Freie Gruppen

Ist G eine Gruppe und X ⊆ G, so setzen wir X⁻¹ := {x⁻¹|x ∈ X} und Xe :=X∪X⁻¹. Offenbar gilt dann:

3.0.1 hXiG =hXie S₁.

Da auf Gruppen als spezielle Monoide die Begriffsbildungen aus Kapitel 1 anwendbar sind, k¨onnen wir insbesondere den Begriff der X-L¨ange (siehee 1.6) eines Elements g ∈ hXiG betrachten. Es gilt:

3.0.2 ∀g, g^′ ∈ hXiG l_Xe(gg^′)≤l_Xe(g) +l_Xe(g^′).

3.0.3 F¨ur alle g ∈ hXi_G gilt: Ist ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) eine X-Darstellung

von g, so istl_Xe(g)≤k.

Der Konjugiertheitsbegriff in der Gruppentheorie entspricht dem f¨ur das freie Monoid definierten (siehe 1.8 und 1.9), denn es gilt:

3.0.4 F¨ur je zwei Elemente g,g^′ einer GruppeG sind ¨aquivalent:

∃h∈G h⁻¹gh=g^′, ∃h∈G gh=hg^′, ∃u, v ∈G g=uv, g^′ =vu, Gilt n¨amlich gh = hg^′ f¨ur ein h ∈ G, so setzen wir u := h, v := g^′h⁻¹ und erhalten die Gleichungen g =uv, g^′ =vu. Alles ¨Ubrige ist trivial.

IstX ein G-Erzeugendensystem der GruppeG, also (nach 3.0.1)hXie S1 =G, so gibt es aufgrund der Freiheit des Monoids Xe^∗ ¨uber Xe einen S₁ -Epimor-phismus ψ von Xe^∗ aufGmit ψ|_Xe =id_Xe. Wir schreiben (zur Unterscheidung von Produktbildungen in G)

”.“ f¨ur die Multiplikation in Xe^∗. Es gilt:

ıψ = 1G =yy⁻¹ = (yψ)(y⁻¹ψ) = (y.y⁻¹)ψ f¨ur alle y ∈X.e

Die Relation ∼

ψ auf Xe^∗ mit u∼

ψ v ⇔uψ =vψ f¨ur alle u, v ∈Xe

ist daher eine verkn¨upfungsvertr¨agliche ¨Aquivalenzrelation (Kongruenzrela-tion), die alle Paare (y.y⁻¹, ı) mit y ∈ Xe enth¨alt. Die folgende Proposition beschreibt den Zusammenhang zwischen der freien Gruppe ¨uber X und dem freien Monoid ¨uber Xe :

3.1 Proposition SeiXeine Menge,Fdie freie Gruppe ¨uberX,Xe:=X∪X⁻¹ und ∼ die kleinste Kongruenzrelation auf Xe^∗, die alle Paare (y.y⁻¹, ı) mit y∈Xe enth¨alt. Dann gilt:

∼=∼

ψ, Xe^∗/∼ ∼=F.

Beweis. F¨ur alle w ∈ Xe^∗ bezeichne [w] die ¨Aquivalenzklasse bez¨uglich ∼, die w enth¨alt. Wir wollen zun¨achst feststellen, daß das Monoid Xe^∗/∼ eine Gruppe ist und m¨ussen dazu nur einsehen, daß das S₁-Erzeugendensystem {[y]|y ∈ X}e aus invertierbaren Elementen besteht. Dies ergibt sich aus der f¨ur alle x∈X aufgrund der Definition von ∼ geltenden Gleichungskette

[x][x⁻¹] = [x.x⁻¹] = [ı] = [x⁻¹.x] = [x⁻¹][x].

Da damit f¨ur alle x∈X gilt: [x]⁻¹ = [x⁻¹], ist {[x]|x∈X} ein G-Erzeugen-densystem von Xe^∗/∼. Aufgrund der Freiheit vonF uber¨ X gibt es nun einen G-Epimorphismus σ von F auf Xe^∗/∼ mit xσ= [x] f¨ur allex∈X.

Nach der Definition von ∼ gilt offensichtlich ∼ ⊆ ∼

ψ . F¨ur alle w ∈ Xe^∗ bezeichne [w]∼

ψ die w enthaltende Kongruenzklasse bez¨uglich ∼

ψ in Xe^∗. Die Inklusions-Abbildung

χ: Xe^∗/∼ →Xe^∗/∼

ψ, [w]7→[w]∼

ψ

ist ein Epimorphismus. Bezeichnet Ψ den von ψ induzierten Isomorphismus von Xe^∗/∼

ψ aufF (also: [w]∼

ψΨ = wψf¨ur allew∈Xe^∗), so giltxσχΨ =xψ =x f¨ur jedes x ∈ X, d.h. es gilt: σ(χΨ) = idF. Also sind σ und χ injektiv. Es folgt: ∼=∼

ψ, Xe^∗/∼∼=F.

3.2 Proposition Sei X eine Menge und F die freie Gruppe ¨uber X, Xe :=

X∪X⁻¹, g ∈ F, ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) eine X-Darstellung von g. Es sind

¨aquivalent:

(i) l_Xe(g) = k,

(ii) x^ε_iⁱx^ε_i+1ⁱ⁺¹ 6= 1_F f¨ur alle i∈k−1, (iii) ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) ist gek¨urzt.

Beweis. (i)⇒(ii): W¨are x^ε_iⁱx^ε_i+1ⁱ⁺¹ = 1F f¨ur ein i ∈ k−1, so l_Xe(g) < k wegen g =x^ε₁¹· · ·x^ε_i−1ⁱ⁻¹x^ε_i+2ⁱ⁺²· · ·x^ε_k^k.

(ii)⇒(iii): Sei i ∈ k−1 mit xi = xi+1. W¨are εi 6= εi+1, so εi = −εi+1 und x^ε_iⁱx^ε_i+1ⁱ⁺¹ =x^ε_iⁱx^−ε_i ⁱ = 1F, im Widerspruch zu (ii).

