Ergebnisse im letzten Abschnitt zeigen gemittelte Resulta-te, wobei aber letztendlich immer nur erste Momente von
Ver-3.5 Intensitätsstatistik fürd λ-Strukturen −5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 a) 2 Streuer z [d] I [I in ] −5 0 5 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 z [d] I [I in ] b) 5 Streuer 0.5 γrad 5.0 γrad 0 10 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 c) 20 Streuer z [d] I [I in ] 0 20 40 0 5 10 15 20 d) 50 Streuer z [d] I [I in ]
Abbildung 3.9: Feldintensität in einem d = 13nm-Ensemble mit energetischer Unordnung und Anregung beiω0−γrad. Für das System mit energetischer Unordnung ∆ω0= 5γrad brechen die unregelmäßigen Oszillation wie im geordneten Fall zusammen, und es entstehen räumlich beschränkte Bereiche mit sehr starken Feldüberhöhungen. Diese Ergebnisse sind über 1000 Realisierun-gen gemittelt.
teilungen berücksichtigt wurden. Eine weitere Möglichkeit, Wel-lenfunktionen zu klassifizieren, besteht in der Untersuchung der Häufigkeit des Auftretens der Wellenfunktionsamplituden oder
des Absolutquadrats davon, also der Intensität. Das ist in der Vergangenheit sowohl für Mikrowellensysteme [1,49,50] als auch für elektronische Systeme [51] durchgeführt worden. Die Inter-pretation der Ergebnisse dieser Methode ist allerdings nicht ein-fach, weil die Methode selbst noch weiterentwickelt wird (sie-he [52, 53] für einen Überblick).
Die enge Verknüpfung zwischen elektronischen und klassisch-optischen Systemen kommt durch die Analogie zwischen der Wellengleichung für ein klassisches Feld und der stationären Schrödingergleichung zustande. Die homogene Wellengleichung für ein klassisches elektrisches Feld ~E in einem inhomogenen Medium lautet
∇2+ k2
0(1 + n(~r))~Eω(~r) = 0 (3.4)
wobei die Coulomb-Eichung
∇· ~E = 0 (3.5)
genutzt wurde. Die räumlichen Inhomogenität ist durch den ortsabhängigen Brechungsindex n(~r) berücksichtigt, und es gilt
k0=ω/cfür den Hintergrund.
Die stationäre Schrödingergleichung für ein Teilchen der Mas-se m in einem Potential V(~r) lautet für eine stationäre Wellenfunk-tionΨE(~r), zu der die Energie E gehört,
− ¯h
2 2m∇
2+V (~r) − EΨ
E(~r) = 0 (3.6)
Die wesentlichen Unterschiede zwischen dem elektronischen und dem klassisch-optischen System sind die skalare (Ψ) bzw. vektorielle (~E) Natur der untersuchten Größe und das lineare (E) bzw. quadratische (k2=ω2/c2) Vorkommen des Eigenwerts. Ein
wichtiger weiterer Unterschied, der aber nicht aus dem Vergleich der beiden Gleichungen folgt, ist die bereits in der Einleitung er-wähnte Existenz der Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elek-tronen und dem Fehlen einer äquivalenten Wechselwirkung für Licht bzw. Photonen.
3.5 Intensitätsstatistik fürd λ-Strukturen
In [51] werden verschiedene Unordnungsmechanismen in elektronischen Systemen theoretisch untersucht. Da Eigenschaf-ten der Wellenfunktionen von der konkreEigenschaf-ten Art der Unord-nung abhängen, sind keine allgemeinen statistischen Aussagen für lokalisierte Wellenfunktionen möglich. Auf Grund der räum-lichen Lokalisierung sollten aber kleine Intensitäten ”sehr häu-fig” auftreten, während große Werte ”sehr selten” vorkommen, d.h. in den Histogrammen sollte ein deutlicher Peak für Intensi-täten nahe Null erkennbar sein [1]. In der Nähe des Übergangs Lokalisierung-Delokalisierung wird eine Lognormal-Verteilung
flogn(t) =
1
√
2πexp(−ln
2(I)/2) (3.7)
der Wellenfunktionsintensitäten I gefunden, während für ausge-dehnte Zustände eine Porter-Thomas-Verteilung
fPT(I) =
1
√
2πIexp(−I/2) (3.8)
vorausgesagt wird [51]. In [49, 50] wurde zumindest die Porter-Thomas-Verteilung der Intensitäten experimentell in Mikrowel-lensystemen nachgewiesen.
