Weitere Anwendungen

In diesem Abschnitt werden weitere, den dynamischen Tunneleffekt des Kosinusbillards ausnutzende Anwendungen vorgestellt, die sowohl die Konstruktion von Mikrolasern, als auch von Strahlenteilern beinhalten. Im Besonderen wird ein effektiver Einmodenlaser konstruiert. Die Hintereinanderschal-tung von Mikrolasern und Strahlenteilern ermöglicht die Realisierung von Multi-Kavitätsresonatoren und Multi-Kavitätsstrahlenteiler. Dieser Teil bildet den Abschluss der Untersuchungen zu chaotischen Billards.

2.4.1. Mikrolaser

Besteht der oben ausführlich beschriebene Wellenleiter aus einem Halbleitermaterial, so besitzt dieser einen konstanten Brechungsindexn₁. Streut man eine Welle zur EnergieE_Rdurch einen der Anschlüsse des kosinusförmigen Wellenleiters ein, so wird sich dieser genau dann wie ein Laserresonator verhal-ten, wenn G(ER) einer scharfen Leitfähigkeitsresonanz entspricht. Die Elektronen- bzw. Lichtwelle reflektiert in der Billardregion so, dass sie nur unter bestimmten Winkeln Θi aus dem Wellenleiter austreten kann. Jeder dieser Winkel Θi ist von der EnergieE_R der Welle und damit dem zugehörigen quasi-gebundenen Zustand ψQGZ, vom Brechungsindex n1 des Resonators und dem Brechungsindex n₂ seiner Umgebung abhängig. In Abbildung 2.13wurde eine Strahlendynamik benutzt, um die Aus-trittsrichtung für verschiedene Moden (“M” und “I”) vorherzusagen. Beide Strahlen weisen eine hohe Qualität und eine hohe Richtcharakteristik auf [25]. Die Berechnung der Richtung der Trajektorien erfolgt mit dem Snelliusschem Brechungsgesetz

sin Θ⁰_t=nsin Θ⁰ , (2.25)

2.4. Weitere Anwendungen ₄₇

wobei die gestrichenen Größen die Winkel bezeichnen, die zwischen Ausbreitungsrichtung der Welle und dem Lot auf den reflektierenden Rand des Wellenleiters aufgespannt werden. Es gilt die Winkelbe-ziehungΘ+Θ⁰=^π₂. Der Indextbezeichnet die transmittierte Größe. Im Außenbereich des Wellenleiters soll n₂= 1gelten. Zur Nomenklatur der auftretenden Winkel und Brechungsindices siehe Abbildung 2.14. Die Intensitäten der einfallenden und auslaufenden Welle sind mit den Fresnelschen Formeln

R=tan (Θ⁰−Θ⁰_t)

als quantitative Beschreibung der Reflexions- und der Transmissionseigenschaften der reflektierten

n = 1

2

θ

θt

θ

n = n

1

Abbildung 2.14.: Zur Nomenklatur der auftretenden Winkel im Snelliusschen Brechungsgesetz (2.25) und den Fresnelschen Formeln (2.26). Der grau eingefärb-te Bereich kennzeichnet einen Ausschnitt des Wellenlei-ters, die Pfeile bezeichnen die Richtung der einfallenden, der reflektierten und der transmittierten Wellenanteile.

und transmittierten TM-Wellen anteilig be-stimmbar [130]. Die Simulation wurde auf einem 555×555–Gitter durchgeführt. Hier-bei wurde vermerkt, wie oft jeder Gitter-punkt P(x, y) pro Anfangsbedingung er-reicht wird. Die daraus berechnete Punkt-dichte ρ_P(x, y) kann als klassische Ent-sprechung der quantenmechanischen Auf-enthaltswahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, y)|² gedeutet werden (siehe dazu auch Abb.2.5).

Die Anfangsbedingungen(x0,Θ0)der Start-trajektorien sind in diesem Fall so gewählt, dass sie innerhalb der stabilen Inseln des

Phasenraums liegen (siehe auch Abb. 2.4b). Der Brechungsindex n1 =n (und n2 = 1, da Luft im Außenraum angenommen wurde) ist so gewählt, dass der kritische Winkel Θ⁰_c, also der Grenzwinkel der Totalreflexion ebenfalls innerhalb der entsprechenden stabilen Inseln des Phasenraums anzutreffen ist. Gilt für den AnfangswertΘ0<Θc, so können die Strahlen die Kavität aufgrund des Snelliusschen Brechungsgesetzes verlassen. Im Falle Θ0≥Θc, das heißt für größere Brechungsindices, kann im Fall des “M”-förmigen quasi-gebundenen Zustands sogar Totalreflexion erreicht werden. Damit sind sowohl Richtung als auch Intensität des Lasers über den Brechungsindex steuerbar.