(iii)⇒(i): Nach 3.0.3 gilt l_Xe(g)≤k. G¨alte l_Xe(g)< k, so w¨are nach 2.2.3 die (nach 2.4(2) eindeutig bestimmte) gek¨urzte X-Darstellung von g von einer

L¨ange kleiner als k, im Widerspruch zu (iii).

3.3 Definition Sei X eine Menge und F die freie Gruppe ¨uber X. F¨ur Elemente g, g1, . . . , gn ∈F bedeute die Schreibweise

g =g₁pg₂p· · ·pg_n : g =g₁g₂· · ·g_n und l_Xe(g) =l_Xe(g₁) +l_Xe(g₂) +· · ·+l_Xe(g_n).

Sie dr¨uckt aus, daß die gek¨urzte X-Darstellung vong durch

” Aneinanderh¨an-gen“ der gek¨urzten X-Darstellungen der gi entsteht. Gilt g =g1pg2, so heißt g₁ ein Linksfaktor (Schreibweise in Anlehnung an die bei der entsprechen-den Begriffsbildung bei freien Monoientsprechen-den, s. 1.8: g1 ↿ g), g2 ein Rechtsfaktor (g2 ↾g) vong; ein Links- oder Rechtsfaktorgi von g wirdechtgenannt, wenn er von von g verschieden ist. Bei der Verwendung der eingef¨uhrten Schreib-weise mit mehr als zwei Faktoren gilt es zu beachten, daß sie nur im Falle g2, . . . , gn−1 6= 1_F dasselbe aussagt wie

”gigi+1 =gipgi+1 f¨ur alle i∈n−1“:

3.3.1 F¨ur alle g₁, g₂, g₃ ∈F gilt:

g =g1pg2pg3 ⇔g1g2 =g1pg2, g2g3 =g2pg3 und: g1g3 =g1pg3 im Falle g2 = 1F. Jedes Elementg ∈Fr{1F}hat einen eindeutig bestimmten echten Linksfak-torg^′maximalerX-L¨ange. Dies ist der Linksfaktor, zu dem es ein (dann eben-e falls eindeutig bestimmtes) Paar (x_g, ε_g)∈X× {1,−1}gibt mitg =g^′ px^εg^g. Wir nennen g positiv, wenn εg = 1 gilt, andernfallsnegativ, und bemerken:

3.3.2 f :F r{1F} →F ×X, g 7→

((g^′, x_g)falls g positiv

(g, xg) falls g negativ ist injektiv.

Haben n¨amlich g, h ∈ F unter f dasselbe Bild, so gilt xg = xh. W¨are nun etwa g positiv,h negativ, sog^′ =haufgrund der Gleichheit der ersten Kom-ponenten von gf undhf, mit dem Widerspruch g =g^′ pxg =hpxg, x⁻¹_g ↾h.

Wir erschließen damit εg =εh und weiter (g^′, xg) = (h^′, xh), fallsg, hpositiv, bzw. (g, x_g) = (h, x_h) falls g, h negativ. In jedem Fall folgt g =h.

Ein Element g ∈ F heißt zyklisch (X-)gek¨urzt, wenn g = 1_F oder f¨ur die gek¨urzte X-Darstellung ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) von g gilt: x^ε_k^kx^ε₁¹ 6= 1F, d.h.

wenn ¨uber das Produkt je zweier benachbarter Faktorenx^ε_iⁱx^ε_i+1ⁱ⁺¹ hinaus auch das Produkt des letzten Faktors mit dem ersten 6= 1_F ist. Besteht (wie hier) bez¨uglich der Menge X als unabh¨angiger Erzeugermenge von F keine Ge-fahr einer Verwechslung, so lassen wir das Pr¨afix ”(X-)“ fort. Die folgende Bemerkung zeigt insbesondere, daß jedes Element von F zu einem zyklisch gek¨urzten Element konjugiert ist:

3.3.3 F¨ur jedesg ∈F gibt es ein zyklisch gek¨urztes Elementg ∈F und ein h∈F mit g =h⁻¹pgph.

Dies ist f¨ur g = 1F trivial. Sei g ∈ F r{1_F} und ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) die gek¨urzte X-Darstellung von g. Dann gibt es ein i ∈ k mit x^ε_iⁱx^ε_k+1−i^k+1−i 6= 1_F, und wir nehmen hierbeiials minimal an. Das Elementg :=x^ε_iⁱx^ε_i+1ⁱ⁺¹· · ·x^ε_k+1−i^k+1−i ist dann zyklisch gek¨urzt, und f¨ur h :=x^ε_k−i+2^k−i+2· · ·x^ε_k^k gilt:

h⁻¹gh= (x^ε_k−i+2^k−i+2· · ·x^ε_k^k)⁻¹g(x^ε_k−i+2^k−i+2· · ·x^ε_k^k) =x^−ε_k ^k· · ·x^−ε_k−i+2^k−i+2gx^ε_k−i+2^k−i+2· · ·x^ε_k^k

=x^ε₁¹· · ·x^ε_i−1ⁱ⁻¹pgpx^ε_k−i+2^k−i+2· · ·x^ε_k^k =g,

nach Wahl von i. Also gilt die Behauptung.

3.4 Korollar Jede freie Gruppe ist torsionsfrei (d.h. f¨ur jedes nicht-neutrale Element g einer freien Gruppe gilt: hgi_G ∼=Z.)

Beweis. Sei F eine freie Gruppe, X eine G-Basis von F, g ∈ F r {1F}.

Nach 3.3.3 gibt es ein zyklisch gek¨urztes Element g 6= 1_F und ein h∈F mit g =h⁻¹pgph. Wir zeigen:

(∗) l_Xe(gⁿ)≥nl_Xe(g) f¨ur alle n ∈N: Es gilt:

gⁿ= (h⁻¹pgph)(h⁻¹pgph)· · ·=h⁻¹p(g)ⁿph=h⁻¹pgp· · ·

n

pgph,

da g zyklisch gek¨urzt ist. Daraus folgt: l_Xe(gⁿ) = 2l_Xe(h) +nl_Xe(g), damit (∗).

