Wir stellen in der nachfolgenden Definition einige Begriffe zusammen, die f¨ur verschiedenste algebraische Strukturen (Monoide, Gruppen, Algebren z.B.) eine wichtige Rolle spielen. Daher gehen wir von einer beliebigen Klasse K algebraischer Strukturen aus, von der wir zun¨achst nur annehmen wollen, daß sie gegen verkn¨upfungstreue Abbildungen (
”K-Homomorphismen“) und gegen Durchschnittsbildungen abgeschlossen ist; unter letzterem verstehen wir, daß f¨ur alle S∈ K und f¨ur alle nichtleeren MengenMvon zuK geh¨ori-gen Unterstrukturen von S gilt: T
T∈M
T ∈ K. Ist S die Tr¨agermenge einer beliebigen algebraischen Struktur und sind bez¨uglich der auf S gegebenen Verkn¨upfungen keine Unklarheiten zu erwarten, so bedeute die Schreibweise T ≤K S, daß T eine zu K geh¨orige Teilstruktur von S ist. Es kommt h¨aufig vor, daß auf S mehrere Verkn¨upfungen gegeben sind und S bez¨uglich eini-ger von ihnen einer Klasse K, bez¨uglich anderer einer Klasse K′ angeh¨ort.
So geh¨ort z.B. jeder K¨orper zum einen der Klasse der kommutativen Rin-ge, zum anderen bez¨uglich der Addition der Klasse der abelschen Gruppen, bez¨uglich der Multiplikation der Klasse der kommutativen Halbgruppen an.
In vielen Kontexten gen¨ugt es bei mehrfacher Klassenzugeh¨origkeit dieser Art, einfach nur die jeweilige Klasse zu erw¨ahnen (statt der jeweils zust¨andi-gen Verkn¨upfunzust¨andi-gen), in bezug auf welche die Tr¨agermenge betrachtet wird.
H¨aufig wird eine der Verkn¨upfungen der zu Kgeh¨origen Strukturen traditio-nell als
”Multiplikation“ bezeichnet. Dann bezeichnen wir mit K1 die Klasse der zu K geh¨origen Strukturen, die ein multiplikativ neutrales Element be-sitzen. Zum Beispiel bezeichnen wir mit
S die Klasse der Halbgruppen (Semigruppen), S1 die Klasse der Monoide.
Die Schreibweise T ≤K1 S verwenden wir nur, wenn S und T ubereinstim-¨ mende multiplikativ neutrale Elemente enthalten und T ≤K S gilt. ¨Ahnlich
verstehen wir unter einem K1-Homomorphismus vonT ∈K1 in eine Struktur T′ mit multiplikativ neutralem Element 1T′ einen K-Homomorphismus von T inT′, der das multiplikativ neutrale Element von T auf 1T′ abbildet3. Zum Beispiel ist einS1-Homomorphismus ein Monoid-Homomorphismus im Sinne von Kapitel 1. Das sogenannte leere Produkt(in additivem Kontext: die leere Summe) ist in einer Struktur genau dann erkl¨art, wenn sie ein neutrales Ele-ment enth¨alt, und ist dann definitionsgem¨aß dieses. Alle diese Verabredungen dienen allein einer bequemen Darstellung in der Folge, wollen pragmatisch und nicht etwa als Vorschlag einer systematischen Theorie verstanden wer-den. Eher handelt es sich um eine f¨ur unsere Zwecke ausreichende Vorform kategorieller Denkweisen, mit der wir uns begn¨ugen, um den Aufwand an dieser Stelle minimal zu halten.
2.1 Definition Sei Keine durchschnittsabgeschlossene Klasse algebraischer Strukturen, S ∈ K und X ⊆S. Wir nennen
hXiK:= \
X⊆T≤KS
T
das K-Erzeugnis von X. X heißt ein K-Erzeugendensystem von S, wenn gilt:
hXiK =S. X heißtK-unabh¨angig, wenn sich jede Abbildung ϕ von X in eine StrukturT ∈Kzu genau einemK-Homomorphismus vonhXiKinT fortsetzen l¨aßt4. Eine K-Basis von S ist ein K-unabh¨angiges K-Erzeugendensystem von S. Ist X eine K-Basis von S, so heißt S von X frei K-erzeugt (kurz: frei
¨uber X). Eine zu K geh¨orige Struktur heißt frei (bez¨uglich K), wenn sie eine K-Basis besitzt. In problemloser Verallgemeinerung von 1.4 erhalten wir 2.1.1 Seien S, S′ ∈ K von Teilmengen X bzw. X′ frei K-erzeugt. Es gebe eine Bijektion ϕ von X auf X′. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten K-Isomorphismus ϕ¯ von S aufS′ mit xϕ¯=xϕ f¨ur alle x∈X.
