5.4 Programmbeschreibung
5.4.2 Zentrale Prozeduren
5.4.2.1 Cholesky-Zerlegung
DiesesVerfahren zerlegt positiv semidenite Matrizen in das Produkt einer oberen
DreiecksmatrixundderentransponierterMatrix.Somitz.B.dieV
arianz-Kovarianz-Matrix
x
indas Produkt
Da Varianz-Kovarianz-Matrizen immer positiv semidenit sind, kann diese
Zerle-gung hier immer angewendet werden. Darüber hinaus ist auf Grund der
Dreiecks-gestaltder Komponenten einerekursive Bestimmung ineinemComputerprogramm
realisierbar.Der Algorithmusfürdie Cholesky-Zerlegung lautet:
c
5.4.2.2 Multivariat normalverteilte Zufallszahlen
Um abhängig normalverteilte Zufallszahlen zu erzeugen werden zwei Dinge
benö-tigt. Erstens unabhängig normalverteilte Zufallszahlen und zweitens eine Wurzel
der Varianz-Kovarianz-Matrix der zu erzeugenden, abhängigen Zufallszahlen.
Ei-ne elegante Möglichkeit für die Bestimmung dieser Wurzel stellt die im vorherigen
Abschnittbeschriebene Cholesky-ZerlegungdieserMatrixdar. Dieunabhängig
nor-malverteiltenZufallszahlenkann manaufvielfacheArterzeugen.Hierwirddie
Box-Muller Transformation 5
eingesetzt, welche aus nur zwei im Intervall [0;1]
gleich-verteilten Zufallszahlen zwei standardnormalverteilte Zufallszahlen erzeugt. Dazu
werdenfür diebeidengleichverteiltenZufallszahlenu
1
und u
2
dieneuen
Zufallszah-len
Sei nun z =(z
einVektor von n unabhängig standardnormalverteilten
Zu-fallszahlen,soerhält man mit
x=
einen Vektor normalverteilter Zufallszahlen mit Erwartungswert
x
und
Varianz-Kovarianz-Matrix
x .
Dennfür den Erwartungswert erhält man
E(
und fürdie Varianz-Kovarianz-Matrix
p
5.4.2.3 Multivariat lognormalverteilte Zufallszahlen
Um multivariat lognormalverteilte Zufallszahlen zu erhalten muÿ lediglich
beach-tet werden, daÿ für jede lognormalverteilte Zufallsvariable l eine normalverteilte
Zufallsvariablen miteindeutiger Parametrisierung existiert,sodaÿ e n
=l. Die
not-wendigeParametrisierung dermultidimensionalenNormalverteilung,also, 2
und
ij
;ergibt sich aus den folgenden Gleichungen:
= ln
die für die Lognormalverteilung gewünschten Werte für
den Erwartungswert, dieVarianzund die Kovarianzen.
Damit können also zunächst multivariat normalverteilte Zufallszahlen n mit den
Parametern , 2
und erzeugt werden. Die daraus abgeleiteten Zufallszahlen
l = e n
sind dann multivariat lognormalverteilt mit den vorgegebenen Parametern
m, s 2
und c
ij :
DieGleichungen(5.6) ergeben sich aus den folgenden Beziehungen:
Erstensgilt fürdas k-teMoment der univariaten Lognormalverteilung 6
und daher fürderen Erwartungswert und dieVarianz
E (X)=m =e
Zweitens giltfür die Kovarianz der multivariatenLognormalverteilung 7
; erhält man dieGleichungen(5.6).
2
5.4.2.4 Korrelationskoezient
Um die Korrelation der Ausfälle nach Pearson bestimmen zu können, werden die
Kovarianzen und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen benötigt.
FürdieKreditausfallkorrelationensind dieseZufallsvariablendie
Rückzahlungsquo-ten (R Q)der jeweiligen KrediteX und Y.Die Berechnung geschiehtdann nachder
Formel
DieStrukturdesProgrammesläÿtsichambestenineinemvereinfachten
Ablaufdia-gramm darstellen. Dieses ist in Abbildung 5.1 wiedergegeben. Aus Gründen einer
6 Vgl.u.a.Lindgren (1976),S.190.
übersichtlicherenDarstellung wird aufeine exakte Beschreibung der einzelnen
Pro-zeduren verzichtet. Die Algorithmen der zentralen Prozeduren wurden bereits im
Kapitel5.4.2 vorgestellt. DerQuellcodeistimAnhangA wiedergegeben,sodaÿ der
Leser Detailsder Implementierungdort entnehmen kann.