Aus (∗) folgt gⁿ 6= 1F f¨ur alle n ∈N.

Die folgende Proposition kl¨art, wann zwei zyklisch gek¨urzte Elemente kon-jugiert sind:

3.5 Proposition SeiXeine Menge undF die freie Gruppe ¨uberX. Seieng, g^′ zyklisch gek¨urzte Elemente von F. Genau dann sindg,g^′ in F konjugiert, wenn es f, h ∈F gibt mit g =fph, g^′ =hpf. D.h.: g, g^′ sind genau dann in der freien Gruppe F konjugiert, wenn die gek¨urzten X-Darstellungen von g und g^′ im freien Monoid T(X× {1,−1})konjugiert (im Sinne von 1.8) sind.

Beweis. Daß die angegebene Bedingung hinreichend f¨ur die Konjugiertheit von g undg^′ ist, folgt aus 3.0.4. Zum Beweis der Notwendigkeit sei o. B. d. A.

l_Xe(g^′) ≤ l_Xe(g) und a ∈ F mit g^′ = a⁻¹ga. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion nach l_Xe(a). Im Falle l_Xe(a) = 0, also a = 1, gilt g^′ = g, und die Behauptung ist trivial. Sei zum Induktionsschritt nun l_Xe(a) > 0, ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) die gek¨urzteX-Darstellung vong, ((y1, δ1), . . . ,(yl, δl)) die von a, z die von g^′ und z⁻ die von g^′−1. Es gilt:

g^′ =a⁻¹ga =y_l^−δl· · ·y^−δ₁ ¹x^ε₁¹x^ε₂²· · ·x^ε_k^ky₁^δ1· · ·y_l^δl.

1. Fall: y^−δ₁ ¹x^ε₁¹ = 1F. Da g zyklisch gek¨urzt ist, folgt x^ε_k^ky₁^δ1 6= 1F und g^′ =y_l^−δl· · ·y₂^−δ2x^ε₂²· · ·x^ε_k^kx^ε₁¹y₂^δ2· · ·y_l^δl.

Induktiv folgt: z ∼((x₂, ε₂), . . . ,(x_k, ε_k),(x₁, ε₁))∼((x₁, ε₁), . . . ,(x_k, ε_k)).

2. Fall: y^−δ₁ ¹x^ε₁¹ 6= 1_F. Da g^′ zyklisch gek¨urzt ist, folgt dann x^ε_k^ky^δ₁¹ = 1F, da andernfalls der Widerspruch g^′ = a⁻¹pgpa, also l_Xe(g^′) > l_Xe(g) eintr¨ate. Wie die Gleichung

g^′−1 =a⁻¹g⁻¹a =y_l^−δl· · ·y^−δ₁ ¹x^−ε_k ^k· · ·x^−ε₁ ¹y₁^δ1· · ·y_l^δl

zeigt, sind dann bez¨uglich g⁻¹ statt g und g^′−1 statt g^′ die Voraussetzungen des bereits erledigten 1. Falles gegeben, worausz⁻∼((xk,−εk), . . . ,(x1,−ε1)) folgt, also z ∼((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)).

Nach den Konjugiertenklassen in freien Gruppen werden wir nun Untergrup-pen freier GrupUntergrup-pen betrachten. Eine alternative M¨oglichkeit, den Inhalt von 3.4 auszudr¨ucken, ist die folgende:

3.4’ Jede zyklische Untergruppe einer freien Gruppe ist frei.

Diese Einsicht soll durch unser n¨achstes Ziel, den wichtigen Satz von Niel-sen und Schreier, in ihre volle Allgemeinheit gehoben werden: Nicht nur alle zyklischen, sondernalle Untergruppen einer freien Gruppe sind frei. Schreier bewies den Satz 1927, nachdem dieser zuvor von Nielsen schon f¨ur endlich erzeugte Untergruppen eingesehen worden war. Jahrzehnte unbemerkt blieb die Tatsache, daß das Resultat sich bereits in einer Arbeit von P. Hoyer aus dem Jahr 1902 findet. Die grobe Beweisskizze enth¨alt nur zwei Schritte:

1) Zu einer beliebigen GruppeGmit ErzeugendensystemX, einer Untergrup-peH vonGund einem Rechts-Repr¨asentantensystem Rf¨urHinGwird eine kanonische Konstruktion eines Erzeugendensystems X_R^(H) von H angegeben.

(Die Methode, nach der das geschieht, wird nach K. Reidemeister benannt:

Ein inH liegendes Produkt ¨uberXewird als Produkt ¨uber ] X_R^(H)

” umgeschrie-ben“ (3.6).) 2) Im Falle einerfreien GruppeGmitG-BasisX kann manRso w¨ahlen, daß X_R^(H) G-unabh¨angig, also eine G-Basis von H ist. (Hinreichend dazu ist es, f¨ur R ein sog.

”Schreiersystem“ zu w¨ahlen, das in 3.8 definiert wird.)

Schritt 1) ist der wesentlich einfachere, f¨uhrt aber bereits zu Konsequenzen, die unabh¨angiges Interesse verdienen; siehe 3.7. Wir beginnen mit einigen Vorbemerkungen, in denen eine beliebige Gruppe G gegeben sein m¨oge:

3.5.1 Ist eine beliebige Abbildung von G in G mit 1G = 1G, so gilt f¨ur alle g1, . . . , gn∈G:

g1· · ·gn = Yn j=1

g1· · ·gj−1gjg1· · ·gj−1

g1· · ·gn,

wobei das Produkt nat¨urlich so zu verstehen ist, daß die Reihenfolge der

Faktoren die des ansteigenden Laufindex j ist.

Wir w¨ahlen f¨ur die Repr¨asentanten-Zuordnung bez¨uglich eines Rechts-Repr¨asentantensystems R einer Untergruppe H von G mit 1G∈R: Es sei

:G→R

g 7→r mit Hg =Hr.

