Der Entscheidungsprozess zur Beantwortung von Fragestellungen geschieht selten mit voll-ständiger Sicherheit und ist daher nicht adäquat mit einem deterministischen Modell abbildbar.
So gibt es Informationen, die nicht gänzlich bekannt sind oder es liegen nur mögliche
Aus-kommen vor. Stochastische Programmierung ist hierfür ein Ansatz, um Unsicherheiten in Ent-scheidungsprobleme zu integrieren (vgl. King und Wallace, 2012; Kall und Mayer, 2011).
Damit können zufallsabhängige Einflüsse oftmals detaillierter abgebildet werden, wenn stochastische Modelle genutzt werden (vgl. Werners, 2013). Die relevanten Merkmale werden häufig mithilfe von Zufallsvariablen beschrieben. Diese werden in einem neuen Wahrschein-lichkeitsraum abgebildet, welcher die Zielgröße beschreibt und dabei eine simplere Struktur hat als der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum (vgl. Cramer und Kamps, 2008). Ein häufiges Vorgehen ist es, sich dem Wert der Unsicherheit der unbekannten Parameter durch Schätzungen oder Erwartungswerte anzunähern und im Nachgang mit Korrekturwerten die Abweichung möglichst gering zu halten (vgl. Marti, 2008).
Bei der stochastischen Modellierung, die im Abschnitt 3.2.2 schon aufgegriffen wurde, ist zwischen verschiedenen Teilaspekten zu unterscheiden. Detailliertere Abbildungsmöglichkei-ten der verschiedenen ArAbbildungsmöglichkei-ten von UnsicherheiAbbildungsmöglichkei-ten, Prognosen und die Modellierung stochasti-scher Einflüsse werden im Folgenden vorgestellt. Dazu zählen u. a. Wahrscheinlichkeitsver-teilungen, um die Daten entsprechend abzubilden.
3.3.1 Stochastischer Prozess
Kenngrößen von stochastischen Systemen sind hauptsächlich die Erwartungswerte von Zu-fallsvariablen. Deren Verteilungen beschreiben die zeitliche Entwicklung eines Systems.
Demnach wird ein stochastischer Prozess betrachtet. Darunter wird eine Menge an Zufallsva-riablen und eine Menge von Zeitpunkten verstanden. Es gibt mehrere Beispiele für stochasti-sche Prozesse. So zählen Markov-Ketten zu den zeit-diskreten und homogene Poisson-Pro-zesse zu den zeit-stetigen stochastischen ProPoisson-Pro-zessen. Diese sind wichtige Analyseinstrumente, die vermehrt in diversen Bereichen Anwendung finden (vgl. Waldmann und Stocker, 2013).
3.3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Das Verhalten von Zufallsgrößen wird durch stochastische Prozesse, formuliert als mathema-tische Modelle, beschrieben. Für die weitere Herangehensweise ist es wichtig, für die vorhan-denen Daten die entsprechende PDF zu schätzen. Zur Schätzung von Dichtefunktionen können zwei verschiedene Ansätze gewählt werden – parametrisch vs. nicht-parametrisch.
In dieser Arbeit werden verschiedene Variablen und Parameter definiert sowie unterschiedli-che Quellen als Inputdaten genutzt. Um die Realität bestmöglich abzubilden, müssen das ent-wickelte Modell und die dazugehörigen Parameter entsprechend kalibriert werden. Für die Abdeckung einer gewissen Spannbreite können Wahrscheinlichkeitsverteilungen genutzt wer-den. Insbesondere in Kombination mit der Simulation ist eine Analysemöglichkeit gegeben.
Meistens haben die Inputgrößen einen stochastischen Charakter, somit können sie mit einer
Mellouli, 2013). Um Zufallsphänomene zu modellieren, sind manche Verteilungen besonders geeignet, weil diese durch bestimmte Gegebenheiten repräsentiert sind und durch charakteris-tische Parameter, welche ermittelt werden müssen, angebbar sind (vgl. Werners, 2013). Wie oben beschrieben, ist es weit verbreitet, auf bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilungen zurück-zugreifen. Davon wird eine Auswahl im Folgenden vorgestellt, die insbesondere im Kontext der Modellierung von E-Pkw sowie von PV-Stromerzeugung verbreitet ist.
3.3.2.1 Parametrische Verteilungen
Der parametrische Ansatz versucht mit gegebenen parametrischen Verteilungen, wie z. B. der Normalverteilung, die entsprechenden Schätzer vom Mittelwert μ und der Varianz σ2 der zu-grundeliegenden Daten zu ermitteln. Diese Schätzer werden dann für die Normalverteilung und für die zugrundeliegenden Daten genutzt, um eine passende PDF zu erstellen.
Die Normalverteilung zählt zu den wichtigsten und bekanntesten Verteilungen. Dieser Um-stand beruht u. a. darauf, dass sich einige andere Verteilungen durch die Normalverteilung approximieren lassen. Ebenfalls können viele Daten von empirischen Verteilungen ausrei-chend gut durch eine Normalverteilung approximiert werden (vgl. Fahrmeir et al., 2010). Für den breiten Bereich der Modellierung von E-Pkw können Normalverteilungen genutzt werden.