Die Abbildungen 3.10 und 3.11 zeigen die Häufigkeiten der im System auftretenden Intensitäten, wobei 10000 Realisierun-gen der Unordnung berücksichtigt wurden, um ausreichend vie-le Daten zur statistischen Auswertung zur Verfügung zu stel-len. Zur Auswertung wurden nur Werte innerhalb der Streuer-Ketten herangezogen. Zum Vergleich sind die Lognormal- und die Porter-Thomas-Verteilung ebenfalls dargestellt. Das System für Abbildung 3.10 wurde im erweiterten Stopp-Band (siehe Ab-bildung 3.5) für ungeordnete Systeme bei ω0−γrad angeregt, während das System für Abbildung 3.11 zum Vergleich inner-halb des Stopp-Bands für geordnete und ungeordnete Systeme beiω0+ 2γrad angeregt wurde.
Man erkennt sofort, dass die Daten in keinem der Fälle der Lognormal-Verteilung folgen, also hier nicht Wellenfunktionen
10−2 100 102 10−2 10−1 100 101 102 I [Iin] count a) 2 QP 0 0.5 γrad 5.0 γrad P.T. Logn. 10−2 100 102 10−2 100 102 b) 5 QP I [Iin] count 10−2 100 102 10−2 100 102 c) 20 QP I [Iin] count 10−2 100 102 10−2 100 102 d) 50 QP I [Iin] count
Abbildung 3.10: Intensitätsstatistik bei Anregung bei ω0−γrad. Dargestellt sind die Ergebnisse für das geordnete (schwarz ge-strichelt) und zwei verschieden stark energetisch ungeordne-te Sysungeordne-teme (grün und cyan) sowie zum Vergleich die Porungeordne-ter- Porter-Thomas-Verteilung (magenta gestrichelt) und die Lognormal-Verteilung (magenta punktiert).
aus dem Übergangsbereich Lokalisierung-Delokalisierung vor-liegen.
Abbildung 3.12 zeigt die gleichen Daten wie Abbildung 3.10, aber in halblogarithmischer Darstellung. Hier ist zu erkennen,
3.5 Intensitätsstatistik fürd λ-Strukturen 10−2 100 102 10−2 10−1 100 101 102 I [Iin] count a) 2 QP 0 0.5 γrad 5.0 γrad P.T. Logn. 10−2 100 102 10−2 100 102 b) 5 QP I [Iin] count 10−2 100 102 10−2 100 102 c) 20 QP I [Iin] count 10−2 100 102 10−2 100 102 d) 50 QP I [Iin] count
Abbildung 3.11: Intensitätsstatistik bei Anregung beiω0+ 2γrad. Dargestellt sind die Ergebnisse in der gleichen Form wie in Ab-bildung 3.10.
dass beide Ergebnisse für energetische Unordnung sehr häufi-ges Auftreten kleiner Intensitäten zeigen, wobei stärkere Unord-nung einen deutlichen Ausläufer für große Intensitäten verur-sacht. Allerdings erfüllt die Wellenfunktion für schwache Un-ordnung (grüne Linie in den Abbildungen 3.9, 3.10 und 3.12) im Gegensatz zum Ergebnis für stärkere Unordnung (cyane Li-nie) nicht das Kriterium verschwindender Transmission, wie in
0 1 2 3 4 5 10−2 10−1 100 101 102 I [Iin] count a) 2 QP 0 0.5 γrad 5.0 γrad P.T. Logn. 0 2 4 6 10−2 100 102 b) 5 QP I [Iin] count 0 5 10 15 20 10−2 100 102 c) 20 QP I [Iin] count 0 10 20 30 40 50 10−2 100 102 d) 50 QP I [Iin] count
Abbildung 3.12: Intensitätsstatistik bei Anregung bei ω0−γrad. Dargestellt sind die gleichen Ergebnisse wie in Abbildung 3.10, hier jedoch in halblogarithmischer Auftragung.
Abbildung 3.9 zu sehen ist. Damit kann die Klassifikation der Wellenfunktionen nicht allein auf der Grundlage der Statistik für Wellenfunktionsintensitäten durchgeführt werden.
Für lokalisierte Wellenfunktionen existiert aber ohnehin kein scharfes Kriterium innerhalb dieser Methode. Die Ursache für die delokalisierten Wellenfunktionen kann darin liegen, dass die zu Grunde liegenden Theorien (Random Matrix Theory [14],
3.5 Intensitätsstatistik fürd λ-Strukturen
Supersymmetrie-Techniken und Nichtlinearesσ-Modell [53–55]) hier nicht ohne weiteres anwendbar sind. Schon in den er-sten experimentellen Arbeiten mit Mikrowellensystemen wur-den Abweichungen vom Universalverhalten nach der Random Matrix Theory beobachtet, so dass z.B. Korrekturen zur Porter-Thomas-Verteilung der Intensitäten chaotischer Wellenfunktio-nen berücksichtigt werden mussten, um zur Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment zu gelangen [49]. Derartige Korrekturen können auch für die Quantenfilm-Ensembles not-wendig sein, jedoch sind diese Korrekturen, die prinzipiell mit der Supersymmetrie-Technik bestimmt werden können, abhän-gig von Systemeigenschaften wie Dimensionalität und genauer Geometrie.
