Omav¨a¨artuste lahendid

Praktilistes situatsioonides ei pruugi sisenevad h¨airivad j˜oudF_N⁽¹⁾ jaF_N⁽²⁾ teada olla. Sestap on tihti kasulik omav¨a¨artusprobleemi lahendamisel leida sagedused ja laineamplituudide suhteli-sed maksimumid. Selles suunas liikudes tehakse v˜orrandi (8.59) homogeenses osas v˜orrandi (8.56) t¨u¨upi asendus:

(−ω²AN M +BN M)ηMcosωt= 0 v˜oi

(BN M−ω²AN M)ηM = 0 (8.63)

Peale elemendimaatriksi koostamist saadakse globaalne vorm

(Bij −ω²Aij)ηj = 0 (8.64)

V˜orrand (8.63) on identne l˜oplike elementide v˜orrandiga, mida v˜oib tuletada v˜orrandeist (8.55) v˜oi (8.57) , v.a. rajatingimuseF_N⁽³⁾jaoks, mis on v˜orrandite (8.55) v˜oi (8.57) osatule-tistega liikmete osade kaupa integreerimisel saadav kokkulangevus. Illustrerimiseks olgu vorm (8.57)

Z

Ω

(c²η,ii+ω²η)ΦNdΩ = 0 (8.65) koosη(xi) = ΦN(xi)ηN. J¨atkates tavap¨arasel viisil saadakse:

(BN M−ω²AN M)ηM =F_N⁽³⁾

Selle tulemuse v˜oib saada ka v˜orrandist (8.59) koosF_N⁽³⁾ s¨ailitamisega. V˜orrandi (8.65) glo-baalne vorm on

(Bij −ω²Aij)ηj =F_i⁽³⁾ (8.66)

η,iηi = 0pikki piire ja seegaF_i⁽³⁾ = 0. See viib v˜orrandini (8.64) . nj mittetriviaalse lahendi jaoks v˜orrandis (8.64) , peab sulgudes olevate liikmete determinant olema 0:

|B_ij −ω²A_ij|= 0 (8.67)

v˜oi maatrikskujul:

|B−ω²A|= 0 (8.68)

See on standardne omav¨a¨artusprobleem. MaatriksAij on mittesingulaarne, samas kui maatriks Bij on singulaarne. Sestap korrutatakse v˜orrandit (8.68) A⁻¹_ik -ga:

|A⁻¹_ik Bkj −ω²δij|= 0 (8.69) v˜oi

|A⁻¹B−ω²I|= 0 (8.70)

kusIon ¨uhikmaatriks. Tuleb m¨arkida, etA⁻¹Bon mittes¨ummeetriline, kuigiAjaAon m˜ole-mad s¨ummeetrilised. On eelistav muutaA⁻¹Bs¨ummeetriliseks enne omav¨a¨artuste lahendamist.

Selleks olguAkujul

A=LL^T

kusLon madalam kolmnurkmaatriks, mille diagonaalist ¨ulalpool on nullid jaT m¨argib trans-poneerimist. Siis

A⁻¹ = (L^T)⁻¹L⁻¹ (8.71)

Kirjutades v˜orrandi (8.64) maatrikskujul koosA l¨abikorrutatuna:

(A⁻¹B−ω²I)η = 0 (8.72)

Asendades v˜orrandi (8.71) v˜orrandisse (8.72) ning korrutadesL^T-ga, siis (L⁻¹B−ω²L^T)η= 0

Olgu

L^Tη=Y

η = (L^T)⁻¹Y (8.73)

Tulemuseks on

(Z−ω²I)Y = 0 kus

Z=L⁻¹B(L⁻¹)^T Seega v˜otab omav¨a¨artusprobleem kuju

|Z−ω²I|Y = 0 (8.74)

N¨u¨ud on n¨aha, et maatriksZon s¨ummeetriline. Omav¨a¨artus¨ulesande lahend koosneb omav¨a¨ar-tusteω² ja omavektoriteZm¨a¨aramisest. Neist saadakse sagedusedωja tegelikud omavektorid ηv˜orrandist (8.73) . Tule m¨arkida, et reaalselt huvitavad disaini eem¨arkidel vaid m˜oned mada-lama sagedusega moodid.

Olgu n¨aiteks ruudukujuline pind nagu n¨aidatud joonisel [8, 5-32]. Pind on jagatud 25 elemen-diks 36 s˜olmega. Lahendis kasutatakse isoparameetrilisi elemente. Eeldades, et keskmine vee-tase on konstantne ja gH = 1000s⁻2, kusg = 32.174f t/s² ja H = 31.08f t, lahendatakse omav¨a¨artusprobleem (8.67) , (8.68) Givens-Householderi meetodil.

Omav¨a¨artuste ruutudest saadud sagedused hertsides on summeeritud tabelis (tab:10-5-4). Kuna geomeetriaks on ruut, siis on vaid 6-l moodi 36-st s˜oltumatud, iseloomulikud omav¨a¨artused.