Beispielsweise bei der Modellierung der Vorhersage der Lastprofile (vgl. Uhrig et al., 2015) oder der zurückgelegten Distanzen (vgl. Hou et al., 2015). Oftmals findet die Modellierung als Normalverteilung Anwendung, um das Rauschen von Unsicherheiten darzustellen, beispiels-weise bei Mohammadi et al. (2014) oder Soares et al. (2016).
Die Exponentialverteilung wird häufig gewählt, um Ankunftszeiten darzustellen (vgl. Suhl und Mellouli, 2013). Die Ausführungen von Aghaei et al. (2016) beinhalten ein Beispiel für die Abbildung der Ankunftszeiten der Fahrzeuge. Ladezeiten können beispielsweise mit einer Exponentialverteilung modelliert sein (vgl. Yu et al., 2011). Ebenfalls nutzen einzelne Arbei-ten die Exponentialverteilung, um die Parkdauer entsprechend darzustellen (vgl. Tang et al., 2013).
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und eignet sich, um Zählvorgänge zu modellieren. Dabei wird die mögliche Anzahl an eintretenden Ereignissen in einem Zeitintervall gezählt (vgl. Fahrmeir et al., 2010). Verschiedene Arbeiten greifen auf die Poisson-Verteilung oder den Poisson-Prozess zurück, um die Ankunftszeit der E-Pkw zu mo-dellieren (vgl. Zhu et al., 2012; Tushar et al., 2014; Tang et al., 2013).
Die Weibullverteilung ist eine stetige Verteilung und wird häufig für die Modellierung von Lebensdauern von Bauteilen genutzt (vgl. Waldmann und Helm, 2016). Für die Modellierung der Ladezeiten von E-Pkw wurde z. B. in Khoo et al. (2014) auf eine Weibullverteilung zu-rückgegriffen. In der Arbeit von Druitt und Früh (2012) wurden die zurückgelegten Pkw Dis-tanzen mithilfe einer Weibullverteilung modelliert. Ebenfalls können Datenreihen von
PV-Erzeugung abgebildet werden (vgl. Honarmand et al., 2015). Plötz et al. (2017) modellieren mit der Weibullverteilung die täglich zurückgelegten Distanzen.
Der Nachteil der parametrischen Verteilungen ist vor allem, dass basierend auf den vorhande-nen Daten die entsprechenden Parameter ermittelt werden müssen. Damit werden die Ur-sprungsdaten nur approximiert dargestellt und es wird nicht die genaue Verteilung wiederge-geben.
3.3.2.2 Nicht-parametrische Verteilungen
Die nicht-parametrische Schätzung der PDF wird insbesondere dann verwendet, wenn die Da-ten nicht offensichtlich einer bestimmDa-ten parametrischen Verteilung folgen (vgl. Silverman, 1998; Gentle et al., 2011).
Als ein Vertreter der nicht parametrischen Verteilung zählt die Methode des Kerndichteschät-zers. Dieses Verfahren ermöglicht eine Schätzung der unbekannten Wahrscheinlichkeitsver-teilung einer stetigen Zufallsvariable. Dafür wird zum einen ein Kern (z. B. Gauß-, Gleichver-teilt- oder Cauchy-Kern) definiert und zum anderen die Bandbreite, welche entscheidend für die Approximationsqualität ist (vgl. Wand und Jones, 1995). Beispiele im Kontext der Elekt-romobilität liefern Iversen et al. (2014), welche die Kerndichteschätzung anwenden, um die empirische Verteilung der Distanzen bestmöglich abzubilden oder Paterakis und Gibescu (2016), die Charakteristika von Elektromobilitätsflotten aus empirischen Daten mit der Kern-dichteschätzung darstellen. Die Verfügbarkeit von E-Pkw pro Stunde wurde in der Arbeit von Li et al. (2016) mit KDE modelliert.
3.3.3 Monte Carlo Simulation
Als Monte Carlo Simulation (MCS) oder stochastische Simulation wird eine Simulation be-zeichnet, in der stochastische Einflüsse Berücksichtigung finden. Es wird dabei eine gewisse Anzahl an Zufallsexperimenten sowohl durchgeführt als auch ausgewertet (vgl. Werners, 2013). Die MCS wird genutzt, wenn der Input als auch der Output aus verschiedenen Vertei-lungen besteht. Die Ausgangsdaten liegen dann in einer experimentellen Verteilung vor, wel-che auf einer theoretiswel-chen Verteilung, der zugrundeliegenden gegebenen Input-Verteilung beruht. Diese experimentelle Output-Verteilung nähert sich nach dem Gesetz der großen Zah-len den Ausgangsdaten mit der dazugehörigen Input-Verteilung an (vgl. Suhl und Mellouli, 2013).
Weitere Anwendungsmöglichkeiten der MCS sind beispielsweise Sensitivitäts- oder Szena-rioanalysen. Mit Hilfe der letzteren kann bewertet werden, in welchen Bereichen Parameter sich bewegen und inwieweit sich diese auf die Ergebnisse auswirken können. Szenarioanaly-sen generieren ein mögliches Set an zukünftigen ErgebnisSzenarioanaly-sen von Verteilungen und tragen
MCS halten schon länger Einzug in dem Forschungsgebiet der Elektromobilität. Es existiert eine große Auswahl an Arbeiten mit verschiedenen Anwendungsbereichen z. B. Faddel et al.
(2017), Uhrig et al. (2014) oder Wang et al. (2018).