Art und Ablauf der Simulation werden durch Übergabeparameter 8
gesteuert. Die
Firmendatenwerdenauseiner EingabedateigelesenunddieErgebnisse ineine
Aus-gabedateigeschrieben.
log2normal
Histogrammdaten Verlust−
geschichte
Ausgabe der Ergebnisse
Firmenzahl Seed
wahrscheinlichkeit
ermitteln Parameter
und Eingabedatei
Firmendaten einlesen
Ausfall−
Ratings ZV erzeugen
Unabh.
gleichvert.
Rückzahlungs−
aufbereiten Daten ermitteln
setzen
Cholesky−
Korrelation Transformation
auf unabh.
Standardnormal−
verteilung
auf abh. Verteilung Transformation
Zerlegung Simulation
berechnen quote best.
Abbildung 5.1: AblaufdiagrammderSimulation.
5.4.3.2 Input
In der Eingabedatei sind für alle Firmen, die in Tabelle 5.1 aufgeführten Daten
enthalten.Die Strukturder Eingabedateien ist strengvorgegeben. Jede Firmawird
in einer Zeile repräsentiert. Dort stehen nacheinander und durch mindestens ein
Leerzeichengetrennt derNennwert des Kreditbetrages,der Zinssatzfürden Kredit,
diegegebenenfallsfestangenommeneRückzahlungsquote,dererwarteteFirmenwert
und schlieÿlich die Kovarianzen mit den anderen Firmen und die Varianz des
Fir-menwertes. Kovarianzenund Varianzensind soangeordnet,daÿ sichimGesamtbild
dieVarianz-Kovarianz-Matrixergibt.
5.4.3.3 Übergabeparameter
In diesem Abschnitt werden die zur Steuerung des Simulationstools notwendigen
Parameterbeschrieben. DieseParameterkönnenbeliebigkombiniertwerden.Einige
Kombinationen sind nicht sinnvoll, da sie sich gegenseitig widersprechen. So ist es
beispielsweisenichtplausibel,gleichzeitigfesteundvariableRückzahlungsquotenzu
fordern.Eine Fehlermeldungerfolgt ineinemsolchen Fallnicht.Beisichgegenseitig
ausschlieÿenden Optionen giltimmer diezuletzt übergebene Einstellung.
Steuerungder Rückzahlungsquote
-f IstdieseOptiongesetzt,arbeitetdasProgrammmitfesten
Rückzahlungs-quoten. DieHöhe wird fürjedeFirmader Eingabedatei entnommen und
kann daher fürjeden Kreditgetrennt festgelegt werden.
-v Dieser Parameter bewirkt, daÿ mit endogenen, also variablen
Rückzah-lungsquoten gearbeitet wird.
9
-d Hier kann man für die variablen Rückzahlungsquoten eine Untergrenze
für den Diskontfaktor 10
vorgeben. Standardwert ist50%:
DieVoreinstellungdesProgrammsist-f.WerdenbeideOptionengesetzt,gilt
diejeweilsletztgenannte.
11
Beispiel: creco -v -d 0.75 eingabedatei
9 Vgl.hierzuauchKapitel5.3.DortwurdeausführlichaufdasVerfahrenzurBestimmung
endo-generRückzahlungsquoteneingegangen.
10 Vgl.hierzuKapitel5.3.
Steuerungder Verteilungsannahme fürdie Aktivawerte
-l Diese Optionmuÿ gesetztwerden, wenn lognormalverteilteFirmenwerte
simuliert werden sollen.
-n DasbewirktnormalverteilteAktivawerteundistdieStandardeinstellung
des Programmes.
12
Werden beide Optionen für die Verteilungsannahme -l und -n gesetzt, so
giltdiejeweils letzteEinstellung.
13
Beispiel: creco -l eingabedatei
Steuerungder Replikationszahl
-r Standardmäÿig läuft die Simulation mit 100000 Replikationen und
lie-fertdamitbereitsstabileErgebnisse.WillmandieZahlderReplikationen
verändern,sogeschiehtdasmitHilfedieserOption.
14
DerBedarfan
Spei-cherplatz und dieRechenzeit steigt mitder Replikationszahl.Dies sollte
man beider Wahlder Replikationszahlbedenken undeinen Kompromiÿ
aus Rechenzeitund gewünschter Genauigkeitder Ergebnisse nden.