(Im Falle X = X′, ϕ = id nennt man einen Isomorphismus mit der letzt-genannten Eigenschaft einen X-Isomorphismus.) Aufgrund von 2.1.1 spricht man, sofern die Existenz gesichert ist, vonder vonX freiK-erzeugten Struk-tur; denn eine solche ist bis auf X-Isomorphie eindeutig bestimmt.
3Ein solcher Homomorphismus heißtunital.
4F¨ur zahlreiche wichtige Klassen Kgilt, daß sich dasK-Erzeugnis als Abschluß vonX gegen¨uber inS gegebenen Verkn¨upfungen beschreiben l¨aßt, die vonK-Homomorphismen respektiert werden m¨ussen. Dies ist z. B. f¨ur die Klassen der Monoide, Gruppen, Vek-torr¨aume, Algebren der Fall. Dann gibt es trivialerweise stetsh¨ochstenseine Fortsetzung von ϕ zu einemK-Homomorphismus von hXiK in T, so daß dieK -Unabh¨angigkeit von X auf die bloßeExistenzeiner Fortsetzung vonϕhinausl¨auft.
Wir legen die folgenden Bezeichnungen f¨ur Klassen von Strukturen fest, die im folgenden eine Rolle spielen werden. Es sei
G die Klasse der Gruppen,
M die Klasse der abelschen Gruppen, R die Klasse der Ringe.
Zum Beispiel sind {1}, {−1} G-Basen, auch M-Basen von (Z,+). Es sind aber keineS1-Basen, da sie zwarS1-unabh¨angig, aber keineS1 -Erzeugenden-systeme von (Z,+) sind. Ein S1-Erzeugendensystem von (Z,+) w¨are z.B.
{1,−1}, aber dieses ist nicht S1-unabh¨angig: W¨ahlen wir etwa ϕ :{1,−1} →Z, 1ϕ = 1 = (−1)ϕ, so hat ϕ keine Fortsetzung ¯ϕ zu einem additiven Homomorphismus von Z, denn sonst m¨ußte gelten:
0 = 0 ¯ϕ = (1 + (−1)) ¯ϕ = 1 ¯ϕ+ (−1) ¯ϕ = 2,
ein Widerspruch.– Die Klasse aller K¨orper enth¨alt z.B. ¨uberhaupt kein freies Objekt. Bez¨uglich der KlasseS1istX∗frei (siehe vor 1.5). Da jede Halbgrup-pe durch Hinzuf¨ugen eines einzigen Elementes auf triviale Weise zu einem Monoid erweitert werden kann, erh¨alt man daraus leicht, daß die Halbgrup-pe X+ bez¨uglich der Klasse Sfrei ist.
Problem. Bei gegebener Klasse Kalgebraischer Strukturen entscheide man, ob es zu jeder Menge X eine von X frei K-erzeugte Struktur gibt.
2.2 Definition Sei G eine Gruppe, X ⊆G, g∈ G. Ein Tupel ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk))∈ T(X× {1,−1}) mitxε11· · ·xεkk =g
heißt eine X-Darstellung von g. Sie heißt gek¨urzt, wenn f¨ur alle i ∈ k−1 mit xi =xi+1 gilt: εi =εi+1. Ob eine X-Darstellung gek¨urzt ist, entscheidet sich also allein durch die Betrachtung aufeinanderfolgender Paare. Ob man etwa in der Gleichung xε11· · ·xεkk =g noch andere (wie auch immer geartete)
”K¨urzungsm¨oglichkeiten“ (im intuitiven Sinne) erkennt, ist dagegen v¨ollig ohne Belang.
2.2.1 ∅ ist eine gek¨urzte X-Darstellung von 1G. 2.2.2 Ist ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) eine (gek¨urzte) X-Darstellung von g, so ist ((xk,−εk), . . . ,(x1,−ε1)) eine (gek¨urzte) X-Darstellung von g−1. 2.2.3 Ist ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) eine X-Darstellung von g, so gibt es ein r ∈ k ∪ {0} und Indizes i1 < · · · < ir, so daß ((xi1, εi1), . . . ,(xir, εir)) eine gek¨urzte X-Darstellung von g ist,
wie man durch triviale Induktion nach k beweist.
2.3 Proposition Seien G eine Gruppe, X ⊆ G und g, g′ ∈ G. Es seien ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) bzw. ((x′1, ε′1), . . . ,(x′l, ε′l)) gek¨urzte X-Darstellungen von g bzw. g′. Dann gibt es ein j ∈k∪ {0}, so daß
((x1, ε1), . . . ,(xj, εj),(x′1+k−j, ε′1+k−j), . . . ,(x′l, ε′l)) eine gek¨urzte X-Darstellung von gg′ ist und
xεkkx′1ε′1 =· · ·=xεj+1j+1x′k−jε′k−j = 1G
gilt.
