+
(CR +
)
4.5.1 Ansatz
CR +
zählt zu den ausfallratenbasierten Modellen. DasAusfallrisikowird mittels
ei-nesversicherungsmathematischen Ansatzesgeschätzt.
38
Dabeibeschränkt sichCR +
aufdieModellierungdesAusfallrisikos.DasRisikoeinerMigrationzwischen
Rating-klassenwird nicht erfaÿt.Ebenfallswerden keine Annahmen überdieUrsachen von
Kreditausfällen gemacht. Insbesondere bleibt die Kapitalstruktur der betrachteten
Unternehmen unberücksichtigt.
39
Die benötigten Inputs für die in einer
geschlos-senen mathematischen Lösung mündenden Berechnungen sind die Höhe der
Kre-ditverpichtungen, die erwarteten Ausfallwahrscheinlichkeiten (bzw. die Zahl der
erwarteten Ausfälle), deren Volatilität und die Rückzahlungsquoten.
40
Mit diesen
Inputs wird die Verteilung der Portfolioverluste in einem zweistugen Prozeÿ
ge-wonnen.Dieser wird inAbbildung 4.4grasch dargestellt.
Verlustverteilung
Wie groß sind die Verluste ? die Anzahl der
Wie hoch ist Ausfälle ?
Abbildung4.4: StufeninCredit Risk +
:Quelle:Credit Risk (1997),S.17.
Die Schwere der Ausfälle ergibt sich aus der Dierenz zwischen Kreditbetrag und
erzielterRückzahlung.Um den Verlustim Falleeiner Insolvenz zu bestimmen,
ver-wendetCR +
vorgegebene,alsexogenangeseheneRückzahlungsquoten.
41
Diese
stam-menz.B. aus Keenan (2000).
42
DadieRückzahlungsquoten einerstarken
Variati-onunterliegen, empehlt Credit Risk (1997) einen vorsichtigen Umgangmitden
Annahmen über die Rückzahlungsquoten und die Berechnung potentieller
Verlust-funktionenmitunterschiedlichen Szenarien.
43
38 Vgl.Kretschmer (1999),S.363.
39 Vgl.CreditRisk (1997),S.7-8.
40 Vgl.CreditRisk (1997),S.11.
41 Vgl.Crouhi, Galai undMark (2000),S. 109.
42 Vgl.Tabelle4.3.
Zur Reduktion der zu verarbeitenden Datenmenge werden die Kreditbeträge um
die erwartete Rückzahlung vermindert. Dies ergibt den eektiven Verlustbeitrag
einesKreditausfalls.AnschlieÿenderfolgtdieBildung sogenannter Exposurebänder.
Für alle Kredite eines Exposurebandes wird unterstellt, daÿ sie einen identischen
potentiellen Verlustbeitrag liefern. Durch die Wahl einer engen Bandbreite für die
Exposurebänder, läÿtsichder Informationsverlust dieser Annahmeeingrenzen. Die
Annahmewirdgetroen,um später aufeinfache Artvonder Verteilungder Anzahl
der Ausfälleauf dieVerlustverteilungdes Portfolios schlieÿenzu können.
44
Die Zahl der Ausfälle wird mittelsdoppelter Stochastik ermittelt.Dazuwird
ange-nommen, daÿ die sektorspezischen Ausfallwahrscheinlichkeiten selbst zufälligsind
und von Hintergrundfaktoren getrieben werden. Für die Zahl der Ausfälle bei
ge-gebener Ausfallwahrscheinlichkeitwird eine Poisson-Verteilung angenommen.
45
Bei
unterstellterUnabhängigkeitergibt sichfürdieZahl der Ausfälleeigentlich eine
Bi-nomialverteilung. Auf Grund der (sehr) kleinen Ausfallwahrscheinlichkeiten stellt
die Poisson-Verteilung jedoch eine hinreichend gute Approximation der
Binomial-verteilung dar. Die Wahrscheinlichkeit für n Ausfälle 46
Die Ausfallraten der Sektoren werden, wie bereits geschildert, als unvorhersehbar
angesehen.Siewerdendahernichtfest vorgegeben, sondern mitHilfeeiner
(zweipa-rametrigen)Gammaverteilungmitder Dichte 47
modelliert.Dabeiwirdfürdiesektorspezischen AusfallrateneinErwartungswert
k
undeineStandardabweichung
k
angenommen.DiesewerdenaushistorischenDaten
geschätzt.DiebeidenParameter
k und
k
derGammaverteilungsinddannimplizit
gegeben mit
k
: Durch die Überlagerung von Poisson- und
Gamma-Verteilungergibt sich für dieZahl der Ausfälle jedes Sektors eine negative
44 Vgl.Kretschmer (1999),S.369.
45 Vgl.Kretschmer (1999),S.364.
46 Vgl.WahrenburgundNiethen (1999), S.7.
47 Vgl.CreditRisk (1997),S.45.
Binomialverteilung.Als Wahrscheinlichkeit fürn AusfälleinSektor k erhält man
Annahmegemäÿ wird die Ausfallwahrscheinlichkeit in jedem Sektor nur von genau
einem Makrofaktor beeinuÿt, der die Variation der durchschnittlichen Ausfallrate
dieses Sektors überdie Zeit erklärt.
