Verfahren Schritte Stufen nichtlinear gekoppelt Ordnung Index 2
Radau-IIA 1 s X X h2s−1 hs
DIRK 1 s X hs h1
BDF k 1 X hk hk
sBDF k 1 hk hk
Tabelle 5.3: Eigenschaften der verschiedenen Verfahren.
5.6 Stetige Ausgabe
In der bisherigen Darstellung wurden die Zeitdiskretisierungsverfahren lediglich dazu verwendet, N¨aherungsl¨osungen auf dem diskreten Zeitgitter t0 < t1 < · · · < tN = T zu berechnen. F¨ur einige Anwendungen kann jedoch eine kontinuierliche L¨osung (dense output) erforderlich sein, um z.B. bestimmte Ereignisse zeitlich genau bestimmen zu k¨onnen (event location), ohne unverh¨altnism¨aßig kleine Zeitschritte machen zu m¨ussen.
Da in jedem Gitterpunkt die Approximation der L¨osungyund mitf(t, y)≈y0auch eine N¨aherung der Ableitung vorliegt, kann z.B. eine kubische Hermite-Interpolation ange-wendet werden, um eine L¨osung f¨ur beliebige Zeitpunkte im Intervall [t0, T] zu erhalten.
Dabei werden jedoch viele im Verfahren vorhandene Informationen nicht ber¨ucksichtigt.
Bei den Kollokationsverfahren (BDF, Radau-IIA) bieten z.B. die Kollokationspolyno-me eine einfache und effiziente M¨oglichkeit, die L¨osung ¨uber den ganzen Zeitschritt zu interpolieren.
5.7 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden Verfahren zur zeitlichen Diskretisierung unterschiedlicher Komplexit¨at vorgestellt. Einige ihrer grundlegenden Eigenschaften sind in Tabelle 5.3 zusammengefasst. Die sBDF-Verfahren zeichnen sich dadurch aus, dass diese auch die Linearisierung des Problems bereits beinhalten, was jedoch die Stabilit¨at und Diskre-tisierungsfehler beeintr¨achtigt. Die impliziten BDF-Verfahren besitzen sehr gut Stabi-lit¨atseigenschaften, erfordern jedoch ein Iterationsverfahren f¨ur die Nichtlinearit¨at. Bei den mehrstufigen Runge-Kutta-Verfahren erlauben die DIRK-Verfahren eine effiziente L¨osung des gestaffelten nicht-linearen Gleichungssystems, sie leiden jedoch unter dem Effekt der Ordnungsreduktion f¨ur algebraische Variable. Die Radau-IIA-Verfahren, die wie die BDF-Verfahren auf Kollokation basieren, haben von den vorgestellten Verfahren die besten Konvergenzeigenschaften und ebenfalls sehr gute Stabilit¨atseigenschaften. Sie sind aber auch die aufwendigsten Verfahren.
Im n¨achsten Kapitel werden die Eigenschaften der Verfahren an einem zeitabh¨angigen Benchmark-Problem numerisch untersucht. Insbesondere wird ¨uberpr¨uft, ob die aufwen-digeren nicht-linearen und mehrstufigen Verfahren bessere Eigenschaften als die
einfa-Kapitel 5: Die zeitliche Diskretisierung
cheren Verfahren aufweisen.
Alle vorgestellten Verfahren wurden auf einheitliche Gleichungen oder Gleichungssyste-me der Form (5.13) zur¨uckgef¨uhrt und in dieser Form unabh¨angig von dem zugrunde-liegenden Differentialgleichungssystem und desser r¨aumlicher Diskretisierung implemen-tiert. Diese Implementierung wurde z.B. auch f¨ur die numerische Untersuchungen von zerfallender homogener isotroper Turbulenz und von turbulenten Kanalstr¨omungen in [62] verwendet.
Kapitel 6
Umstr¨ omung eines
zweidimensionalen Zylinders
Ein wichtiges physikalisches Ph¨anomen bei der Umstr¨omung von K¨orpern ist die r¨uckseitige Wirbelabl¨osung oder allgemein Str¨omungsabl¨osung. Abgel¨oste Wirbel wer-den von der Str¨omung weiter transportiert und bilden eine sogenannte K´arm´ansche Wirbelstraße – nach Theodore von K´arm´an. Die charakteristische Frequenz f der Wir-belabl¨osung
f = Sr v d
wird durch die Strouhal-Zahl Sr, die Anstr¨omgeschwindigkeit v und eine charakteris-tische Abmessung d des K¨orpers angegeben. F¨ur einen frei angestr¨omten Zylinder ist Sr ≈ 0.2 und d der Durchmesser. Bei kleinem Durchmesser und hohen Geschwindig-keiten k¨onnen charakteristische Pfeift¨one entstehen, welche z.B. im Automobilbau den Fahrkomfort negativ beeinflussen k¨onnen. Ein anderes Problem kann entstehen, wenn die Abl¨osefrequenz mit einer Eigenfrequenz des K¨orpers zusammenf¨allt. Dieser kann dann in Schwingung geraten, was bei heutzutage dynamisch ausgelegten Hochh¨ausern oder H¨angebr¨ucken ber¨ucksichtigt werden muss. Die korrekte Simulation von Wirbelabl¨osung oder Str¨omungsabl¨osung ist daher ein wichtiges Kriterium f¨ur numerische Methoden.