Ein großer Vorteil der hier vorgestellten, auf dem Tunnelprinzip basierenden Version des Mikrolasers gegenüber herkömmlichen Wellenleitern ist, dass sie ohne Sockel oder Optokoppler und ohne optische Pumpen in der Nähe der Kavität auskommt. Dies ist ein neuartiger Aspekt im Vergleich zu bisher entwickelten und untersuchten 3D/2D-Mikrolasern (vergleiche Kap.2.1).

Eine zusätzlich aufgebrachte, durchlässige Verspiegelung bzw. die Aufbringung einer dünnen Schicht mit hohem Brechungsindex vermindert die Kopplung und kann die Resonanzamplituden der Leitfähig-keit bzw. Transmission verstärken und somit das Auskoppeln zu bestimmten Frequenzen – analog zum Fabry-Pérot-Interferometer – bei gleichzeitiger Verringerung der Peakbreite verbessern (siehe Unter-abschnitt2.1.1.1). In der hierzu mittels Streumatrixformalismus durchgeführten Simulation zum

Para-metersatz(d, a, L)=(1.0,0.305,5.55)nach Konfiguration2.8a wird der Wellenleiter mit einer perfekten Verspiegelung – entsprechend einem unendlich hohen Potenzial – versehen, wobei der obere transver-sale Anschluss mit einer durchlässigen Verspiegelung – entsprechend einer endlichen Potenzialstufe – ausgestattet ist. Sowohl Breite als auch Länge der Potenzialstufe bleiben als Parameter frei wählbar.

In einem Experiment entspräche dies einer Totalverspiegelung des Wellenleiters und anschließendem teilweisen Wegätzen der Extraschicht in der Region der maximalen Ausdehnung beix=^L₂. Anhand der

θ_c

Abbildung 2.15.: Die dicke durchgezogene Li-nie kennzeichnet die mit perfekter Verspiege-lung versehene Billardwand, der dunkelblaue Be-reich die Potenzialstufe (teildurchlässige Verspie-gelung). Zur Bezeichnung der auftretenden Größen siehe Text.

Abbildung 2.15 wird im Folgenden die Berech-nung der kritischen Größe nc sowie die für die Simulation benötigte Höhe der PotenzialstufeE_y erläutert. Für Anfangswerte bzw. Einfallswinkel von Θ0 ≤ Θmax ≡ ^π₂ −Θ⁰_c erfolgt Totalreflexi-on, für Θ0 > Θmax kann die einfallende Wel-le aus dem WelWel-lenWel-leiter auskoppeln. Der Wert von Θmax ist durch die Geometrie des Wellenlei-ters und den kritischen Brechungsindex n_c fest-gelegt. Der Punkt (x_L,0) lässt sich direkt aus der Poincaré-Abbildung als Begrenzung des lin-ken Rands der zentralen Insel ablesen. Der Punkt (x0,0)ist durch die Wahl der Breite der transversalen ÖffnungW und der Länge des Resonatorbereichs Lmitx0≡^W₂^+L definiert. Der letzte noch zu bestimmende Punkt(x0, y0) des rechtwinkligen Dreiecks aus Abbildung2.15ist mittels des Funktionswertes des Kosinusprofils alsy₀≡y(x₀)zu berechnen. Für den kritischen Winkel der Totalreflexion gilt somit

Θ⁰_c= arctanx₀−x_L y0

(2.28)

und aus Gleichung (2.27) bestimmen wir den kritischen Brechungsindex zu

nc= 1 sin (Θ⁰c) =

q(x₀−x_L)²+y²₀

x₀−x_L . (2.29)

Für die Wellenausbreitung im Resonator unter dem Winkel θmaxgilt tan (Θmax) = ky

k_x . (2.30)

für die Wellenzahlen in x– und y–Richtung. Mit der Dispersionsrelation k∝√

E zwischen Wellenzahl und Energie¹² und dem Superpositionsprinzip für longitudinale und transversale Wellen mit der Kon-sequenz für die Gesamtenergie der WellehEi=Ex+Ey und der WinkelbeziehungΘ⁰_c=^π₂−Θmaxergibt

