Newtoni meetod on tegelikult j¨arjestikkuste asendamiste meetodi erijuht, aga see sisaldab v¨aga nutikat iteratsioonifunktsioonig(x)valimist. Olgu juht, kus on vaja leidaf-i juur ja olemas on hinnanguline x, mida soovitakse t¨apsustada. ¨Uksikasjalisemalt eeldatakse, et f(x) 6= 0, kuid loodetakse leida “parandus” v˜oi “samm”hnii, et skalaarx+honf-i juur, millesf(x+h) = 0.
f-i saab arendada Taylori reaks teada oleva v¨a¨artusex ¨umber:
0 =f(x+h) = f(x) +hf′(x) +. . . (11.5) Siin onhk˜orgemat j¨arku liikmed ¨ara j¨aetud.
Seda lineariseeritud Taylori rea arendust saab lahendada parandihjaoks, et saada iteratsiooni-skeem:
h=−f(x)
f′(x) ⇒x(i)=x(i−1)+h=x(i−1)− f(x(i−1))
f′(x(i−1)) (11.6)
nii, et
g(x) =x− f(x)
f′(x) (11.7)
g(x)-i konkreetne valik defineerib Newtoni meetodi. Eelnevalt n¨aitena vaadeldud mittelineaarse probleemi korral
i 0 1 2 3 4
x(i) 0 0.677 0.933 0.996 1.000
K¨aesoleval juhul on Newtoni meetodi koonduvus ruutkoonduvus, seega v˜oib see toimuda v¨aga kiiresti, kui iteratsioon on hakanud juure naabruses liikuma. ¨Uks silmn¨ahtav probleem New-toni meetodi juures on see, et f′(x)-ga jagamine n˜ouab, et see tuletis ei kaoks soovitud juure l¨ahikonnas. Kuif(x)graafikul on lokaalne puutepunkt x-teljega soovitud juure kohal (s.t.f-il on seal mitu juurt), siis v˜oib Newtoni meetodi optimaalne koonduvuskiirus kaduma minna. Kui f′(x)on nullil¨ahedane, siis v˜oib parandussammuhsuurus minna v¨aga suureks ja j¨arjestikkused iteratsioonid v˜oivad olla laialt lahus.
See on Newtoni meetodi fundamentaalne probleem: kui tuletisf′ muutub juure naabruses pii-savalt v¨aikeseks, siis v˜oib Newtoni iteratsioon viia soovitud fikseeritud punktist v¨aga kaugele.
Suurem osa praktilisi mittelineaarseid skeeme p˜ohineb t¨anap¨aeval Newtoni meetodil, sisalda-des ¨uhte v˜oi mitut parandid, et see t¨ahtis skeem ei libiseks kaugele kohast, kus see peaks juurt otsima.
Joonisel 11.2 on Newtoni meetodi geomeetriline interpretatsioon. Tegelik funktsioon f(x) on asendatud selle lokaalse lineariseeringuga, mis on saadud Taylori seeria lineaarsest liik-mest. Selle f(x)-i lineariseeritud versiooni ja x-telje l˜oikekoht on valitud iteratsiooniskeemi j¨argmiseks sammuks. Antud n¨aites onf(x)-il lihtne juur ja graafik l˜oikab telge ilma seda puu-tumata.f′(x)6= 0juure l¨ahikonnas ja mittelineaarse lahendi skeem koondub ruutseaduse j¨argi.
Selle probleemi laiendus koos Newtoni meetodiga on andnud m˜oningaid huvitavaid tulemusi,
Joonis 11.2: Newtoni iteratsioonimeetodi geomeetriline interpretatsioon.
mida saab kasutada meetodi probleemide esitamiseks graafilisel viisil. Kui v˜otta arvesse komp-leksarve, siis neid v˜oib k¨asitleda kui j¨arjestatud(x, y)paare, sarnanedes nii tasandil olevate vek-toritega. Ometi on vektorite jaoks defineeritud algebralised omadused suhteliselt v¨aheviljakad v˜orreldes nendega, mis on defineeritud skalaaride jaoks. Reaalarvud moodustavad algebralise v¨alja, mis on nii rikas kui ¨uks numbris¨usteem olla saab. Vektoralgebra on suhteliselt piiratud, sest seal pole defineeritud p¨o¨ordtehet korrutamisele, seega ei saa isegi m˜otteliselt jagamist teha.