Weitere Kenngr¨oßen im Zusammenhang mit umstr¨omten K¨orpern sind der Auftriebs-beiwert ca und der Widerstandsbeiwertcw. Diese spielen z.B. in der Aerodynamik von Tragfl¨achen oder auch beim Design von Automobilen eine wichtige Rolle. H¨aufiges Ziel ist es, den Widerstandsbeiwert zu minimieren und gleichzeitig bestimmte Vorgaben f¨ur den Auftriebsbeiwert einzuhalten. Außerdem kann noch der Drehmomentbeiwert z.B. bei der Umstr¨omung von Rotoren oder Tragfl¨achen eine Rolle spielen. Der Drehmomentbeiwert wird in diesem Kapitel allerdings nicht weiter betrachtet.
Das folgende Benchmarkproblem eines umstr¨omten Zylinders wurde im Rahmen der DFG Schwerpunktprogramme “Flow Simulation with High-Performance Computers” de-finiert und ist darauf ausgelegt, Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte sowie den zeitlich
Kapitel 6: Umstr¨omung eines zweidimensionalen Zylinders
korrekten Verlauf der Wirbelabl¨osung zu bestimmen. Ergebnisse aller teilnehmenden Gruppen wurden in [71] ausgewertet. Neben Varianten mit station¨arer und periodischer L¨osung ist auch ein Problem mit zeitabh¨angiger Einstr¨ombedingung beschrieben. Diese schwierigste Variante des Problems werden wir im Folgenden betrachten.
Bemerkung 6.1 Wir untersuchen dieses laminare und isotherme Benchmarkproblem um zun¨achst einzelne Aspekte der Diskretisierung isoliert zu betrachten. Da es sich um ein zeitabh¨angiges Benchmarkproblem handelt, kann speziell die Konvergenz der Zeit-schrittverfahren gut untersucht werden. Die sp¨ater folgenden nicht-isothermen Probleme haben entweder station¨are oder statistisch station¨are L¨osungen, so dass diese M¨oglichkeit dort nicht direkt gegeben ist. Außerdem handelt es sich beim umstr¨omten Zylinder um eine nicht-triviale Geometrie mit krummlinigen R¨andern. Die Betrachtung dieses Pro-blems erg¨anzt somit die numerischen Untersuchungen der beiden folgenden Kapitel zu nicht-isothermen Problemen.
6.1 Benchmarkbeschreibung
Das Gebiet Ω ist in Abbildung 6.1 dargestellt. Es handelt sich um einen Kanal der L¨ange L= 2.2m und der H¨ohe H = 0.41 m mit einer kreisf¨ormigen Aussparung mit Durchmesser D= 0.1 m im vorderen Teil. Die Aussparung liegt nicht in der Mitte des Kanals, so dass es keine Symmetrieebenen gibt.
Es wird das Zeitintervall t∈ (0,8] betrachtet und als Startwert u = 0 verwendet. Die rechte Seite der Impulsgleichung ist ebenfallsf =0und die Einstr¨ombedingung ist durch
u
t; (0, y)>
=u
t; (2.2, y)>
= 4Um
H2 sin(πt/8s)
y(H−y) 0
, Um= 1.5 ms−1 gegeben. Die mittlere Einstr¨omgeschwindigkeit betr¨agt also U(t) = 23sin(πt/8)Um. Die verwendete Ausstr¨ombedingung hat wegen des ausreichend langen Kanals kaum Einfluss auf die L¨osung im Bereich des Zylinders.
F¨ur die auf der mittleren Einstr¨omgeschwindigkeit, dem Zylinderdurchmesser und der kinematischen Viskosit¨at ν = 10−3 m2s−1 basierende Reynoldszahl gilt 0 ≤ Re(t) =
U D
ν ≤100. Die Str¨omung ist vollst¨andig laminar.