Beispiel: creco -r 250000 eingabedatei
AllgemeineOptionen (standardmäÿig deaktiviert)
-p SollausdenDatenderVerlustgeschichteeinHistogrammerstelltwerden,
sokannmanmitdieserOptionentsprechendaufbereiteteAusgabedateien
anfordern. Diese enthalten drei Spalten. Die erste Spalte enthält den
Mittelwert der Verluste des jeweiligen Intervalls, die zweite Spalte die
relativeHäugkeitdiesesIntervallsunddiedritteSpaltediekumulierten
relativen Häugkeiten.
-a Durch Setzen dieser Option erhält man eine ausführliche Ausgabe.
Oh-ne diese Option werden die Ratings, die berechneten und simulierten
Ausfallwahrscheinlichkeiten,dasökonomischeKapitalundweitereV
ertei-lungsdaten wie das 75%-Quantil(Q3), der Median unddas 25%-Quantil
(Q1) nicht ausgegeben. Das ergibt eine übersichtlichere Ausgabedatei.
12 DieseStandardeinstellunggehtauffrüheVersionendesProgrammeszurück,in denennurdie
SimulationnormalverteilterAktivawertemöglichwar.
13 -lnlnnl würdeeineSimulationmit lognormalverteiltenAktivaergeben.
Hilfe
-h Diese Option gibt einen Hilfetext aus, welcher den Aufruf des
Program-mes und dieFunktion der Übergabeparameter kurz erklärt.
Beispiel: creco -h
Derausgegebene Hilfetext lautet:
creco -- Programm zur Simulation von Kreditausfällen.
Benutzung: creco -avflnp -d faktor -r replikationszahl dateiname
-a Ausführlichere Ausgabe.
-v Variable Recovery-Rate.
-f Fixe Recovery-Rate.
-l Lognormalverteilungsannahme für die Aktiva.
-n Normalverteilungsannahme für die Aktiva.
-d Discount Faktor für variable RR. Default=50%
-p Generiert notwendige Daten für Histogramme mit gnuplot.
Letze Option gilt jeweils. Ohne Argumente gilt -fn.
Um mit den in der Datei daten gespeicherten Firmenwerten eine Simulation mit
1MillionReplikationen,lognormalverteiltenAktivawerten,exogener
Rückzahlungs-quote und ausführlicher Ausgabe durchzuführen, würdeman das Programmmit
creco -lfa -r 1000000 daten
aufrufen.
5.4.3.4 Programmablauf
Zuerst setzt das Programm den Wert einiger globaler Konstanten. Dazu gehören
u.a. der Samen für den Zufallszahlengenerator und die Anzahl der Perzentile für
dieAnalyse der Verlustverteilung.
15
Diese Werte sollen normalerweise vom
Anwen-der nicht verändert werden und lassen sich daher nicht durch Übergabeparameter
steuern.SolltenÄnderungenerforderlichsein,sokönnendieseamBeginndes
Quell-codes vorgenommen werden. Weiter wird an dieser Stelle der Defaultwert für die
Replikationszahl gesetzt. Danach ermitteltdas Programm dieZahl der Zeilen resp.
Firmen in der Eingabedatei. Da die Anzahl der Firmen dann bekannt ist, können
15 DieZahlderPerzentilebeträgtstandardmäÿig1000.DaserlaubteineAnalyseder
Verlustver-alle Felder in der korrekten Gröÿe deklariert und initialisiert werden. Die
Firmen-daten werden zunächst in eine Matrix eingelesen. Die in der Matrix enthaltenen
Rohdaten werden dann in die Vektoren nettoschulden, zins, bruttoschulden,
exp_recovery,mittelwertundindieVarianz-Kovarianz-Matrixvarcov
umgewan-delt.Diebruttoschuldenwerdenausdennettoschulden unddemzinsberechnet.
Soll die Simulation unter der Annahme lognormalverteilter Aktivawerte erfolgen,
werden bereits hier diedafür notwendigen Anpassungen vorgenommen.
16
DieBerechnungen könnenabhängigvonderReplikationszahl,derGröÿedes
Portfo-liosund der Rechenleistung einige Zeit inAnspruch nehmen.
