Das Kosinusbillard-Modell

Im Dokument Transport in nicht-hermiteschen niedrigdimensionalen Systemen (Seite 53-56)

2. Der Chaotische Strahlenteiler

2.2. Das Kosinusbillard-Modell

Anschlüssen versehenen2D-Resonator mit harmonischem Profily(x)∝cosxhandelt. Wegen der Pro-portionalität zu einer Kosinusfunktion in Transportrichtung wird dieser auch Kosinusbillard genannt.

Durch zusätzliche externe Anschlüsse wird der Phasenraum des Mikroresonators lokal verformt und bildet einen ternären5 unvollständigen Hufeisenphasenraum aus. Charakteristisch für klassische ge-mischte Phasenräume ist dabei die klare Abgrenzung zwischen Inseln mit stabiler regulärer Dynamik und der chaotischen See, die diese Inseln umgibt und – daher der Name – eine chaotische Dynamik aufweist. Die Begrenzung der regulären von den chaotischen Bereichen des klassischen Phasenraums kann mit den invarianten KAM-Tori erklärt werden, die wie Barrieren wirken [107,108]. Aufgrund des quantenmechanischen Effekts des dynamischen Tunnelns gibt es aber Übergänge aus den chaotischen Regionen in die stabilen Inseln des Phasenraums. Diese stellen, rein klassisch gesehen, jedoch verbo-tene Übergänge dar. Angelehnt an die Quantenmechanik werden diese emergenten Zustände aufgrund ihrer Ähnlichkeit mit den Eigenzuständen des geschlossenen Systems als quasi-gebundene Zustände bezeichnet. Durch weitere bzw. zusätzliche transversal zum Wellenleiter ausgerichtete und entspre-chend dimensionierte externe Anschlüsse – in den entspreentspre-chenden Ortsregionen der quasi-gebundenen Zustände angesiedelt – wird der Phasenraum des Wellenleiters, d.h. des Resonators ohne zusätzliche transversale Anschlüsse, nur leicht gestört. Wir werden zeigen, dass diese quasi-gebundenen Zustän-de aus Zustän-dem Wellenleiter durch diese zusätzlichen Anschlüsse herausgeführt werZustän-den können und die Realisierung von Schaltern und Strahlenteilern ermöglicht [1]. Die energie- bzw. frequenzabhängige Aufspaltung der quasi-gebundenen Zustände für verschiedene Geometrien des Kosinusbillards erlaubt die Einteilung in Klassen von Moden. Wir zeigen schließlich die Realisierung eines effektiven Einmo-denlasers und schlagen die Konstruktion von Multi-Kavitätsgeometrien zur Nutzung als Resonatoren, Schalter und Strahlenteiler vor [2].

2.2. Das Kosinusbillard-Modell

Wie in Abschnitt 2.1 ausgeführt, besetzen Schalter und Strahlenteiler eine Schlüsselposition in der optischen und elektronischen Informationsverarbeitung. Wir wollen hier eine neuartige alternative Möglichkeit vorstellen, solche Schalter bzw. Strahlenteiler aus deformierten2D-Wellenleitern bzw. Re-sonatoren mit chaotischer Dynamik zu konstruieren.6Der Prototyp eines solchen Wellenleiters besteht aus einem Resonator, der mit zwei externen und kollinear gradlinig verlaufenden, halb-unendlichen Anschlüssen der Breite d, welche in x-Richtung ausgedehnt sind, verbunden ist. Der Resonator selbst besitzt die Geometrie eines Kosinusbillards [24, 109, 110, 111]. Er besteht aus einer geraden bzw.

planen Wand bei y= 0 und einer ihr gegenüber liegenden verformten Wand, welche der Funktion y(x) =d+a

1−cos2πx L

(2.12)

genügt, wobeiadie Amplitude und L die Länge der Deformation definiert. Mit Angabe des Parame-tersatzes(d, a, L)ist das Kosinusbillard eindeutig bestimmt. In Abbildung2.3ist das Profil des in den

5 Ternär bezieht sich hier auf die Anzahl der FixpunkteN= 3.

6 Durch die Äquivalenz von TM-Wellen eines 2D-Resonators mit Dirichlet-Randbedingungen, beschrieben durch die Lösungen der Helmholtz-Gleichung, und Quantenwellen eines 2D-Billards, beschrieben durch die Lösungen der Schrödinger-Gleichung, gelten alle noch folgenden Aussagen nicht nur für optische, sondern auch für elektronische Systeme. Daher sind in diesem Kapitel mit Wellenleitern bzw. Resonatoren auch immer elektrische Leiter gemeint.

Siehe dazu auch Abschnitt4.1.

0 L x d

0 Θ

2a

y

y(x) =d+a

1cos 2πx

L

Abbildung 2.3.: Geometrie des modifizierten Wellenleiters (Kosinusbillard) im Profil. Die Verformung der oberen Begrenzung genügt der dort angegebenen Funktion. Fundamentale Orbits: Die zentrale gestrichelte Linie beix= L2 bezeichnet den einzigen stabilen periodischen Orbit, während die beiden äußeren gestrichelten Linien beix= 0bzw.x=Lzwei instabile periodische Orbits kennzeichnen. Die GrößeΘbezeichnet den von der einfallenden Trajektorie und der unteren Wand aufgespannten Winkel. Die Begrenzung des Billards beiy = 0 wird als Poincaréebene gewählt.

Berechnungen und Simulationen verwendeten Wellenleiter-Prototypen dargestellt.