3.5.2 ∀g, g^′ ∈G gg^′ =gg^′, ∀g ∈G, r∈R r =rg⁻¹g,

denn ausHg =Hg folgt:Hgg^′ =Hgg^′, also gilt die erste Aussage. Die zweite ergibt sich durch Anwendung der ersten: r=r =rg⁻¹g=rg⁻¹g.

Weiter setzen wir f¨ur alle r∈R,g ∈G:

q(r, g) :=rg rg⁻¹.

Der ”Quotient“ q(r, g) ist der (in H liegende) Faktor, der das Element rg von dem inRenthaltenen Repr¨asentanten der Restklasse Hrgunterscheidet:

rg =q(r, g)·rg. Wir bemerken f¨ur alle g ∈G, r∈R:

3.5.3 q(r, g⁻¹) =q(rg⁻¹, g)⁻¹,

denn q(r, g⁻¹)q(rg⁻¹, g) = rg⁻¹rg⁻¹⁻¹rg⁻¹g rg⁻¹g⁻¹ =

3.5.2rr⁻¹ = 1G.

”Rollentausch von g und g⁻¹“ erweist die ¨Aquivalenz von 3.5.3 mit

3.5.4 q(r, g)⁻¹ =q(rg, g⁻¹).

3.5.5 rg ∈R⇔q(r, g) = 1G⇔q(rg, g⁻¹) = 1G ⇔rgg⁻¹ ∈R.

3.6 Lemma Sei G eine Gruppe, H ≤G G,R ein Rechts-Repr¨asentantensy-stem f¨ur H in G mit 1G ∈ R, die zugeh¨orige Repr¨asentanten-Zuordnung.

Sei X ein G-Erzeugendensystem von G und

X_R^(H) :={q(r, x)|r∈R, x∈X}r{1G}.

Dann ist X_R^(H) ein G-Erzeugendensystem von H und l^

X_R^(H)(h) ≤ l_Xe(h) f¨ur alle h ∈H.

Beweis. Trivialerweise gilt hX_R^(H)iG ⊆ H. Zum Beweis der umgekehrten In-klusion sei h ∈ H. Dann gilt h = 1G, da 1G nach Voraussetzung der in R liegende Repr¨asentant von H ist. Wegen hXiG = G gibt es y1, . . . , yn ∈ Xe mit

h=y₁· · ·y_n = Yn j=1

y₁· · ·yj−1y_jy₁· · ·y_j⁻¹

y₁· · ·y_n

| {z }

=h=1_G

nach 3.5.1

= Yn j=1

y1· · ·yj−1yjy1· · ·yj−1yj

−1 nach 3.5.2

= Yn j=1

q(y1· · ·yj−1, yj)∈ hX_R^(H)iG,

denn im Falle yj ∈X⁻¹ gilt q(y1· · ·yj−1, yj)∈ X_R^(H)−1

nach 3.5.3.

3.7 Korollar Ist G eine endlich erzeugte Gruppe, H ≤G G und der Index

|G:H| endlich, so ist auch H endlich erzeugt.

Genauer: Bezeichnet allgemein d(B) die minimale Erzeugendenzahl einer endlich erzeugten Gruppe B, so gilt:

d(H)≤ |G:H| ·d(G).

Beweis. Sei X ein Erzeugendensystem von Gmit |X|=d(G). Nach 3.6 gilt d(H)≤ |X_R^(H)| ≤ |R×X|=|R| · |X|=|G:H| ·d(G).

Zur Illustration seien zwei Beispiele angegeben, die zugeh¨origen Nachweise aber dem Leser ¨uberlassen: Sei F eine freie Gruppe vom Rang 2,F =hx, yiG. a) Sei Y :={x^zyx^−z|z ∈Z}.

b) Sei Y :={x^zy^uxy^−ux^−(z+1)|z, u∈Z, u6= 0}.

In beiden F¨allen ist hYiG ein Normalteiler vonF, der vonY frei erzeugt, ins-besondere also von unendlichem Rang ist. Sp¨ater (siehe 3.11.1) beschreiben wir auch die jeweilige Faktorgruppe F/hYiG.

Wir wenden uns nun dem komplizierteren Schritt 2) der obigen Beweis-skizze zu. Dieser setzt sich erneut aus zwei Teilschritten zusammen: Zum einen wird gezeigt, daß eine Untergruppe H einer freien GruppeF vonX_R^(H) frei erzeugt wird, wenn das Rechts-Repr¨asentantensystem R die Eigenschaft hat, mit einem Element stets auch alle seine Linksfaktoren zu enthalten.

Zum anderen ist dann nur noch einzusehen, daß tats¨achlich stets ein solches Rechts-Repr¨asentantensystem existiert. Letztere Einsicht ist unsere n¨achstes Ziel (3.9). Bemerkenswert ist, daß dieser Existenzbeweis ohne einschr¨anken-de Voraussetzungen ¨uber die gegebene Gruppe, die Untergruppe H und das Erzeugendensystem X auskommt. Im Kern stammt das Resultat von M. Hall (1949).

3.8 Definition Sei Geine Gruppe undX ein G-Erzeugendensystem vonG.

Eine TeilmengeRvonGheißt eineX-Schreiermenge, wenn es zu jedemg ∈R eine gek¨urzteX-Darstellung ((x1, ε1), . . . ,(xk, εk)) gibt mitx^ε₁¹· · ·x^ε_j^j ∈Rf¨ur alle j ∈k∪ {0}. Trivial sind die Feststellungen:

3.8.1 Ist M ⊆ G und zu m ∈ M stets zm eine gek¨urzte X-Darstellung von m, so ist {x^ε₁¹· · ·x^ε_j^j| Es gibt ein m ∈ M, f¨ur das ((x1, ε1), . . . ,(xj, εj)) ein Linksfaktor von zm inT(X,{1,−1})ist} eine X-Schreiermenge, die M

enth¨alt.