17
Imnächsten Schritt
werden für alle Firmen im Portfolio die theoretischen Ausfallwahrscheinlichkeiten
berechnet. Der Algorithmus für die Integration der Normalverteilung geht zurück
auf Hastings (1957) und hat einen Approximationsfehler von unter 7:5 10 8
:
Danach ermittelt das Programmhieraus die S&P-Ratings der Firmennach T
abel-le 2.1, bestimmt den maximal möglichen Verlust im Sinne eines Totalausfalls aller
ausstehenden Kredite und berechnet die Obergrenze für die Ausfallkorrelationen
gemäÿ Gleichung (3.4). Zur Vorbereitung der Erzeugung abhängiger
Zufallsvaria-blen 18
wird eine Cholesky-Zerlegung 19
der Varianz-Kovarianz-Matrixdurchgeführt.
Anschlieÿendbeginnt dieeigentliche Simulation,in der korrelierte Firmenwerte
ge-neriert werden, um daraus die Rückzahlungsquoten zu bestimmen. Die Ergebnisse
werdenprotokolliert.
20
AusdiesenAufzeichnungenwerdennachAbschluÿ der
Simu-lationdie Ausfallkorrelationen nach Gleichung (5.7) bestimmt.
MitHilfeder gegebenen Bruttoschulden werdendes Weiterendietatsächlichen
Ver-lusteberechnet, welchesichausden simuliertenRückzahlungsquotenergeben. Diese
werdenüberdieFirmenaddiertundanschlieÿendgespeichert.Diese
Verlustgeschich-te enthält alle Informationen über die Verluste, welche die Bank in den jeweiligen
Durchläufen durch die Summe aller Kreditausfälle erlitten hat. Diese werden
ver-wendet, um Erwartungswert und Varianz der Verluste zu berechnen. Nach
aufstei-gendem Sortieren der Verlustgeschichte erhält man die Verlustfunktion und kann
16 SiehehierzuauchKapitel5.4.2.3.
17 Auf einem AMD Athlon mit 500Mhz und 192MB Arbeitsspeicher benötigt eine Simulation
für10Firmenund 100000ReplikationenetwaeinehalbeMinute, für100Firmenund 100000
Replikationenwerdengut45Minutenbenötigt.
18 SiehehierzuKapitel5.4.2.2.
19 SiehehierzuKapitel5.4.2.1.
20 Ursprünglich sollten alle zur Berechnung des Korrelationskoezienten erforderlichen Werte
rekursivbestimmt werden. Der davon ausgehende Eekt der Speicherplatzeinsparungwurde
von einem erheblichen Mehrbedarf an Rechenzeit konterkariert. Daher wurde die rekursive
damit weitere Kennzahlen, wie den Median oder beliebige Perzentile bestimmen.
Die Perzentile der Verlustfunktion ergeben bei gegebenem Signikanzniveau das
ökonomische Kapital,mit dem das Kreditportfoliounterlegt werden muÿ. Sollz.B.
das ökonomische Kapital auf 98%-Niveau ermittelt werden, so entnimmt man der
aufsteigend sortierten Verlustgeschichte aus R Replikationen den Eintrag mit der
Nummer R 98
100
: Da nur 2% aller Verlustehöher waren, wäre dieBank nurin 98%
allerFälle nicht durchunerwartete Verluste insolvent geworden.
5.4.3.5 Output
DieAusgabedateienenthaltendieErgebnissederSimulation.Überden
Übergabepa-rameter-a kanngesteuertwerden,wiedetailliertdieErgebnisseinder
Ausgabeda-teigespeichert werden.
21
Der Dateiname einerAusgabedateiwird vomDateinamen
der Eingabedatei abgeleitet. Dazu wird nach Auswertung der Übergabeparameter
die Endung .x oder .var und .nv oder .ln angehängt, was für feste oder
variable Rückzahlungsquoten und normalverteilte oder lognormalverteilte
Aktiva-werte steht. Um die Datei als Ausgabedatei kenntlich zu machen, wird zusätzlich
dieDateinamenserweiterung .out angefügt.