12 Hier wurde die Dispersionsrelation für ein kontinuierliches System angenommen. In einer diskreten Gitterapproxima-tion mit Gitterkonstanteagiltk∝ ¹_aarccos(1−a²hEi), wobei sich dann in erster Näherung für die Potenzialstufe

Ey≈ 1

2.4. Weitere Anwendungen ₄₉

4100 4150 4200 4250 E 4300

0

Abbildung 2.16.: Transmissionswahrscheinlichkeit T_OL nach Konfiguration 2.8a (unterstützt “I”-Form) für einen Einmodenlaser. Die verbesserte Laseremission kommt durch die teildurchlässige Verspiegelung des oberen Ausgangs zustande (zusätzliches Potential bei 0.92hEi, siehe Text). Die Q-Faktoren der beiden schärfsten Maxima (Nr.19und23) wurden mittels Lorentz-Ausgleichsrechnungen zuQ₁₉≈6000undQ₂₃≈6000bestimmt (die beiden vergrößerten Ausschnitte unten in der Abbildung).

sich durch Einsetzen und Vergleichen mit Gleichung (2.28) und damit schließlich für die Energie der Potenzialstufe Trans-missionswahrscheinlichkeitT_OLnach Konfiguration 2.8a fürW=0.15 dargestellt. Für das System mit dem Parametersatz (d, a, L) = (1.0,0.305,5.55)finden wir für die zentrale Stabilitätsinsel der Periode 1 die linke Grenze x_L ≈2.37. Der maximale Einfallswinkel auf die Poincaréebene ergibt sich nach Gleichung (2.28) zu Θmax≈73.3^◦. Für den kritischen Brechungsindex der Totalreflexion muss daher nach Gleichung (2.29)nc=3.5gelten. Die entsprechende Minimalenergie der Potenzialstufe kann nach Gleichung (2.31) berechnet werden und beträgt E_y≈0.92hEi.

Durch die Wahl vonW=0.15 für den transversalen Ausgang und den Energiewert der Potenzialstufe Ey ist ein Einmodenlaser konstruiert worden. Die Peaks der Transmissionswahrscheinlichkeit TOL

weisen nun deutlich schärfere Maxima als im Spektrum der Abbildung 2.10b auf. Die Gütefaktoren der beiden schärfsten Maxima betragenQ₁₉≈6000undQ₂₃≈6000. Damit wurde also gezeigt, dass ein effektiver Einmodenlaser hoher Güte relativ einfach durch eine Verspiegelung des Wellenleiters erzeugt werden kann, wobei das verwendete Material – und damit schließlich die Struktur des Phasenraums – die Breite des transversalen Anschlusses vorgibt oder umgekehrt zu gegebener Breite ein Material mit entsprechend gestalteter Verspiegelung konzipiert werden muss.

(a)

(b)

Abbildung 2.17.:Konfigurationsbeispiel einer Multi-Kavitätsgeometrie.(a)Multi-Kavitätsresonator.(b) Auf-enthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Multi-Kavitätsresonators nach Konfiguration nach Abbildung2.17amit

“I”-förmigem quasi-gebundenen Zustand.

2.4.2. Multi-Kavitätsresonatoren

Das vorgestellte Wellenleitermodell kann gleichermaßen benutzt werden, um Multi-Kavitätsresonatoren herzustellen. Denkbar ist z.B. eine kollineare Anordnung gekoppelter zweidimensionaler chaotischer Kavitäten (vergleiche mit Abb. 2.17a). Es ist einsichtig, dass mit wachsender Anzahl der Kavitäten (Resonatoren) ein Großteil der Strahlen bzw. Teilchen eine längere Zeitdauer benötigt, um trans-mittiert oder reflektiert zu werden. Diese Strahlen bzw. Teilchen streuen irregulär in die Ausbuch-tungen der gekoppelten Resonatoren. Die erhöhte Strahlendichte in diesen Randbereichen führt zu erhöhter dynamischer Tunnelwahrscheinlichkeit in die klassisch verbotenen Bereiche. Daher ist “das Einfangen” der Wellenfunktionen entlang der beschränkten Strahlentrajektorien (nahe der periodi-schen Orbits) ebenfalls erhöht. In Abbildung2.17b wurde die Wellenfunktion als Dichteplot für einen Multi-Resonator-Wellenleiter eines “I”-förmigen quasi-gebundenen Zustand als Beispiel einer Realisie-rung dargestellt. Die Konstruktion eines resonanten Multi-Resonatormikrolasers wäre sicherlich eine überaus interessante Anwendung, obwohl der Multi-Kavitätsresonator selbst bereits auf großes In-teresse auf dem Gebiet der Optik stoßen dürfte. Ein Multi-Resonatormikrolaser hätte demnach zwei entscheidende Vorteile:

1. Eine Multi-Resonatoranordnung verfügt, im Vergleich zu einem Einzelresonator, über eine deut-lich erhöhte Emissionsintensität (siehe z.B. Abb.2.17b).

