Symbol SI-Einheit Bezeichnung
% kg·m−3 Massendichte
µ kg·m−1·s−1 Viskosit¨at
ν= µ% m2·s−1 kinematische Viskosit¨at k W·m−1·K−1 W¨armeleitf¨ahigkeit
cp J·kg−1·K−1 spezifische W¨armekapazit¨at α= %ck
p m2·s−1 Temperaturleitf¨ahigkeit
β K−1 W¨armeausdehnungskoeffizient
g= (0,−g)> m2·s−1 Gravitationsbeschleunigung
Lref m charakteristische L¨ange
Uref m·s−1 charakteristische Geschwindigkeit
Tref s charakteristische Zeiteinheit
∆θref K charakteristische Temperaturdifferenz
Tabelle 1.2: Relevante physikalische Parameter von Fluiden und Str¨omungen.
Zusammen mit der Gravitationskonstanten g= 9.81ms2 ergeben sich daraus Pr = 0.713 und Ra≈108 1
K m3 ·∆θrefL3ref.
Typische Raumluftstr¨omungen erreichen bei Lref ≈ 3 m und ∆θref ≈ 10 K somit Rayleigh-Zahlen im Bereich 1010≤Ra≤1011.
1.6 Numerische Str¨ omungsmechanik (CFD)
Im Folgenden stellt sich die Frage, wie die hergeleiteten Gleichungen zu l¨osen sind. Trotz aller Vereinfachungen lassen sie sich nur in wenigen Ausnahmen exakt l¨osen. In vielen Bereichen (z.B. im Flugzeug- und Automobilbau, beim Entwurf von Bel¨uftungsanlagen aller Art oder bei der Klima- und Wettervorhersage) besteht jedoch großes Interesse an der Simulation und Vorhersage von Str¨omungen, um den Entwicklungsprozess zu beschleunigen.
Das ¨alteste Werkzeug zur Vorhersage von Str¨omungen ist das Experiment, das jedoch oft nicht im Originalmaßstab durchf¨uhrbar ist. Der ¨Ubergang zum verkleinerten Modell bereitet h¨aufig technische Probleme und erfordert seinerseits großen Entwicklungsauf-wand (Windkanaltechnik) und Anlagen, die teuer im Bau und Unterhalt sind. Einige Anwendungsfelder entziehen sich dem Experiment vollst¨andig, wie z.B. die globale Kli-mavorhersage.
Seit der Erfindung von Computern und der rasanten Entwicklung ihrer Rechenleistung besteht der Wunsch, mit ihrer Hilfe N¨aherungsl¨osungen der mathematischen Modelle
Kapitel 1: Mathematisches Modell f¨ur nicht-isotherme Str¨omungen
Abbildung 1.1: Gliederung des L¨osungsprozesses.
zu berechnen und damit Str¨omungen zumindest approximiert vorherzusagen. Mit die-ser Aufgabe besch¨aftigt sich die numerische Str¨omungsmechanik. Der L¨osungsprozess gliedert sich dabei typischerweise in folgende Teile:
• Es wird ein Modell zur vollst¨andigen mathematischen Beschreibung des Problems ausgew¨ahlt. In dieser Arbeit wird dazu das Oberbeck-Boussinesq-Modell verwen-det, wie bereits in diesem Kapitel begr¨undet wurde.
• F¨ur die r¨aumliche Diskretisierung steht eine große Auswahl an Verfahren zur Verf¨ugung, auf die im Folgenden noch etwas genauer eingegangen werden soll. In dieser Arbeit wird eine Finite-Elemente-Diskretisierung verwendet (siehe Kapitel 2).
• Durch die r¨aumliche Diskretisierung entstehen endlichdimensionale Anfangswert-probleme. Diese k¨onnen durch implizite oder semi-implizite Zeitschrittverfahren numerisch integriert werden.
• Bei der Verwendung impliziter Zeitschrittverfahren entstehen nichtlineare Glei-chungssysteme, die iterativ durch Newton- oder Picard-Iterationen gel¨ost werden k¨onnen. Diese f¨uhren, wie auch semi-implizite Zeitschrittverfahren, auf lineare Glei-chungssysteme.
• Die linearen Gleichungssysteme sind meist d¨unn besetzt und zu groß, um direkt gel¨ost werden zu k¨onnen. Daher werden z.B. vorkonditionierte Krylov- oder Mehr-gitterverfahren zur effizienten L¨osung eingesetzt.
Bei jedem dieser Schritte muss die spezielle Struktur der Probleme ber¨ucksichtigt wer-den, um effiziente Verfahren zu erhalten. Insbesondere bei den beiden Schritten zur Diskretisierung in Raum und Zeit wird aufgrund der nur beschr¨ankt zur Verf¨ugung ste-henden Rechenleistung und der daraus resultierenden niedrigen Aufl¨osung ein nicht zu
1.6. Numerische Str¨omungsmechanik (CFD)
vernachl¨assigender Fehler eingef¨uhrt. Um dieses Problem zu umgehen, k¨onnen die ur-spr¨unglichen Modellgleichungen um ein Turbulenzmodell erweitert werden, das die Ef-fekte auf den nicht aufgel¨osten Skalen modelliert, so dass die modifizierte L¨osung durch die Diskretisierung gut approximiert werden kann.
Methoden zur r¨aumlichen Diskretisierung
Wie bereits erw¨ahnt, steht f¨ur die r¨aumliche Diskretisierung eine große Auswahl an Verfahren zur Verf¨ugung, die unterschiedliche Vor- und Nachteile besitzen.