in photonischen Kristallen
Für die Untersuchungen in diesem Teil der Arbeit soll ein System aus einem zweidimensionalen photonischen Kristall und einem intakten idealen Halbleiter-Quantenfilm zu Grunde gelegt wer-den, wie es in Abbildung 4.1 skizziert ist. Der Quantenfilm und
Halbleiter-Quantenfilm Spacer zweidimensionaler photonischer Kristall D x y z
Abbildung 4.1: Ausschnitt aus dem Modellsystem mit zweidi-mensionalem photonischen Kristall und Halbleiter-Quantenfilm. Die Struktur ist in x- und in y-Richtung periodisch fortgesetzt. das umgebende Halbleitermaterial sollen die gleiche Dielektri-zitätskonstante (DK) ε1 haben, während die Zylinder mit Luft
(ε2= 1) gefüllt sein sollen. Die Zylinder werden als unendlich in
positiver z-Richtung ausgedehnt angenommen. Der untere Rand der Zylinder hat jeweils den Abstand D zum Quantenfilm, der idealisiert ohne Ausdehnung in z-Richtung und mit unendlicher Ausdehnung in x- und y-Richtung beschrieben wird.
Die Maxwell-Gleichungen für die elektromagnetischen Felder in einem dielektrisch strukturierten System sind der Startpunkt der Betrachtungen. Sie lauten im CGS-System:
∇· ~D(~r,t) = 4πρ(~r,t) (4.1) ∇·~B(~r,t) = 0 (4.2) ∇× ~E(~r,t) +1c∂t~B(~r,t) = 0 (4.3) ∇× ~H(~r,t) =4π c ~j(~r,t) + 1 c∂t~D(~r,t) (4.4)
Die Materialien sollen lineare Medien sein, so dass für das elek-trische Feld ~E, die Polarisation ~P und die dielekelek-trische Verschie-bung ~D gilt:
~D(~r,t) = ~E(~r,t) + 4π~P(~r,t) (4.5)
~D(~r,t) =ε(~r)~E(~r,t) (4.6)
Entsprechend lauten die Materialgleichungen für die magneti-sche Induktion ~B, die Magnetisierung ~Mund das Magnetfeld ~H
~
H(~r,t) = ~B(~r,t) − 4πM~(~r,t) (4.7)
~B(~r,t) =µH~(~r,t) (4.8)
wobei die magnetische Permeabilität µ als konstant behandelt wird.
Die dielektrische Funktion ε(~r)ist in photonischen Kristallen innerhalb homogener Gebiete Distückweise konstant:
Die vier Maxwell-Gleichungen für die Felder können durch die Einführung der elektromagnetischen Potentialeφ und ~A auf zwei Gleichungen für die Potentiale reduziert werden, siehe da-zu den Anhang B. Von besonderer Wichtigkeit ist im hier behan-delten Fall dielektrisch strukturierter Systeme die generalisierte Coulomb-Eichung (B.5), die daher auch hier aufgeführt werden soll:
∇· [ε(~r)~A(~r,t)] = 0 (4.10)
Das generalisierte Coulomb-Potential VCist dann die Lösung der Poisson-Gleichung (B.6) mit einerδ-Inhomogenität:
−∇· [ε(~r)∇VC(~r,~r0)] = 4πδ(~r −~r0) (4.11) Mit dem generalisierten Coulomb-Potential VCerhält man als Lö-sung der Poisson-Gleichung (B.6)
φ(~r,t) =
Z
d3r0VC(~r,~r0)ρ(~r0,t) (4.12) Für das generalisierte Coulomb-Potential VCgilt die Identität
VC(~r,~r0) = − 1 4π Z d3r00∇00 1 |~r00−~r| · ~El(~r00,~r0) (4.13) die mit partieller Integration geprüft werden kann. Der Zusatz
l in ~El bedeutet, dass es sich bei diesem Feld-Anteil um denje-nigen Anteil handelt, der mit dem skalaren Potential verknüpft ist, d.h. ~El= −∇VC. Weitere longitudinale Anteile sind mit dem Vektorfeld verbunden, da hier wegen der Inhomogenität des Systems nicht die Coulomb-Eichung, sondern die generalisierte Coulomb-Eichung verwendet wird.
