Nagu n¨aidatud, tekivad m˜oningad probleemid seal, kus tugevat lahendit pole, aga siiski on n˜ork lahend h¨astidefineeritud. Seega v¨a¨arib n˜ork lahend l¨ahemat uurimist, kuid kohe kerkivad ¨ules kaks ilmset k¨usimust:
• kas on probleeme, kui tugev lahend on olemas ja n˜orka pole?
• kas on probleeme, kui m˜olemad lahendid eksisteerivad, kuid on erinevad?
Vastus esimesele k¨usimusele on ei: mitte midagi ei l¨ahe kaduma, kui kasutatakse n˜orka lahen-dit.
Vastus teisele k¨usimusele on samuti ei, kuid selle t˜oestamine on pisut huvitavam. N˜orga ja tu-geva lahendi samav¨a¨arsuse n¨aitamine n˜ouab j¨a¨agifunktsiooni sissetoomist.
Lahendite ekvivalentsuse t˜oestamine on suhteliselt lihtne ja selle raskeim osa p˜ohineb elemen-taaralgebras tihti kasutataval pidevuse argumendil. Strateegiliselt on lihtsam t˜oestada, et “iga tugev lahend on n˜ork lahend” ja “iga n˜ork lahend on tugev lahend” kui et “tugev ja n˜ork on samad”, mis on palju raskem, kuigi loogiliselt ekvivalentne.
Iga lihtsa raja ¨ulesande tugev lahend on ka n˜ork lahend (tugev⇒n˜ork)
Olguu(x)lihtsa raja¨ulesande tugev lahend. Siis on kriteerium (3.5) rahuldatud, nii et d2u
dx2 =f(x) ∀x∈[a, b]
Korrutades selle v˜orduse m˜olemaid pooli suvalise funktsiooniga v(x) (ja konkreetselt pideva funktsioonigav(x), kusjuuresv(a) = v(b) = 0) ei muuda seda v˜ordsust ning samuti ei muuda seda nende m˜olema v˜ordse poole integreeriminex=a-st kunix=b-ni, saadakse:
Z b a
d2u
dx2v(x)dx= Z b
a
f(x)v(x)dx (3.17)
iga pideva funktsiooniv(x)korral, mille jaoks kehtib
v(a) = v(b) = 0 (3.18)
Kuna see on just kriteerium (3.6) (mis on tuntud ka kui n˜orga lahendi definitsioon), siis on n¨aidatud, et iga tugev lahend on ka n˜ork lahend.
Iga lihtsa raja ¨ulesande n˜ork lahend on ka tugev lahend
Olguu(x)lihtsa raja¨ulesande n˜ork lahend, nii et kriteerium (3.6) on rahuldatud. Saab t˜oestada, et see n˜ork lahend on ka tugev lahend eeldades, et see pole ja siis n¨aidates, et selline eeldus viib vastuoluni. Sellist tehnikat nimtatakse t˜oestuseks vastuolu kaudu.
Eeldame, etu(x) pole selle raja¨ulesande tugev lahend, nii et leidub v¨ahemasti ¨uks punkt (x0) piirkonnas(a, b), kusu(x)teine tuletis pole v˜ordne f(x)-ga:
d2u(x0)
dx2 6=f(x0), x0 ∈(a, b) (3.19) Defineerime funktsiooni
r(x) = d2u
dx2 −f(x) (3.20)
nii, et p˜ohieelduseks oleks, et
r(x0)6= 0 (3.21)
Siinkohal tasub t¨ahele panna, etr(x)s˜oltubu(x)-st ja m˜onikord r˜ohutatakse seda s˜oltuvust no-teeringugar(x, u). Funktsioonir(x)nimetatakse selle diferentsiaalv˜orrandi j¨a¨agifunktsiooniks ja see on v˜oti “Galerkini l¨ahendusele”. Need l¨ahendused moodustavad p˜ohiosa ¨uhest k˜oige ta-valisemast l˜oplike elementide mudelist. Tuleb m¨arkida, et tingimus “r(x) = 0 k˜oigi x korral piirkonnas(a, b)” on ekvivalentne kriteeriumiga (3.5) ,nii et raja¨ulesande tugeva lahendi oleks v˜oinud defineerida kui funktsiooni, mis ellimineerib j¨a¨agifunktsioonir(x)kogu piirkonnas.
