wir uns ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung 0 und mit Koordinaten x, y, z denken.
Die Koordinatenachsen sollen wie in der Skizze an-geordnet sein. Jeder Punkt des Raumes wird also durch ein Koordinatentripel (x, y, z) eindeutig be-schrieben, so dass wir den Raum mit demR3 iden-tifizieren k¨onnen.
z
x y
Definition 6.5 Eine Ebene im R3 ist die Menge aller L¨osungen (x, y, z) einer linearen Gleichung
Ax+By+Cz =D, (6.7)
wobei A, B, C, D reelle Zahlen und A, B, C nicht alle gleich 0 sind.
Eine Gerade im Raum beschreiben wir als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen.
Definition 6.6 Eine Gerade im R3 ist die Menge aller Tripel (x, y, z), die die beiden Ebenengleichungen
Ax+By+Cz =D und Axˆ + ˆBy+ ˆCz = ˆD
gleichzeitig l¨osen. Dabei wird verlangt, dass es keine reelle Zahl λ gibt, so dass ( ˆA,B,ˆ C) =ˆ λ(A, B, C).
Da die vektoriellen Darstellungen von Geraden und Ebenen oft bequemer zu handhaben sind, f¨uhren wir zun¨achst Vektoren imR3ein. Ein (r¨aumlicher)Vektor
~v ist ein Tripel reeller Zahlen:
~v =
v1
v2
v3
= (v1, v2, v3)T mit v1, v2, v3 ∈R.
Versteht man unter einemPfeil −→ABnun ein Paar von PunktenA, B des Raumes, die durch eine Strecke mit Anfangspunkt A und Endpunkt B verbunden sind, k¨onnen wir den Begriff des Vektors auch so fassen:
Definition 6.7 Ein Pfeil −→
AB mit A = (a1, a2, a3) und B = (b1, b2, b3) stellt genau dann den Vektor~v = (v1, v2, v3)T dar, wenn
v1 =b1−a1, v2 =b2 −a2 und v3 =b3−a3.
Rechenoperationen und Rechenregeln f¨ur r¨aumliche Vektoren lassen sich w¨ort-lich aus dem zweidimensionalen Fall ¨ubertragen. Insbesondere sind Addition und Multiplikation mit Zahlen wieder komponentenweise erkl¨art und die L¨ange von
~v = (v1, v2, v3)T ist durch
k~vk= q
v12+v22+v32 (6.8) gegeben. Es gelten wieder die Dreiecksungleichungen
k~v+w~k ≤ k~vk+kw~k,
k~vk − kw~k
≤ k~v−w~k.
Vektoren der L¨ange 1 heißen Einheitsvektoren. Spezielle Einheitsvektoren sind
~e1 = (1,0,0)T, ~e2 = (0,1,0)T, ~e3 = (0,0,1)T,
und jeder Vektor~v = (v1, v2, v3)T l¨aßt sich eindeutig als Linearkombination
~v =v1~e1+v2~e2+v3~e3
schreiben. Auch das Skalarprodukt der Vektoren ~v und w~ definieren wir wie im R2 durch
~v·w~ =k~vk kw~kcosα, (6.9) wobeiαwieder f¨ur den von~v und w~ eingeschlossenen Winkel steht. Insbesondere gilt f¨ur die Koordinateneinheitsvektoren
~ei·~ek =δik :=
(1 f¨ur i=k
0 f¨ur i6=k , i, k= 1,2,3,
wobei δik das Kronecker-Symbol heißt. Damit findet man leicht die folgende Be-rechnungsm¨oglichkeit des Skalarprodukts.
Satz 6.8 Das Skalarprodukt der Vektoren~v = (v1, v2, v3)T undw~ = (w1, w2, w3)T ist gleich
~v·w~ =v1w1+v2w2+v3w3. (6.10) Die Vektoren~v, ~wheißensenkrecht, wenn~v·w~ = 0. Zwei Vektoren heißtenparallel, wenn der von ihnen eingeschlossene Winkel gleich 0 oderπ ist.
Wir definieren nun f¨ur Vektoren im R3 ein neues Produkt, das Vektorprodukt (oder ¨außere Produkt). Das Vektorprodukt zweier Vektoren~v und w~ ist wieder ein Vektor, und wir m¨ussen erkl¨aren, wie lang dieser Vektor ist und in welche Richtung er zeigt.
Seien zun¨achst ~v und w~ zwei nicht parallele Vektoren. Dann sei ~n der durch die folgenden Eigenschaften eindeutig bestimmte Vektor:
a) ~n hat die L¨ange 1.
b) ~n steht senkrecht auf~v und w.~
c) Die Vektoren~v, ~wund~nbilden in dieser Reihenfolge einRechtssystem, d.h. es gilt dieRechte-Hand-Regel:Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung
~v und der Zeigefinger in Richtungw, so zeigt der senkrecht zu Daumen und~ Zeigefinger stehende Mittelfinger in Richtung~n.
(Beispielsweise bilden die Vektoren ~e1, ~e2, ~e3 in dieser Reihenfolge ein Rechtssy-stem.) ¨Aquivalent zu (c) ist die folgende Beschreibung: ~n zeigt in die Richtung, in die eine Rechtsschraube (Korkenzieher) vorr¨uckt, wenn man ihr eine Drehung um 0< α <180◦ erteilt, die die Richtung von~v in die von w~ ¨uberf¨uhrt.