Verwendet man die beiden gegebenen gek¨urzten X-Darstellungen zu einer Produkt-Darstellung vongg′, so l¨aßt sich m¨oglicherweise k¨urzen, jedoch h¨och-stens dort, wo das Ende der Produkt-Darstellung von g mit dem Anfang der Produkt-Darstellung von g′ zusammenst¨oßt. K¨urzt man von dort aus sukzes-sive so weit es geht, bleibt eine nicht weiter k¨urzbare Produkt-Darstellung von gg′ ubrig, bestehend aus einem Anfangsst¨uck der Produkt-Darstellung¨ von g und einem Endst¨uck der Produkt-Darstellung von g′:
gg′ =xε11· · ·xεjj...xεj+1j+1· · ·xεkkx′1ε′1
| {z }
=1G
...
· · ·x′k−jε′k−j
| {z }
=1G
...x′k−j+1ε′k−j+1· · ·x′lε′l.
Der formal korrekte Beweis besteht aus einer einfachen Induktion nach min{k, l}: Ist k = 0 oder l = 0, so ist die Behauptung trivial (man setzt j := 0 bzw. j := k), ebenso falls xk 6= x′1 oder xk = x′1, εk = ε′1 (man setzt j :=k). Falls aber xk =x′1, εk = −ε′1, so setzen wir h :=xε11· · ·xεk−1k−1, h′ :=x′2ε′2· · ·x′lε′l und wenden die Induktions-Voraussetzung auf die gek¨urz-ten X-Darstellungen ((x1, ε1), . . . ,(xk−1, εk−1)), ((x′2, ε′2), . . . ,(x′l, ε′l)) von h bzw. h′ an. Wegen gg′ =hxεkkx′1ε′1h′ =hh′ folgt die Behauptung.
2.4 Proposition Sei G eine Gruppe und X ⊆G.
(1) F¨ur alle g ∈Gsind ¨aquivalent:
(i) g ∈ hXiG,
(ii) g besitzt eine X-Darstellung,
(iii) g besitzt eine gek¨urzte X-Darstellung
(2) Es sind ¨aquivalent:
(i) X istG-unabh¨angig,
(ii) ∅ ist die einzige gek¨urzte X-Darstellung von 1G,
(iii) jedes g ∈Ghat h¨ochstens eine gek¨urzte X-Darstellung.
Beweis. (1) Sei g ∈G. Die ¨Aquivalenz von (1ii) und (1iii) folgt aus 2.2.3.
(1ii)⇒(1i): Ist H ≤G G und X ⊆ H, so gilt f¨ur alle x1, . . . , xk ∈ X, ε1, . . . , εk ∈ {1,−1}: xε11· · ·xεkk ∈ H. Aus (1ii) folgt also: g ∈ T
X⊆H≤G
H = hXiG.
(1i)⇒(1ii): Sei G0 die Menge aller Elemente h ∈ G, die eine X-Darstellung besitzen. Dann gilt X ⊆G0 und G0 ≤G G, denn G0 enth¨alt 1G (nach 2.2.1) und ist (nach 2.3 und 2.2.2) gegen Produkt- und Inversenbildung abgeschlos-sen. Es folgt: T
X⊆H≤G
H ⊆G0, d.h. hXiG ⊆G0.
Der Beweis von (2) ist weniger trivial: Um zun¨achst (2ii)⇒ (2iii) zu zeigen, betrachten wir ein beliebiges Element g ∈Gmit gek¨urzten X-Darstellungen ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)), ((x′1, ε′1), . . . ,(x′l, ε′l)). Dann gilt:
xε11· · ·xεkkx′l−ε′l· · ·x′1−ε′1 =gg−1 = 1G. Nach 2.3 gibt es ein j ∈k∪ {0}, so daß
((x1, ε1), . . . ,(xk−j, εk−j),(x′l−j,−ε′l−j), . . . ,(x′1,−ε′1)) eine gek¨urzte X-Darstellung von 1G ist und
xεkkx′l−ε′l =· · ·=xεk−j+1k−j+1x′l−j+1−ε′l−j+1 = 1G.
Nach Voraussetzung folgt damit zun¨achst l = j = k, und ferner ist ((xi, εi),(x′i,−ε′i)) f¨ur jedesi∈k eineX-Darstellung von 1G, mithin xi =x′i, εi 6=−ε′i, d.h. (xi, εi) = (x′i, ε′i) f¨ur allei∈ k, da εi, ε′i ∈ {1,−1}.