Kompleksarvude ilu seisneb selles, et need skalaarid defineerivad v¨alja, s¨ailitades seega prak-tiliselt k˜oik reaalarvude omadused (nagu jagamine) ja p˜ohiliselt k˜oik tavalised algebrareeglid l¨ahevad samuti ¨ule sellesse olulisesse kahem˜o˜otmelisse juhtu. Tegelikult on j¨arjestamine ainus reaalarvude omadus, mis ei l¨ahe kompleksruumi ¨ule. Komplekset v˜ordsust saab kergesti defi-neerida (vastavalt kahe kompleksarvu reaal- ja imaginaarosa samaaegse v˜ordsuse kaudu), kuid kahe kompleksarvu mittev˜ordsust ei saa m¨a¨arata selliste m˜oistetaga nagu “suurem kui” v˜oi
“v¨aiksem kui”. Peal selle piirangu kehtib k˜oik reaalarvude kohta teadaolev ka kompleksarvude jaoks. Ainus erinevus on, et kompleksarv koosneb kahest skalaarist, reaal- ja imaginaarosast:
z= (x, y) =x+iy, x=Real(z), y =Im(z), i2 =−1
Uks olulisi mittelineaarsete v˜orrandite allikaid on algebraliste pol¨unoomide s¨usteem ehk funkt-¨ sioonid kujul
fn(x) =a0+a1x+a2x2+ . . . +anxn (an6= 0) (11.8) Algebra p˜ohiteoreem ¨utleb, et igal n-j¨arku pol¨unoomil on t¨apseltnjuurt (mis k˜oik ei pea kind-lasti ¨uksteisest eristatavad olema) komplekstasandil. Seega on lihtsal taandatud pol¨unoomv˜or-randil
zn−1 = 0 z =x+iy (11.9)
kus x, y on reaalarvud, t¨apselt n juurt komplekstasandil. Viimasel juhul nimetatakse juuri n-j¨arku ¨uhikjuurteks.n = 1korral on kompleksarvz = 1 + 0yehk paremini tuntud kui reaalarv 1, esimest j¨arku ¨uhikjuur.n = 2 puhul on kompleksarvudz = 1 + 0yja z = −1 + 0y teist j¨arku ¨uhikjuured. Viimane tulemus kinnitab lihtsalt laialtlevinud teadmist, et arvul “1” on kaks ruutjuurt (s.t.n= 2): “1” ja “-1”.
Asi l¨aheb t˜oeliselt huvitavaks, kuin > 2. Siis sisaldavad ¨uhikjuured arve imaginaarsete kom-ponentidega. On kerge leida n-j¨arku ¨uhikjuurt, sest need asuvad v˜ordsete vahedega ¨uhikringis
|z| = 1komplekstasandil ja reaalarv “1” on alati komplekti kaasatud. Eksisteerib lihtne valem selle t¨ahtsa mittelineaarse v˜orrandi lahendamiseks:
zn−1 = 0 (11.10)
onnjuurt
zj =xj+iyj (11.11)
kus
xj =cos2jπ
n yj =sin2jπ
n (11.12)
j = 0,1,2, . . . , n−1Kuij = 0, saadakse alati reaalarv “1”.
Kuna diferentseerimine ja jagamine kehtivad ka kompleksarvude suhtes, siis tullakse Newtoni meetodi kasutamisest puhta nahaga v¨alja ¨uhikjuurte leidmisega. Kui vaatluse all oleks arvu “1”
kuupjuurte leidmine, siis tuleks arvesse v˜otta allj¨argnevat iteratsiooni:
f(z) =z3−1 = 0⇒z(i)=z(i−1) = f(z(i−1))
f′(z(i−1)) =z(i−1)− z(i−1)3
−1
3 (z(i−1))2 (11.13) Kompleksne astendamine on lihtsalt korratud korrutamine (nagu reaalarvude puhul) ja komp-lekse jagamise kasu kaasneb koos Newtoni iteratsiooni jaoks defineeritud jagatisega. Leidub t¨apselt 3 juurt ja saab p¨ustitada huvitava h¨upoteesi:
Iga punkti jaoks komplekstasandil koondub Newtoni skeemz3 −1 = 0 lahenda-miseks kas ¨uheks juureks v˜oi ei koondu ¨uldse (n¨aiteks numbriliste raskuste p¨arast).