3.8.2 Vereinigungen von X-Schreiermengen sind X-Schreiermengen.

Sei H ≤G G. Ein X-Schreiersystem f¨ur H ist ein Rechts-Repr¨asentanten-system f¨ur H in G, das eine X-Schreiermenge ist. Insbesondere muß jedes X-Schreiersystem das Element 1_G enthalten. Wir betrachten ein paar sehr einfache konkrete F¨alle:

Sei F eine freie Gruppe vom Rang 2, F = hx, yiG, V eine nicht-zyklische

Gruppe der Ordnung 4. z.B. V = {(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)} (mit komponentenweiser Multiplikation als Verkn¨upfung). Sei dannψ der (eindeu-tig bestimmte) Epimorphismus von F auf V mit xψ = (1,−1),yψ= (−1,1) undH := Kernψ. WegenF/H ∼=V hat insbesondere jedes Rechts-Repr¨asen-tantensystem f¨ur H in F genau 4 Elemente. Daß die nachstehend angege-benen Teilmengen von F solche sind, erh¨alt man unschwer daraus, daß ihre Bilder unter ψ jeweils gleich V sind. Es gilt, wie unmittelbar aus der Defini-tion ablesbar:

a) {1F, x, y, xy} ist ein X-Schreiersystem f¨ur H, (vgl. auch 3.11.1) b) {1_F, x, y, xy⁻¹} ist ein X-Schreiersystem f¨urH,

c) {1_F, x, y, x⁻¹y} ist kein X-Schreiersystem f¨ur H, d) {1F, x, xy, xyx} ist ein X-Schreiersystem f¨urH.

Wir verallgemeinern nun in naheliegender Weise den Begriff der X-L¨angee eines Elements auf beliebige nichtleere Teilmengen von G(=hXiG). F¨ur jede Teilmenge T 6=∅ von G sei

l_Xe(T) := min{l_Xe(g)|g ∈T}.

Offenbar gilt:

3.8.3 Ist g ∈T und((x1, ε1), . . . ,(xk, εk))eineX-Darstellung von g, so gilt

l_Xe(T)≤l_Xe(g)≤k.

3.9 Lemma Sei G eine Gruppe, X ein G-Erzeugendensystem von G und H ≤_G G. Dann gibt es ein X-Schreiersystem R f¨ur H mit der Eigenschaft:

∀g ∈R l_Xe(g) = l_Xe(Hg)

Beweis (unter Verwendung des Auswahlaxioms): Wir definieren induktiv eine Kette von Schreiermengen

{1G}=R0 ⊆R1 ⊆R2 ⊆. . . , so daß f¨ur alle n ∈N₀ gilt:

(∗) Rn enth¨alt aus jeder Rechtsrestklasse T von H in G mit l_Xe(T) ≤ n genau ein Element gT, und f¨ur dieses gilt:l_Xe(gT) =l_Xe(HgT).

Unter Beachtung von 3.8.2 gen¨ugt es dann, R := S

n∈N₀

Rn zu setzen, um die Behauptung des Lemmas zu erhalten.

F¨ur n= 0 ist (∗) erf¨ullt mitR0 :={1G}(also:gH = 1G). Sei nunn ∈N₀ und

Rn eine X-Schreiermenge mit (∗). Wir zeigen:

(∗∗) Zu jeder Rechtsrestklasse S vonH in Gmit l_Xe(S) =n+ 1 gibt es ein gS ∈S mitl_Xe(gS) =n+ 1, so daßRn∪ {g_S}eineX-Schreiermenge ist.

Beweis: Sei s ∈ S mit l_Xe(s) = n+ 1, und seien y1, . . . , yn+1 ∈ Xe mit s = y1· · ·yn+1. Sei t := y1· · ·yn und T := Ht. Dann folgt: l_Xe(T) ≤ l_Xe(t) ≤ n (3.8.3). F¨ur das nach Induktions-Voraussetzung gem¨aß (∗) gegebene Element gT gilt dann:HgT =T =Ht. Es folgt: HgTyn+1 =Htyn+1 =Hs=S, also n+ 1≤l_Xe(S)≤l_Xe(gTyn+1)≤l_Xe(gT) + 1 =l_Xe(HgT) + 1≤l_Xe(t) + 1 =n+ 1.

Setzen wir nun g_S :=g_Ty_n+1, so folgt:g_S ∈S,l_Xe(g_S) = n+ 1, und R_n∪ {g_S} ist eine X-Schreiermenge. Es gilt also (∗∗).

Wir setzen (unter Verwendung des Auswahlaxioms)

R_n+1:=R_n∪ {g_S|S Rechtsrestklasse von H inG, l_Xe(S) =n+ 1}.

Nach 3.8.2 istRn+1 eine X-Schreiermenge. Es gilt (∗) mit n+ 1 an Stelle von n, womit die induktive Definition der Kette abgeschlossen ist.

Wie d) im Beispiel vor 3.8.3 zeigt, kann es durchaus X-Schreiersysteme ge-ben, die die L¨angenbedingung in 3.9 nicht erf¨ullen.

Wir betrachten nun Schreiersysteme in freien Gruppen: Die folgende Aus-sage stellt den Kern des Beweises des Satzes von Nielsen und Schreier dar, denn seine beiden letzten Teile beschreiben die Multiplikation zwischen zwei Elementen von ]

X_R^(H), wenn R ein X-Schreiersystem ist.

3.10 Lemma SeienX eine Menge,F die freie Gruppe ¨uber X,H ≤G F, R ein X-Schreiersystem f¨ur H,r,s ∈R, y, z ∈Xe mit q(r, y), q(s, z)6= 1_F. (1) ry=rpy,y ry⁻¹ =ypry⁻¹, q(r, y) =rpypry⁻¹,

(2) q(r, y) =q(s, z)⇔r=s, y=z; q(r, y) =q(s, z)⁻¹ ⇔ry =s, y=z⁻¹, (3) Gilt q(r, y)6=q(s, z)⁻¹, so folgt: q(r, y)q(s, z) =rpypry⁻¹spzpsz⁻¹,

q(r, y)⁻¹q(s, z)⁻¹ =rypy⁻¹pr⁻¹szpz⁻¹ps⁻¹,

(4) Gilt q(r, y)6=q(s, z), so folgt: q(r, y)q(s, z)⁻¹ =rpypry⁻¹szpz⁻¹ps⁻¹, q(r, y)⁻¹q(s, z) =rypy⁻¹pr⁻¹spzpsz⁻¹.