Nendeks on moodid 1, 4, 9, 16, 33 ja 36. Teised moodid esinevad paaridena. Kui geomeetrial poleks s¨ummeetriliste telgede paari, siis peaks iga mood olema s˜oltumatult erinev ja identsete omav¨a¨artustega paare ei tohiks esineda.

Moodikujud v˜oi omavektorid, mis vastavad m˜onedele omavektoritest on joonisel [8, 5-33]. Esi-mene mood esindab j¨aiga keha liikumist koos kogu tasandi nihkumisega ¨uhe ¨uhiku v˜orra ¨ules.

Joonis [8, 5-33] n¨aitab graafikuid kolmanda ja k¨umnenda moodi vahel. Nende moodide kujusid vaadeldaksex-teljest220^ovastup¨aeva ja20^o ¨ulalpool tasandit. Omavektorid on ekstrapoleeritud 2. j¨arku v¨ahimruutude meetodiga, mille v˜oeti 20 punkti pikkix- jay-telge.

9 Heliv˜onkumised

Kui staatilise v¨alja v˜orrandis Dx

∂²φ

∂x² +Dy

∂²φ

∂y² −Gφ+Q= 0 (9.1)

Q= 0jaG < 0, siis saadakse Helmholtzi v˜orrand Dx

∂²φ

∂x² +Dy

∂²φ

∂y² +Gφ= 0 (9.2)

V˜orrandiga (9.2) kirjeldatavate f¨u¨usikaliste probleemide hulgas on lainetused madalas vees ja heliv˜onkumised suletud ruumides v˜oi sektsioonides.

Helmholtzi v˜orrandi lahend vajab omav¨a¨artus¨ulesande lahendamist, sest ¨a¨aretingimused on sel-lised, et globaalne j˜ouvektor{F}on null. Globaalne v˜orrandis¨usteem on kujul[K]{Φ}={0}.

9.1 1D v˜onkumised

J¨aikade piiridega 2D ruumis olevate heliv˜onkumistega seotud r˜ohuv¨alja kirjeldavad diferent-siaalv˜orrandid on kujul

kusφon r˜ohu muutus mingilt ¨umbritsevalt v¨a¨artuselt,won laine sagedus jacon laine liikumis-kiirus aines. ¨A¨aretingimuseks on

∂φ

∂n = 0 (9.4)

Uhem˜o˜otmeline analoog v˜orrandile (9.3) on¨ d²φ dx² + w²

c² φ= 0 (9.5)

koos tingimusegadφ/dx= 0igas otsas. V˜orrandi (9.5) ¨uldine kuju:

Dd²φ

−Gφ-liikme panus elemendi j¨aikusmaatriksisse on [k^(e)_G ] =−w²L V˜orrandi (9.6) t¨aielik j¨aikusmaatriks on

[k^(e)] = 1

Joonis 9.1: Kaheelemendiline v˜ork 1D torule.

Elemendi j˜ouvektor {f^(e)} koosneb nullidest, sest v˜orrandis (9.6) pole ¨uhtegi allikaliiget ja

¨a¨aretingimusdφ/dx= 0m˜olemas otsas ei genereeri ¨uhtegi mittenullist liiget{f^(e)}-s.

Olgu suletud toru joonisel 9.1 . L˜oplike elementide mudel koosneb kahest elemendist. Asenda-desH/2L-i v˜orrandis (9.9) ja korrutades seda v˜orranditH/2-ga:

[k^(e)] =

Kahe elemendimaatriksi kombineerimine annab tulemuseks kolme v˜orrandiga s¨usteemi:



M˜olemad maatriksid[KD]ja[KG]on s¨ummeetrilised;[KG]on positiivselt m¨a¨aratud, samas kui [KD] on pooleldi positiivselt m¨a¨aratud, sest sel on nulline determinant. Omav¨a¨artuste teooria

¨utleb, et k˜oik omav¨a¨artusedZi, mis rahuldavad v˜orrandeid (9.12) , on selged, reaalsed ja posi-tiivsed arvud ning vastavad omavektorid{Φ}ⁱon s˜oltumatud.

Omav¨a¨artused Zi on Z v¨a¨artused, mis teevad v˜orrandeis (9.12) determinandi nulliks. Kahe maatriksi kombineerimisel:

Leidub iga (9.16) juurega seotud omavektor {Φ}ⁱ, mille kolme komponenti on v˜oimalik

¨uheselt m¨a¨arata, sest v˜orrandis¨usteem on homogeenne. Tavaline protseduur on omistada ¨uhele

komponendile suvaline v¨a¨artus ja lahendada ¨ulej¨a¨anud komponendid selle omistatud v¨a¨artuse kaudu.