Eeldus, et u(x)ei ole tugev lahend, t¨ahendab, et r(x0) 6= 0m˜one punkti x0 jaoks piirkonnas
Joonis 3.5: (a) J¨a¨agifunktsioon r(x); (b) suurendatud vaade piirkonnas (α,β)
(a, b). See tingimus on joonisel 3.5 (a), kus r(x0) on kujutatud positiivsena (ilma ¨uldistatust kaotamata). On teada, etr(x)on pidev funktsioon, kuna see on kahe pideva funktsiooni vahe, nii et peab leiduma intervall (α, β), kus α < x < β, ¨ule mille r(x) > 0). See naabrus on suurendatult joonisel 3.5 (b).
V˜oti saavutamaks soovitud vastuolu on ¨ara kasutada n˜orga lahendi definitsiooni “iga testfunkt-siooni korral” aspekti. Kui suudetaks leida testfunktsioonv(x), etr(x)jav(x)korrutise integ-raal pole 0, siis on n¨aidatud, et
Z b a
rvdx= Z b
a
[d2u
dx2 −f]vdx6= 0 (3.22)
mis annab m˜oista, et
Z b a
d2u
dx2v(x)dx6= Z b
a
f(x)v(x)dx (3.23)
See viimane mittev˜ordsus peaks olema vastuolu h¨upoteesiga, etu(x)on n˜ork lahend. Korrates vastuolu kaudu t˜oestamise mehaanikat, et kui selline vastuolu on saadud, saab t˜oestada, et “n˜ork ja mittetugev” on v¨a¨ar, mis loogikareeglite j¨argi on sama kui et “n˜ork on tugev” on t˜oene.
On lihtne konstrueerida funktsiooniv(x)nii, et korrutisr(x)v(x)on positiivne piirkonnas(α, β) ja null igal pool mujal. Joonisel 3.6 on selline testfunktsiooni, kusvmuutub nullist kohalx=α kuni positiivse v¨a¨artuseni kohal x = x0 ja naaseb tagasi nulli kohal x = β. Selle funktsiooni v(x)efekt on “testida” nullist erinevaid j¨a¨ake alamintervallis (α, β), mist˜ottu seda nimetatakse testfunktsiooniks. See konkreetne testfunktsioon annab siin otsitava vastuolu.
Kunar(x)v(x)>0 ¨ule(α, β)jar(x)v(x) = 0muudel juhtudel, siis Z b
a
rvdx= Z b
a
[d2u
dx2 −f]vdx >0 (3.24) nii, et
Z b a
[d2u
dx2v(x)dx >
Z b a
f(x)v(x)dx (3.25)
See mittev˜ordsus on vastuolus faktiga, etu(x)on raja¨ulesande n˜ork lahend ja seega eeldus, et u(x)pole tugev lahend, on vale. Siit tulenevaltu(x)on tugev lahend ja on t˜oestatud, et iga n˜ork
Joonis 3.6: (a) J¨a¨agifunktsioon; (b) testfunktsioon.
lahend on ka tugev lahend. Kui panna “tugev toob kaasa n˜orga” ja “n˜ork toob kaasa tugeva”
tulemused kokku, saadakse soovitud tulemus lihtsa raja¨ulesande jaoks:
Igal lihtsal raja ¨ulesandel, millel on olemas tugev lahend, on olemas ka n˜ork lahend ja need kaks lahendit on identsed
Sellesse olulisse tulemusse lisatud s˜ona “igal” v˜oimaldab juhtumeid, kus pole tugevat lahendit elementaaralgebra raames, ent leidub n˜ork lahend eespool konstrueeritud “kaheosalise” definit-siooni n¨aol. L˜opuks selgub ka, et f¨u¨usikalise reaalsuse jaoks takistavad matemaatiliste mudelite arendamist tihti tavaliste tugevate lahendite kaalutlused, sestap s˜oltutakse siis n˜orkadest (v˜oi variatsioonilistest) formuleeringutest ligil¨ahedaste lahendite konstrueerimisel.