22
DieReplikationszahlwirdindenAusgabedateien alsersterWertgespeichert.Es
fol-gen ausführliche Ausgabevorausgesetzt dieum dieberechneten Bruttoschulden
ergänzten Werte aus der Eingabedatei und die Ergebnisse in der Reihenfolge
Aus-fallkorrelationen,theoretische Obergrenzen der Ausfallkorrelationen bei
normalver-teilten Aktiva gemäÿ Gleichung (3.4), Firmenratings, Ausfallwahrscheinlichkeiten,
erwarteterVerlust,Standardabweichung undVarianzderVerluste,
Gesamtkreditvo-lumen, ökonomisches Kapital auf 90%-99%-Niveau in 1%-Schritten und für 99:9%,
Q3, Median und Q1der Verlustverteilung.
21 SiehehierzuAbschnitt5.4.3.3.
22 DerAusgabedateidaten.x.nv.out liegtsomitdieEingabedateidaten undeineSimulation
6.1 Vorbemerkungen
In diesem Kapitel werden homogene Kreditportfolios analysiert. Im Zentrum der
Untersuchungen stehen der unerwartete Verlust, die Ausfallkorrelationen und die
auftretendenKorrelationseekte.
Inder Ausgangssituation herrschtjeweilseinZinssatzvon5%. Infolgeeines
makro-ökonomischen Schocks steigt das Zinsniveau in der Ökonomie auf 10% an. Diese
Analysen sind äquivalent zur Untersuchung der Auswirkungen eines negativen
ag-gregierten Produktivitätsschocks, wenn dadurch die Ausfallwahrscheinlichkeiten in
gleichem Ausmaÿ beeinuÿt werden. Zur Ermittlung des Korrelationseektes
wer-denausgehendvomSchockszenariodieinKapitel3.6.3beschriebenenAnpassungen
vorgenommen.
Umdie auftretenden Portfolioeektedarzustellen, wird dieZahl der Kreditnehmer
in den Abschnitten 6.2 und 6.3.1 kontinuierlich von 1, 2, 6 über 10, 50 und 100
aufunendlich vieleFirmengesteigert. Dabei wirdu.a. gezeigt, daÿ dieBetrachtung
von 100 Krediten für die Untersuchung der im Rahmen dieser Arbeit relevanten
Eektegenügt. Daher erfolgt abKapitel 6.3.2 eine Beschränkung der Simulationen
aufKreditportfolios mit100 Firmen.
UmvonreinenSkaleneektenzuabstrahierenwerdenalleWerte mitdemjeweiligen
Gesamtkreditvolumennormiert.Damitistbeispielsweiseeinangegebener
unerwarte-terVerlustimmeralsunerwarteterVerlustpro vergebener Krediteinheitanzusehen.
Es istdeshalb unerheblich,welche erwarteten Firmenwerte und welche
Kreditvolu-minatatsächlichangenommenwerden,umunter derjeweiligenVerteilungsannahme
diegewünschten Ausfallwahrscheinlichkeitenzu erhalten.
KonkretgehenalleSimulationenvoneinemerwartetenFirmenwertvon10Einheiten
aus. Bei einer Standardabweichung von 1.0muÿdaher einNettokreditvolumen von
8.043 Einheiten angenommen werden, um bei lognormalverteiltenAktivawerten in
der Ausgangssituation auf eine Ausfallwahrscheinlichkeitvon 5% zu kommen.
1
Im Abschnitt 6.2 werden die Kreditportfolios unter der Annahme
normalverteil-terAktivawerteund konstanter Rückzahlungsquotenanalysiert.Diesentsprichtden
PrämisseninKapitel3.6unddientdemVergleichderSimulationenmitdendortigen
Resultaten.
AusAbschnitt2.2.2 istbekannt,daÿAktivawerteunter üblichenAnnahmen,
darun-terdieAnnahmenormalverteilterAktivarenditen,lognormalverteiltsind.Demwird
ab Abschnitt 6.3 Rechnung getragen. Alle Simulationen und Berechnungen dieses
und der folgendenKapitel gehen von lognormalverteiltenAktivawerten aus.
In Kapitel 6.3.1 werden zunächst die Rückzahlungsquoten weiter konstant
gehal-ten. Fixe Rückzahlungsquoten werden inallen Simulationen aus Gründen der
Ver-gleichbarkeit auf 50% festgelegt. Abschnitt 6.3.2 analysiert die Auswirkungen von
endogenenRückzahlungsquoten. DerenGewinnung wurdeinAbschnitt 5.3
ausführ-lichbeschrieben.Die AuswirkungenunterschiedlichstarkerMakroschocks werdenin
Abschnitt6.3.3wiederunterderAnnahmeexogenerRückzahlungsquotendiskutiert.