Beweis. (1) G¨alte y⁻¹ ↾ r, so ry ↿ r ∈ R und folglich ry ∈ R, da R X-Schreiermenge ist, nach 3.5.5 ein Widerspruch. Damit gilt die erste Be-hauptung, und durch Anwendung derselben mit ry statt r, y⁻¹ statt y, auch die zweite, denn nach 3.5.5 gilt q(ry, y⁻¹) 6= 1_G. Da y 6= 1_F, folgt q(r, y) =rpypry⁻¹ mit 3.3.1.

(2) 1. Teil: Zum Beweis der nichttrivialen Implikation (

”⇒“) machen wir zun¨achst die Annahme, es g¨alte l_Xe(r) < l_Xe(s). Mit unserer Voraussetzung und (1) erhalten wir die Gleichung rpypry⁻¹ =spzpsz⁻¹, somit: ry ↿s. Da R X-Schreiermenge ist und s ∈ R gilt, folgt ry ∈ R, d.h. ry = ry und damit der Widerspruch q(r, y) = ryry⁻¹ = 1_F. Also gilt l_Xe(r) ≥ l_Xe(s), ebenso l_Xe(s) ≥ l_Xe(r) und damit l_Xe(r) = l_Xe(s). Aus rpypry⁻¹ = spzpsz⁻¹ folgt nun r = s, y = z. – Verm¨oge 3.5.4 erh¨alt man aus dem 1. Teil unmittelbar auch den 2. Teil.

Wir zeigen nun zun¨achst folgende Hilfsaussage::

(∗) ∀t∈R z⁻¹s⁻¹t =z⁻¹ ps⁻¹t

G¨alte n¨amlich z ↿ s⁻¹t, so g¨abe es ein a ∈ F mit z p a = s⁻¹t, und nach (1) sowie 3.3.1 folgte s p z p a = t ∈ R. Da R X-Schreiermenge ist, folg-te sz ∈R, mit 3.5.5 ein Widerspruch. Als Spezialfall von (∗) erhalten wir zun¨achst z⁻¹s⁻¹ry = z⁻¹ p s⁻¹ry, somit ry⁻¹sz = ry⁻¹s p z. Als weiterer Spezialfall von (∗) ergibt sich yry⁻¹s=ypry⁻¹s.

Die Voraussetzung von (3) besagt nach (2), daß im Falle ry⁻¹s = 1F gilt:

yz 6= 1_F. Nun folgt die erste Behauptung in (3) mit 3.3.1. Die zweite Be-hauptung in (3) ergibt sich aus der ersten durch Invertieren beider Seiten der Gleichung und Rollentausch von (r, y) und (s, z).

(4) Nach Voraussetzung und 3.5.4 gilt: q(ry, y⁻¹)q(s, z) = q(r, y)⁻¹q(s, z)6=

1F 6=q(r, y)q(s, z)⁻¹ =q(r, y)q(sz, z⁻¹). Wendet man (3) auf das erste sowie auf das letzte in dieser Kette genannte Produkt an, so erh¨alt man beide

Be-hauptungen aus (4).

W¨ahlt man unter den Voraussetzungen von 3.10 y, z ∈X, so zeigt (2), daß die Voraussetzung von (3) erf¨ullt ist. Als Konsequenzen der letzten beide Tei-le von 3.10 erhalten wir daher die folgenden Aussagen, die uns einen kurzen Beweis von 3.11 erm¨oglichen werden:

yry⁻¹q(s, z) =ypry⁻¹spzpsz⁻¹, y⁻¹r⁻¹q(s, z)⁻¹ =y⁻¹pr⁻¹szpz⁻¹ps⁻¹, und falls q(r, y)6=q(s, z):

yry⁻¹q(s, z)⁻¹ =ypry⁻¹szpz⁻¹ps⁻¹, y⁻¹r⁻¹q(s, z) =y⁻¹pr⁻¹spzpsz⁻¹.

3.11 Satz (Nielsen, Schreier 1927) Sei F eine freie Gruppe mit G-Basis X, H ≤G F,R ein X-Schreiersystem f¨urH inF und X_R^(H) wie in3.6. Dann ist X_R^(H) eine G-Basis vonH. Insbesondere ist jede Untergruppe einer freien Gruppe frei.

Beweis. Nach 3.6 gen¨ugt es zu zeigen, daß X_R^(H) G-unabh¨angig ist. Da die Existenz eines X-Schreiersystems f¨ur H in F nach 3.9 gesichert ist, folgt dann auch die Schlußbehauptung. F¨ur alle k ∈N zeigen wir die folgende Behauptung: Sind x1, . . . , xk ∈ X, r1, . . . , rk ∈ R, ε1, . . . , εk ∈ {1,−1} mit q(r_i, x_i)6= 1_F f¨ur alle i∈k und gilt

q(ri, xi) =q(ri+1, xi+1)⇒εi =εi+1

f¨ur alle i∈k−1, so folgt:

(∗) q(r1, x1)^ε1· · ·q(rk, xk)^εk=u1px^ε₁¹pu2px^ε₂²p· · ·pukpx^ε_k^kp

(rkxk−1 f. εk= 1 r⁻¹_k f. εk=−1 f¨ur geeignete u1, . . . , uk∈R⁻¹R.

Haben wir dies n¨amlich bewiesen, so folgt insbesondere:

l_Xe q(r1, x1)^ε1· · ·q(rk, xk)^εk

≥k > 0,

alsoq(r₁, x₁)^ε1· · ·q(r_r, x_k)^εk 6= 1_F, und damit nach 2.4(2) dieG -Unabh¨angig-keit von X_R^(H).