(2iii)⇒(2i): Gilt (2iii), so ist insbesondere∅die einzige gek¨urzteX-Darstellung von 1G; d.h. es gilt jedenfalls (2ii).– Sei ϕ eine Abbildung von X in eine Gruppe H. Zu jedem Element g ∈ hXiG gibt es dann nach Voraussetzung und (1) genau eine gek¨urzteX-Darstellung ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)). Wir setzen gϕ¯:= (x1ϕ)ε1· · ·(xkϕ)εk und zeigen, daß ¯ϕ ein Homomorphismus von hXiG
inH ist; daßh¨ochstensdiese als homomorphe Fortsetzung vonϕ aufhXiG in Frage kommt, ist klar. Ist g′ ∈ hXiG und ((x′1, ε′1), . . . ,(x′l, ε′l)) die gek¨urzte X-Darstellung von g′, so gibt es nach 2.3 ein j ∈k ∪ {0}, so daß
((x1, ε1), . . . ,(xj, εj),(x′1+k−j, ε′1+k−j), . . . ,(x′l, ε′l))
die gek¨urzte X-Darstellung vongg′ ist, und xεkkx′1ε′1 =· · ·=xεj+1j+1x′k−jε′k−j = 1G
gilt, woraus
(xk, εk) = (x′1,−ε′1), . . . ,(xj+1, εj+1) = (x′k−j,−ε′k−j)
folgt, da wir ja (2ii) anwenden d¨urfen. Damit gilt: (xkϕ)εk = (x′1ϕ)−ε′1, . . . , (xj+1ϕ)εj+1 = (x′k−jϕ)−ε′k−j, und daher
(gg′) ¯ϕ = (x1ϕ)ε1· · ·(xjϕ)εj(x′1+k−jϕ)ε′1+k−j· · ·(x′lϕ)ε′l
= (x1ϕ)ε1· · ·(xkϕ)εk(x′1ϕ)ε′1· · ·(x′lϕ)ε′l
=gϕ¯·g′ϕ.¯
(2i)⇒(2ii) (nach Schreier): Wir werden Gebrauch von der folgenden trivialen Vorbemerkung machen:
(∗) Sei m ∈ N. Jede injektive Funktion von einer Teilmenge von m in m l¨aßt sich zu einer Permutation vonm fortsetzen.
Sei ((x1, ε1), . . . ,(xn, εn)) eine gek¨urzte X-Darstellung von 1G. Unser Ziel ist es, n = 0 zu beweisen. Die Idee dazu ist es, jedem xi eine Permutation der Menge n+ 1 so zuzuordnen, daßxεii bei dieser Zuordnung die Zahliaufi+ 1 abbildet. Das Bild von 1 bei der Hintereinanderausf¨uhrung ist dann n+ 1, andererseits aber 1; also gilt n= 0:
F¨ur alle x∈X sei
Rx :={(i, i+1)|i∈n, (xi, εi) = (x,1)}∪{(j+1, j)|j ∈n, (xj, εj) = (x,−1)}
(⊆n+ 1×n+ 1). Dann ist die Relation Rx links- und rechtseindeutig, also eine injektive Funktion:
Zur Rechtseindeutigkeit (d.h., Funktionseigenschaft): G¨abe es ein i∈ n mit (i, i + 1),(i, i −1) ∈ Rx, so w¨are jedenfalls i > 1 und (xi, εi) = (x,1), (xi−1, εi−1) = (x,−1), alsoxi−1 =xi, εi−1 6=εi, ein Widerspruch.
Zur Linkseindeutigkeit (d.h., Injektivit¨at): G¨abe es eini∈n−1 mit (i, i+1), (i + 2, i + 1) ∈ Rx, so w¨are (xi, εi) = (x,1), (xi+1, εi+1) = (x,−1), also xi =xi+1, εi 6=εi+1, ein Widerspruch.
Nach (∗) gibt es eine Permutation πx von n+ 1, die Rx enth¨alt. (F¨ur alle x∈Xr{x1, . . . , xn} k¨onnen wir πx =id setzen.) Es gilt:
(∗∗) kπxεkk =k+ 1 f¨ur alle k∈n.
Ist n¨amlich εk = 1, so (k, k+ 1) ∈ Rxk ⊆ πxk = πxεkk. Ist aber εk = −1, so (k+ 1, k)∈Rxk ⊆πxk, folglich (k, k+ 1)∈πxεkk.
Sei nun ϕ : X → Sn+1, x 7→ πx. Nach Voraussetzung existiert ein G-Homomorphismus ¯ϕ von hXiG in Sn+1 mit ¯ϕ|X =ϕ. Es folgt:
id= 1Gϕ¯= (xε11· · ·xεnn) ¯ϕ = (x1ϕ)ε1· · ·(xnϕ)εn =πεx11· · ·πεxnn, damit 1 = 1id= 1πεx11· · ·πεxnn =
(∗∗)n+ 1, also n= 0.