Weiter seiF der Fl¨acheninhalt des von~vund
~
waufgespannten Parallelogramms, d.h.
F =k~vk kw~k sinα. ||
~ w||sinα
~v
~ w
· α
Dann heißt der Vektor
~v×w~ :=
O~ = (0,0,0)T falls~v und w~ parallel sind
F ~n sonst
das Vektorprodukt von~v und w.~
Satz 6.9 F¨ur das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln, wobei ~u, ~v und w~ r¨aumliche Vektoren und λ eine reelle Zahl ist:
~v×w~ = −(w~ ×~v) (Antikommutativit¨at), λ(~v×w) = (λ~v)~ ×w~ =~v×(λ ~w) (
”Assoziativit¨at“),
~u×(~v+w) = (~u~ ×~v) + (~u×w)~ (Distributivit¨at).
Diese Regeln lassen sich leicht best¨atigen, wenn man die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts benutzt. Dazu beachten wir, dass
~e1×~e2 = −(~e2 ×~e1) = ~e3,
~e2×~e3 = −(~e3 ×~e2) = ~e1,
~e3×~e1 = −(~e1 ×~e3) = ~e2,
da die Einheitsvektoren ~e1, ~e2, ~e3 senkrecht aufeinander stehen und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. F¨ur ~v = v1~e1 + v2~e2 +v3~e3 und w~ = w1~e1+w2~e2+w3~e3 hat man also
~v×w~ = (v1~e1+v2~e2+v3~e3)×(w1~e1+w2~e2+w3~e3)
= v1w1(~e1 ×~e1) +v1w2(~e1×~e2) +v1w3(~e1×~e3) + v2w1(~e2 ×~e1) +v2w2(~e2×~e2) +v2w3(~e2×~e3) + v3w1(~e3 ×~e1) +v3w2(~e3×~e2) +v3w3(~e3×~e3).
Satz 6.10 Das Vektorprodukt ~v × w~ der Vektoren ~v = (v1, v2, v3)T und w~ = (w1, w2, w3)T ist gegeben durch
~v×w~ = (v2w3−v3w2, v3w1−v1w3, v1w2−v2w1)T.
Wir sehen uns nun vektorielle Darstellungen von Geraden und Ebenen im Raum an. Die Parameterdarstellung einer Geraden im R3 sieht formal wie die Para-meterdarstellung einer Geraden im R2 aus: es treten lediglich Vektoren mit drei Komponenten statt mit zwei Komponenten auf.Geraden im R3 werden also be-schrieben durch Gleichungen wie
~r=~r1+λ~t, λ∈R, (6.11)
wobei ~r1 der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden und ~t 6= O~ ein beliebiger Vektor in der Richtung der Geraden ist.
Ganz ¨ahnlich wird eineEbeneimR3 beschrieben als die Menge aller Ortsvektoren
~r, die einer Gleichung
~r=~r1+λ~s+µ~t, λ, µ∈R (6.12) gen¨ugen, wobei ~r1 der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene ist und
~s, ~t6=O~ nicht parallele Vektoren sind, die in der Ebene liegen.
~s
~t
O
y
E
x z ~r
Zur Hesseschen Normalform der Ebenengleichung Ax+By +Cz = D gelangt man durch Einf¨uhrung des Normalenvektors
A~e1+B~e2+C~e3, der noch zu normieren ist:
~n:=± A~e1+B~e2+C~e3
kA~e1+B~e2+C~e3k =±A~e1+B~e2+C~e3
√A2+B2+C2 . (6.13) Das Vorzeichen w¨ahlen wir so wie das Vorzeichen vonD.
Satz 6.11 Sei E eine Ebene im R3, ~r1 der Ortsvektor eines beliebig gew¨ahlten Punktes ausE und ~n der durch (6.13) definierte Normalenvektor. Die Hessesche Normalform von E ist dann gegeben durch
~r·~n=~r1·~n.
Die rechte Seite ~r1 ·~n = |D|/√
A2+B2+C2 ist gleich dem Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.
Mit der Hesseschen Normalform lassen sich Abst¨ande zwischen Punkt und Ebene leicht berechnen.
Satz 6.12 Der Abstand eines Punktes P∗ ∈R3 mit Ortsvektor~r∗ von der Ebene (~r−~r1)·~n= 0 ist gleich dem Betrag der Zahl
d∗ := (~r∗−~r1)·~n.
Istd∗ 6= 0, so liegen P∗ und O auf der gleichen Seite von E wenn d∗ <0und auf verschiedenen Seiten von E wenn d∗ >0.
Als weitere Anwendung der eingef¨uhrten Begriffe berechnen wir den Abstand zweier windschiefer Geraden im R3 mit Hilfe der gemeinsamen Lotrichtung. Die Geraden seien durch ihre Parameterdarstellungen gegeben:
g1 : ~r=~r1+λ ~s, λ∈R, g2 : ~r=~r2+µ ~t, µ∈R,
wobei~s, ~t6= 0 nicht parallel sein sollen. Dann steht der Einheitsvektor
~ℓ:= ~s×~t k~s×~tk
senkrecht auf beiden Geraden. Der gesuchte Abstand ergibt sich als L¨ange der Projektion des Vektors ~r2 − ~r1 (oder eines anderen Vektors, der von einem Punkt von g1 auf einen Punkt von g2 zeigt) auf ~ℓ, d.h. als
|~ℓ·(~r2−~r1)|. ~r2−~r1
·
~e α