Den Beweis der Behauptung f¨uhren wir durch Induktion nach k. Der Induk-tionsanfang ist bereits durch 3.10(1) erledigt, denn es gilt 1F ∈ R. F¨ur den Induktionsschritt seien x1, . . . , xk+1 ∈ X, r1, . . . , rk+1 ∈ R, ε1, . . . , εk+1 ∈ {1,−1}mit q(r_i, x_i)6= 1_F f¨ur alle i∈k+ 1, und es gelte:

∀i∈k q(ri, xi) = q(ri+1, xi+1)⇒εi =εi+1. Es gelte (∗). Setzen wir nun a:=Qk−1

i=1 uixiεi, so ergibt sich:

k+1Y

i=1

q(ri, xi)^εi =

(apu_kpx_kpr_kx_k⁻¹q(r_k+1, x_k+1)^εk+1 falls ε_k = 1 apukpx⁻¹_k pr⁻¹_k q(rk+1, xk+1)^εk+1 falls εk =−1

=











apukpxkprkxk−1rk+1pxk+1prk+1xk+1−1 fallsεk= 1 =εk+1, apukpxkprkxk−1rk+1xk+1px⁻¹_k+1pr_k+1⁻¹ fallsεk= 1 6=εk+1, apukpx⁻¹_k pr⁻¹_k rk+1xk+1px⁻¹_k+1pr⁻¹_k+1 fallsεk=−1 =εk+1, apu_kpx⁻¹_k pr⁻¹_k r_k+1px_k+1pr_k+1x_k+1⁻¹ fallsε_k=−16=ε_k+1, unter Anwendung der aus 3.10 erschlossenen Gleichungen, denn im Falle εk6=εk+1 gilt q(rk, xk)6=q(rk+1, xk+1). Die Behauptung folgt.

3.11.1 Beispiele Sei X = {x, y} mit x 6= y und F die freie Gruppe ¨uber X. Wir beschreiben einige G-Basen gewisser Normalteiler von F:

(1) Sei ϕ : X → Z, x 7→ 1, y 7→ 0 und ϕ : F → Z die Fortsetzung von ϕ zu einemG-Homomorphismus, H := Kernϕ. Dann gilt:x^zϕ=z f¨ur alle z∈Z, also F = ˙S

z∈Z

Hx^z. Sei R :={x^z|z ∈Z}. Dann istR offensichtlich gegen Linksfaktoren abgeschlossen, also ein X-Schreiersystem f¨ur H in F, und es gilt:

q(x^z, x) =x^zxx^zx⁻¹ =x^z+1(x^z+1)⁻¹ = 1F

q(x^z, y) = x^zyx^zy⁻¹ =x^zyx^−z, da H(x^zy)⁻¹ =Hx^−z.

Also istX_R^(H) ={x^zyx^−z|z ∈Z}nach 3.11 eine G-Basis vonH. Es folgt:

F/hX_R^(H)iG =F/H ∼=Z.

(2) Sei ϕ :X → {1,−1},x 7→ −1, y 7→1 und ϕ : F → {1,−1} die Fortset-zung vonϕ zu einem G-Homomorphismus, H := Kernϕ. Dann ist F/H von der Ordnung 2, F =H∪Hx˙ und R :={1, x} ein X-Schreiersystem f¨urH in F. Es gilt:

q(1F, x) =xx ⁻¹ = 1F, q(x, x) =xxxx⁻¹ =x², q(1_F, y) =yy ⁻¹ =y, q(x, y) = xyxy⁻¹ =xyx⁻¹ Also ist X_R^(H)={x², y, xyx⁻¹} nach 3.11 eine G-Basis von H.

(3) Sei ϕ:X→ {(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)}, x7→ (1,−1), y 7→(−1,1) und ϕ die Fortsetzung von ϕ zu einem G-Epimorphismus von F, H :=

Kernϕ. Dann ist F/H nicht-zyklisch von der Ordnung 4 und R :=

{1F, x, y, xy} ein X-Schreiersystem f¨ur H inF. Es gilt:

q(1F, x) =q(1F, y) =q(x, y) = 1F, q(x, x) =x², q(y, y) =y², q(y, x) =yxyx⁻¹ =yxy⁻¹x⁻¹, q(xy, x) =xyxxyx⁻¹ =xyxy⁻¹, q(xy, y) =xy²xy²⁻¹ =xy²x⁻¹.

Also ist X_R^(H) = {x², y², yxy⁻¹x⁻¹, xyxy⁻¹, xy²x⁻¹} nach 3.11 eine G-Basis vonH.

(4) SeiH =F^′. Nach 2.19(2) istF/F^′ eine freie abelsche Gruppe vom Rang 2 und {F^′x, F^′y} eine M-Basis von F/F^′. Also ist R:={x^zy^u|z, u∈Z}

ein Repr¨asentantensystem f¨ur F^′ in F. Offensichtlich ist R auch eine X-Schreiermenge. Es gilt:

q(x^zy^u, x) =x^zy^uxx^zy^ux⁻¹ =x^zy^uxy^−ux^−(z+1)(= 1F ⇔u= 0), q(x^zy^u, y) = x^zy^uyx^zy^u+1−1 = 1F.

Also ist X_R^(F′) = {x^zy^uxy^−ux^−(z+1)|z, u ∈ Z, u 6= 0} nach 3.11 eine G-Basis von F^′. Diese besteht sogar aus Kommutatoren, denn es gilt:

x^zy^uxy^−ux^−(z+1) = [(x^zy^u)⁻¹, x⁻¹] f¨ur allez, u∈Z.