Bei der Finite-Differenzen-Methode (FDM) werden im Gebiet Punkte verteilt, an denen die L¨osung approximiert werden soll. Die Differentialoperatoren werden dann durch Dif-ferenzenquotienten der Werte an diesen Punkten approximiert. Dieser Ansatz l¨asst sich aber nur bei regelm¨aßiger und ¨aquidistanter Punkteverteilung effizient implementieren und analytisch untersuchen.
Die Finite-Volumen-Methode (FVM) entspricht einem zur FDM dualen Ansatz. Bei ihr wird das Gebiet in kleine Teilgebiete (Volumen) zerlegt und jedem Teilgebiet ein Mittel-wert zugeordnet. Die Differentialoperatoren werden in Integraloperatoren ¨uberf¨uhrt, so dass die Methode im Wesentlichen auf der Berechnung von Fl¨ussen zwischen benachbar-ten Volumen basiert. Dieser Ansatz eignet sich besonders f¨ur Erhaltungsgleichungen. Da zur Berechnung der Fl¨usse Werte auf den R¨andern der Teilgebiete interpoliert werden m¨ussen, erreichen diese Verfahren jedoch meist nur eine niedrige Konvergenzordnung.
Auch die Finite-Elemente-Methode (FEM) basiert auf einer Zerlegung des Gebiets in Teilgebiete, auf denen die stetige Approximation als st¨uckweise polynomiell angenom-men wird. So kann mittels konformer Ansatzr¨aume rigoros eine Variationsgleichung her-geleitet und eine Fehleranalysis betrieben werden. Die FEM ist bei der Anwendung auf elliptische und parabolische Probleme sehr robust. Eine ausf¨uhrliche Betrachtung der Finite-Elemente-Methode ist in Kapitel 2 zu finden.
Eine weitere M¨oglichkeit zur Approximation der L¨osung sind spektrale Methoden mit globalen Ansatzfunktionen (z.B. Tschebyscheff-Polynome oder Fourierreihen). Durch Spektraltransformationen, z.B. eine schnelle Fourier-Transformation (FFT), lassen sich die Differentialoperatoren effizient im Spektralbereich auswerten. Spektralmethoden eig-nen sich zwar besonders f¨ur sehr glatte L¨osungen, bei denen exponentielle Konvergenz m¨oglich ist, lassen sich aber nur bei einfachsten Geometrien (Quader- oder Kreisgebiete) effizient einsetzen.
Aktuelle Entwicklungen im Bereich der Implementierung
Ein immer wichtiger werdender Aspekt der numerischen Str¨omungssimulation ist die Implementierung der Verfahren f¨ur Computer. Ziel ist es, die zur Verf¨ugung stehende Rechenleistung m¨oglichst effizient zu nutzen. Dem gegen¨uber steht die stetig zunehmende
Kapitel 1: Mathematisches Modell f¨ur nicht-isotherme Str¨omungen
Komplexit¨at der Computersysteme.
Zwei wesentliche Trends dominieren dabei die aktuelle Entwicklung von Supercompu-tern. Ein Trend ist das stetige Anwachsen der Anzahl an Rechenkernen in Großrechnern.
Diese liegt aktuell in der Gr¨oßenordnung von 105Rechenkernen f¨ur einen einzelnen Groß-rechner (siehewww.top500.org). Um die Rechenleistung vollst¨andig zu nutzen, muss also jeder Teil der Rechnung auf alle Kerne aufgeteilt (parallelisiert) werden. Einige Verfahren lassen sich jedoch nicht gut parallelisieren, da der Kommunikationsaufwand zur Vertei-lung und Zusammenf¨uhrung der Daten sehr groß sein kann. Aktuelle Entwicklungen zur Parallelisierung der f¨ur diese Arbeit verwendeten Finite-Elemente-Bibliothek deal.II sind in [32] zu finden.
Der zweite Trend geht in Richtung heterogener Rechnerarchitekturen. Die Rechenleis-tung einzelner Rechenknoten mit wenigen Rechenkernen (4 bis 16) l¨asst sich betr¨achtlich durch den Einsatz von speziellen Grafikprozessoren (GPUs) erweitern. Jeder dieser Gra-fikprozessoren enth¨alt bis zu mehrere hundert programmierbare Recheneinheiten, die auch f¨ur allgemeine Rechenaufgaben programmiert werden k¨onnen. Ihre Programmie-rung unterscheidet sich deutlich von der f¨ur klassische Rechenkerne und viele Algo-rithmen m¨ussen f¨ur GPUs ¨uberarbeitet oder neu entwickelt werden, woraus ein ei-genst¨andiger Forschungszweig entstanden ist. Das Interesse an Algorithmen f¨ur GPUs ist auch dadurch begr¨undet, dass einige der weltweit schnellsten Supercomputer mit GPUs ausgestattet sind (siehewww.top500.org).
Insgesamt ist zu beobachten, dass die Rechenleistung der einzelnen Rechenknoten schnel-ler als die verf¨ugbare Speicherbandbreite w¨achst, mit der die Knoten untereinander kom-munizieren k¨onnen. Von dieser Entwicklung profitieren besonders Verfahren mit hoher arithmetischer Intensit¨at (dem Verh¨altnis von der Anzahl an arithmetischen Operatio-nen zur daf¨ur ben¨otigten Speicherbandbreite) und Approximationsg¨ute, wozu auch die Finite-Elemente-Methode z¨ahlt. Im Gegensatz dazu wird die Geschwindigkeit von ein-fachen Verfahren (wie z.B. der FVM) durch die geringe Speicherbandbreite begrenzt.