Diese Gleichung kann für beliebige Geometrien nur numerisch unter Berücksichtigung der Randbedingungen für das elektri-sche Feld und die dielektrielektri-sche Verschiebung an den Grenzflä-chen∂Di jzwischen den Volumina Diund Djgelöst werden:
~ni· ~Di(~r,~r0) =~ni· ~Dj(~r,~r0) für~r ∈∂Di j (4.14) ~ni× ~Ei(~r,~r0) =~ni× ~Ej(~r,~r0) für~r ∈∂Di j (4.15)
Der Normalenvektor ~ni zeigt dabei aus dem Volumen Di in das Volumen Dj.
Die rechte Seite der Gleichung (4.13) kann mit partieller Inte-gration ausgewertet werden, wobei ich mich im folgenden auf zwei Raumbereiche beschränke:
VC(~r,~r0) = − 1 4π Z D1+D2 d3r00∇00· 1 |~r00−~r|~El(~r00,~r0) + 1 4π Z D1+D2 d3r00 1 |~r00−~r|∇00· ~El(~r00,~r0) (4.16) Dabei bedeutetR
D1+D2 Integration über beide Volumina D1und
D2. Jetzt kann der erste Summand auf der rechten Seite mit dem
Satz von Gauß (A.4) in zwei Oberflächenintegrale über den Rand
∂D1 von D1sowie über den Rand∂D2von D2verwandelt
wer-den. Für den zweiten Term kann die Materialgleichung (4.6) ver-wendet werden: VC(~r,~r0) = − 1 4π Z ∂D1 d2r00 1 |~r00−~r|~n1(~r00) · ~El(~r00,~r0) −41π Z ∂D2 d2r00 1 |~r00−~r|~n2(~r00) · ~El(~r00,~r0) + 1 4π Z D1+D2 d3r00 1 |~r00−~r|∇00· ~Dl(~r00,~r0) − 4π~Pl(~r00,~r0) (4.17) Da die Gebiete D1 und D2 eine gemeinsame Grenzfläche ∂D12
haben sollen, gilt:
~n1(~r) = −~n2(~r) (4.18) und es folgt: VC(~r,~r0) = − 1 4π Z ∂D12 d2r00 1 |~r00−~r|~n1(~r00) · ~El,1(~r00,~r0) − ~El,2(~r00,~r0) + 1 |~r0−~r|− Z D1+D2 d3r00 1 |~r00−~r|∇00· ~Pl(~r00,~r0) (4.19)
wobei im letzten Term zusätzlich die Poisson-Gleichung mitδ -Inhomogenität (4.11) sowie (B.4) und (B.5) eingesetzt wurde.
Damit besteht das generalisierte Coulomb-Potential aus drei Teilen: dem Potential einer Punktladung (Term 2), dem Potential der induzierten Oberflächenpolarisation (Term 1) und dem Po-tential der induzierten Volumenpolarisation (Term 3). Der dritte Anteil bedeutet eine Abschirmung der Punktquelle mit der di-elektrischen Konstante des Volumens, in dem sie sich befindet, was gezeigt werden kann, indem das Volumenintegral in zwei Integrale zerlegt wird, in deren jeweiligem Integrationsgebiet Di die DKεikonstant ist. Dann können ~Pl,i= −εi4−1π ∇VCund (4.11) in beiden Integralen verwendet werden, wobei nur das einen Bei-trag liefert, in dessen Integrationsgebiet der Ort ~r0 der Quelle
liegt.
Aus der Stetigkeitsbedingung (4.14) für die Normalkompo-nente folgt
~n1(~r)εε1
2· ~E1
(~r,~r0) =~n1(~r) · ~E2(~r,~r0) (4.20)
Mit diesen Überlegungen und (4.6) nimmt VC die folgende Form an, wobei der Ort der Quelle ab sofort im Gebiet D1liegen
soll und mit~r1statt~r0bezeichnet werden soll:
VC(~r) = 1 ε1 1 |~r −~r1| + 1 4π 1 ε1 ε1 ε2− 1 Z ∂D12 d2r0 1 |~r −~r0|~n(~r0) · ~Dl(~r0,~r1) =V0(~r) +δV(~r) (4.21)
Das generalisierte Coulomb-Potential für eine Testladung mit Einheitsladung 1 bei ~r kann also bestimmt werden, wenn die durch eine Punktquelle mit Einheitsladung 1 bei ~r1 induzierte
Oberflächenpolarisation auf der Grenzfläche∂D12 bekannt ist.
Um ~n1(~r0) · ~Dl(~r0,~r1)zu bestimmen, kann aus (4.21) mit Hilfe von
(B.4), der generalisierten Coulomb-Eichung (B.5) und durch Mul-tiplikation mit dem Normalenvektor eine Integralgleichung für