Wir ordnen in dem nachstehenden Diagramm unsere bislang betrachteten Beispiele von Untergruppen H einer freien Gruppe F vom Rang > 1 hin-sichtlich des Aspekts von Endlichkeit/Unendlichkeit des Ranges bzw. des Index. Es sei x∈Fr{1_F}; die Zahlen beziehen sich auf die Numerierung in 3.11.1:

|F :H| endlich |F :H|unendlich rk(H) endlich (2), (3) hxi_G rk(H) unendlich (siehe Text) (1), (4)

Daß der Index einer Untergruppe von unendlichem Rang ebenfalls unendlich sein muß, wissen wir – jedenfalls im Falle einerendlich erzeugtenGruppeF – schon aus 3.7; es gibt also kein Beispiel f¨ur das Feld links unten im Diagramm, wenn F endlich erzeugt ist. Hat F dagegen unendlichen Rang und ist H eine beliebige Untergruppe von endlichem Index, so ist H stets von unendlichem Rang, da ja die Vereinigung eines G-Erzeugendensystems von H mit einem Rechts-Repr¨asentantensystem f¨ur H in F ein G-Erzeugendensystem von F ist, also nicht endlich sein kann. Bei den Beispielen in 3.11.1 ist H sogar ein Normalteiler von F, bei dem f¨ur das Feld rechts oben im Diagramm ange-gebenen Beispiel jedoch nicht. Aus einer noch zu beweisenden allgemeineren Bemerkung (siehe 3.12.2) folgt, daß es hier kein Beispiel geben kann, bei dem H Normalteiler von F w¨are.

3.12 Proposition Sei F eine freie Gruppe mit G-Basis X, H ≤G F, R ein X-Schreiersystem f¨ur H, P := {(r, x)|r ∈ R, x ∈ X, rx ∈ R}. Dann gilt:

|P|=|Rr{1_F}|

Folgerung Ist |F :H|endlich und rk(F) = n∈N, so folgt:

rk(H) =|F :H|(n−1) + 1.

Beweis. Sei f wie in 3.3.2. Wir zeigen: (Rr{1F})f = P. Da f nach 3.3.2 injektiv ist, beweist das die Proposition. DaR eineX-Schreiermenge ist, gilt

jedenfalls (Rr{1_F})f ⊆P. Sei nun (r, x) ∈P, also r ∈R, x ∈X, rx∈ R.

Gilt rx =r p x, so rx 6= 1_F und (rx)f = (r, x). Andernfalls gilt r =r^′ px⁻¹ und rf = (r, x).

Beweis der Folgerung: Nach 3.11 ist X_R^(H) eine G-Basis von H. Nach 3.5.5 und 3.10(2) ist die Zuordnung (r, x)7→q(r, x) eine Bijektion von (R×X)rP auf X_R^(H). Es folgt:

rk(H) = |X_R^(H)|=|R×X| − |P|=|R| · |X| −(|R| −1) = |F :H|(n−1) + 1.

In der Linearen Algebra spielt der sogenannte

”Basis-Erg¨anzungssatz“ eine wichtige Rolle, der besagt, daß eine Teilraumbasis stets zu einer Basis des ganzen Raumes erg¨anzt werden kann. Das Analogon f¨ur freie Gruppen kann nicht erwartet werden; ganz im Gegenteil folgt aus 3.12 bereits

3.12.1 Ist H eine echte Untergruppe einer freien GruppeF endlichen Ran-ges >1 und von endlichem Index, so gilt rk(H)> rk(F),

denn |F :H|(n−1) + 1≥2(n−1) + 1 = 2n−1> nf¨ur jedes n∈N_>1. Insbesondere liegt unter den Voraussetzungen von 3.12.1 keine G-Basis von H in einer G-Basis von F. In dieselbe Richtung zielt die folgende einfache Aussage:

3.12.2 Ist H eine echte Untergruppe einer freien GruppeF, die einen von {1F}verschiedenen Normalteiler von F enth¨alt, so gibt es keine G-Basen X von F und Y von H mit Y ⊆X.

Ist n¨amlich N EF mit N ≤ H, x ∈ X rY und 1F 6= z ∈ N, so gibt es eine gek¨urzte Y-Darstellung von z, und diese ist zugleich eine, mithin die gek¨urzte X-Darstellung von z (2.4(2)). H kann nicht x enthalten, enth¨alt aber das Element x⁻¹zx = x⁻¹pzpx, das daher eine gek¨urzte Y-Darstellung besitzen muß. Wieder ist diese zugleich die gek¨urzte X-Darstellung, so daß letztere nicht (x,1) als letzte Komponente haben kann, ein Widerspruch.

Andererseits gilt der folgende wichtige

”schwache Basis-Erg¨anzungssatz“, der auf M. Hall zur¨uckgeht:

3.13 Satz Sei F eine freie Gruppe, X eine G-Basis, H eine Untergruppe endlichen Ranges von F und R ein X-Schreiersystem f¨ur H. Dann gibt es eine G-unabh¨angige Teilmenge Z von F, so daß gilt:

(i) |F :hZiG| ist endlich, (ii) X_R^(H) ⊆Z.

Beweis. Sei R^′ := {s|s ∈ R, ∃x ∈ Xe q(s, x) 6= 1_F} und L(R^′) die Menge aller Linksfaktoren der Elemente von R^′ (siehe 3.8.1). Dann gilt: L(R^′)⊆R, weil R eine Schreiermenge ist. Da H endlichen Rang hat, ist nach 3.11 die G-Basis X_R^(H) von H endlich. Aus 3.10(2) folgt nun die Endlichkeit von R^′. Also ist L(R^′) eine in R enthaltene endliche Schreiermenge.

Wir werden zeigen, daß es eine Untergruppe Hb von F mit den folgenden beiden Eigenschaften gibt:

(i’) L(R^′) ist ein Rechts-Repr¨asentantensystem f¨ur Hb inF, (ii’) X_R^(H) ⊆X_L(R^(Hb)′).

Nach 3.11 ist, wenn (i’) gilt, X_L(R^(H)b ′) eine G-Basis von H. Mit (ii’) gen¨ugt esb also, Z :=X_L(R^(Hb)′) zu setzen, um die Behauptung des Satzes zu erhalten.

Die Konstruktion einer solchen Untergruppe Hb nimmt einen Gedanken auf, der schon im Beweis von 2.4(2) eine entscheidende Rolle gespielt hat: Basie-rend auf Fortsetzungen gewisser injektiver Abbildungen zu Permutationen

Die Konstruktion einer solchen Untergruppe Hb nimmt einen Gedanken auf, der schon im Beweis von 2.4(2) eine entscheidende Rolle gespielt hat: Basie-rend auf Fortsetzungen gewisser injektiver Abbildungen zu Permutationen

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