2. Der Multi-Resonatormikrolaser emittiert mehrere parallele Strahlen in eine oder mehrere Rich-tungen gleichzeitig, abhängig von der Anzahl der einzelnen Resonatoren.

Durch die Kombination verschiedener ResonatorenRi, i∈ {1, . . . , N}ist es auch möglich, gleichzeitig

"I"-, "M"-, "V"- , "W"-, "Π"- und andersförmige quasi-gebundene Zustände anzuregen. Je nach Geome-trie des einzelnen Resonators Ri mit Parametersatz (di, ai, Li) müssen dazu nur die entsprechenden Resonanzfrequenzen aktiviert werden (siehe dazu auch [131]).

2.4.3. Multi-Kavitätsstrahlenteiler

Die Kenntnis über Form und Position des quasi-gebundenen Zustands, der in einem Resonator der Geometrieparametermenge (d, a, L) angeregt wird, ermöglicht es, optische bzw. elektronische

Multi-2.4. Weitere Anwendungen ₅₁

(e)

(b)

(c)

(d) (f)

(a)

(g)

Abbildung 2.18.: Konfigurationsbeispiele mit Unterstützung für(a),(b) “I”-förmige,(c), (d)“M”-förmige und(e),(f) “V”-förmige quasi-gebundene Zustände. Die beiden Konfigurationen der oberen Zeile (a) und (c) stellen Beispiele für einfache, die Konfigurationen (b), (d), (e) und (f) Beispiele für multi-direktionale Strahlentei-ler dar. Die schräg verlaufenen Anschlüsse in (e) und (f) berücksichtigen die Austrittsrichtung der auskoppelnden Welle.(g)Beispiel für Multi-Strahlenteiler konstruiert aus Hintereinanderschaltung von5 Strahlenteilern nach Konfiguration (d).

Strahlenteiler zu konstruieren. Hierzu müssen noch transversal zum Wellenleiter verlaufende Anschlüs-se an den Resonator angebracht werden. Die hier vorgeschlagene Anordnung benötigt nur zwei we-sentliche Voraussetzungen an diese transversalen Anschlüsse, um die Wellen bzw. Strahlen aus dem Resonator herauszuführen:

1. Die externen Anschlüsse müssen dort angebracht werden, wo sich die stabilen Inseln des klassi-schen Phasenraums befinden, die die gewünschten quasi-gebundenen Zustände anregen.

2. Die Breite der externen Anschlüsse muss schmal genug bleiben, um die Struktur des Phasenraums nicht zu zerstören (vergleiche hierzu auch Abb.2.9 des Unterabschnitts2.3.5).

Als mögliche Geometrien kommen beispielsweise die Konfigurationen aus Abbildungen 2.18a,b für die Unterstützung “I”-förmiger, die Abbildung 2.18c “M”-förmiger und die Abbildungen2.18e,f “V”-förmiger quasi-gebundener Zustände in Frage.

Betrachten wir o.B.d.A. von links einfallende ebene Wellen für die horizontalen Anschlüsse, so tunneln die Streuwellenfunktionen dynamisch in die Regionen mit stabilen Inseln und werden von den trans-versalen Anschlüssen aus der Resonatorregion geleitet. Abbildung 2.18d stellt ein Beispiel für einen Strahlenteiler für “I”- und “M”-förmige quasi-gebundene Zustände dar, wobei die “I”-förmigen Zustän-de nach oben und die “M”-förmigen ZustänZustän-de nach unten aus Zustän-der Resonatorregion geleitet werZustän-den. Die Einstellung der Arbeitsweise, d.h. ob ein “I”-förmiger, ein “M”-förmiger oder anders geformter Zustand unterstützt wird, geschieht allein durch die Wahl der Frequenz bzw. Energie. Durch die Hintereinan-derschaltung dieser Konfigurationen entstehen Multi-Kavitätsstrahlenteiler bzw. -schalter (siehe z.B.