Entsprechend einigen ¨Uberlegungen zu freien Monoiden im vorigen Kapitel formulieren wir drei Fragen, die uns noch einige Zeit besch¨aftigen werden:
(1) Gibt es zu jeder Menge X eine vonX frei erzeugte Gruppe? [vgl. die An-wendung des Erweiterungsprinzips vor 1.5] (2) Welche Beziehungen bestehen zwischen zwei freien Erzeugendensystemen einer freien Gruppe? [vgl. 1.7(2)]
(3) Sind Untergruppen freier Gruppen wieder frei? [vgl. 1.7.2] Die Klasse der Gruppen verh¨alt sich, wie die sp¨ateren Antworten auf diese Fragen zeigen werden, in interessanter Weise anders als die der Monoide. (Z,+) ist eine freie Gruppe, die zwei freie Erzeugendensysteme hat, n¨amlich {1}und {−1}:
Ist H irgendeine Gruppe, h ∈ H, so ist die Abbildung {1} →H, 1 7→ h zu genau einem G-Homomorphismus von Z in H fortsetzbar (dessen Bild die Untergruppe hhi von H ist); ebenso die Abbildung {−1} → H, −1 7→ h.
Leicht zu sehen ist außerdem, daß {1} und {−1} die beiden einzigen freien Erzeugendensysteme von Z sind. Jede freie Gruppe, die nicht nur aus dem neutralen Element besteht,
”involviert“ notwendig Z:
2.4.1 Ist X eine Menge und F eine von X frei erzeugte Gruppe, so gilt hxi ∼=Z f¨ur alle x∈X.
H¨atte n¨amlich x ∈ X eine endliche Ordnung n, so w¨are ((x,1), . . . ,(x,1)) aufgrund der Gleichung xn = 1F eine gek¨urzte X-Darstellung von 1F, ein
Widerspruch zu 2.4(2).
Sp¨ater werden wir sehen, daß in einer freien Gruppe jedesElement mit Aus-nahme des neutralen eine zu Z isomorphe Gruppe erzeugt.
2.4.2 Ist |X| = 1, so gibt es eine von X frei erzeugte Gruppe. Sie ist iso-morph zu (Z,+).
Ist n¨amlich X ={x}, ι: X →Z, x 7→1, so gibt es nach dem Erweiterungs-prinzip und dem Zusatz dazu eine Menge U mit X ⊆U, eine Verkn¨upfung · auf U und einen Isomorphismus ¯ι: (U,·)→(Z,+) mit ¯ι|X =ι. Es folgt , daß
U eine von X frei erzeugte Gruppe ist.
So wieZder
”Großvater“ aller zyklischen Gruppen ist (jede zyklische Gruppe ist isomorph zu einer Faktorgruppe von Z), ist allgemeiner eine freie Gruppe mit einem n-elementigen freien Erzeugendensystem
”Großvater“ aller Grup-pen, die mit n Elementen erzeugbar sind. Es gilt:
2.4.3 Ist F eine von X frei erzeugte Gruppe und H irgendeine Gruppe, die von einer Teilmenge Y erzeugt wird mit |Y| ≤ |X|, so ist H zu einer Faktorgruppe von F isomorph.
Denn genauer l¨aßt sich jede surjektive Abbildung ϕ von X auf Y zu einem G-Homomorphismus ¯ϕ von F in H fortsetzen, dessen Bild folglich das Er-zeugendensystem Y enth¨alt und der damit surjektiv sein muß. Nach dem
Homomorphiesatz gilt dann: H ∼=F/Kern ¯ϕ.
Wir werden sp¨ater einige interessante Einblicke in die innere Struktur frei-er Gruppen gewinnen. Dfrei-er in 2.4.3 angesprochene Aspekt wird dabei keine wichtige Rolle spielen. Er stellt jedoch die (simple) Grundlage eines (ganz und gar nicht simplen) Zweigs der Gruppentheorie dar, in der beliebige Gruppen als Faktorgruppen freier Gruppen studiert werden. Eine von dessen Haupt-fragen ist z.B., ob man Y und ϕ besonders
”geschickt“ w¨ahlen kann, so daß die gegebene Gruppe H in besonders ¨ubersichtlicher Form als Faktorgruppe der freien Gruppe in Erscheinung tritt. Man nennt eine solche
”Realisierung“
einer Gruppe H als Faktorgruppe einer freien Gruppe eine Pr¨asentation von H.
Bevor wir mit dem Studium von Klassen algebraischer Strukturen einset-zen, die eine zentrale Rolle in der Algebra spielen, betrachten wir vorweg die in gewissem Sinne
”allgemeinste“ Strukturklasse, in der n¨amlich f¨ur die Verkn¨upfung ¨uberhaupt keine Bedingungen verlangt werden:
2.5 Definition Ein Magmaist ein Paar (S,·), bei dem S eine Menge,· eine Verkn¨upfung auf S ist. Sei Ma die Klasse aller Magmen. Ist S ein Magma, X ⊆S, so setzen wir induktiv
X(1) :=X,
X(n) :=X(1)X(n−1)∪X(2)X(n−2)∪ · · · ∪X(n−1)X(1) f¨ur allen ∈Nr{1}, wobei AB := { ab | a ∈ A, b ∈ B} f¨ur alle A, B ⊆ S. Im Falle, daß S ein neutrales Element 1S enth¨alt, setzen wir zus¨atzlich X(0) :={1S}.