Kui v˜otta regioon komplekstasandil ja v¨arvida selle iga punkt vastavalt sellele, milliseks juureks ta koondub, siis saadakse selle probleemi jaoks Newtoni mee-todi koonduvuskarakteristiku 4-v¨arviline kaart. Kolm v¨arvi esitavad piirkondi, mis koonduvad ¨uheks kolmest juurest ja neljas v¨arvkujutab punkte, mis ei koondu (v¨a-hemasti mitte arvutil) ¨uhekski juureks.
Kuni viimase ajani peeti Newtoni meetodi koonduvuskarakteristikuid suhteliselt lihtsateks, kui-gi neid on ¨uldjuhul v¨aga raske karakteriseerida. Kui eelpool defineeritud kaart peaks olema lihtme, siis peaks selle kuupv˜orrandi Newtoni meetodi k¨aitumist olema lihtne m˜oista. Ekspe-rimenteerimisel selgub, et leidub v¨aga v¨ahe punkte, mis ei koondu (ja mida v˜oib v¨alja arvata), kui tulemusena saadav kaart on oodatust palju keerulisem.
¨uhikkuupjuured asuvad hallis ringis ja kolm piirkonda on kujutatud j¨argmiselt:
valge: k˜oik punktid, mis koonduvad juureks
z = 1 (x= 1, y = 0) hall: k˜oik punktid, mis koonduvad juureks
z = 1 2+i
√3 2
must: k˜oik punktid, mis koonduvad juureks
z =−1 2 −i
√3 2
(V¨aike osa punkte, mis ei koondu, n¨aiteks piirkonnas ¨umber nullpunkti, on samuti musta tooni.) Piirid nende kolme piirkonna vahel on ilmselgelt v¨aga keerulise kujuga ja m˜onede huvitavate omadustega. Esiteks kujutavad need fraktalit, sest nende k¨aitumine pole loomu poolest mitte lihtsalt ¨uhe- ega kahem˜o˜otmeline. Kui suurendada fraktali suvalist piirkonda, siis saadud pilt n¨aeb v¨alja t¨apselt nagu suurendus, nii et see komplitseeritud struktuur ilmub skaala kogu ula-tuses. Enamgi veel, piirkondade vahelisel piiril on teine veider omadus: iga naabrus (s˜oltumata sellest, kui v¨aike see ka poleks), mis sisaldab punkte kahest naaberpiirkonnast, peab sisaldama punkte ka kolmandast. See oleks nagu juhtum, kus Eesti ja L¨ati vahelise piiri kaardil piir iga punkt sisaldaks ka t¨ukikest Leedust. Lihtsa kuupv˜orrandi Newtoni meetodi koonduvust iseloo-mustava kaardi patoloogiline k¨aitumine viib olulise arusaamiseni: Newtoni meetod koondub kiiresti, kui esialgne hinnang on juure l¨ahi¨umbruses, kui m˜one teise algv¨a¨artuse puhul v˜oib see skeem k¨aituda pahaloomulisena. Viimane fakt tuleneb t¨ahelepanekust, et esialgse hinnangu v¨aike h¨alve v˜oib viia leitud juurte suurte muutusteni.
Palju praktilisi Newtoni-sarnaseid skeeme on ajendatud p¨u¨udest kompenseerida seda puudu-j¨a¨aki Newtoni meetodis. M˜oned skeemid p¨u¨uavad piirata piirkonda, kus Newtoni meetod v˜oib juurt otsida, et p¨u¨uda hoida Newtoni meetodi dikteerimast huvitavast piirkonnast lahtumist. Tei-sed skeemid j¨alle p¨u¨uavad Newtoni meetodit maha rahustada sammuulatuse parameetriga, mida saab kasutada, et garanteerida teadud progress juure avastamise suunas.