Omavektor{Φ}¹ m¨a¨aratakseZ1 = 0asendamisega v˜orrandeisse (9.14) : Φ1− Φ2 = 0

−Φ₁+ 2Φ₂ −Φ₃ = 0

−Φ2 +Φ3 = 0

(9.17) Esimene v˜orrand ¨utleb, et Φ1 = Φ2, samas kui kolmandast tuleneb, et Φ2 = Φ3. Seega Φ1 = Φ2 = Φ3 ja omavektor on

{Φ}^T1 = [1 1 1] (9.18)

kuiΦ1 = 1kasutatakse suvalise v¨a¨artusena.

AsendadesZ2 = 1/2v˜ordusesse (9.14) :

−³₂Φ2 = 0

−³2Φ1 −³2Φ3 = 0

−³₂Φ2 = 0

(9.19) Esimene ja kolmas v˜orrand annavad teada, etΦ₂ = 0ja teisest tuleneb, etΦ₃ =−Φ₁. Kasutades Φ1kui suvalist v¨a¨artust, saadakse:

{Φ}^T2 =]1 0 −1] (9.20)

J¨a¨ab ¨ule ainult n¨aidata, et

{Φ}^T3 =]1 −1 1] (9.21)

Omav˜onkesagedustew_nteoreetilised v¨a¨artused on Wn = nπc

H (9.22)

wnarvutatud v¨a¨artused saab valemi (9.16) antud juurteZ1,Z2jaZ3asendamisega v˜orrandisse (9.11) ja selle lahendamisegawnsuhtes.warvutatud v¨a¨artused

w1 = 0, w2 = 3.464c

H , w3 = 6.928c H on suhteliselt h¨asti v˜orreldavad teoreetiliste v¨a¨artustega

w1 = 0, w2 = 3.142c

H , w3 = 6.283c H arvestades seda, et v˜ork koosneb vaid kahest elemendist.

Teoreetilistel moodikujudel on ¨uldine vorm P = cos(nπx/H). Teoreetilised moodikujud ja arvutatud omavektorid on joonisel 9.2 . Esimese moodi teoreetiline ja arvutatud kuju langevad kokku.

Joonis 9.2: 1D toru teoreetilised ja arvutatud moodid: (a) esimene mood, (b) teine mood, (c) kolmas mood.

Joonis 9.3: Neljaelemendiline v˜ork 2D ruumile.

9.2 2D v˜onkumised

2D heliv˜onkumiste v˜orrandid ja ¨a¨aretingimused on antud valemitega (9.3) ja (9.4) . Elemen-tide maatriksid on [7, 7.36] ja [7, 7.38] kolmnurkse elemendi jaoks ning [7, 7.49] ja [7, 7.55]

nelinurkse elemendi jaoks.

Nelinurkne 20x10 m ruum on jagatud neljaks kolmnurkseks elemendiks joonisel 9.3 . Definee-ridesZ =w²/c²selgub, et globaalne v˜orrandis¨usteem on

([K_D]−Z[K_G]){Φ}={0} (9.23)

Zv¨a¨artuste , mis teeks determinandi([KD]−Z[KG])nulliks, k¨asitsiarvutamine ei ole m˜otekas.

Selle asemel tuleks kasutada arvutit. S¨usteemi (9.23) 5 omav¨a¨artust ja omavektorit on:

Z1 = 0, {Φ}^T1 = [1, 1, 1, 1, 1]

Need v¨a¨artused on suhteliselt h¨asti v˜orreldavadZ =w²/c² teoreetiliste v¨a¨artustega Z1 = 0, Z2 = 0.0247, Z3 = 0.0987, Z4 = 0.123, Z5 = 0.395 Moodide kujud{Φ}² ja{Φ}⁴jaoks on graafiliselt kujutatud joonisel 9.4 .

Joonis 9.4: 2D ruumi (a) teise ja (b) neljanda moodi kuju. Punktiirjooned asuvadxy-tasandil.

10 Telgs ¨ummeetria

Eksisteerib grupp 3D v¨aljaprobleeme, mida saab lahendada kahem˜o˜otmeliste elementide kasu-tamisega. Neil probleemidel on on s¨ummeetria p¨o¨orlemistelje suhtes, mist˜ottu neid nimetatakse telgs¨ummeetrilisteks v˜oi m˜onikord radiaals¨ummeetrilisteks probleemideks. Nii ¨a¨aretingimused kui ka piirkonna geomeetria peavad olema s˜oltumatud asukohast ¨umber telje.

Galerkini formuleering ja elementide v˜orrandid on sarnased kahem˜o˜otmelise probleemi oma-dele, kuid erinedes neist m˜one olulise aspekti poolest.

10.1 Diferentsiaalv˜orrand

V¨aljav˜orrand silindrilistes koordinaatides(r, θ, z):

Dr

Telgs¨ummeetriline probleem onθ-st s˜oltumatu, sestap saadakse v˜orrandist (10.1) : D_r∂²φ

mida v˜oib kirjutada ka kujul:

Im Dokument Kompuuterf¨u¨usika II (Seite 123-131)