2.5.1 Sei X eine Teilmenge eines Magmas S.
(a) hXiMa= S
n∈NX(n), (b) hXiMa1 = S
n∈N0X(n) fallsS ∈ Ma1,
denn ein TeilmagmaS0 vonS mitX ⊆S0 enth¨alt alle MengenX(n)(n ∈N), also auch S
n∈N
X(n). Da S
n∈N
X(n)einX enthaltendes Teilmagma vonSist, folgt
(a). Unmittelbare Folge ist (b).
2.6 Proposition Zu jeder MengeXgibt es ein vonX frei erzeugtes Magma.
Beweis. Zun¨achst seiY eine zuXgleichm¨achtige Menge, die kein Kuratowski-Paar (u, v) (also kein Element der Form{{u},{u, v}}enth¨alt. [Dazu gen¨ugt es z.B., f¨urY die Menge der 3-Tupel (x, x, x) mit x∈X zu betrachten, denn nach Definition besteht jedes 3-Tupel aus drei verschiedenen Kuratowski-Paaren, ist also 3-elementig, w¨ahrend Kuratowski-Paare h¨ochstens 2-elemen-tig sind.] Wir setzen induktiv
Y[1) :=Y, Y[n) := [
i∈n−1
Y[i)×Y[n−i) f¨ur alle n ∈N r{1}, und M(Y) := S
n∈NY[n). Wir zeigen
(∗) F¨ur alle m, n∈N gilt: Y[m)∩Y[n)6=∅ ⇒m=n.
Wir beweisen (∗) durch Induktion nach min{m, n}. Ist min{m, n} = 1 und dabei o.B.d.A. m = 1, n > 1, so gilt Y[m) ∩ Y[n) = Y ∩ Y[n) = ∅, da Y[n) nur Paare, Y aber kein einziges Paar enth¨alt. Zum Induktionsschritt sei nun min{m, n} > 1, etwa m ≤ n und w ∈ Y[m)∩Y[n). Dann existieren i∈ m−1, j ∈n−1 mitw∈ Y[i)×Y[m−i) und w∈Y[j)×Y[n−j). Die erste Komponente des Paarswliegt daher sowohl inY[i)als auch inY[j), so daß also Y[i)∩Y[j) 6=∅, wegeni < mnach Induktionsvoraussetzung folglichi=j gilt.
Ebenso erh¨alt man durch Betrachtung der zweiten Komponenten (da auch m−i < mgilt):m−i =n−j. Damit folgt:m= (m−i) +i= (n−j) +j =n, und (∗) ist bewiesen.
Wir definieren einen Verkn¨upfung · auf M(Y) durch:
v·w:= (v, w),
[das ist nichts anderes als die Identit¨atauf M(Y)× M(Y)!] Wir zeigen:
(∗∗) Y ist eine Ma-Basis von M(Y).
Aus der Definition von Y[n) folgt durch Induktion nach n: Y[n) = Y(n) f¨ur alle n∈ N, also hYiMa=M(Y) nach 2.5.1. Es bleibt zu zeigen, daßY Ma-unabh¨angig ist. Dazu sei (T,◦) ein Magma und ϕ eine Abbildung von Y in T. Induktiv definieren wir f¨ur jedes n ∈ N eine Abbildung ϕn von S
m≤n
Y[m) in T: F¨ur alle y ∈ Y sei yϕ1 := yϕ. Sei nun n > 1 und ϕm bereits f¨ur alle m < n definiert. Ist w ∈ Y[n), so gibt es (wegen n > 1) ein i ∈ n−1 mit w ∈ Y[i) × Y[n−i), und nach (∗) gilt: w 6∈ S
m<n
Y[m). Seien u ∈ Y[i),
v ∈Y[n−i) mitw= (u, v). Dann sind u,v als Komponenten des Paars wund die Zahlinach (∗) eindeutig bestimmt, so daß die Setzungwϕn:=uϕi◦vϕn−i
wohldefiniert ist. F¨ur alle w ∈ Y[m) mit m < n sei wϕn := wϕm. Dann ist ϕn eine Fortsetzung von ϕn−1, f¨ur alle n ∈ N. Nun sei ϕ := S
n∈Nϕn. Dann ist ϕ die Abbildung von M(Y) in T, die jedes Element wauf wϕn abbildet, wenn n der Index ist mit w ∈ Y[n). Offenbar gilt ϕ|Y = ϕ, und f¨ur alle u, v ∈ M(Y) gilt
(u·v)ϕ= (u, v)ϕ=uϕi◦vϕj =uϕ◦vϕ,
wobei i, j die nat¨urlichen Zahlen sind mitu∈Y[i), v ∈Y[j). Also gilt (∗∗).