Sellest t˜oestusest koorus mitu olulist tulemust. Esiteks, n¨aidati, et v˜oimes lahendada diferent-siaalv˜orrandeid ei kaotata mitte midagi, kui neid v˜orrandeid k¨asitletakse n˜orga formulatsioo-ni raames selle asemel, et kasutada analoogset tugevate lahendite teooriat. Leidub huvitavaid probleeme (sisaldades mittepidevaid andmeid), mis ei v˜oimalda tugevaid lahendeid, v¨ahemasti mitte tavaliste tuletiste ja integraalide m˜oistes. Veel t¨ahtsam on see, et n˜orgad lahendid viivad loomulikul viisil ligil¨ahedaste lahendustehnikateni, mida on kergem kasutada arvutuslikeks l¨ahendamisteks kui neid, mis p˜ohinevad tugeval l¨ahenemisel.
Uldiselt kehtib, et mida keerukamaks muutub probleem, seda keerukamaks muutub ka j¨a¨akide¨ kuju. Galerkini l˜oplike elementide aproksimatsiooni konstrueerimisel on ¨ulioluline korrektse j¨a¨agifunktsiooni moodustamine. ¨Uldiselt, kui probleemi jaoks on v˜oimalik konstrueerida ter-viklik j¨a¨agifunktsioon, siis saab konstrueerida ka l˜oplike elementide mudeli.
J¨a¨agifunktsiooni f¨u¨usikaliseks interpretatsiooniks on diferentsiaalv˜orrandi lahendamisel tekkiv viga. Kuiu(x)on diferentsiaalv˜orrandi t¨apne lahend, siisr(x)on identselt null ja lahendil viga pole. Olguu(x)ˆ l¨ahend t¨apsele lahendileu(x), siis j¨a¨akr(x,u)ˆ pole identselt null, v.a. siis, kui ˆ
u = u, mis on ˜oige ainult sellisel ebat˜oen¨aolisel juhul, mil l¨ahendus on t¨apselt sama, mis la-hendki. Kui l¨ahend pole t¨apne, poler(x,u)ˆ identselt null ja diferentsiaalv˜orrandi lahendamisel tekib viga. Tekkib veel vigau−u, mis on tegelik l¨ahendamisviga.ˆ
On oluline teha neil kahel veal vahet, sest ¨uks neist, j¨a¨ak, on miski, mida on v˜oimalik m¨a¨arata,
samas kui teine, l¨ahendamisviga, on t¨ahtis tehtud l¨ahenduse t¨apsuse m˜o˜oduna ja seda ei saa
¨uldiselt m¨a¨atata. Kui v˜oimetus m¨a¨arata l¨ahendamisviga pole selge, siis tasuks meenutada, et selle vea leidmine vajab t¨apse lahendi u(x) teadmist ja siis ei olda ¨uldiselt l¨ahenduste leidmi-sest huvitatud. Enamus tavalisi l˜oplike elementide l¨ahendusi, mida rakendatakse suurele hulga-le rajaprobhulga-leemidehulga-le, lubavad minimiseerida k˜oige ligit˜ombavama kujuga l¨ahendusvigau−uˆ j¨a¨aker t¨o¨odeldes. See tulemus v˜oib olla raskestim˜oistetav, ent on sellist sorti t¨ahtis praktiline tulemus, t¨anu millele on l˜oplike elementide mudelid laialt kasutatavad. Anal¨u¨utik saab kasu-tada arvutit, et t¨o¨odelda k¨attesaadavat j¨a¨agifunktsiooni, et minimiseerida muidu ligip¨a¨asmatut viga l¨ahendusprotsessis. L¨ahendusi, millel on antud minimaalne veam¨a¨ar, nimetatakse vastava matemaatilise terminiga “parim” ja antud juhul on matemaatiline t¨ahendus t¨apselt sama, mis idiomaatiline. Need on parimad.
L˜opetuseks on heaks harjutuseks t˜oestada, et n˜orga lahendi alternatiivseks definitsiooniks on:
u(x)on n˜ork lahend, kui Z b
a
r(x, u)v(x)dx= 0 ∀v(x) (3.26)