49
Damit sind die Ausfallereignisse
unterschied-licherSektoren voneinander unabhängig.DieVerlustverteilungdes Portfolios erhält
mandaher direkt aus den Ausfallverteilungender einzelnen Sektoren.
50
Obwohldie
Verteilung der Ausfallereignisse für jeden Sektor einzelnbetrachtet dienegative
Bi-nomialverteilung ist, gilt dies nicht für das gesamte Portfolio. Die Verteilung der
Ausfallereignisse im Portfolio ist die unabhängige Summe der negativ binomialen
Sektorverteilungen.
51
4.5.2 Berücksichtigung von Korrelationen
Weder die direkte Schätzung der Ausfallkorrelationen aus historischen
Ausfallda-ten, noch die indirekte Gewinnung über einen Optionspreisansatz nden bei CR +
Anwendung. Während die direkte Schätzung auf Grund ungenügender historischer
Daten ausscheidet, sprechen aus der Sicht vonCreditSuisse FinancialProducts die
erforderlichen zusätzlichen Annahmen und das FehlenvonMarktpreisen fürAktiva
nicht börsengehandelter Firmengegen die Verwendung des Optionspreisansatzes.
52
Daherwird,umKorrelationenzwischen denKreditereignissenzuerzeugen,eine
Ab-hängigkeitderAusfallratenvongemeinsamenHintergrundfaktorenmodelliert.Über
die so generierten Korrelationen der Ausfallwahrscheinlichkeiten ergeben sich von
Nullverschiedene KorrelationenfürdieAusfallereignisse, obwohlfürgegebene
Aus-fallwahrscheinlichkeiten unabhängigeAusfallereignisse unterstellt wurden. Die
Hin-tergrundfaktoren werden implizit modelliert. Dazu wird jeder Kreditnehmer über
Sektorgewichte einem oder anteiligmehreren Sektoren zugeteilt.
53
48 Vgl.CreditRisk (1997),S.45.
49 Vgl.CreditRisk (1997),S.42.
50 Vgl.WahrenburgundNiethen (1999), S.8.
51 Vgl.CreditRisk (1997),S.46.
52 Vgl.CreditRisk (1997),S.15.
Das Gewicht von Kreditnehmer X in Sektor k sei gleich
Xk
. Dann kann aus
Er-wartungswerten und Volatilitäten für die einzelnen Kreditnehmer
X
und
X der
Erwartungswert desSektorsmit
k
unddieStandardabweichungmit
Fallsspezische Einzelrisiken berücksichtigt
werden sollen,kann dafür eineigener Sektor eingeführtwerden.
Nimmtman an, daÿalleKreditnehmer auseinem einzigenSektor stammen, so
wer-den alle Ausfallraten jeweils nur von einem, systematischen Faktor beeinuÿt. Auf
diese Weise werden zwar mögliche Konzentrationsrisiken erfaÿt, vorhandene
Diver-sikationspotentiale werden jedochvernachlässigt.
LäÿtmanmehrereSektorenzu,unterstelltjedoch,daÿjederKreditnehmernureinem
Sektor angehören kann, so erreicht man bei gleichem Erwartungswert der Verluste
einen Rückgang in der Standardabweichung, da nun Diversikationseekte
berück-sichtigt werden. Ein Manko an dieser Betrachtung sind die Extreme in den
Aus-fallkorrelationen. Während Kreditnehmer innerhalb eines Sektors paarweise hohe
Ausfallkorrelationenaufweisen, sind Ausfälleüber dieSektorgrenzen hinweg
unkor-reliert.Realistischwird das Modellerst mitder Annahme, daÿ Kreditnehmer
meh-rerenSektoren angehören dürfen, daihrAusfallrisikovonmehreren systematischen
Faktorenund zusätzlichvonidiosynkratischen Risikofaktoren abhängen kann.
55
Für die Korrelation der Ausfallereignisse zwischen Firma X und Y ergibt sich wie
bereitsinCMund CPMdienun andiehier verwendeteSymbolikangepaÿteFormel
Unterstelltmandiemarginalen 56
Ausfallwahrscheinlichkeiten(Intensitäten)
X und
Y
und approximiert man die sich daraus im Zeitintervall t ergebende Anzahl
erwarteter Ausfallereignisse
X
t;so erhält man alsNäherungsformel für dieKorrelationder Ausfallereignisse
54 Die Zahl der Ausfälle in Sektor k schwankt also mit der Standardabweichung
k
um den
Erwartungswert
k :
55 Vgl.Kretschmer (1999),S.374-377.
56 FallsdieAnzahlseltenerEreignisseineinemZeitintervallpoissonverteiltist,sinddie
Zwischen-ereigniszeitenexponentialverteilt.GehtdieIntervalllängegegen0,wirddieWahrscheinlichkeit
fürdasAuftreteneinesEreignissesimIntervallimmerkleinerundkonvergiertschlieÿlichgegen
Diese Formel hängt nur vom Erwartungswert und der Varianz, nicht aber von der
speziziertenVerteilungsannahmeab.DaheristdiefürdieAusfallratenderSektoren
angenommeneGammaverteilungirrelevantfürdieBerechnungder
Ausfallkorrelatio-nen. Die Approximation unterstellt allerdings, daÿ die Ausfallwahrscheinlichkeiten
inder betrachteten Periode kleinsind und ist daher nicht universell gültig.
57