Damit sind die Voraussetzungen f¨ur den routinem¨aßigen Einsatz des Erwei-terungsprinzips gegeben: Sei ι eine Bijektion von X auf Y. Dann gibt es ein X enthaltendes, zu M(Y) isomorphes MagmaM und eine Fortsetzung vonι zu einem Isomorphismus ιvon M aufM(Y). WegenXι =Xι=Y ist daher
M ein von X frei erzeugtes Magma.
Das nach 2.1.1 bis aufX-Isomorphie eindeutig bestimmte freie Magma ¨uber X bezeichnen wir mit X(+). Es gilt: X(+) = S˙
n∈N
X(n), und das f¨ur jedes w∈X(+) eindeutig bestimmte n∈Nmitw∈ X(n) nennen wir den Gradvon w. Das Produkt eines Elements u mit einem Element v von X(+) schreiben wir in der Form (uv). F¨ur kleine Grade ist es leicht, eine komplette Element-liste aufzustellen:
Grad 1: x Grad 2: (x1x2)
Grad 3: ((x1x2)x3), (x1(x2x3))
Grad 4: (((x1x2)x3)x4), (x1((x2x3)x4)), ((x1x2)(x3x4)), ((x1(x2x3))x4), (x1(x2(x3x4)))
(wobei x, x1, x2, x3, x4 ∈ X). Aus ein und derselben n-stelligen Aufeinan-derfolge von Elementen vonX lassen sich so viele verschiedene Elemente von X(+) bilden, wie es sinnvolle vollst¨andige Beklammerungen von ihr gibt.
In dem im Beweis von 2.6 konstruierten MagmaM(Y) dient die Kuratowski-Paar-Bildung als Verkn¨upfung. Da Komponenten von Kuratowski-Paaren stets eindeutig bestimmt sind, folgt damit f¨ur das freie Magma X(+) ¨uber X:
2.6.1 Zu jedem t ∈ X(+) r X gibt es eindeutig bestimmte Elemente r, s ∈X(+) mit t= (rs). Insbesondere istX die einzige Ma-Basis von X(+).
IstT ein Teilmagma vonX(+)undU(T) :=TrT2, so folgtT =hU(T)iMa∼= U(T)(+); letzteres nach 2.6.1. Es folgt:
2.6.2 Jedes Teilmagma eines freien Magmas ist frei.
Durch Hinzuf¨ugen genau eines Elements zu X(+), das als neutral definiert wird, erh¨alt man ein unit¨ares Magma, welches offensichtlich bez¨uglich der Klasse aller unit¨aren Magmen von X frei erzeugt wird. Wir bezeichnen die-ses von X frei erzeugte unit¨are Magma mit X(∗). Wir haben einen kano-nischen Epimorphismus von X(∗) auf das freie Monoid X∗, der bei den hier eingef¨uhrten ¨ublichen Schreibweisen einfach durch das
”Weglassen der Klam-mern“ gegeben ist, ebenso von X(+) auf X+. Der Homomorphiesatz ergibt daher:
2.6.3 F¨ur jede Menge X ist das freie Monoid X∗ zu einer Faktorstruktur des freien unit¨aren Magmas X(∗), die freie Halbgruppe X+ zu einer
Faktor-struktur des freien Magmas X(+) isomorph.
Dem Freiheitsbegriff begegnet man im Mathematik-Studium schon fr¨uh, n¨am-lich beim Studium von Vektorr¨aumen ¨uber K¨orpern, wenngleich jener in der Linearen Algebra in der Regel nicht thematisiert wird und auch der Na-me nicht f¨allt: Bez¨uglich der KlasseKMder (Links-)Vektorr¨aume ¨uber einem K¨orperK sehen wir dieK-linearen Abbildungen als dieKM-Homomorphismen an. Ist V ∈ KM und B eine K-Basis von V, so l¨aßt sich jede Abbildung von B in einen beliebigen K-Vektorraum zu genau einer K-linearen Ab-bildung fortsetzen. Es ist also jeder K-Vektorraum frei bez¨uglich KM, und die K-Basen (im Sinne der Linearen Algebra) sind genau dieKM-Basen (im Sinne von 2.1). Genauer sind die K-linearen Erzeugendensysteme bzw. die K-linear unabh¨angigen Teilmengen eines K-Vektorraums genau seine K M-Erzeugendensysteme bzw. seine KM-unabh¨angigen Teilmengen. Wir wollen diesen einfachen Zusammenhang in etwas allgemeinerer Form festhalten, in-dem wir statt des K¨orpersK nur einen unit¨aren Ring voraussetzen. Da sich dann allerdings zahlreiche der f¨ur Vektorr¨aume gewohnten Aussagen nicht mehr in die dann gr¨oßere Allgemeinheit ¨ubertragen lassen, bedarf es f¨ur letz-tere eines besonderen Begriffs, um Irrt¨umer zu vermeiden.