Um einen Überblick über die klassische Strahlendynamik des Wellenleiters zu erhalten, konstruieren wir die Smale-Hufeisenabbildung [112,113]. Die Hufeisenabbildung liefert die Topologie des homokli-nen Netzwerkes, welches die gesamte Streudynamik wiedergibt und die wechselwirkenden Gebiete mit den asymptotischen Gebieten zu verknüpfen vermag. Für den zu betrachtenden Wellenleiter besteht die Domäne des Wechselwirkungsgebiets aus dem Wellenleiter selbst. Die asymptotischen Bereiche werden aus den externen halb-unendlichen Anschlüssen gebildet. Die Anzahl der fundamentalen Or-bits7 legt die Ordnung der Hufeisenabbildung fest. Füra >0besitzt der Resonator drei solcher Orbits (siehe gestrichelte Linien in Abb. 2.3), d.h. es handelt sich um eine ternäre Hufeisenabbildung. Die Hufeisenabbildung wird aus invarianten Mannigfaltigkeiten (stabile und instabile) der hyperbolischen Fixpunkte des Resonators gebildet (die stabile ist im Zentrum, die instabilen an den Kanten des Reso-nators lokalisiert). Die Darstellung der Hufeisenabbildung geschieht mithilfe einer Poincaré-Abbildung [114]. Wir verfolgen die Orbits zu gegebenen Anfangsbedingungen entlang der Mannigfaltigkeiten. Je-des Mal, wenn die Trajektorie auf die plane, unverformte Seite der Wand trifft – damit definierty=0die Poincaréebene – zeichnen wir einen Punkt des Phasenraums an der Stellexmit dem WinkelΘein, wo-beiΘden Winkel bezeichnet, der von der links einfallenden Trajektorie und der Poincaréebene gebildet wird. In Abbildung2.4a ist die Hufeisenabbildung mit dem Parametersatz(d, a, L)=(1.0,0.305,5.55) aus Gleichung (2.12) dargestellt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind nur die charakteristischen Ranken [113] bis zur Ordnung3abgebildet. Insbesondere ist für den oben genannten Satz von Parame-tern die Hufeisenabbildung unvollständig. Das bedeutet, dass die ein- und auslaufenden Komponenten des homoklinen Knäuels (homoclinic tangle) im Poincaréschnitt nicht vollständig überlappen. Diese Situation ist typisch für Systeme mit gemischtem Phasenraum [115].

Für den hier benutzten Satz von Parametern besitzt der Wellenleiter resonante Stabilitätsinseln mit Periode eins und vier (die Ränder dieser Inseln sind in Abbildung 2.4a durch dicke schwarze Linien gekennzeichnet). Wie eingangs erwähnt, kann die Abgrenzung der regulären Bereiche gegenüber der chaotischen See mithilfe der invarianten KAM-Tori verstanden werden [107,108]. Eine sehr lesenswer-te Darslesenswer-tellung zur Entslesenswer-tehung der KAM-Barrieren findet man in [116].

7 Es ist üblich, Orbits mit Periode1als fundamentale Orbits zu bezeichnen.

2.2. Das Kosinusbillard-Modell 35

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3

θ

Θ

3

2

00 1 2 3

1

4 x 5

(a)

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3

Θ 3

2

00 1 2 3

1

4 x 5

(b)

Abbildung 2.4.: Klassische Phasenraumportraits des Kosinusbillards (d, a, L) = (1.0,0.305,5.55). Die Poin-caréebene ist beiy= 0definiert.(a)Hufeisenabbildung, deren Ranken bis zur Ordnung3 dargestellt sind. Die dicken schwarzen Linien im Zentrum der Abbildung begrenzen die Stabilitätsinseln. (b) Transiente Poincaré-Abbildung, wobei die Lichtstrahlen/Teilchen von links (siehe Abb.2.3) starten.

Die Inseln werden von den Trajektorien gebildet, die in der Nähe stabiler Orbits angesiedelt sind. Ins-besondere wird die zentrale Insel durch diejenigen Trajektorien gebildet, die nahezu senkrecht beixL2 zur Poincaréebene, hier die(y=0)–Achse, orientiert sind. Hier gilt es zu bemerken, dass diese Orbits von den transienten (von links oder rechts einfallenden) Strahlen nicht erreicht werden können, also klassisch verbotene Bereiche darstellen. Um den Wellenleiter weiter analysieren zu können, benötigen wir überdies die transiente Poincaré-Abbildung [24], also eine Poincaré-Abbildung mit Anfangsbedin-gungen, die außerhalb des Resonatorgebiets starten. Die transiente Poincaré-Abbildung (siehe Abb.

2.4b) wird von denjenigen Trajektorien generiert, die am linken Eingang des Resonators starten, ent-sprechendx <0nach Abbildung2.3. Ein Vergleich der Abbildungen2.4aund2.4bzeigt, wie erwartet, dass die Stabilitätsinseln, die von der eingeschränkten Bewegung der Trajektorien herrühren, verbote-ne Bereiche des Phasenraums für transiente Trajektorien darstellen. Zusätzlich sei bemerkt, dass die Struktur der transienten Poincaré-Abbildung die instabilen Mannigfaltigkeiten der korrespondieren-den Hufeisenabbildung widerspiegelt. Startet man beispielsweise mit korrespondieren-den Anfangsbedingungen von der rechten Seite, entsprechend den Anfangsbedingungen(x0,Θ0)mitx0> L, π20< 2 nach Abbildung 2.3, so erhalten wir eine transiente Poincaré-Abbildung, die zur Abbildung 2.4b spiegelsymmetrisch bezüglich derΘ–Achse ist.

Die Ergebnisse dieser klassischen Betrachtung werden später benötigt, um sie mit den Resultaten der quantenmechanischen Betrachtungen vergleichen zu können. Darüber hinaus können aus dem klassi-schen Phasenraum die benötigten Parameter des chaotiklassi-schen Strahlenteiles bestimmt werden. Diese Aspekte werden Gegenstand des nächsten Abschnitts sein.

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