2.18g).

Abschließend weisen wir darauf hin, dass das Konzept des (Multi-)Strahlenteilers mit dem Konzept des Multi-Kavitätsresonators kombinierbar ist. Auf diese Weise wird auch die Konstruktion eines

Multi-Kavitätsstrahlenteilers ermöglicht, indem beispielsweise nur jede dritte Ausbuchtung in Abbil-dung 2.17a mit einem Anschlussleiter versehen wird. Damit ließe sich gerichtete parallele Emission mit erhöhter Emissionsintensität vereinbaren.

2.5. Zusammenfassung und Ausblick

Wir konnten zeigen, dass Billards mit gemischtem Phasenraum eine Konstruktionsgrundlage bilden, optische und elektronische Kavitäten als vielversprechende Kandidaten opto-elektronischer Schal-ter und/oder Strahlenteiler zu realisieren [1]. WeiSchal-tere optische und elektronische Anwendungen, wie Einmoden-Mikrolaser, Multi-Kavitätsresonatoren, Multi-Strahlenteiler und entsprechende Kombina-tionen, ließen sich aus diesen Systemen ableiten [2]. Ein bereits durchgeführtes und hier vorgestell-tes Mikrowellen-Experiment signalisierte bereits vielversprechende Realisierungen der vorgeschlagenen Strukturen. Als Repräsentant für eine Kavität mit gemischtem Phasenraum diente ein Billard mit Kosinusstruktur. Dieses Billard konnte durch eine einfache Deformation des Wellenleiters selbst als Resonatorstruktur dienen.

Durch die unterschiedlichen Betrachtungsweisen von klassischer Strahlen- und quantenmechanischer Wellendynamik konnten wir zeigen, dass sowohl der Schalt- als auch der Strahlenteilmechanismus auf dem dynamischen Tunneleffekt basiert, da es quantenmechanisch gesehen möglich ist, dass Streuzu-stände in die klassisch verbotenen stabilen Bereiche des Phasenraums gelangen.

Unter Verwendung der Fresnelschen Formeln und dem Snelliusschen Brechungsgesetz ist es uns ge-lungen, die gerichtete Emission auch mit einer Strahlendynamik zu beschreiben. Ein geometrischer Vergleich der kritischen Winkel der Totalreflexion mit dem als Potenzialstufe ausgedrückten kriti-schen Brechungsindex ermöglichte die Konstruktion eines effektiven Einmodenlasers hoher Güte durch Aufbringung einer einfachen, aber speziell gearteten Verspiegelung. Der Einmodenlaser gilt somit als direkte realisierbare Anwendung. Der Gütefaktor ist dabei von der Dicke der Verspiegelung abhän-gig, weshalb dieser funktionale Zusammenhang durch weitere numerische Untersuchungen abgeleitet werden könnte.

Die Wahl eines Kosinusbillards als Prototypen schränkt die vielseitige Anwendbarkeit unserer Resulta-te nicht ein, da prinzipiell alle KavitäResulta-ten benutzt werden können, deren Hufeisenabbildung unvollstän-dig ist, d.h. die über einen gemischten Phasenraum verfügen. Für diesen Typ Wellenleiter ist es immer möglich, ein oben geschildertes Szenario zu konstruieren, damit sich diese in ihrer Funktionsweise als Strahlenteiler bzw. Schalter verwenden lassen.

Weiterhin ist es möglich, für chaotische Systeme mit instabilen Fixpunkten, deren Hufeisenabbildungen vollständig sind, ebenfalls solche Strukturen zu realisieren. In diesen findet man narbige Zustände (scars), die sich um diese instabilen periodischen Orbits ausbilden und auf die gleiche Weise nutzen lassen.

Zu Optimierungszwecken könnten weitere intensive Untersuchungen des Parameterraums(d, a, L)bzw.

klassische Analysen zu anderen Billards mit gemischten Phasenräumen durchgeführt werden, um grö-ßere Stabilitätsinseln in den zugehörigen Poincaré-Abbildungen zu identifizieren. Inwieweit diese dann auch über eine höhere Effektivität im Vergleich zu den hier vorgestellten Kosinusbillards aufweisen würden, müsste die volle quantenmechanische Untersuchung erweisen.

3. Verminderung des Streulichts im Auge durch lichtleitende

Im Dokument Transport in nicht-hermiteschen niedrigdimensionalen Systemen (Seite 66-73)