2.7 Definition Sei R∈ R1,M ∈Mund eine (im folgenden, wie ¨ublich, als
”Produkt zwischen RundM“ geschriebene) Abbildung vonR×M inM mit r(m+m′) =rm+rm′
(r+r′)m =rm+r′m (rr′)m =r(r′m)
1Rm =m
f¨ur aller,r′ ∈R,m,m′ ∈M. Dann heißtM ein R-Links-Modulund das Pro-dukt zwischen R und M eine Links-Aktion von R auf M. R-Rechts-Moduln und Rechts-Aktionen werden analog mit Hilfe einer Abbildung von M×R in M definiert. Die folgenden Ausf¨uhrungen gehen auf Links-Moduln ein und lassen sich f¨ur Rechts-Moduln ohne weiteres direkt ¨ubertragen. Ein nennens-werter Unterschied ist der, daß die Abbildung von R in den Endomorphis-menring vonM, die jedemr ∈R das Produktbilden mitrzuordnet, im Falle einer Rechts-Aktion ein R1-Homomorphismus, im Falle einer Links-Aktion dagegen ein R1-Antihomomorphismus ist. Wir bezeichnen mit
RM die Klasse der R-Links-Moduln.
Jeder Vektorraum ¨uber einem K¨orperK ist offensichtlich ein K-Modul. F¨ur beliebiges R∈ R1 ist die additive Gruppe von R in nat¨urlicher Weise selbst ein R-Links- und ein R-Rechts-Modul, wobei die Links- bzw. Rechts-Aktion durch die Multiplikation in R gegeben ist; allgemeiner gilt dies f¨ur die abel-sche Gruppe Rn (bei beliebigem n ∈ N) und komponentenweise Aktion von R. Ist M ∈ RM, so heißt eine Untergruppe N von M mit RN ⊆ N ein R-Teilmodul von M. Schreibweise: N ≤
R M. Die Linksideale von R sind genau die unter den Linksmultiplikationen mit beliebigen Elementen von R inva-rianten Untergruppen, entsprechend die Rechtsideale von R die unter allen Rechtsmultiplikationen invarianten Untergruppen der additiven Gruppe von R, illustrieren also den Teilmodulbegriff.
2.7.1 Ist M ∈ RM und N ≤
R M, so folgt: N ∈ RM, also N ≤RMM.
2.7.2 RMist gegen Durchschnittsbildung und gegenR-lineare Abbildungen
abgeschlossen.
Ein wichtiger Spezialfall tritt durch die Wahl R =Z auf:
2.7.3 Jede abelsche Gruppe M ist ein Z-Modul verm¨oge der Produktbil-dung Das Weglassen des oberen Index R bedeutet also, daß R = Z gew¨ahlt wird;
es bedeutet den ¨Ubergang von der Betrachtung von Moduln zu der von abel-schen Gruppen.
SeiX eine Teilmenge einesR-Links-ModulsM. Ein Elementm ∈M heißt ei-neR-Linearkombination ¨uberX, wenn es eink ∈N0undk-Tupel (x1, . . . , xk)∈ Xk, (r1, . . . , rk)∈Rkgibt mitm = P
j∈k
rjxj. Die Menge der R-Linearkombina-tionen ¨uber X ist ein R-Teilmodul von M, der das R-Erzeugnis von X ge-nannt wird; Schreibweise: hXiR. Gilt hXiR = M, so heißt X ein R-lineares Erzeugendensystem von M. Eine beliebige Teilmenge X von M heißt R-linear unabh¨angig, wenn f¨ur je endlich viele paarweise verschiedene Elemente x1, . . . , xk ∈ X gilt: Sind r1, . . . , rk ∈ R mit r1x1 +· · ·+rkxk = 0M, so gilt r1 =· · ·=rk = 0R. ¨Aquivalent dazu ist die Eindeutigkeit der Darstellbarkeit eines Elementes alsR-Linearkombination ¨uberX. EinR-linear unabh¨angiges R-lineares Erzeugendensystem vonM heißt eine R-BasisvonM. Es gilt also:
2.7.4 X ist genau dann eineR-Basis vonM, wenn es zu jedemm∈M eine eindeutig bestimmte fast ¨uberall verschwindende Funktion X → R, x7→rx
gibt mit m= P
x∈X,rx6=0R
rxx.
Diese naheliegenden Verallgemeinerungen aus der Vektorraum-Theorie be-kannter Begriffe f¨ugen sich ohne weiteres in den Kontext von 2.1 ein:
Diese naheliegenden Verallgemeinerungen aus der Vektorraum-Theorie be-kannter Begriffe f¨ugen sich ohne weiteres in den Kontext von 2.1 ein: